2018年东北三省三校一模考试(数学理科)

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2018年东北三省三校（哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）复数的模为（）A．B．C．D．22．（5分）已知集合，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）3．（5分）从标有一、二、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情形下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知s，那么=（）A．B．C．D．5．（5分）中心在原点，核心在y轴上的双曲线的一条渐近线通过点（﹣2，4），那么它的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）展开式中的常数项是（）A．12B．﹣12C．8D．﹣87．（5分）某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．8．（5分）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，那么该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．9．（5分）辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描述的算法确实是辗转相除法，假设输入m=8251，n=6105，那么输出m的值为（）A．148B．37C．333D．010．（5分）底面是正多边形，极点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，那么该半球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切，那么b的值是（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，那么的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，AB=2，，，那么BC=．14．（5分）假设x，y知足约束条件，那么的最大值为．15．（5分）甲、乙、丙三位教师别离在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．能够判定乙教的学科是．16．（5分）已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知正项数列{a n}知足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，依照往年的体会，天天的需求量与当天的最低气温有关，若是最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确信11月份的订购打算，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，取得下面的频数散布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的散布列；（2）假设公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，打算11月份每日订购200台或250台，二者当当选其一，应选哪个？19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N别离为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD 所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．20．（12分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的核心F，F1，F2别离是椭圆C 的左、右核心，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）假设直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，假设对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点别离为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴成立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）假设不等式的解集为R，求a的范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）复数的模为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵=，∴||=|1+i|=．应选：C．2．（5分）已知集合，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x≥a}，假设A∩B=A，那么A⊆B；∴实数a的取值范围是a≤﹣3．应选：A．3．（5分）从标有一、二、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，那么在第一次抽到奇数的情形下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从标有一、二、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，那么P（A）=，P（AB）==，那么在第一次抽到奇数的情形下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）===．应选：B．4．（5分）已知s，那么=（）A．B．C．D．【解答】解：∵s，∴=cos[+（）]=﹣sin（）=﹣．应选：B．5．（5分）中心在原点，核心在y轴上的双曲线的一条渐近线通过点（﹣2，4），那么它的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：∵核心在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，∴4=﹣•（﹣2），∴=2，a=2b，a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．应选：A．6．（5分）展开式中的常数项是（）A．12B．﹣12C．8D．﹣8【解答】解：的展开式的通项为=．取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．应选：B．7．（5分）某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．该几何体为x，几何体的体积V==1，可得x=3．应选：B．8．（5分）已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，那么该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：函数=2sin（ωx+）；由f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，∴T=2×=π，∴ω==2；∴f（x）=2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f（x）的一个单调增区间为[﹣，]．应选：A．9．（5分）辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如下图的程序框图所描述的算法确实是辗转相除法，假设输入m=8251，n=6105，那么输出m的值为（）A．148B．37C．333D．0【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴现在m=37．∴输出m的值是37，应选：B．10．（5分）底面是正多边形，极点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，那么该半球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．那么AB=r，四棱锥的侧面积为：4×=，解得r=，四棱锥的外接半球的体积为：V==，应选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，假设以AB为直径的圆与x轴相切，那么b的值是（）A．B．C．D．【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，∴x1+x2=﹣2（y1+y2）+4b=8+4b设圆心Q（x0，y0），那么应有x0=（x1+x2）=4+2b，y0=（y1+y2）=﹣2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，取得圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=•=•=4•，∴|AB|=2r，即4•=4，解得b=﹣．应选：C．12．（5分）在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，那么的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．【解答】解：以CA，CB为坐标轴成立坐标系如下图：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，那么N（2﹣，），M（2﹣，），∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．应选：A．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，AB=2，，，那么BC=1．【解答】解：依照题意，设BC=t，△ABC中，AB=2，，，那么有cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得：t=﹣3或t=1，又由t＞0，那么t=1，即BC=1；故答案为：114．（5分）假设x，y知足约束条件，那么的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率可得，的最大值为．故答案为：．15．（5分）甲、乙、丙三位教师别离在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．能够判定乙教的学科是C．【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C学科，甲不教C；由③得在长春工作的教师教A学科；由④得乙不教B学科和A学科．综上，乙教C学科．故答案为：C．16．（5分）已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+x，易患f′（x）=lnx+1+x在（0，+∞）递增，∴f′（）=＞0，∵x→0，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知正项数列{a n}知足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（此题总分值12分）解：（1）令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．当n≥2时，，即，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，因此数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）由（1）知：，∴T n=b1+b2+…+b n =．18．（12分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，依照往年的体会，天天的需求量与当天的最低气温有关，若是最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确信11月份的订购打算，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，取得下面的频数散布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的散布列；（2）假设公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，打算11月份每日订购200台或250台，二者当当选其一，应选哪个？【解答】（此题总分值12分）解：（1）由已知X的可能取值为100，200，300，P（X=100）==0.2，P（X=200）==0.4，P（X=300）==0.4，∴X的散布列为：X100200300P0.20.40.4（2）由已知：①当订购200台时，E（Y）=[200×100﹣50×（200﹣100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）②当订购250台时，E（Y）=[200×100﹣50×（250﹣100）]×0.2+[200×200﹣50×（250﹣200）]×0.4+[200×250]×0.4=37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N别离为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD 所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）方式一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，因此OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．因为MN∥BC，OE∥AB，因此MN⊥OE，因此MN⊥PE．又EF=PE=OE，EQ=OE，因此，因此△EFQ∽△EOP，因此，因此PE=FQ．且MN∩FQ=Q，因此PE⊥平面MNF．方式二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，因此OP⊥平面AC，，OP=OE．又因为MN∥BC，OE∥AB，因此MN⊥OE，因此MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=m，AD=n，那么P（0，0，m），E（0，m，0），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（﹣）．因此=0，因此PE⊥MF，且MN∩MF=M，因此PE⊥平面MNF解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，那么OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面AC，因此OP⊥平面AC，，OP=OE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，成立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=AD=m，那么P（0，0，m），E（0，m，0），B（），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（0，﹣，0），=（﹣）．设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，2）．而平面NMF的一个法向量为==（0，m，﹣m）．因此cos＜＞===﹣．由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角，故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的核心F，F1，F2别离是椭圆C 的左、右核心，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）假设直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【解答】（此题总分值12分）解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又，∴．又a2﹣b2=c2，∴a=2，∴椭圆C的标准方程为．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），那么，即，联立直线与椭圆，消去y，整理得．由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），那么：．则原点O到直线l的距离．故△OAB面积=，当且仅当，即取等号，故△OAB面积的最大值为1．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，假设对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点别离为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx，由f（x）≥h（x）≥g（x）知：e x≥kx≥lnx，依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，设，当x∈（0，1）时m′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0，∴[m（x）]min=m（1）=e，设，当x∈（0，e）时n′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时n′（x）＜0，∴，故：实数k的取值范围是（2）由已知：f′（x）=e x，①：由得：由得：故∵x1＜0，∴，∴lnx2＞1，故：x2＞e；②由①知：，且x2＞e＞1由a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0得：a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2）设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，∴G（x）在[x2，+∞）为减函数，∴[G（x）]max=G（x2）=x2﹣x2lnx2由a（x1﹣1）≥x2﹣x2lnx2，得：a（x1﹣1）≥x2（1﹣lnx2），∴a（x1﹣1）≥（x1﹣1）又x1＜0，∴a≤1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴成立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的一般方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；（2）将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2别离对应点P，Q，∴|AP|•|AQ|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=|﹣3|=3，即|AP|•|AQ|=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）假设不等式的解集为R，求a的范围．【解答】（本小题总分值10分）解：（1）当a=1时：不等式为：|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1，等价于：解得：，因此不等式的解集为：（﹣∞，+∞）；（2）设函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|=，设函数g（x）=ax﹣1过定点A（0，﹣1），画出f（x），g（x）的图象，不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．不等式的解集为R，k AB==，由数形结合得a的范围是．。

2018年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（理科）

2018年东北三省四市教研联合体高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合4={x\\x\<1],B={x\x(x-3)<0),则4U B=()A.(-l,0)B.(0,1)C.(-l,3)D.(l,3)2.若复数z=芒为纯虚数，则实数a的值为()l+aiA.lB.O c.-i D.-l3.中国有个名句"运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是=I_L T,贝U8771用算筹可表示为（）123456789I I III Illi IIIIITTTUir^_=三至三_|_」=上孔横式中国古代的算筹数码A.iiTI C.B.Tiil D.TiT_4,如图所示的程序框图是为了求出满足2"-n2>28的最小偶数n,那么空白框中的语句及最后输出的"值分别是（）A.n=7i+1和6 C.n=n+1和8B.n=71+2和6 D.n=n+2和85.函数f（x）=l+x2+亨的部分图象大致为（）A.6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A.4V3B.yV3C.2V3D.^V37.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两段端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种.A.24B.36C.48D.608.A ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b cosB=acosC+ccosX,b=2,则△ABC面积的最大值是（）A.l B，V3 C.2 D.49.已知边长为2的等边三角形D为BC的中点，以?1D为折痕，将4ABC折成直二面角B-AD-C,则过4,B,C,D四点的球的表面积为（）A.3ttB.4ttC.5?rD.6?r10,将函数=sin（2x+§的图象向右平移a（a>0）个单位得到函数g（x）=cos（2x+的图象，贝此的值可以为（）A.竺B.竺C华121224-417T D.—242211.已知双曲线C:%-〈一=1的左、右焦点分别为Fi，F2,若C上存在一点P满足m2m2-lPF1IPF2，且△PF1F2的面积为3,则该双曲线的离心率为（）A史B阻 C.2 D.3 2212.若直线kx—y—k+1=0（k E R）和曲线=ax3+bx2+。

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题

2018届东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学(理)试题2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|||1A x x =<，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,3)-D ．(1,3)2.若复数11iz ai +=+为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1B ．0C ．12- D ．1-3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是≡||⊥T ，则8771用算筹可表示为（）8.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A=+，2b =，ABC ∆面积的最大值是（）A ．1B 3C ．2D ．49.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角B AD C --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（） A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π10.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（）A ．512πB ．712πC ．924π1D ．4124π11.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（） A 5B ．72C ．2D ．312.若直线10kx y k --+=（k R ∈）和曲线:E 3253y ax bx =++（0ab ≠）的图象交于11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y （123x xx <<）三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点(,)b a 可作曲线E的（）条切线A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，当(1)2f =时，(2018)(2019)f f +的值为．16.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若||2PC =，则()()PA PB PC PM ⋅⋅⋅的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列{}na 的前n 项和为nS ，且21nSn n =-+，正项等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22b a =，45b a =．（1）求{}na 和{}nb 的通项公式；（2）数列{}nc 中，11c a =，且1nn ncc T +=-，求{}nc 的通项nc ．18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，1==．PA AB（1）证明：//EF平面DCP；（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系中，椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数2()45xaf x xx e =-+-（a R ∈）．（1）若()f x 为在R 上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）设()()xg x ef x =，当1m ≥时，若12()()2()g x g x g m +=（其中1x m <，2x m>），求证：122x xm+<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈．（1）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10:BABCC 11、12：BC二、填空题13.14 14.38 15.72- 16.32242-三、解答题17.解：（1）∵21nSn n =-+，∴令1n =，11a=，12(1)n n n a S S n -=-=-，(2)n ≥，经检验11a =不能与na （2n ≥）时合并， ∴1,1,2(1), 2.n n a n n =⎧=⎨-≥⎩又∵数列{}nb 为等比数列，222b a ==，458ba ==，∴2424bq b==，∴2q =，∴11b =，∴12n nb-=．（2）122112nn n T -==--，∵12121cc -=-，23221cc -=-，…，1121n nn cc ---=-，以上各式相加得112(12)(1)12n n c c n ---=---，111c a ==，∴121n nc n -=--， ∴21n nc=-．18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =，平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁；设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．设第2组中恰好抽取2人的事件为A ，则1223353()5C C P A C ==．（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为45P =，X的所有可能取值为0，1,2,3，∴03341(0)(1)5125P X C ==-=，11234412(1)()(1)55125P X C ==-=，2234448(2)()(1)55125P X C ==-=，333464(3)()5125P X C ===，所以X 的分布列为：X0 123P 1125 121254812564125∵4~(3,)5X B ， ∴412()355E X =⨯=． 19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =， ∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵PA ⊥平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，∴AD ，AB ，AP两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(1,0,0)P ，(0,0,1)D ，(0,1,1)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22F ，设平面EFC 法向量1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-，则110,0,EF n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,110,22x y z x y z +-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取1(3,1,2)n =-，设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-，则220,0,PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩取2(1,0,1)n =， 12121257cos ,||||142n n n n n n ⋅<>===⋅⨯所以平面EFC 与平面PDC 5720.解：（1）∵12c a =，∴2a c =，椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412cc +=，∴21c =，∴椭圆的方程为22143x y +=．（2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690my my ++-=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，有122634m y ym -+=+，122934y ym -=+，有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，点P (2,0)-到直线l 的距离为21m +点(2,0)Q 到直线l 的距离为21m+从而四边形APBQ 的面积2222112(1)2412341m m S m m++=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令21t m =+，1t ≥，有22431tS t =+2413t t=+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t=->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313tS t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）∵()f x 的定义域为x R ∈且单调递增， ∴在x R ∈上，'()240xa f x x e =-+≥恒成立，即：(42)xa x e ≥-，所以设()(42)xh x x e =-，x R ∈，∴'()(22)xh x x e =-，∴当(,1)x ∈-∞时，'()0h x >，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时，'()0h x ≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max()(1)2h x h e ==，∵max(42)xa x e ⎡⎤≥-⎣⎦，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞．（2）∵2()()(45)xx g x ef x x x e a==-+-，∵12()()2()g x g x g m +=，[1,)m ∈+∞， ∴122221122(45)(45)2(45)2x x m xx e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+-，∴122221122(45)(45)2(45)x x mxx e x x e m m e -++-+=-+，∴设2()(45)xx xx e ϕ=-+，x R ∈，则12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴2'()(1)0xx x eϕ=-≥，∴()x ϕ在x R ∈上递增，∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，(0,)x ∈+∞，∴22'()(1)(1)m xm xF x m x em x e +-=+----，∵0x >， ∴0m xm x ee +->>，22(1)(1)(22)20m x m x m x +----=-≥，∴'()0F x ≥，()F x 在(0,)x ∈+∞上递增， ∴()(0)2()F x F m ϕ>=，∴()()2()m x m x m ϕϕϕ++->，(0,)x ∈+∞，令1x m x =-，∴11()()2()m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>，即11(2)()2()m x x m ϕϕϕ-+>，又∵12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴12(2)2()()2()m x m x m ϕϕϕϕ-+->，即12(2)()m x x ϕϕ->，∵()x ϕ在x R ∈上递增， ∴122m xx ->，即122x xm+<得证．22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos 2θ=±，∵02πθ≤<，6πθ=，3ρ= ∴所求交点的极坐标(23,)6π．（2）设(,)P ρθ，0(,)Q ρθ且04cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP=，得02,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈．23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当20x -≤<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[2,0)上单调递增，当322x -≤≤-时，'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2)2--上单调递减，所以min()(2)g x g =-2230m =+≥，所以223m ≥-，当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减，所以min335()()026g x g m =-=+≥，所以356m ≥-，综上，223m ≥-．。

黑龙江省哈师大东北师大辽宁实验东北三省三校2018届高三第三次联合模拟数学理

黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2018届东北三省三校高三第三次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（）A. B ． C ． D ．2.已知复数，则复数的模为（）A ．5B ．C ．D ．3.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩，若已知,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于90分的概率为（）A ．0.85B ．0.65C ．0.35D ．0.154.已知等比数列的前项和为,若，则（）A ．2B ． C.4 D ．15.已知，则=（ )A ．B ． C. D ．6.非零向量满足;,则与夹角的大小为（）A ．135°B ．120° C.60° D ．45°7.下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（）1=0,0.1.2.31x A x B x A B -10.1，01，-10，021-2)2i zi （z 531052~85.9X N 8085=0.35P X n a n Sn 11,3;a Sn S 4a 24cos 45a sin 2a 7-257251-515,a b 0a b a a b a b bA ．B ． C. D．8.已知实数满足,则函数存在极值的概率为（）A ． B ． C.D ．9.执行下面的程序框图，若输入的值分别为1,2,输出的值为4,则的取值范围为（）A ．B ． C.D ．10.已知点分别是双曲线,的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上,的面积为4,且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的方程为（）A ． B ． C. D ．11.棱长为2的正方体中，为棱中点，过点，且与平面平行的正738393103,a b 01,01a b 321f x x ax bx 19132589,S a n m 37m 715m 1531m 3163m 12F F 2222:1(0x y C a a b ，b>0)O P C 122F F OP 12PF F C 22122x y 22144x y 2284x y 22124x y 1111ABCD A BC D E AD 1B 1A BE。

东北三省三校2018届高三第三次联合模拟考试数学(理)试卷(含答案)

黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学
2018届东北三省三校高三第三次联合模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合1
=0,0.1.2.31x A x B x ，则A B =（）
A.-10.1， B ．01， C ．-10， D ．0
2.已知复数2
1-2)2i z i （，则复数z 的模为（）
A ．5
B ．5
C ．3
10 D ．5
2
3.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩
~85.9X N ，若已知8085=0.35P X ,则从哈市高中教师中任选位教师，他的培训成绩大于
90分的概率为（）
A ．0.85
B ．0.65
C ．0.35
D ．0.15
4.已知等比数列n a 的前n 项和为Sn ,若11,3;a Sn S ，则4a （）
A ．2
B ．2 C.4 D ．1
5.已知4
cos 45a ，则sin 2a =（ )
A ．7-25
B ．7
25 C.1
-5 D ．1
5
6.非零向量,a b 满足;0a b a a b ,则a b 与b 夹角的大小为（
）A ．135° B ．120° C.60° D ．45°。

2018高三数学(理)第一次模拟考试题(东北三省三校有答案)

2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）2018高三数学（理）第一次模拟考试题（东北三省三校有答案）哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 2018年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的模为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A. B. C. D. 4.已知，则 ( ) A. B. C. D. 5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( ) A. B.2 C. D. 6. 展开式中的常数项是( ) A. B. C.8 D. 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( ) A. B. C.1 D.3 8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( ) A.B. C. D. 9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( ) A.148 B.37 C.333 D.0 10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( ) A. B. C. D. 11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( ) A. B. C. D. 12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在中，，，，则 ______________.14.若满足约束条件，则的最大值为______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科、、，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教学科；③在长春工作的教师教学科；④乙不教学科. 可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.(1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。

高考最新-东北三校2018年高三第一次联合考试数学(理科)试卷精品

2018年高三第一次联合考试数学（理科）试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．已知i z i 32)33(-=⋅+，那么复数z 对应的点位于复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．函数)1)(1ln(<-=x x y 的反函数为（）A ．)(1R x e y x∈-=- B ．)(1R x e y x∈-=C ．)(1R x ey x∈-=-D ．)(1R x e y x∈-= 3．=-→)cos(2sin lim2x xx ππ（）A ．－2B ．2C ．－1D ．14．过点（2，3）的直线l 与圆C ：03422=+++x y x 交于A 、B 两点，当弦|AB|的取最大值时，直线l 的方程为（）A ．3x －4y+6=0B ．3x －4y －6=0C ．4x －3y+8=0D ．4x +3y －8=05．在等差数列}{n a 中，)(3)(2119741a a a a a ++++=24，则此数列的前13项之和等于（）A ．13B ．26C ．52D ．156哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．将函数x x f y sin )(=的图象按向量)2,4(π-=平移后，得到函数x y 2sin 23-=的图象，则)(x f 是（）A ．cos xB ．2cos xC ．sin xD ．2sin x8．已知集合}2|12||{},21|{<-=>-=x x N x xx M ，则M ∩N= （） A ．}223|{<<x x B ．}2321|{<<-x xC ．}231|{<<x xD ．}121|{<<-x x9．设函数0)(),4)(3)(2)(1()(='----=x f x x x x x f 则有（）A ．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内三个根B ．四个实根)4,3,,2,1(,==i i x iC ．分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内四个根D ．分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3）内三个根10．抛物线y=x 2上点A 处的切线与直线013=+-y x 的夹角为45°，则点A 的坐标是（） A ．（－1，1） B ．)161,41(C ．（1，1）D ．（－1，1）或)161,41( 11．设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A ，B 都是U 的子集，若A ∩B={1，3，5}，则称A ，B 为“理想配集”，记作（A ，B ），这样的“理想配集”（A ，B ）共有（）A ．7对B ．8对C ．27对D ．28对12．正实数21,x x 及函数)(x f 满足)(,1)()(,)(1)(142121x x f x f x f x f x f x+=+-+=则且的最小值为（）A ．4B ．2C ．54 D ．41第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分. 13．在83)12(xx -的展开式中常数项是 . 14．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x xx x f x ，则满足x x f 的41)(=值是 .15．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F 点，则离心率为 .16．已知m ，l 是异面直线，那么：①必存在平面α过m 且与l 平行；②必存在平面β过m且与l 垂直；③必存在平面γ与m ，l 都垂直；④必存在平面δ与m ，l 距离都相等，其中正确的命题的序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知向量x x x x b a b x x a tan 1)tan 1(2sin ,24,58),2,2(),sin ,(cos -+<<=⋅==求且若ππ的值.18．（本题满分12分）甲、乙、丙三人分别独立解一道数学题，已知甲做对这道题的概率是43，甲、丙两人都做错的概率是121，乙、丙两都对的概率是.41（Ⅰ）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（Ⅱ）求做对该题的人数随机变量ξ的分布列和E ξ.19．（本题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中, PD ⊥底面ABCD, AB//CD ，PD=CD=AD=21AB ，∠ADC=120°. （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若AB 的中点为E ，求二面角D —PC —E 的大小.20．（本题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数*).(N n a n ∈（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列}{n a 的前n 项和为S n ，且123-⋅=n nn S T .若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤，求实数m 的取值范围.21．（本题满分12分）已知F 1、F 2为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 在左、右两个焦点，直线52:+=x y l 与椭圆C 交于两点P 1、P 2，已知椭圆中心O 点关于l 的对称点恰好落在C 的左准线l '上.（Ⅰ）求左准线l '的方程；（Ⅱ）已知,,95,2222211OF P F a OF P F ⋅-⋅成等差数列，求椭圆C 的方程.22．（本题满分14分）已知函数),()1(2131)(23为常数c b cx x b x x f +-+=. （Ⅰ）若31)(==x x x f 和在处取得极值，试求b 、c 的值；（Ⅱ）若),(),,()(21+∞-∞x x x f 在上单调递增且在),(21x x 上单调递减，又满足,112>-x x 求证：);2(22c b b +>（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若121,x c bt t x t 与试比较++<的大小，并加以证明.高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：CBAAB CBCAD CC 二、填空题：13．7 14．3 15．2 16．①④ 三、解答题： 17．解：54)4cos(,58sin 2cos 2,58=-=+∴=⋅πx x x 即 …………4分 ∵43)4tan(,53)4sin(,440,24=-=-<-<∴<<ππππππx x x x ……6分 34)4cot()4tan(-=--=+ππx x2571)4(cos 2)22cos(2sin 2=--=-=ππx x x …………8分∴.7528)34(257)4tan(2sin tan 1)tan 1(2sin -=-⨯=+⋅=-+πx x x x x …………12分 18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件分别为A ，B ，C.依题设条件得：,32)(,83)(,41)()()(121)](1)][(1[)(43)(==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅=--=⋅=C P B P C P B P C B P C P A P C A P A P 解得所以，乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为.32,83 …………6分（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.则：,965)321)(831)(431()()()(0)(=---===C P B P A P P ξ,247)()()()()()()()()()1(=++==C P B P A P C P B P A P C P B P A P P ξ,9645)()()()()()()()()()2(=++==B P C P A P C P B P A P C P B P A P P ξ 163)()()()3(===C P B P A P P ξ …………10分所以ξ的分布列为：E ξ=244316339645224719650=⨯+⨯+⨯+⨯…………12分 19．解：（Ⅰ）连结BD ，∵∠ADC=120°，AB//CD∴∠DAB=60°，又,23,21AB BD AB AD =∴=∴AD ⊥BD ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AD 而PD ∩BD=D ， ∴AD ⊥面PDB ， PB ⊂平面PDB ，∴AD ⊥PB（Ⅱ）连结DE ，CE ， ∵∠DAB=60°，AD=AE ，∴△DEC 为正三角形. 取DC 的中点F ，连结EF ，则EF ⊥CD ， ∵PD ⊥面ABCD ， ∴EF ⊥PD ， ∴EF ⊥面PCD ，过F 作FG ⊥PC 于G ，连EG ，则∠EGF 即为二面角D —PC —E 的平面角. 设CD=a ，则.23a EF =在△PCD 中，PC=.2222121,2a a aa PC PD CD FG a =⋅⋅=⋅=则 …………10分所以.6arctan ,62223tan =∠===∠EGF aFGEF EGF 所以 …………12分解法二（Ⅰ）如图，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设PD=a ，则D （0，0，0），P （0，0，a ），A （a ，0，0），).0,23,2(),0,23,2(a a C a a E - ),3,0(),0,0,(),0,3,0(a a PB a DA a B -==∴∴PB AD PB DA ⊥∴=⋅,0 …………4分（Ⅱ）设平面PDC 的法向量为),,,(1z y x n = 则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n DP n …………6分即：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=02320y x a az 于是).0,1,3(,1,3,01====n y x z 所以得令 ……8分同样方法求得平面PEC 的一个法向量为)3,2,0(2=n . …………10分于是有.77arccos ,,77722,cos 2121>=<=⨯>=<n n n n 所以由图观察知，该二面角为锐二面角，所以二面角的大小为77arccos …………12分20．解：（Ⅰ）由.21,30,03,0==∴<<>-=>x x x nx n y x 或得∴D n 内的整点在直线x =1和x =2上 ………………2分记直线l l n nx y ,3为+-=与直线x =1、x =2的交点的纵坐标分别为21,y y ，则.32,2321n n n y n n n y =+-==+-=∴*)(3N n n a n ∈= ………………6分（Ⅱ）∵n n n n n T n n n S 2)1(,2)1(3)321(3+=∴+=++++= ……8分 ∴1112)2)(1(2)1(2)2)(1(+++-+=+-++=-n n n n n n n n n n n T T ……10分 ∴当.231,,33211==<=>≥+T T T T T n n n 且时 …………12分于是T 2，T 3是数列}{n T 的最大项，故.232=≥T m …………14分 21．解：（Ⅰ）设原点O 关于52:+=x y l 的对称点为),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=-=5222210000x y x y 解得：l x '∴==,40的方程为x =－4 …………4分（Ⅱ）设.4:)1(),,(),,(2222111c a y x P y x P =知由又)(),(22222211c x c OF P F c x c OF F -=⋅+=⋅ 由940:,910)()(21222-=+-=-++x x a c x c c x c 得 …………6分又⎪⎩⎪⎨⎧=-++=14452222c c y c x x y 消去y 得：041610080)20(22=+-++-c c x x c ……8分 ∴ 9402080,208021-=--∴-=+c c x x …………10分 ∴ C=2，此时△>0， ∴所求椭圆方程为 14822=+y x …………12分 22．解：（Ⅰ）c x b x x f +-+=')1()(2，由题意得，1和3是方程c x b x +-+)1(2=0的两根，∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧⨯=+=-.3,3,31,311c b c b 解得 …………4分（Ⅱ）由题得，当0)(,),(;0)(,),(),,(2121<'∈>'+∞-∞∈x f x x x x f x x x 时时 ∴c x b x x f x x +-+=')1()(,221是方程的两根，则c x x b x x =-=+2121,1 … 6分∴14)1(42)2(2222---=--=+-c b c b b c b b 1)(14)(21221221--=--+=x x x x x x ,112>-x x ∴,01)(212>--x x ∴)2(22c b b +> …………9分（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，),)(()1(212x x x x c x b x --=+-+ 即 x x x x x c bx x +--=++))((212 …………12分所以，)1)(())((2112112x t x t x t x t x t x c bx t -+-=-+--=-++， ,1112t x x +>+> ∴,0,0112x t x t <<<-+又 ∴01<-x t ∴,0)1)((21>-+-x t x t 即.12x c bx t >++ …………14分。

