专题复习：圆的方程

第五讲圆的方程

一学习目标

1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

二疑难辨析

1．关于圆的定义和确定圆的几何要素

(1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．()

(2)确定圆的几何要素是圆的半径．()

2．关于圆的标准方程和一般方程

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2，不论t 为什么实数都表示一个圆的方程．()

(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．()

3．关于圆的直径式方程

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()

三典例分析

例1(1)已知圆经过A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，则

圆的标准方程是________．

(2)△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的一般方程是________．

例2在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，C(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．

(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；

(2)若S＝|PO|2＋|P A|2＋|PB|2，求S 的最大值和最小值．

变式题实数x，y满足x2＋y2＋2x －4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：

(1)

y

x－4

；(2)3x－4y；(3)x2

＋y2.

1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x －y－1＝0对称，则圆C2的方程为()

A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1

D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1

解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎨⎧

y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2，y ＝－2. 从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，

故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.

答案：B

2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )

A ．x 2＋(y －2)2＝1

B ．x 2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D ．x 2＋(y －3)2＝1

解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案：A

3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )

A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0

B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0

C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0

D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0

解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， ∴直线恒过定点(－1,2)，

∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，

即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.

答案：C

4．方程x 2＋y 2－4kx －2y －k ＝0表示圆的充要条件是( )

A.14＜k ＜1

B ．k ＜14或k ＞1

C ．k ∈R

D ．k ＝14或k ＝1

解析：此方程表示圆的充要条件是(－4k )2＋(－2)2＋4k ＞0，即4k 2＋k ＋1＞0.(*)

∵Δ＝12－4×4×1＜0，∴(*)式恒成立，∴k ∈R .

答案：C

5．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )

A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4

解析：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1，

则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，

圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ，x ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1， 从而圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，

因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.

答案：C

6．(2013·福州调研)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43

B.⎝

⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13

C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43

D ．x 2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 解析：(排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.

答案：C

二、填空题

7．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为__________．

解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay

－a ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－12，－a ， 所以－a 2－12＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1.

当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.

答案：3

8．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．

解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方．

∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ≥0，|1＋m |2≥1.

∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.

答案：m ≥－1＋ 2

9．(2013·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝__________.