2018年东北三省三校一模考试(数学理科)

2018年东北三省三校一模考试（数学理科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分

1.复数21i

i +的模为( ) A.

12

B.

2

C.2

D.2

2.已知集合{}

29A x y x ==-，{}B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A.(],3-∞-

B.(),3-∞-

C.(],0-∞

D.[)3,+∞

3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.

14

B.

12

C.13

D.

23

4.已知1sin 33a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 6a π⎛⎫

-=

⎪⎝⎭

( ) A.1

3

B.1

3

-

C.

22

D.2-

5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为( ) A.

5

B.2

C.3

D.5

6.()5

2

121x x ⎛⎫

+- ⎪⎝⎭

展开式中的常数项是( )

A.12

B.12-

C.8

D.8-

7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( ) A.

32

B.

92

C.1

D.3

8.已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2

π，则该函数的一个单调增区间为( ) A.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

C.2,63ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

D.2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入8521m =，6105n =，则输出m 的值为( ) A.148

B.37

C.333

D.0

10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内

有一内接正四棱锥S ABCD －

，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )

A.

43

π

B.

23

π

11.已知抛物线2:2C y x =，直线1

:2

l y x b =-+与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相

切，则b 的值是( )

A.1

5

-

B.2

5

-

C.4

5

-

D.85

-

12.在ABC △，90C =∠°，24AB BC ==，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，则CM CN ⋅u u u u r u u u r

的取值

范围为( ) A.11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B.[]5,9

C.15,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D.11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在ABC △中，2AB =

，AC =23

ABC π

=

∠，则BC =______________. 14.若,x y 满足约束条件10

040

x x y x y -≥⎧⎪

-≤⎨⎪+-≤⎩

，则1y x +的最大值为______________.

15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知： ①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科；

③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科.可以判断乙教的学科是______________.

16.已知函数()21

ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：

①010x e <<；②01

x e >；③()000f x x +<；④()000f x x +>；

其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知正项数列{}n a 满足：2

423n n

n S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2

1

1

n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表： 最低气温(℃) [)35,30-- [)30,25-- [)25,20-- [)20,15-- []15,10--

天数

11

25

36

16

2

以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率. (1) 求11月份这种电暖气每日需求量X (单位：台)的分布列；

(2) 若公司销售部以每日销售利润Y (单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或

250台，两者之中选其一，应选哪个？

19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD =，底面ABCD 为矩形，点M 、E 、N 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，F 是PE 上的一点，2PF FE =.直线PE 与平面ABCD 所成的角为4

π. (1)证明：PE ⊥平面MNF ；

(2)设AB AD =，求二面角B MF N --的余弦值.

20.已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>过抛物线2:4M x y =的焦点F ，1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，

且1126F F F F ⋅=u u u u r u u u u r

.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若直线l 与抛物线M 相切，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB △面积的最大值.