2018年三省三校一模考试理数答案

2018年三省三校一模考试（数学理科）答案一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：13.1 14.3215.C 16. ①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =. ……1分当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=， ……4分所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，故3(1)221n a n n =+-⨯=+. …….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， ……9分 12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++ . ……12分18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300…….4分（2）由已知①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) …….7分② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）…….11分综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

…….12分 19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OPAD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，4PEO π∠=，OP OE =.方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥. 又14EF PE ==，12EQ OE =，所以EF EQ EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆，所以2EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN FQ Q = ，所以PE ⊥平面MNF .方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭，于是()0,,PE m m =-,,,244n m m MF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以0PE MF ⋅=，所以PE M F ⊥，且MN MF M = ，所以PE ⊥平面MNF ……6分.（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭，于是()0,,PE m m =- ，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，,,244m m m BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ……8分.设平面BMF 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则00BM BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而020244my m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .而平面NMF 的一个法向量为=2n ()0,,PE m m =-. ……10分.所以cos ,⋅<>==121212=n n n n n n ……12分.20．（本题满分12分）.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴= ，又1126F F F F ⋅=，226,c c ∴==又222,2a b c a -=∴=，∴ 椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ……3分（Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，则2000:()42x x l y x x -=-，即20024x x y x =-，联立直线与椭圆200222414x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22340001(1)404x x x x x +-+-=.由240016(1)0x x ∆=+->，得2008x <<+ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则：34001212220016,14(1)x x x x x x x x -+==++. ……6分则120|||AB x x =-== ……8分原点O 到直线l的距离2d =. ……9分故OAB ∆面积1||2S d AB =⋅=202000111x x +=≤=+，当且仅当24400016(1)x x x +-=，即204x =+故OAB ∆面积的最大值为1. ……12分21．（本题满分12分）解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx =由()()()f x h x g x ≥≥知：ln xe kx x ≥≥依题意：ln x e xk x x≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立 ……1分设/2(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x-=>∴= 当(0,1)x ∈时/()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/()0m x >，min [()](1)m x m e ∴== ……3分设/2ln 1ln ()(0),()x x n x x n x x x -=>∴= ……5分当(0,)x e ∈时/()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/()0n x <，max 1[()]()n x n e e∴==故：实数k 的取值范围是1[]e e， ……6分（Ⅱ）由已知：()'x f x e =，()'1g x x=①：由()1111x x y e e x -=-得：()()1111x x h x ex e =+-⋅由()2221ln y x x x x -=-得：()221ln 1h x x x x =+- 故()11212111ln x x e x e x x⎧=⎪⎨⎪-=-⎩……8分Q 10x <，()1110x e x ∴-<，2ln 1x ∴>，故：2x e > ……9分②：由①知：12x x e -=，()11111xe x x -=+且21x e >>由()11ln 0a x x x x -+-≥得：()11ln a x x x x -≥-，()2x x ≥ 设()()2ln G x x x x x x =-≥ ()'1l n 1l n 0Gx x x=--=-<()G x ∴在)2,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222max ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦……11分由()12221ln a x x x x -≥-得：()()12211ln a x x x -≥- ∴ ()()1111a x x -≥-又10x < 1a ∴≤ ……12分22.解：（本小题满分10分）（Ⅰ）4cos ρθ=Qθρρcos 42=∴222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+∴==Q x y x 422=+∴1C ∴的直角坐标方程为:x y x 422=+ ……3分13,23),x t y x y ⎧=-⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎩Q 2C ∴的普通方程为)3(3--=x y ……5分（Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=代入得：)213(443)213(22t t t -=+-t t t 212932-=+-∴032=--∴t t3,12121-=⋅=+∴t t t t ……8分由t 的几何意义可得：32121===⋅⋅t t t t AQ AP ……10分23．（本小题满分10分）（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>-等价于：:11552222252112521125211x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或 ……3分解得：:11552222x x x <--≤≤>或或所以：不等式的解集为:∞∞（-,+) ……5分（Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=1442156225442x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩设函数()1g x ax =-过定点（0，-1） ……7分画出f ……8分由数形结合得a 的范围是14[4,)5- ……10分。

【名校模拟】2018年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)

