椭圆常见题型总结

椭圆常见题型总结

1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆

22

2

21(0)x y a b a b

+=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ∆中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且

①

122PF PF a +=；

②22

2

12122cos 4c PF PF PF PF α=+-；

③12

121

sin 2PF F

S PF PF α∆=

=2tan 2

b α⋅（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>交于

1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>上不同两点，

00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20

20

AB

b x k a y =-；

4、椭圆的离心率

范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a

e =

，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任一点，焦点

为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法

⑴定义法：根据椭圆定义，确定2

a ，2

b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程；

⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2

a ，2

b ，从而求出标准方程；

⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为22

1Ax By +=；

椭圆方程的常见题型

1、点P 到定点(4,0)F 的距离和它到定直线10x =的距离之比为1:2，则点P 的轨迹方程为 ；

2、已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2

214

x y +=上的动点，则AQ 中点M 的轨迹方程是 ；

3、平面内一点M 到两定点2(0,5)F -、2(0,5)F 的距离之和为10，则M 的轨迹为（ ） A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段

4、经过点(2,3)-且与椭圆2

2

9436x y +=有共同焦点的椭圆为（ ）

A

2211510x y += B 2211015x y += C 221510x y += D 22

1105

x y += 5、已知圆2

2

1x y +=，从这个圆上任意一点P 向y 轴做垂线段1PP ，则线段1PP 的中点M 的轨迹方程是（ ）

A 2

2

41x y += B 2

2

41x y += C 2214x y -= D 22

14

y x += 6、设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）

A

22132x y += B 22132x y -= C 22(1)132x y ++= D 22

123

x y += 7、动圆P 与圆221:(4)81C x y ++=内切与圆22

2:(4)1C x y -+=外切，求动圆圆心的P

的轨迹方程。

8、已知动圆C 过点A (2,0)-，且与圆22

2:(2)64C x y -+=相内切，则动圆圆心的轨迹方

程为 ；

9、已知椭圆的焦点在y 轴上，焦距等于4，并且经过点(2,P -，则椭圆方程为 ；

10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点35

(,)22

A -，

B ，则该椭圆的标准方程为 ；

11、设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．

12、若平面内一动点M 到两定点1F ，2F 之和为常数2a ，则M 的轨迹是 ；

13、已知椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程；

14、已知椭圆的焦距是2，且过点(P ，求其标准方程；

椭圆定义的应用

1、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点1F 的弦且8AB =，若椭圆长轴长是10，

求21F A F B +的值；

2、已知Ａ、Ｂ是两个定点，4AB =，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA PB +的值可能为（ ）

Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５

3、椭圆221259

x y +=的两个焦点为1F 、2F ，Ｐ为椭圆上一点，若0

1290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。

4、设Ｐ是椭圆22

1499x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，，若12PF =，则2PF = 5、椭圆

22

1259

x y +=上一点Ｍ到焦点1F 的距离为２，Ｎ是1MF 中点，则ON =（ ）

Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ

32

6、在椭圆2

2

19

y x +=上有一点P ，1F 、2F 分别是椭圆的上下焦点，若122PF PF =，

则2PF = ；

7、已知1F 、2F 为椭圆

22

1259

x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB = ；