沪科版-数学-七年级上册-二元一次方程组牵手生活新题型
沪科版七年级上册数学3.4：二元一次方程应用题型
7年级数学一对一讲义-二元一次方程组应用题型姓名____________ 上课时间____________ 课堂落实____________模块一用二元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程组，解应用题的一般步骤:审题、设元、列方程、检验、作答.列一元一次方程解应用题的时候,我们需要考虑设哪个未知量为x , 运用哪个相等关系来列方程,解答此类问题的关键是找到问题中的数量关系,并根据数量关系列方程来解决问题.寻找问题中的相等关系的方法有:抓住关键词,根据路程、工程、利率、面积等基本数量关系以及用不同的式子表示同一个量.模块二常见列方程解应用题的几种类型类型一、比赛得分问题1.一次足球赛共15轮( 即每队均赛15场),胜一场记2分,平一场记1分,负一场记0分.某中学足球队胜的场数是负的场数的2倍,结果共得17分,这个足球队平的场数是( )A.2B.4C.7D.92.篮球比赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.艾美所在的球队在8场比赛中得14分.若设艾美所在的球队胜x场,负y场,则可列出方程组为.3.有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球各有多少支队参赛?4. 在一场篮球比赛中,某队员得23分( 不含罚球得分),已知他投进的3分球比2分球少4个,则他一共投进了个3分球和个2分球.5. 某班进行个人投篮比赛,:已知进3.5个球.问:投进3个球和4个球的各有多少人?类型二 . 行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：○1同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；○2同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度；顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．1. A,B两地相距20 km,甲、乙两人分别从A,B两地同时出发.若同向而行,甲5 h追上乙;若相向而行,两人2 h后相遇,则甲、乙两人的速度分别是( )A.5 km/h,2 km/hB.10 km/h,4 km/hC.3 km/h,7km/hD.7 km/h,3 km/h2. 从A城到B城的航线长1200 km,一架飞机从A城飞往B城,需要2 h,从B城飞往A城,需要2.5 h,假设飞机保持匀速,风速的大小和方向不变.若设飞机的速度为x km/h,风速为y km/h,则可列方程组为.3. A,B两地相距36 km,两人步行,甲从A地到B地,乙从B地到A地.若两人同时出发,相向而行,4 h后相遇;若步行6 h,则甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍,求两人的速度.4.一艘船顺水航行45 km需要3 h,逆水航行65 km需要5 h.若设该船在静水中的速度为x km/h,水流速度为y km/h,则x,y的值分别为( )A.13,2B.14,1C.15,1D.14,25.小颖家离学校1200 m,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.她去学校共用了16 min .假设小颖上坡路的平均速度是3 km/h,下坡路的平均速度是5 km/h .若设小颖上坡用了x min,下坡用了y min,则根据题意可列方程组为( ) A.{3x +5y =1200x +y =16 B.{360x +560y =1.2x +y =16C.{3x +5y =1.2x +y =16D.{360x +560y =1200x +y =16【变式拓展】王老师布置了一道思考题:小明家离学校1000米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.他跑步去学校共用时18分钟,已知小明上坡的平均速度为30米/分钟,下坡的平均速度为80米/分钟,小明上坡和下坡各用了多长时间?小亮同学设出未知数x ,y 后列出了方程组 ；小颖也设出未知数,却列了和小亮不同的方程组:{x +y =1000, .则横线上应填的方程是 .( 写一个即可 )6. 甲、乙两人开车,同时从相距105 km 的两个城市相向而行,2 h 后相遇.已知甲每小时比乙多行驶2.5 km,则甲的速度是 km/h,乙的速度是 km/h .7. 甲、乙两辆车从相距360千米的A ,B 两地匀速相向而行,甲车从A 地出发,乙车从B 地出发.若甲车比乙车先出发1小时,则两辆车在乙车出发后经2小时相遇;若乙车比甲车先出发2.5小时,则两辆车在甲车出发后经1.5小时相遇.问甲、乙两辆车每小时各行驶多少千米?8. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,假设他始终保持平路每分钟走60 m,下坡路每分钟走80 m,上坡路每分钟走40 m,则他从家里到学校需10 min,从学校到家里需15 min .问:从小华家到学校的平路和下坡路各有多远?9. 随着“互联网+”时代的到来,一种新型的打车方式受到大众欢迎,该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成,其中里程费按p元/公里计算,耗时费按q元/分钟计算( 总费用不足9元按9元计价).小敏、小刚两人用该打车方式出行,按上述计价规则,(1)求p,q的值;(2)若小华也用该打车方式打车,平均车速为55公里/小时,行驶了11公里,那么小华的打车总费用为多少?类型三 . 销售问题1、商品销售利润问题中的关系式:×100％;①利润=售价一成本价(商品进价); ②利润率=商品利润商品成本③销售额=商品销售价×商品销售量; ④销售利润额=(销售价一成本)×销售量.2、折扣问题:商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80％出售.3.利息问题中的关系：①利息=本金×利率×期数; ②本息和=本金+利息1.打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多,商家打折促销,A商品打八折,B商品打九折,此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元,则打折前A商品和B商品每件的价格分别为( )A.75元,100元B.120元,160元C.150元,200元D.180元,240元2.( 张家界中考)某校组织“大手拉小手,义卖献爱心”活动,购买了黑白两种颜色的文化衫共140件,进行手绘设计后出售,假设文化衫全部售出,共获利1860元,求黑白两种文化衫各多少件?3. 甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元.求甲、乙两件服装的成本各是多少元?类型四 . 分段计费问题1分段计费问题中的主要关系式： 总费用=基础部分费用+超过部分费用 2.解决方案决策问题的基本步骤： ①用含未知数的式子表示几种方案; ②建立方程求出相等情况下未知数的值; ③根据未知数的值进行方案决策1.据电力部门统计,每天8:00至21:00是用电高峰期,简称“峰时”,21:00至次日8:00是用电低谷期,简称“谷时”.为了缓解供电需求紧张的矛盾,我市电力部门拟逐步统一换装“峰谷分时”电表,对用电实行“峰谷分时电价”新政策具体见表:已知每千瓦·时峰时价比谷时价高025元小卫家对换表后最初使用的100千瓦·时用电情况进行统计分析知:峰时用电量占80%,谷时用电量占20%,与换表前相比,电费共下降2元.请你求出表格中x 和y 的值.类型五 . 百分率问题1.某县为了响应国家“退耕还林”的号召,将该县一部分耕地改还为林地.改还后,林地面积和耕地面积共有180 km 2,耕地面积是林地面积的25%.设改还后耕地面积为x km 2,林地面积为y km 2,则下列方程组中,正确的是( ) A.{x +y =180x =25%y B.{x +y =180y =25%x C.{x +y =180x −y =25%D.{x +y =180y −x =25%2. 5月份,甲、乙两个工厂用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后,两工厂积极响应国家号召,采取节水措施.6月份,甲工厂用水量比5月份减少了15%,乙工厂用水量比5月份减少了10%,两个工厂6月份用水量共为174吨,求两个工厂5月份的用水量各是多少.设甲工厂5月份用水量为x 吨,乙工厂5月份用水量为y 吨,根据题意列关于x ,y 的方程组为 .3. 某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨.采用新技术后,实际产量为225吨,其中玉米超产5%,小麦超产15%,求该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨?类型六、工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和．1、某地为了打造风光带，将一段长为360m 的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m ，乙工程队每天整治16m ．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．2、一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？ （2）单独请哪组，商店所付费用较少？（3）若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．类型七 . 人员调配问题寻找相等关系的方法：抓住甲处的数量与乙处的数量间的配套关系去考虑．1.( 深圳中考 )某旅店一共70个房间,大房间每间住8个人,小房间每间住6个人,一共480个学生刚好住满.设大房间有x 个,小房间有y 个.下列方程组正确的是( ) A.{x +y =708x +6y =480 B.{x +y =706x +8y =480 C.{x +y =4806x +8y =70D.{x +y =4808x +6y =702.抗洪救灾小组在A 地段现有28人,B 地段现有15人,又调来29人分配在A ,B 地段,要求调配后A 地段人数是B 地段人数的2倍,求调往A 地段的人数和B 地段的人数.3.某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工?几天粗加工?设安排x 天精加工,y 天粗加工.为解决这个问题,所列方程组正确的是( )A.{x +y =14016x +6y =15B.{x +y =1406x +16y =15C.{x +y =1516x +6y =140D.{x +y =156x +16y =1404. 在某市“棚户区改造”建设工程中,有甲、乙两种车辆参加运土.已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米;3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米.求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米?5. 某中学组织一批学生开展社会实践活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出一辆车,且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元,60座客车租金为每辆300元.(1)这批学生的人数是多少?原计划租用45座客车多少辆?(2)若租用同一种客车,且要使每位学生都有座位,应该怎样租用才合算?6.某公司需要粉刷一些相同的房间,经调查3名师傅一天粉刷8个房间,还剩40 m2刷不完;5名徒弟一天可以粉刷9个房间;每名师傅比徒弟一天多刷30 m2的墙面.(1)求每个房间需要粉刷的面积.(2)该公司现有36个这样的房间需要粉刷,若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷,需要几天完成?(3)若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟,每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元,该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成,问人工费最低是多少?类型八 . 方案设计问题方案设计问题：各种方案的考虑方案选择问题：各种方案的比较1. 某校5名老师带领若干名学生旅游( 旅游费统一支付).他们联系了标价相同( 都为a元/人)的两家旅行社,经洽谈,A旅行社优惠条件是教师全额付费,学生按七折付费;B旅行社优惠条件是全体师生按八折付费.(1)学生有多少人时,两家旅行社收费相同?(2)现有学生20人,那么他们选哪一家旅行社旅游费用少些呢?2.为迎接元旦的到来,电商平台A对本年度最受消费者喜爱的某品牌辣椒酱进行促销,促销方式为:每人每次凡购买不超过15瓶的,每瓶4元,外加运费a元;超过15瓶的,超过的部分每瓶减少b元,并付运费a元.若设购买的瓶数为x瓶.(1)当x≤15时,请用含x和a的代数式表示购买所需费用为元;当当x>15时,请用含x和a,b的代数式表示购买所需费用为元.(2)王老师和李老师看到促销信息后打算在该平台分别购买20瓶和26瓶该品牌辣椒酱.①经过预算,两位老师在该平台购买分别花费82元和100元,请通过计算求出a,b的值.②你能帮两位老师设计一种更省钱的购买方案吗?3. 某电器商场销售进价分别为120元、190元的A,B两种型号的电风扇,如下表所示是近两周的销售情况( 进价、售价均保持不变,利润(1)求A,B(2)若商场再购进这两种型号的电风扇共120台,并且全部销售完,该商场能否实现这批电风扇的总利润恰好为8040元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.。
上海沪科版初中数学七年级上册3.3 第1课时 二元一次方程与二元一次方程组
(2)若 y = b是方程 3x-y=1 的解,求 6a-2b+3 的值.
【拓展延伸】 9.(10 分)为民医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械,甲器械每台 2 万元,乙器械每台 5 万 元,今年厂方给经销部规定了 24 万元的营销任务,那么该经 销部要想刚好完成任务,有哪些销 售方案可选择?若乙医疗器械的利润是甲医疗器械的 3 倍,那么你觉得选 择哪个方案更好些?
{3x ‒ 2y = 11,
程组 2x + 3y = 16的解?为什么?
{ { { { x = 7,
①
x = 1, y =‒ 4.②
x= y=
5, 2.③
y
=
23.④
x = 15, y = 6.
{x = a,
8.(8 分)(1)若 y = b是方程 2x+y=0 的解,求 6a + 3b+2 的值.
{x ‒ y =‒ 1,
D. 3x + y = 5
3.(2013·广州中考)已知两数 x,y 之和是 10,x 比 y 的 3 倍大 2,则下面所列方程组正确的
是( )
{x + y = 10,
A. y = 3x + 2
{x + y = 10,
B. y = 3x ‒ 2
{x + y = 10,
C. x = 3y + 2
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它为二元一次方程. 6. 母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从信息中可知,若设鲜花 x 元/束,礼盒 y 元/盒,则可列方程组为 .
三、解答题(共 26 分)
7.(8 分)下列各组数据中哪些是方程 3x-2y =11 的解?哪些是方程 2x+3y=16 的解?哪些是方
(沪科版)七年级数学上册专题复习 二元一次方程组及其解法例题与解析
（沪科版）七年级数学上册专题复习 二元一次方程组及其解法例题与解析1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＝y ＋5，5y －1＝3x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3， 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本．8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
沪科版七年级数学上册复习资料-二元一次方程组及其解法例题与解析
3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。
2024七年级数学上册第3章一次方程与方程组练素养1.二元一次方程组)的解的常见应用课件新版沪科版
即 a ， b 的值分别为－4，1.
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应用5
已知二元一次方程组的错解，求字母的值
＋ = ，
7. 在解方程组ቊ
时，由于粗心，甲看错了方程
− =
＝ ，
组中的 a ，得解为ቐ
＝ − ；
乙看错了方程组中的 b ，得
= ，
解为ቊ
＝ − .
ቊ
可化为ቊ
＋ = ，
(＋)＋( − ) =
− = ，
= ，
因为ቊ
的解是ቊ
所以
= ，
＋ =
＋ = ，①
ቊ
− = ，②
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①＋②，得2 a ＝3，所以 a ＝ .
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把 a ＝ 代入①，得 b ＝－ .
已知二元一次方程组的解之间的关系，求字母的值
4. [2024·重庆一中月考]已知关于 x ， y 的二元一次方程组
− = ，
ቊ
的解满足 x － y ＝10，则 a 的值
− = −
11
为
.
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【点拨】
− = ，①
൝
− = − ，②
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应用2
的值
已知二元一次方程组与二元一次方程共解，求字母
沪科版七年级数学上册二元一次方程组及其解法课件(共18张)
解：
①×2，得：
4x＋6y=38
③
②×3，得：
9x－6y＝27 ④
加减法消元时,先 要把相同未知数的系数 化 把x＝5代入①，得：
y＝3 ∴原方程组的解是 x=5
y=3
课堂小结
用加减法解二元一次方程组的步骤：
(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都 乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数 的系数，使其绝对值相等；
9u=18
解得 u ＝ 2
把u＝ 2 代入①得 3×2+2t=7
解得 t ＝ 0.5 所以这个方程组的解是
t 0.5 u
(2)
a 2b 3 a 3b 4
① ②
解：②-①， 得 b=1
把b＝ 1 代入①得 a+2×1=3
解得
a＝ 1
a 1 所以这个方程组的解是 b 1
例1、用加减法解二元一次方程组
利用相反数相加消去一个未知数
① 左边 +左边 ② = ①右边 + ② 右边
5x+6y +（5x-6y）=81 + 9
10x=90 把x=9代入① y=6
X=9，
｛5x ＋6y =81 ① 5x －6y =9 ②
再视察上面方程组中方程(1)与方程(2)，又可以发 现什么？
利用相同数相减消去一个未知数
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相 减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；
(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简 便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方 程的解 .
1、 用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知
沪科版数学七年级上册建立二元一次方程组(含答案)
2020年~2021年最新建立二元一次方程组(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列方程中,是二元一次方程的是( )A.3x2-2y=4B.6x+y+9z=0C.+4y=6D.4x=2.以为解的二元一次方程组是( )A. B.C. D.3.(2013·广州中考)已知两数x,y之和是10,x比y的3倍大2,则下面所列方程组正确的是( )A. B.C. D.二、填空题(每小题4分,共12分)4.请写出一个二元一次方程组,使它的解是5.方程(k2-1)x2+(k+1)x+2ky=k+3,当k= 时,它为一元一次方程;当k=时,它为二元一次方程.6.母亲节那天,很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒.从信息中可知,若设鲜花x元/束,礼盒y元/盒,则可列方程组为.三、解答题(共26分)7.(8分)下列各组数据中哪些是方程3x-2y=11的解?哪些是方程2x+3y=16的解?哪些是方程组的解?为什么?①②③④8.(8分)(1)若是方程2x+y=0的解,求6a+3b+2的值.(2)若是方程3x-y=1的解,求6a-2b+3的值.【拓展延伸】9.(10分)为民医疗器械经销部经营甲、乙两种医疗器械,甲器械每台2万元,乙器械每台5万元,今年厂方给经销部规定了24万元的营销任务,那么该经销部要想刚好完成任务,有哪些销售方案可选择?若乙医疗器械的利润是甲医疗器械的3倍,那么你觉得选择哪个方案更好些?答案解析1.【解析】选D.4x=含有两个未知数x,y,并且含x,y项的次数都是1,是二元一次方程.选项A有二次项,选项B有三个未知数,选项C分母中有未知数,故A,B,C都不是二元一次方程.2.【解析】选D.将分别代入四个方程组中,只有D中的两个方程同时成立.3.【解析】选C.由题意知,x+y=10,x-3y=2,即x=3y+2,所以4.【解析】以为解的二元一次方程有无数个,如x+y=1,x-y=3,x+2y=0等,只要满足x=2,y=-1即可.然后从中选两个方程,但是这两个方程的对应项的系数不能成倍数关系.答案:(答案不唯一)5.【解析】无论是一元一次方程还是二元一次方程,都不可能有二次项,所以k2-1=0,即k=±1.当k=-1时,原方程为-2y=2是一元一次方程;当k=1时,原方程为x+y=2为二元一次方程.答案:-1 16.【解析】一束鲜花x元,一盒礼盒y元,由一束鲜花和两盒礼盒共55元,得:x+2y=55;由两束鲜花和3盒礼盒共90元,得2x+3y=90,故答案:7.【解析】①②是方程3x-2y=11的解.②③是方程2x+3y=16的解.②是方程组的解.因为方程组的解必须是方程组中两个方程的公共解.8.【解析】(1)把代入方程2x+y=0得2a+b=0,两边同时乘以3得:6a+3b=0,所以6a+3b+2=2.(2)把代入3x-y=1得3a-b=1,则6a-2b+3=2(3a-b)+3=5.【归纳整合】解决本题的方法为整体代入法,将含a,b的式子整体代入,使得整个求解过程更加简便,在解决整体代入法求值问题时,要多观察式子的特点,合理运用整体代入法.9.【解析】设销售甲医疗器械x台,乙医疗器械y台,根据题意,得2x+5y=24.因为x,y都是非负整数,所以x==12-2y-.当y=0时,x=12;当y=2时,x=7;当y=4时,x=2.所以销售方案有三种:方案一:销售甲器械12台,乙器械0台;方案二:销售甲器械7台,乙器械2台;方案三:销售甲器械2台,乙器械4台.设甲医疗器械的利润为a(a>0),则方案一的利润为12a+0×3a=12a(元);方案二的利润为7a+2×3a=13a(元);方案三的利润为2a+4×3a=14a(元).因为14a>13a>12a,所以选择方案三更好些.。
沪科版七年级数学上册3.3 第1课时 二元一次方程与二元一次方程组
注意
1.二元一次方程是整式方程；所含未知数有2个， 所含未知数项的最高次数是“1”，这里要特别 注意项的次数． 2.二元一次方程组中，两个方程都是一次的， 方程组中含有两个未知数.
练一练
请问下列方程组是二元一次方程组吗？ 三个未知数
例2 下列方程组是二元一次方程组的是（ C）
A.
xy 1, x y
1
B.
x x
z y
1, 1
C.
x 2
y 2
1,
x y 1
x y 1,
D.
1 x
y
1
紧扣相关概念
二 列二元一次方程组
解：设鸡有x只，兔有y只.根据头数、脚数 可得二元一次方程组：
x y 35, 2x 4y 94.
归纳总结
x－y＝2
x＋y＝45
x＋1＝2(y－1) 2x＋y＝60
上面所列方程各含有几个未知数?
含有未知数的项的次数是多少?