2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的模为（）A．B．C．D．22．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．4．已知s，则=（）A．B．C．D．5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）A．B．2 C．D．6．展开式中的常数项是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣87．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2 B．3 C．D．8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A．148 B．37 C．333 D．010．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）A． B． C．D．11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A．B．C．D．12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是．16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的范围．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的模为（）A．B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵=，∴||=|1+i|=．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数模的求法，是基础题．2．已知集合，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，0]D．[3，+∞）【分析】求定义域得集合A，根据A∩B=A知A?B，由此求出a的取值范围．【解答】解：集合={x|9﹣x2≥0}={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x≥a}，若A∩B=A，则A?B；∴实数a的取值范围是a≤﹣3．故选：A．【点评】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．3．从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P （A）=，P（AB）==，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【解答】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）=，P（AB）==，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P（A|B）===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．已知s，则=（）A．B．C．D．【分析】直接由已知结合同角三角函数基本关系式求得．【解答】解：∵s，∴=cos[+（）]=﹣sin（）=﹣．故选：B．【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．5．中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（﹣2，4），则它的离心率为（）【分析】先求渐近线带入点的坐标，再用c2=a2+b2求离心率．【解答】解：∵焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±x，∴4=﹣?（﹣2），∴=2，a=2b，a2=4b2=4c2﹣4a2，e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查计算能力．6．展开式中的常数项是（）A．12 B．﹣12 C．8 D．﹣8【分析】写出二项式的通项，由x的指数为﹣2、0分别求得r值，再由多项式乘多项式得答案．【解答】解：的展开式的通项为=．取r﹣5=﹣2，得r=3，取r﹣5=0，得r=5．∴展开式中的常数项是﹣﹣2=﹣12．故选：B．【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，该几何体为x，根据体积公式建立关系，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD=1，BC=2，SB=x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S=×（1+2）×2=3．该几何体为x，几何体的体积V==1，可得x=3．故选：B．【点评】本题考查的知识点是三视图投影关系，体积公式的运用，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．8．已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为（）A．B．C．D．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据题意求出ω的值，写出f（x）的解析式，即可求出它的单调增区间．【解答】解：函数=2sin（ωｘ+）；由f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离是，∴T=2×=π，∴ω＝=2；∴f（x）=2sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f（x）的一个单调增区间为[﹣，]．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9．辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入m=8251，n=6105，则输出m的值为（）A．148 B．37 C．333 D．0【分析】程序的运行功能是求m=8521，n=6105的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=82511，n=6105的最大公约数，∵8251=6105+2146；6105=2×2146+1813；2146=1813+333；1813=5×333+148；333=2×148+37，148=4×37+0∴此时m=37．∴输出m的值是37，故选：B．【点评】本题考查了辗转相除法的程序框图，掌握辗转相除法的操作流程是关键．10．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为（）A． B． C．D．【分析】设出球的半径，利用棱锥的侧面积公式，求解半径，然后求解四棱锥的外接半球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=r，四棱锥的侧面积为：4×=，解得r=，四棱锥的外接半球的体积为：V==，故选：D．【点评】本题考查四棱锥SABCD的侧面积以及球的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．11．已知抛物线C：y2=2x，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是（）A．B．C．D．【分析】联立得：y2+4y﹣4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，即可求出b的值【解答】解：联立得：y2+4y﹣4b=0．依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4b，∴x1+x2=﹣2（y1+y2）+4b=8+4b设圆心Q（x0，y0），则应有x0=（x1+x2）=4+2b，y0=（y1+y2）=﹣2．∵以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=2，又|AB|=?=?=4?，∴|AB|=2r，即4?=4，解得b=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查圆的性质，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．12．在△ABC，∠C=90°，AB=2BC=4，M，N是边AB上的两个动点，且|MN|=1，则的取值范围为（）A．B．[5，9]C．D．【分析】建立坐标系，设AN=a，用a表示出，得出关于a的函数，从而得出范围．【解答】解：以CA，CB为坐标轴建立坐标系如图所示：∵AB=2BC=4，∴∠BAC=30°，AC=2设AN=a，则N（2﹣，），M（2﹣，），∴=（2﹣）（2﹣）+=a2﹣5a+9．∵M，N在AB上，∴0≤a≤3．∴当a=0时，取得最大值9，当a=时，取得最小值．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，AB=2，，，则BC=1．【分析】根据题意，设BC=t，△ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设BC=t，△ABC中，AB=2，，，则有cos∠ABC==﹣，变形可得：t2+2t﹣3=0，解可得：t=﹣3或t=1，又由t＞0，则t=1，即BC=1；故答案为：1【点评】本题考查余弦定理的应用，注意利用余弦定理构造关于BC的方程．14．若x，y满足约束条件，则的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率可得，的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A、B、C，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C学科；③在长春工作的教师教A学科；④乙不教B学科．可以判断乙教的学科是C．【分析】分析判断每一名话，能推理出正确结果．【解答】解：由①得甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；由②得在哈尔滨工作的教师不教C学科，甲不教C；由③得在长春工作的教师教A学科；由④得乙不教B学科和A学科．综上，乙教C学科．故答案为：C．【点评】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．已知函数，x0是函数f（x）的极值点，给出以下几个命题：①；②；③f（x0）+x0＜0；④f（x0）+x0＞0；其中正确的命题是①③．（填出所有正确命题的序号）【分析】求导数，利用零点存在定理，可判断①②；f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x0＜0，可判断③④．【解答】解：∵函数f（x）=xlnx+x2，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1+x，易得f′（x）=lnx+1+x在（0，+∞）递增，∴f′（）=＞0，∵x→０，f′（x）→﹣∞，∴0＜x0＜，即①正确，②不正确；∵lnx0+1+x0=0∴f（x0）+x0=x0lnx0+x02+x0=x0（lnx0+x0+1）=﹣x02＜0，即③正确，④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查学生的计算能力、转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知正项数列{a n}满足：，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，然后求解通项公式．（2）化简通项公式利用裂项相消法求解数列的和即可．【解答】（本题满分12分）解：（1）令n=1，得，且a n＞0，解得a1=3．当n≥2时，，即，整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，所以数列{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）由（1）知：，∴T n=b1+b2+…+b n=．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12.00分）某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[﹣20，﹣10]，需求量为100台；最低气温位于区间[﹣25，﹣20），需求量为200台；最低气温位于区间[﹣35，﹣25），需求量为300台．公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温（℃）[﹣35，﹣30）[﹣30，﹣25）[﹣25，﹣20）[﹣20，﹣15）[﹣15，﹣10]天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率．（1）求11月份这种电暖气每日需求量X（单位：台）的分布列；（2）若公司销售部以每日销售利润Y（单位：元）的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？【分析】（1）由已知X的可能取值为100，200，300，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）当订购200台时，求出E（Y）=35000元；当订购250台时，求出E（Y）=37500元，由此求出11月每日应订购250台．【解答】（本题满分12分）解：（1）由已知X的可能取值为100，200，300，P（X=100）==0.2，P（X=200）==0.4，P（X=300）==0.4，∴X的分布列为：X100200300P0.20.40.4（2）由已知：①当订购200台时，E（Y）=[200×100﹣50×（200﹣100）]×0.2+200×200×0.8=35000（元）②当订购250台时，E（Y）=[200×100﹣50×（250﹣100）]×0.2+[200×200﹣50×（250﹣200）]×0.4+[200×250]×0.4=37500（元）综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布表、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，底面ABCD为矩形，点M、E、N分别为线段AB、BC、CD的中点，F是PE上的一点，PF=2FE．直线PE与平面ABCD所成的角为．（1）证明：PE⊥平面MNF；（2）设AB=AD，求二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【分析】（1）法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥ADOP⊥平面ABCD，推导出MN⊥OE，MN⊥PE．△EFQ∽△EOP，从而PE=FQ．由此能证明PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O 点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能证明PE⊥平面MNF（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣MF﹣N的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，∠PEO=，OP=OE．因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．又EF=PE=OE，EQ=OE，所以，所以△EFQ∽△EOP，所以，所以PE=FQ．且MN∩FQ=Q，所以PE⊥平面MNF．方法二：取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．又因为MN∥BC，OE∥AB，所以MN⊥OE，所以MN⊥PE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=m，AD=n，则P（0，0，m），E（0，m，0），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（﹣）．所以=0，所以PE⊥MF，且MN∩MF=M，所以PE⊥平面MNF解：（2）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD．因为平面PAD⊥平面AC，所以OP⊥平面AC，，OP=OE．以O点为原点，射线OA、OE、OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=AD=m，则P（0，0，m），E（0，m，0），B（），M（，0），F（0，），于是=（0，m，﹣m），=（0，﹣，0），=（﹣）．设平面BMF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，2）．而平面NMF的一个法向量为==（0，m，﹣m）．所以cos＜＞===﹣．由图形得二面角B﹣MF﹣N的平面角是钝角，故二面角B﹣MF﹣N的余弦值为﹣．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12.00分）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．【分析】（1）通过焦点坐标以及转化求解椭圆方程．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），求出切线方程，联立直线与椭圆，消去y，整理利用判别式，以及弦长公式，求解由原点O到直线l的距离，表示△OAB面积，推出△OAB面积的最大值为1．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵F（0，1），∴b=1，又，∴．又a2﹣b2=c2，∴a=2，∴椭圆C的标准方程为．（2）设直线l与抛物线相切于点P（x0，y0），则，即，联立直线与椭圆，消去y，整理得．由，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则：．则原点O到直线l的距离．故△OAB面积=，当且仅当，即取等号，故△OAB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12.00分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，h（x）=kx+b．（1）当b=0时，若对任意x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；（2）设直线h（x）与曲线f（x）和曲线g（x）相切，切点分别为A（x1，f（x1）），B（x2，g（x2）），其中x1＜0．①求证：x2＞e；②当x≥x2时，关于x的不等式a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可；（2）①得到，∴，从而证明结论；②得到a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2），设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，根据函数的单调性求出G（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当b=0时：h（x）=kx，由f（x）≥h（x）≥g（x）知：e x≥kx≥lnx，依题意：对x∈（0，+∞）恒成立，设，当x∈（0，1）时m′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时m′（x）＞0，∴[m（x）]min=m（1）=e，设，当x∈（0，e）时n′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时n′（x）＜0，∴，故：实数k的取值范围是（2）由已知：f′（x）=e x，①：由得：由得：故∵x1＜0，∴，∴lnx2＞1，故：x2＞e；②由①知：，且x2＞e＞1由a（x1﹣1）+xlnx﹣x≥0得：a（x1﹣1）≥x﹣xlnx，（x≥x2）设G（x）=x﹣xlnx（x≥x2）G′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，∴G（x）在[x2，+∞）为减函数，∴[G（x）]max=G（x2）=x2﹣x2lnx2由a（x1﹣1）≥x2﹣x2lnx2，得：a（x1﹣1）≥x2（1﹣lnx2），∴a（x1﹣1）≥（x1﹣1）又x1＜0，∴a≤1．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10.00分）已知在极坐标系中曲线C1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线C2的参数方程为：（t为参数），点A（3，0）．（1）求出曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于P，Q两点，求|AP|?|AQ|的值．，y=ρsinθ即可求得曲线【分析】（1）把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合x=ρcosθC1的直角坐标方程，在中，直接消去参数t即可求得曲线C2的普通方程；（2）把曲线C2的参数方程代入x2+y2=4x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合t的几何意义求得|AP|?|AQ|的值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，故曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．由，消去参数t，可得．∴曲线C2：；（2）将代入x2+y2=4x，得t2﹣t﹣3=0，∵△=1+4×3=13＞0，∴方程有两个不等实根t1，t2分别对应点P，Q，∴|AP|?|AQ|=|t1|?|t2|=|t1?t2|=|﹣3|=3，即|AP|?|AQ|=3．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是掌握直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的范围．【分析】（1）当a=1时，化简不等式，去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集；（2）化简函数为分段函数，画出函数的图象，然后求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（1）当a=1时：不等式为：|2x﹣5|+|2x+1|＞x﹣1，等价于：解得：，所以不等式的解集为：（﹣∞，+∞）；（2）设函数f（x）=|2x﹣5|+|2x+1|=，设函数g（x）=ax﹣1过定点A（0，﹣1），画出f（x），g（x）的图象，不等式|2x﹣5|+|2x+1|＞ax﹣1．不等式的解集为R，k AB==，由数形结合得a的范围是．【点评】本题考查不等式的解法，不等式恒成立，考查数形结合以及计算能力．。

