实验二-命题公式的等值演算与真值表

命题公式及其真值表

第二节命题公式及其真值表在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。

简单命题又称为命题常项或命题常元。

命题常项有确定的真值。

在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。

称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。

命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。

定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。

这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。

单独使用（¬A ），（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。

在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。

在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。

定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，np 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。

若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。

若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。

本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：（1）设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指11p a =，22p a =，L ，n n p a =。

（2）若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，2q a =，L ，即按字典顺序赋值。

命题公式分类及等值演算2

关于合式公式的说明
• (┐A)、(A∧B)等公式单独出现时，外层括号可以省去，写成┐A、A∧B等。 • 公式中不影响运算次序的括号可以省去，如公式(p∨q)∨(┐r)可以写成p∨q∨┐r。 • 合式公式的例子： (p→q)∧(q r) (p∧q)∧┐r p∧(q∧┐r) • 不是合式公式的例子 pq→r (p→(r→q)
• 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的代入实例。 • 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。 • 置换规则设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公式，若BA，则Φ(B)Φ(A)。
关于等值演算的说明
• 等值演算的基础 – 等值关系的性质：自反性：AA。对称性：若AB，则BA。传递性：若AB且BC，则AC。 – 基本的等值式 – 置换规则 • 等值演算的应用 – 证明两个公式等值 – 判断公式类型 – 解判定问题
说明
因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出通常不用等值演算直接证明两个公式不等值
例用等值演算法验证等值式 (p∨q)→r (p→r)∧(q→r)
解答
(p→r)∧(q→r) (┐p∨r)∧(┐q∨r) (蕴含等值式)
(┐p∧┐q)∨r
┐(p∨q)∨r (p∨q)→r
例用等值演算判断下列公式的类型：（1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
解答
(1) (p→q)∧p→q (┐p∨q)∧p→q ┐((┐p∨q)∧p)∨q (┐(┐p∨q)∨┐p)∨q （蕴涵等值式）（蕴涵等值式）（德摩根律）
定义1.8 赋值或解释

F2命题逻辑等值演算

保持等值性的两条规则
代入规则: 等值式模式的代换实例是等值式. 在蕴涵等值式 A B AB 中取 A 为 p, B 为 q 得
p q p q. 而取 A 为 p q r, B 为 p q 则得
(p q r) (p q) (p q r) (pq). †具体的等值式叫做等值式模式的代入实例.
101 1 1
011
110 1 1
110
111 1 1
111
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式

涉及联结词 , 的运算律有
蕴涵等值式: A B A B 等价等值式: (AB) (AB)(BA) 假言易位: A B B A 等价否定律: A B A B 以及: A (B C) (A∧B) C 等.
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式

第二章命题逻辑等值演算
§2.1 等值式 §2.2 析取范式与合取范式 §2.3 联结词的完备集
离散数学(60). W&M.
§2.2 析取范式与合取范式

公式的标准形式
实数代数 R, +, * 中, 函数有不同的表达式, 其中多项式和多因式是“标准形式”.
即 (pq) r (pq)r.
离散数学(60). W&M.
§2.1 等值式

例2 用等值演算法证明 (pq) q p q.
证 (p q) q
q (p q)
交换律
(q p) (q∨ q)
分配律
(q p) 1
排中律和替换规则
A = A1 A2 … As; 一个合取范式是重言式它的每个简单析取式都是重言式.

命题公式等值式

2.3 命题公式的等值式，蕴含关系式
2016
数学科学学院季丹丹
本节主要内容
?一、命题公式的等值式 ?二、代入规则与替换规则,等值演算 ?三、蕴含关系式
一、命题公式的等值式
表2-3-1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
下面给出一组基本等值式
一组基本等值式
二、代入规则与替换规则,等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程称为等值演算 1.代入规则
? 甲：┐P∧Q；乙：┐Q∧P；丙：┐Q∧┐R ?又因为，若甲全错了，则有┐Q∧P，因此，乙全对. 同理，
乙全错则甲全对. 所以丙是一对一错. 故王教授的话可符号化为：
((? P ? Q) ? ((Q ? ? R) ? (? Q ? R))) ? ((? Q ? P) ? (? Q ? R))
在重言式A中，任何命题变元Pi出现的每一处，用另一公式代入，所得公式B仍是重言式.这就是代入规则.
求证(A→B)∨┐(A→B)为重言式. 证明由互补律P∨┐P ? 1. 用公式(A→B)代入公式中的P.
若C是公式A中的一个连续部分，而C本身也是公式，称C为A的子公式.
二、代入规则与替换规则,等值演算
?
? ┐A∨┐B∨C(德 ·摩根律)
?
? ┐A∨(B→C)(蕴含等值式 )
?
? A→(B→C)(蕴含等值式 )
例子
?分析：王教授只可能是其中一个城市的人或者三城市都不
是. 所以，丙至少说对了一半. 因此，可得甲或乙必有一个人全错了.
?设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授