2个未知数 次数是1
定义：
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数 都是1的方程叫做二元一次方程.
比一比
都是含未知数的等式方程
x + 15 = 60
x + y = 45.
只含有1个未知(元)， 未知数的次数为1；
方法归纳：根据实际情境列二元一次方程组， 一般要根据题目中的数量关系，选择两个未知 数，将题中给出的数量关系表示成含有两个未 知数的等式.
练习：设适当的未知数，列二元一次方程组. 1.植树节这天有20位同学共种了52棵树苗，其中 男生每人种3棵，女生每人种2棵，请问男生、女 生各有多少人？
解：设男生x人，女生y人 根据题意可得方程组为：
2024七年级数学上册第3章3.4二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程(组)课件新版沪科版
= + ，
理由：把ቊ
代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左
= +
边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，
所以左边＝右边，即小明发现的结论正确.
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15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不
【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0，
解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程.
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13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数
的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程
组，不必求解)
【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得
超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足
1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程
为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，
花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一
次方程组.
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【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每
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沪科版七年级上册数学 第三章 一次方程与方程组 二元一次方程组专题训练(含答案)
二元一次方程组专题训练知识目标：1、掌握三元一次方程组、轮换对称形的方程组的解法2、掌握同解问题、错解问题、整数解问题的解法3、灵活运用分类讨论思想、还原思想1、二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程。
例如.，x ＋2y ＝5，u －2v ＝0,3m ＝21n 等,都是二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，例如.⎩⎨⎧=-=+5322y x y x ，⎩⎨⎧==+123x y x 等都是二元一次方程组。
3、二元一次方程组的基本解法方法1：代入消元法： 方法2：加减消元法：巩固练习：解基本二元一次方程组 解下列二元一次方程组： （1）⎩⎨⎧=+=7212y -x y x （2）⎩⎨⎧=--=+89413t 2s t s（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-120944151)2(3.0-1x y x y （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y例1：解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-35232123z x z y y x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++123272y x 13z 2y x 3z y x z练习： 解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧==++=+1z -y -57x z y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++13398245c b a c b a c b a例2:解方程组：（1）⎩⎨⎧=+-=+102361463102463361y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++623632632z y x z y x z y x练习： 解方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+673317831733y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+92827y x 2x z z y例3已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+87ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==32y x ，那么关于m 、n 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-++=-++8)()(7)()(n m a n m b n m b n m a 的解是 。
沪科版-数学-七年级上册-例析几何题中的二元一次方程组
例析几何题中的二元一次方程组同学们知道，方程（组）是解决数学问题的一种工具，它们不仅在实际问题中被广泛的应用，而且在看似与方程（组）无缘的几何题中也可以大显身手．不信，请看！例1 （河南省）如图1所示，点O 在直线AB 上，OC 为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为,x y ，那么下列可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）（A ）180,10x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ （B ）180,310x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ （C ）180,310x y x y ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ （D ）3180,310y x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 析解：由图1可知：∠1＋∠2=180°，则x y +=180°；又由题知∠1=3∠2－10°，则3x y =－10°；所以可得方程组180,310.x y x y +=︒⎧⎨=-︒⎩故应选（B ）．例2 （泰州市课改区）扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图2所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm ，求这种药品包装盒的体积．分析：欲求这种药品包装盒的体积，需求出它的长、宽、高，而这三种量都不知道，故可借助方程组解决之．另外，对包装盒侧面展开图的熟悉，是解决本题的关键所在．解：设这种药品包装盒的宽为cm x ，高为cm y ，则长为(4)cm x +，根据题意，得2214,4213.x y x y +=⎧⎨++=⎩ 解这个方程组，得5,2.x y =⎧⎨=⎩故长为9cm ，宽为5cm ，高为2cm ．体积395290(cm )V =⨯⨯=．答：这种药品包装盒的体积为390cm ．（图2）（图1） 2 1 O C BA点评：众所周知，几何问题重在于“形”，而方程问题重在于“数”；“形”为“数”提供直观性，“数”为“形”提供准确性．数形结合，相辅相成，共同为解决数学问题作出自己的“贡献”，这就是数学中非常重要的“数形结合思想” ．掌握好这个思想方法，将使你在数学王国里自由翱翔！。
2024年秋沪科版七年级数学上册 3.5.1 二元一次方程组的应用(一)类(课件)
3x + y = 27.
②
x + y = 11，
解方程①②组成的方程组
，得
3x + y = 27
x = 8， y = 3.
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审 审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系 设 设未知数 列 根据等量关系列出两个方程，组成方程组 解 解方程组，求出未知数的值 验 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 答 写出答案（包括单位名称）
两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲、乙同时出发，相向而行
甲0.5h 行程
相 遇 地 乙0.5h
行程
4 km
甲出发点
乙出发点
解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h. 根据题意得
2x – 2y = 4， ①
1 2
x+
1 2
y = 4.
②
解方程组，得
x = 5， x = 3.
根据题意，得
4(x + y) = 72，
24 x y 72 解方程组，得
5
x 33 2
y3 2
答：江轮在静水中的速度是 33 km/h.
2
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设未知数、列方程组 实际问题
转化
数学问题 二元一次方程组
解方 程组
代加入减法法（消元）
实际问题 的答案
检验
数学问题的解 二元一次方程组的解
二元一次方程组的应用 （一）
沪科版七年级上册
情境导入
同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球 联赛中球队的积分怎样计算的吗？
沪科版七年级数学上册《3.5二元一次方程组的应用》同步练习题及答案
沪科版七年级数学上册《3.5二元一次方程组的应用》同步练习题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.陈老师准备将100元钱全部用于购买A ，B 两种款式的笔记本作为奖品(两种款式的都要买).已知一个A 款笔记本10元，一个B 款笔记本15元，陈老师的购买方案共有( )A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种2.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束(4个气球)为单位，已知第一、二束气球的价格如图，则第三束气球的价格为( )．A. 19元B. 18元C. 16元D. 15元3.明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹笔，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”意思就是：“有83000根短竹竿，每根短竹竿可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，1个笔管与1个笔套正好配套．问制作笔管和笔套的短竹竿各多少根？”设制作笔管的短竹竿为x 根，制作笔套的短竹竿为y 根，则可列方程组为( )A. {x +y =83000x =yB. {x +y =830003x =5yC. {x +y =830005x =3yD. {3x +5y =83000x =y4.如图所示，两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，每个果冻的重量相等，则每块巧克力和每个果冻的重量分别是( )A. 10 g ，40 gB. 15 g ，35 gC. 20 g ，30 gD. 30 g ，35g5.如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10 cm ，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40 cm ，则每块墙砖的截面面积是( )A. 425 cm 2B. 525 cm 2C. 600 cm 2D. 800 cm 26.我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程.已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米.设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米.根据题意，所列方程组正确的是( )A. {x =y −22x +3y =400B. {x =y −22x +3(x +y)=400−50C. {x =y +22x +3y =400−50D. {x =y +22x +3(x +y)=400−507.《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图(1)、(2)，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与对应的常数项，把图(1)所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是{3x +2y =19x +4y =23类似地，图(2)所示的算筹图可表述为( )A. {2x +y =114x +3y =27B. {2x +y =114x +3y =22C. {3x +2y =19x +4y =23D. {2x +y =64x +3y =27二、填空题8.打折前，买50件A 商品和30件B 商品用了920元，买60件A 商品和10件B 产品用了1000元．打折后，买400件A 商品和400件B 商品用了7500元，比不打折时少花的钱数为 元．9.在长为20m 、宽为16m 的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积是____m 2．10.现将含糖10%的糖水x克、含糖20%的糖水y克混合在一起配成500克含糖12%的糖水，则含糖10%的糖水x克中含有克糖，含糖20%的糖水y克中含有克糖，根据“糖水的总质量混合前后不变”和“混合前两种溶液中含有的糖等于混合后溶液中含有的糖”可列出方程组：．11.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它全长的1，另一3.两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是cm．根露出水面的长度是它全长的1512.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费运途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、运途费三部分组成，其中里程费按行车的实际里程计费；时长费按行车的实际时间计算，运途费的收取方式为：行车7公里以内(含7公里)不收运途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差为_______分钟．三、解答题13.某学校组织学生乘汽车去野营，先以60km/ℎ的速度走平路，后又以30km/ℎ的速度爬坡，共用了6.5ℎ；原路返回时，汽车以40km/ℎ的速度下坡，又以50km/ℎ的速度走平路，共用了6ℎ.问平路和坡路各有多长?14.《九章算术》中有这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何?其大意如下：今有5只雀、6只燕，分别放一起用衡器称，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置放，两边重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤(注：商代1斤=16两).问每只雀、燕各重多少两?15.喜迎元旦，某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共100个，花去3300元，这两种吉祥物的进价、售价如下表：进价(元/个) 售价(元/个) 冰墩墩30 40 雪容融 35 50(1)求冰墩墩、雪容融各购进了多少个；(2)如果将销售完这100个吉祥物所得的利润全部捐赠，那么该玩具店捐赠了多少钱？16.某项工程自开工以来就备受关注，据了解我市首期云轨线路约12千米.若该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.04千米，乙工程队每天修建0.02千米，两工程队共需修建500天，则甲、乙两工程队分别修建云轨多少千米?根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程{x +y =⋯0.04x +0.02y =⋯(1)根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，x 表示 ;y 表示 ．(2)小红同学的解题思路为“设甲工程队修建云轨x 千米，乙工程队修建云轨y 千米”，请你利用小红同学设的未知数解决问题．17.“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，口味浓甜芳香”的特点享誉中外.某物流公司欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A 型车和1辆B 型车载满脐橙一次可运走10吨;若用1辆A 型车和2辆B 型车载满脐橙一次可运走11吨.现有脐橙31吨，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙.根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨?(2)请你帮该物流公司设计租车方案;(3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B 型车需租金120元/次.请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】5009.【答案】3210.【答案】10%·x 20%·y {x +y =500,10％x +20％y =500×12％11.【答案】2012.【答案】1913.【答案】解：设平路为xkm ，坡路为ykm根据题意，得{x 60+y 30=6.5x 50+y 40=6，解得{x =150y =120, 答：平路为150km ，坡路为120km ．14.【答案】解：设雀、燕每1只各重x 两、y 两．根据题意，得{4x +y =5y +x 5x +6y =16整理，得{3x −4y =05x +6y =16解得{x =11319y =1519答：雀、燕每1只分别重11319两，1519两.15.【答案】解：(1)设冰墩墩购进了x 个，雪容融购进了y 个．根据题意，得{30x +35y =3300,x +y =100.解得{x =40,y =60. 答：冰墩墩购进了40个，雪容融购进了60个．(2)(40−30)×40+(50−35)×60=1300(元).答：该玩具店捐赠了1300元．16.【答案】解：(1)甲工程队工作的天数 ，乙工程队工作的天数(2)依题意，得{x +y =12,x 0.04+y 0.02=500,解得{x =4,y =8. 答：甲工程队修建云轨4千米，乙工程队修建云轨8千米．17.【答案】解：(1)设1辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送x 吨、y 吨依题意可得方程组{2x +y =10,x +2y =11,解得{x =3,y =4. 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送3吨，1辆B 型车载满脐橙一次可运送4吨．(2)结合题意和(1)得 3a +4b =31 则a =31−4b 3． 因为a ，b 都是正整数所以{a =9,b =1,{a =5,b =4或{a =1,b =7,所以一共有3种租车方案：方案一：租用A 型车9辆，B 型车1辆;方案二：租用A 型车5辆，B 型车4辆;方案三：租用A 型车1辆，B 型车7辆．(3)方案一需租金：9×100+1×120=1020(元);方案二需租金：5×100+4×120=980(元);方案三需租金：1×100+7×120=940(元)．因为1020>980>940所以费用最少的租车方案是方案三：租用A 型车1辆，B 型车7辆，最少租车费为940元．。
七年级数学上册3.4二元一次方程组应用课件(新版)沪科
作业
2、做2条裤子需要3米布，做3件上 衣需要6米布，一件上衣配一条裤 子。现有140米布，要怎样安排才 能使做出的裤子和上衣配套？
根据题意 ，得
x+y=5 4×50x=300y
解得
X=3 Y=2
答：用3立方米做桌面 ，2立方米做桌腿，
恰能配成方桌，共可做成150张方桌。
1、题目告诉的总天数（或总人数） 2、加工物件的总量成比例
作业
1、工程队有27人，每人每天 可挖沙4吨或运沙5吨，为使挖 出的沙及时运走，应分配挖沙、 运沙的人各多少？
一个螺钉配两个螺母 螺钉数:螺母数=1:2
解:设分配名x工人生产螺钉,y名工人生产螺母,则一天 生产的螺钉数为1200x个,生产的螺母数为2000y个.
根据题意, 得 x+y =22
2×1200x=2000y
解得 x=10
Y =12
所以为了使每天生产的产品刚好配套,应安排
10人生产螺钉,12人生产螺母
解得
X=16 Y=20
答：用16张制盒身,20张制盒底正 好使盒身与盒底配套。
学生在手工实践课中，遇到这 样一个问题：要用21张白卡纸制作 包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2 个，或者做盒底3个，如果一个盒身 和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒， 那么用多少张做盒身，多少张做盒 底，才能使做成的盒身与盒底正好 配套？
天数？
2、加工物件总量成比例
分析：
（1）如果设x天生产甲种零件，则y天生产乙种零件；
（2）为种零件数量=
。
3:2
配套与人员分配问题
例2.某车间22名工人生产螺钉与螺母，每人每 天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺 钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好 配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名 工人生产螺母？
2024年沪科版七年级数学上册 3.5 二元一次方程组的应用 课时 3(课件)
随堂练习
解: 设每餐需要甲种原料 x g，乙种原料 y g.
根据题意，得
0.6x + 0.5y = 34， 0.08x + 0.04y = 4.
解方程组，得
x = 40， y = 20.
答:每餐需要甲种原料 40 g，乙种原料 20 g 恰好满足患者
的需要.
【教材P122 练习 第2题】
5. 向某地运送物资. 第一批 480 t，用 8 节火车车厢和20 辆卡车
故该商场有两种进货方案：
①购进 25 台甲种电视机和 25 台乙种电视机； ②购进 30 台甲种电视机和 20 台丙种电视机.
随堂练习
（2）方案①的利润为 200×25 + 250×25 ＝11 250（元）， 方案②的利润为 200×30＋300×20 ＝12 000（元）. 因为 12 000 > 11 250，所以购进 30 台甲种电视机和 20 台 丙种电视机可使售完后获利最大，最大利润为 12 000 元.
随堂练习 分析：
图形 图① 图②
等量关系 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 2 个塑料凳子增
加的高度 = 55 cm
一个塑料凳子的高度 + 多叠放 4 个塑料凳子增 加的高度 = 65 cm
随堂练习
解: 设 1 个塑料凳子的高度为 x cm，每叠放 1 个塑料凳子+ 2y = 55， x + 4y = 65.
则
8x + 20 y 115 4
解得 x = 5， y = 15.
解: 碰碰车每辆车租金 5 元，游船每条船租金 15 元.
随堂练习 2. 如图，塑料凳子轻便实用，在日常生活中随处可见. 若 3 个塑料凳子叠放在一起的高度如图①所示，5 个塑 料凳子叠放在一起的高度如图②所示，则当 10 个塑料 凳子整齐地叠放在一起时，其高度是多少厘米？
3沪科版数学七年级上册专题训练.3二元一次方程组及其解法
⎧1. 用代入法解方程组 精品文档 用心整理3.3二元一次方程组及其解法正确的解法是（ ）A. 先将①变形为C. 先将②变形为，再代入② B. 先将①变形为，再代入① D. 先将②变形为 ，再代入②，再代入①2. 将方程3. 已知方程中的 用含 的代数式表示为______________的两个解是 ， ，则 _________， _________4. 用代入消元法解下列方程（1）（4）（2）（5）（3）（6）5. 解方程组A. 先将①变形为，错误的解法是（ ），再代入② B. 先将①变形为，再代入②C. 将，消去 D. 将，消去6. 已知方程的两个解是， ，则 ___________， ___________7.二元一次方程组 ⎨ x + y = a, ⎩ x - y = 3a8. 用加减消元法解下列方程的解和二元一次方程 5x+3y=14 的解相同，则 a= .（1）（4）； （2）； （5） ； （3）； （6）；.y.答案1.【答案】B【解析】根据解二元一次方程的代入法，将①变形为x=2-y后可知，变形后A是错误的，B是正确的；将②变形为x=2.【答案】或y=2x-7可知，变形后C和D都是错误的.故选B.【解析】移项，得：3y=5－2x，系数化为1，得：.故答案为：.3.【答案】42【解析】把，分别代入，得①+②，得3m=12，m=4，把m=4代入②，得8-n=6，解得n=2.所以m=4，n=2.4.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】(1)把②代入①即可求出y，把y的值代入②即可求出x；(2)把①代入②即可求出x,把x的值代入①即可求出（3）把①变形得到y=2x-5，再代入②得到x的值，再把x的值代入y=2x-5求得y的值.(4)把①变形得到x=5+3y，再代入②得到y的值，再把y的值代入x=5+3y求得x的值.(5)把①代入②即可求出x,把x的值代入①即可求出y.(6)把②变形得到p=5-4q，再代入①得到q的值，再把q的值代入p=5-4q 求得p的值.解:(1)把②代入①得：3y+1−2y=0，解得：y=−1，把y=−1代入②得：x+2=0，x=−2，即方程组的解为（2）.将①代入②，(x−3)−2x=5，x=−8，把x=−8代入①，y=−11，∴方程组的解为.（3）由①得，y=2x-5③把③代入②得x+2x-5=1,解得x=2把x=2代入①得2×2-y=5,解得y=-1∴方程组的解为.(4)由①得，x=5+3y，③把③代入②得2(5+3y)+y=5,解得y=−，代入①得,x−3×(−57)=5，解得x=.故原方程组的解为.(5)把①代入②得：2x+3(x-3)=6，解得：x=3，把x=3代入①得：y=0，.即方程组的解为（6）由②得，p=5-4q，③把③代入①得2(5-4q)-3q=13,解得，代入③得,p=5-4×()，解得.故原方程组的解为.5.【答案】A，再代入②，故A错，B正确；故选A.【解析】将①变形为6.【答案】4-2【解析】把，代入得解得，故答案为4，-2.7.【答案】2【解析】,两式相加得:2x=4ax=2a把x=2a代入得y=-a把代入得5×2a+3×（-a）=14解得a=2故答案为：2.8.【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【解析】（1）①和②相加即可得到m的值，再把m的值代入①即可求出n的值.(2)①和②相减即可得到x 的值，再把x的值代入①即可求出y的值.(3)①和②相加即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x 的值.(4)①和②相减即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(5)①×2减去②即可得到y的值，再把y的值代入①即可求出x的值.(6)①×2＋②×5即可得到x的值，再把x的值代入①可求出y的值.解：（1）①＋②得,7m=14,解得m=2把m=2代入①得3×2-2n=5,解得n=所以方程组的解是.（2）①-②得2x=2,解得x=1把x=1代入①得5×1+2y=7,解得y=1所以方程组的解是.（3）①＋②得,3y=-3,解得y=-1把y=-1代入①得x+4×(-1)=-2,解得x=2所以方程组的解是.(4)①-②得,9y=-9,解得y=-1把y=-1代入①得6x+5×(-1)=1,解得x=1所以方程组的解是.（5）①×2得4x-2y=2③②＋③得y=-1把y=-1代入①得2x-(-1)=1,解得x=0所以方程组的解是.（6）①×2得6x-10y=14③②×5得20x+10y=25④③＋④得26x=39,解得把代入①得3×-5y=7解得所以方程组的解是.点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法是解答此题的关键．。
七年级数学上册 3.4 二元一次方程组的应用例题与讲解 (新版)沪科版