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2018年东北三省三校一模考试（数学理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分1.复数21ii +的模为( ) A.12B.2C.2D.22.已知集合{}29A x y x ==-，{}B x x a =≥，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A.(],3-∞-B.(),3-∞-C.(],0-∞D.[)3,+∞3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.14B.12C.13D.234.已知1sin 33a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 6a π⎛⎫-=⎪⎝⎭( ) A.13B.13-C.22D.2-5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为( ) A.5B.2C.3D.56.()52121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项是( )A.12B.12-C.8D.8-7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( ) A.32B.92C.1D.38.已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离是2π，则该函数的一个单调增区间为( ) A.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入8521m =，6105n =，则输出m 的值为( ) A.148B.37C.333D.010.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD －，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )A.43πB.23π11.已知抛物线2:2C y x =，直线1:2l y x b =-+与抛物线C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与x 轴相切，则b 的值是( )A.15-B.25-C.45-D.85-12.在ABC △，90C =∠°，24AB BC ==，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，则CM CN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为( ) A.11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]5,9C.15,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，2AB =，AC =23ABC π=∠，则BC =______________. 14.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x +的最大值为______________.15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知： ①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科；③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科.可以判断乙教的学科是______________.16.已知函数()21ln 2f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题：①010x e <<；②01x e >；③()000f x x +<；④()000f x x +>；其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知正项数列{}n a 满足：2423n nn S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间[]20,10--，需求量为100台；最低气温位于区间[)25,20--，需求量为200台；最低气温位于区间[)35,25--，需求量为300台。