3.4 二元一次方程组的应用1．列二元一次方程组解应用题(1)列二元一次方程组解应用题的一般步骤①设出题中的两个未知数；②找出题中的两个等量关系；③根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案．(2)用方程解决实际问题的几个注意事项①先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理．②所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等． ③要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义．④不要漏写“答”，“设”和“答”都不要丢掉单位名称．⑤分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真．⑥对于可解的应用题，一般来说，有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几个方程，即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等．解技巧 用二元一次方程组解应用题的步骤列二元一次方程组解决实际问题一般需要遵循如下步骤：①审题；②确定相等关系；③设出未知数；④解方程；⑤检验、写出答案．【例1－1】 为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总重量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克，试问1号电池和5号电池每节分别重多少克？分析：如果1号电池和5号电池每节分别重x 克，y 克，则4节1号电池和5节5号电池总重量为(4x ＋5y )克，2节1号电池和3节5号电池总重量为(2x ＋3y )克．解：设1号电池每节重x 克，5号电池每节重y 克，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝460，①2x ＋3y ＝240.②②×2－①，得y ＝20.把y ＝20代入②，得2x ＋3×20＝240，x ＝90. 所以这个方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝90，y ＝20.答：1号电池每节重90克，5号电池每节重20克．【例1－2】 “甲、乙隔河放牧羊，两人互相问数量，甲说得乙羊九只，我羊是你二倍整．乙说得甲羊八只，两人羊数正相当．”请你帮助算一算，甲、乙各放多少羊？分析：题中有两个未知数：甲放羊的只数和乙放羊的只数．相等关系：(1)甲放羊的只数＋9＝2(乙放羊的只数－9)；(2)甲放羊的只数－8＝乙放羊的只数＋8.解：设甲放羊x 只，乙放羊y 只．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋9＝2y －9，x －8＝y ＋8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝59，y ＝43.答：甲放羊59只，乙放羊43只．析规律 如何列方程组解应用题在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程即可完成，因此解决实际问题的建模过程非常重要．2．足球比赛积分问题足球比赛积分由比赛规则决定，足球比赛结果分胜、平、输三种情况，一般地，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．各类比赛规则不尽相同，因此，弄清比赛规则是正确列出方程的先决条件．这类问题基本等量关系为：比赛总场数＝胜场数＋负场数＋平场数；比赛总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分．【例2】 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢了14场，负了5场，共得19分，则这个队胜了( )．A ．3场B ．4场C ．5场D ．6场解析：设这个队胜了x 场，平了y 场，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5＝14，3x ＋y ＝19，解得⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝4，则这个队胜了5场，平4场．答案：C3．列方程组解答生活中的百分比问题在生活中，我们时刻都在与经济打交道，经常面临利润问题、利息问题等．解决这类问题，应熟记一些基本公式：(1)增长率问题 增长率＝增长量计划量×100%； 计划量×(1＋增长率)＝增长后的量；计划量×(1－减少率)＝减少后的量．(2)经济类问题利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×(1－利息税率)；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品的利润商品的进价×100%. 析规律 确定实际问题中的相等关系先认真审题，找出问题中的已知量和未知量，再借助于表格分析具体问题中蕴涵的数量关系，从而问题中的相等关系就会清晰地浮现出来． 【例3】 某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？分析： 总产值 总支出 差去年 x y 500今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．解：设去年的总产值是x 万元，去年的总支出是y 万元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝500，1＋15%x －1－10%y ＝950. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2 000，y ＝1 500.所以(1＋15%)x ＝2 300，(1－10%)y ＝1 350.故今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．4.利用二元一次方程组解决信息题(1)表格信息题是指通过表格的形式以及一定的文字说明来提供问题情景的一类试题．它的形式多样，取材广泛，条件清晰、明了．有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．对图表型信息应用题，要善于从图表中挖掘信息，找到一些隐含信息，构建相应的数学模型，灵活应用所学知识来解决实际问题．(2)情境信息题是通过图形中的文字表述或图中的人物对话获取信息，确定相等关系，列出方程组或通过观察图形，获取隐含信息，如拼图问题，要注意根据拼图中的相等线段找等量关系．重在分析，审题，列式是核心，书写格式必须完整、准确．要善于根据情境捕捉解题条件，把情境中的相等关系正确地转化为数学关系．【例4】 在“五一”期间，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩，下图是购门票时，小明与他爸爸的对话．(1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱？并说明理由．解：(1)设去了x 个成人，y 个学生，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，35x ＋352y ＝350，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝4.答：小明他们一共去了8个成人，4个学生．(2)若购团体票则需：16×35×0.6＝336(元)，因为336(元)＜350(元)，所以买团体票更省钱．答：买团体票更省钱．5．列二元一次方程组的应用题常用策略(1)“直接”与“间接”转换：当直接设未知数不便时，转而设间接未知数来求解，反之亦然．(2)“一元”与“多元”转换：当设一个未知数有困难时，可考虑设多个未知数求解，反之亦然．(3)“部分”与“整体”转换：当整体设元有困难时，就考虑设其部分，反之亦然，如：数字问题．(4)“一般”与“特殊”转换：当从一般情形入手困难时，就着眼于特殊情况，反之亦然．(5)“文字”与“图表”转换：有的应用题，用文字语言表达较难，就可以用表格或图形来分析，这样既直观，也易理解题意．谈重点 用二元一次方程组解文字型实际问题用二元一次方程组解决文字叙述型实际问题，最主要的是从实际问题中找到两个相等关系，通过设适当的两个未知数，用含有未知数的代数式表示数量关系，列出两个二元一次方程．【例5】 学校书法兴趣小组准备到文具店购买A ，B 两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A 型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B 型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．如果全组共有20名同学，若每人各买1支A 型毛笔和2支B 型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A 型毛笔和1支B 型毛笔，共支付129元．这家文具店的A ，B 两种类型毛笔的零售价各是多少？分析：20名同学每人买1支A 型毛笔的钱＋每人买2支毛笔的钱＝145元；20名同学每人买2支A 型毛笔的钱＋每人买1支B 型毛笔的钱＝129元．解：设该家文具店A 型毛笔的零售价为每支x 元，B 型毛笔的零售价为每支y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋15y ＋25y －0.6＝145，20x ＋20x －0.4＋15y ＋5y －0.6＝129，即⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋40y ＝160，40x ＋20y ＝140， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝8，2x ＋y ＝7. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3.∴这家文具店A 型毛笔的零售价为每支2元，B 型毛笔的零售价为每支3元．6.利用方程组解决方案问题“方案优化与设计”类型的题目逐渐成为热点考题，尤其是运用二元一次方程组求解的试题更为常见．对于二元一次方程组的应用问题，关键是由实际问题向数学问题的转化过程．解答设计方案决策题，应先根据题意设计出可行的方案，然后再从中选择出最佳方案． 有时，不需要我们自己去设计，题目中提供给同学们几种可供选择的方案，只需根据题目要求通过计算得出最佳方案即可．这类题目的特点比较突出，需要分类讨论不同的方案，选择满足某种要求的最优的方案．难点在于要求解的量不明显，其实，要求解的量恰恰是隐藏在“方案”中．解答有些方案题时，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律问什么就设什么．有时候在方案设题中需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数．方案设计题一般具有开放性，而且所给的题目具有很强的情境性，同学们一定要耐心地读懂题意，然后再根据要求去决策．【例6】 某省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨的利润为 1 000元，经粗加工后销售，每吨利润可达 4 500元，经精加工后销售，每吨的利润涨至7 500元．当地的一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部的销售或加工完毕．为此，公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售． 方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？解：选择第三种方案获利最多．方案一：因为每天粗加工16吨，140吨可以在15天内加工完，总利润W 1＝4 500×140＝630 000(元)．方案二：因为每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余的50吨直接销售，总利润W 2＝90×7 500＋50×1 000＝725 000(元)．方案三：设15天内精加工蔬菜x 吨，粗加工蔬菜y 吨，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝140，x 6＋y 16＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝60，y ＝80.总利润W 3＝60×7 500＋80×4 500＝810 000(元)．综合以上三种方案的利润情况，知W 1＜W 2＜W 3.所以第三种方案获得利润最多．7.列二元一次方程组解决实际问题的常用方法(1)数量较多的问题常用列表的方式分析数量关系因为利用表格可清楚地反映数量之间的关系，从而达到少设未知数，减少计算量的目的． 解题时，有这样一种规律：如果少设未知数，那么思路复杂，计算简单；如果多设未知数，那么思路简单，计算复杂．我们应根据具体的题目合理选择所设未知数的个数．(2)借助“表格”或“线段图”分析复杂的问题例如：从甲地到乙地全程3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡，如果保持上坡每小时行3千米，平路每小时行4千米，下坡每小时行5千米，那么从甲地到乙地需行51分钟，从乙地到甲地需行53.4分钟，求甲地到乙地的上坡、下坡和平路的路程各是多少千米？这个问题中的数量关系借助线段图来分析更直观．【例7】 据市场调查，个体服装店做生意，只要销售价高出进货价的20%便可赢利；假如你准备买1件标价为200元的服装．(1)个体服装店若以高出进价的50%要价，你应怎样还价？(2)个体服装店若以高出进价的100%要价，你应怎样还价？(3)个体服装店若以高出进价的50%～100%要价，你应该在什么范围内还价？分析：分别计算(1)(2)两种情况的最低价格．数量关系为：进价×(1＋50%)＝200，最低价＝进价×(1＋20%)；进价×(1＋100%)＝200，最低价＝进价×(1＋20%)．解：(1)设该服装的进价为x 元，则标价为x (1＋50%)元，由题意可列方程1.5x ＝200，解得x ＝4003， 从而最低价为4003×(1＋20%)＝160(元)． (2)设该服装的进价为y 元，则标价为y (1＋100%)元，由题意可列方程2y ＝200，解得y ＝100，从而最低价为100×(1＋20%)＝120(元)．(3)由(1)(2)可知：买200元的服装一般应在120～160元之间还价．答：个体服装店若以高出进价的50%要价，应还价160元；以高出进价的100%要价，应还价120元；以高出进价的50%～100%要价，应在120～160之间还价．。
2024年沪科版七年级数学上册 3.4 二元一次方程组及其解法 课时4(课件)
x 3
y 2
0.
解：原方程组整理得
2x 2 x
y 16, ① 3 y 0.②
②-①，得4y=-16，解得y=-4. 将y=-4代入①，得2x+4=16，解得x=6.
故原方程组的解为
x y
6, 4.
随堂练习
【教材P115 练习 第1题】
1.解下列方程组：
（1）06.x8x
3
0.9 y
第3章 一次方程与方程组
3.4 二元一次方程组及其解法
3.4.4 选择合适的方法解方程组
七上数学 HK
学习目标
能够根据二元一次方程组的情况选择合适的方 法进行求解.
复习回顾
交流：1.用代入法、加减法解方程组的基本思路、具体步骤 各是什么?
基本思路：消元
二元
转化
一元
代入法： 变形 加减法： 变形
代入 加减
所以
m 0, n 24.
随堂练习
（3）97
x x
7 9
y y
30, 34；
① ②
解：①+②，得16(x+y)=64，即x+y=4.③ ①-②，得2(x-y)=-4，即x-y=-2.④ ③+④，得2x=2. x=1. 把x=1代入③，得1+y=4. y=3.
所以
x
y
1, 3.
随堂练习
y y
2, 6.
解：设x+y=A，x-y=B，则原方程组可变形为
5A 3B 2, 2A 4B 6.
解得
A B
1, 1.
所以
x x
y y
1, 1,
解得
x y
1, 0.
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二元一次方程组牵手生活新题型
二元一次方程组是初中数学的重要内容之一，在中考试题中，出现了许多与二元一次方程组相关的实际问题，新颖别致．随着新课标的实施，命题者更加关注与生活密切联系的信息题，请看下面几例：
一、表格信息型
例1 . (济南)自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：
试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？
分析：本题从表格中可以发现解题信息：信息1：甲职工月销售件数为200件，月工资为1800元；乙职工月销售件数为180件，月工资为1700元.若设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元，则可根据调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成列方程组求解.
解：（1）设职工的月基本保障工资为x元，销售每件产品的奖励金额为y元.
由题意得
2001800
1801700
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解这个方程组得
800
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
答：职工月基本保障工资为800元，销售每件产品的奖励金额5元.
二、情景对话型
例2. （长沙）某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”
小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题：
（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？
分析：解决此类问题的关键是从对话信息中找到相等关系：60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元；租4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元.根据这两个相等关系构造方程组求解.
解：（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x 元，y 元．
由题意，列方程组200425000x y x y -=⎧⎨+=⎩，．解之得900700.
x y =⎧⎨=⎩， （2）九年级师生共需租金：590017005200⨯+⨯=（元）
答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元、700元，按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金5200元.
三、图文信息题
例3.（宁德）某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．
分析：根据文中的信息： “两岸每年往来合计500万人次”，“共可为民众节省2900万小时”这两个相等关系列方程组来解.
解：设每年采用空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得
⎩⎪⎨⎪⎧x +y ＝5004x +22y ＝2900
解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝450 y ＝50
答：每年采用空运往来的有450万人次，海运往来的有50万人次．。