公司销售部为了确定11月份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：最低气温(℃) [)35,30-- [)30,25-- [)25,20-- [)20,15-- []15,10--天数112536162以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率. (1) 求11月份这种电暖气每日需求量X (单位：台)的分布列；(2) 若公司销售部以每日销售利润Y (单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA PD =，底面ABCD 为矩形，点M 、E 、N 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，F 是PE 上的一点，2PF FE =.直线PE 与平面ABCD 所成的角为4π. (1)证明：PE ⊥平面MNF ；(2)设AB AD =，求二面角B MF N --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过抛物线2:4M x y =的焦点F ，1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且1126F F F F ⋅=u u u u r u u u u r.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与抛物线M 相切，且与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB △面积的最大值.21.已知函数()x f x e =，()ln g x x =，()h x kx b =+.(1)当0b =时，若对任意()0,x ∈+∞均有()()()f x h x g x ≥≥成立，求实数k 的取值范围；(2)设直线()h x 与曲线()f x 和曲线()g x 相切，切点分别为()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，其中10x <. ①求证：2x e >；②当2x x ≥时，关于x 的不等式()11ln 0a x x x x -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，点()3,0A .(1)求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值.23.已知不等式25211x x ax -++>-. (1)当1a =时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为R ，求a 的范围.2018年三省三校一模考试（数学理科）答案一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：13.1 14.3215.C 16. ①③ 三．解答题：17. （本题满分12分）解：（Ⅰ）令1n =，得2111423a a a =+-，且0n a >，解得13a =.当2n ≥时，221114422n n n n n n S S a a a a ----=-+-，即2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，Q 0n a >，12n n a a -∴-=，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，故3(1)221n a n n =+-⨯=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22111111()1444(1)41n n b a n n n n n n ====--+++， 12+n n T b b b ∴=++L 11111111(1)(1)422314144nn n n n =-+-++-=-=+++L .18．（本题满分12分）解：（1）由已知X 的可能取值为100,200,300（2）由已知①当订购200台时，E()[20010050(200100)]0.22002000.835000Y =⨯-⨯-⨯+⨯⨯=(元) ② 当订购250台时，E()[20010050(250100)]0.2[20020050(250200)]0.4Y =⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯+[200250]0.437500⨯⨯=（元）综上所求，当订购250台时，Y 的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19．（本题满分12分） .解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，PEO π∠=，OP OE =.方法一：因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥. 又1244EF PE OE ==，12EQ OE=，所以24EF EQ EO EP ==，所以EFQ ∆∽EOP ∆，所以2EFQ EOP π∠=∠=，所以PE FQ ⊥.且MN FQ Q =I ，所以PE ⊥平面MNF .方法二：取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ,连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.又因为//MN BC ，//OE AB ，所以MN OE ⊥，所以MN PE ⊥.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB m =，AD n =，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,022n m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫⎪⎝⎭，于是()0,,PE m m =-u u u r,,,244n m m MF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r .所以0PE MF ⋅=u u u r u u u u r，所以PE MF ⊥，且MN MF M =I ，所以PE ⊥平面MNF（Ⅱ）取AD 中点O ，连接OE ，交MN 于点Q ，连接FQ ，则OP AD ⊥. 因为平面PAD ⊥平面AC ，所以OP ⊥平面AC ，4PEO π∠=，OP OE =.以O 点为原点，射线OA 、OE 、OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.设AB AD m ==，则()0,0,P m ，()0,,0E m ，,,02m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,44m m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是()0,,PE m m =-u u u r ，0,,02m BM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，,,244m m m BF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u ur .设平面BMF 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则00BM BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11u u u u r u u u rn n ，从而020244my m m m x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，令1x =,得()1,0,2=1n .而平面NMF 的一个法向量为=2n ()0,,PE m m =-u u u r.所以cos ,5⋅<>==-121212=n n n n n n 20．（本题满分12分）.解: （Ⅰ）(0,1),1F b ∴=Q ，又1126F F F F ⋅=u u u r u u u u r，226,c c ∴==又222,2a b c a -=∴=， ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）设直线l 与抛物线相切于点00(,)P x y ，则2000:()42x x l y x x -=-，即20024x x y x =-，联立直线与椭圆200222414x x y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，整理得22340001(1)404x x x x x +-+-=.由240016(1)0x x ∆=+->，得2008x <<+设1122(,),(,)A x y B x y ，则：34001212220016,14(1)x x x x x x x x -+==++.则120|||AB x x =-==原点O 到直线l的距离2d =故OAB ∆面积1||2S d AB =⋅=22000111x x +=≤=+，当且仅当24400016(1)x x x +-=，即204x =+取等号，21．（本题满分12分）解（Ⅰ）:当0b =时：()h x kx = 由()()()f x h x g x ≥≥知：ln x e kx x ≥≥依题意：ln x e xk x x ≥≥对(0,)x ∈+∞恒成立设/2(1)()(0),()x x e e x m x x m x x x -=>∴=当(0,1)x ∈时/()0m x <；当(1+)x ∈∞，时/()0m x >，min [()](1)m x m e ∴==设/2ln 1ln ()(0),()x xn x x n x x x -=>∴= 当(0,)x e ∈时/()0n x >；当(+)x e ∈∞，时/()0n x <，max 1[()]()n x n e e∴==故：实数k 的取值范围是1[]e e，（Ⅱ）由已知：()'x fx e =，()'1g x x=①：由()1111x xy e e x -=-得：()()1111xxh x e x e =+-⋅ 由()2221ln y x x x x -=-得：()221ln 1h x x x x =+- 故()11212111ln x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩Q 10x <，()1110x e x ∴-<，2ln 1x ∴>，故：2x e >②：由①知：12x x e-=，()11111xe x x -=+且21x e >>由()11ln 0a x x x x -+-≥得：()11ln a x x x x -≥-，()2x x ≥ 设()()2ln G x x x x x x =-≥()'1ln 1ln 0G x x x =--=-<()G x ∴在)2,x +∞⎡⎣为减函数，()()2222max ln G x G x x x x ∴==-⎡⎤⎣⎦由()12221ln a x x x x -≥-得：又10x < 1a ∴≤ 22.解：（本小题满分10分）（Ⅰ）4cos ρθ=Qθρρcos 42=∴222cos ,sin x y x y ρρθρθ=+∴==Q x y x 422=+∴1C ∴的直角坐标方程为:x y x 422=+13,23),2x t y x y ⎧=-⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎩Q 2C ∴的普通方程为)3(3--=x y（Ⅱ）将x y x t y t x 4,23,21322=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=代入得：)213(443)213(22t t t -=+-t t t 212932-=+-∴ 032=--∴t t 3,12121-=⋅=+∴t t t t由t 的几何意义可得：32121===⋅⋅t t t t AQ AP 23．（本小题满分10分）（Ⅰ）当1a =时：不等式为:25211x x x -++>-等价于：:11552222252112521125211x x x x x x x x x x x x ⎧⎧⎧<--≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪-+-->--+++>--++>-⎩⎩⎩或或解得：:11552222x x x <--≤≤>或或（Ⅱ）设函数()2521f x x x =-++=1442156225442x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩设函数()1g x ax =-过定点（0，-1）画出f由数形结合得a 的范围是14[4,)5-（0，-1）（52，6）（12-，6）。