命题逻辑I 命题公式与等值演算

20
合式公式的层次 (续)
例如公式 p p p q (p q ) r ((pq) r)(rs)
0层 1层 2层 3层 4层
21
公式的赋值
定义给公式A中的命题变元 p1, p2, … , pn指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1. A中仅出现 p1, p2, …, pn，给A赋值12…n是指 p1=1, p2=2, …, pn=n A中仅出现 p, q, r, …, 给A赋值123…是指 p=1,q=2 , r=3 … 含n个变元的公式有2n个赋值.
28
2元真值函数对应的真值表 p q 0 0 0 1 p 0 0 0 1 0 1 1 1 q 0 1 1 1
F0( 2) F1( 2) F2( 2) F3( 2) F4( 2) F5( 2) F6( 2) F7( 2)
0 0 0 0
F8( 2)
0 0 0 1
F9( 2)
0 0 1 0
( 2) F10
15
例
例求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当美国位于非洲.
1 0
1 0 0
16
(5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0 连续.
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
14

注意： pq 与 qp 等值（真值相同）

真值表方法与命题演算

06
总结与展望
真值表方法与命题演算的意义与价值
逻辑基础
真值表方法与命题演算是逻辑学的基础，为推理和判断提供了严谨的数学工具。
精确表达
通过命题演算，可以将复杂的逻辑关系精确地表达出来，有助于理解和分析问题。
应用广泛
真值表方法与命题演算在计算机科学、人工智能、决策分析等领域有广泛的应用。
推理规则是命题演算中的重要概念，用于推导出新的命题。
要点二
详细描述
常见的推理规则包括重写规则、消解规则、附加规则等。这些规则可以帮助我们从已知的命题推导出新的命题。例如，通过重写规则，我们可以将一个复合命题改写为其等价的另一种形式；通过消解规则，我们可以消除一个蕴含关系中的否定；通过附加规则，我们可以将一个命题附加到另一个命题上，从而形成一个新的命题。
04
真值表在命题演算中的应用
利用真值表判断推理的有效性
判断推理的有效性
通过构建真值表，可以清晰地展示出推理过程中各个命题的真假值，从而判断推理是否有效。
真值表的作用
真值表是判断推理有效性的重要工具，能够直观地展示出推理过程中各个命题的真假关系，帮助我们发现推理中的错误和漏洞。
真值表的构建方法
真值表的制作方法
1 2
确定命题变量
首先确定要使用的命题变量，通常用字母表示。
列出所有可能的赋值情况
对于每个命题变量，列出所有可能的真和假两种情况。
3
计算命题公式的真值
根据逻辑运算符（如与、或、非等）的定义，计算每个命题公式的真值。
真值表在逻辑推理中的应用
验证逻辑公式
通过查看真值表中的数据，可以验证给定的逻辑公式是否成立。
02 03

命题公式真值表

定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B , A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3) 所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串是合式公式.
T F F T
1-4 真值表与等价公式
(5) ( P Q) (P Q) 的真值表为:
P
Q
PQ
P
Q
( P Q)
P Q
( P Q) (P Q)
T T F F
T F T F
T F F F
F F T T
F T F T
F T T T
F T T T
T T T T
1-4 真值表与等价公式
1.真值表
定义1-4.1 在命题公式中,对于分量指派真值的各种可能组合,就确定了这个命题公式的各种真值情况,把它汇列成表,就是命题公式的真值表.
例 2 构造下列命题公式的真值表: (1) P Q ; (3) ( P Q) P ; (5) ( P Q) (P Q) . (2) P Q ; (4) ( P Q) (P Q) ;
1-4 真值表与等价公式
解 (1)
P Q 的真值表为:
P
Q
P Q
T T F F
T F T F
T F T T
(2)
P Q 的真值表为:
P
Q
P Q
T T F F
T F T F
T F T T
1-4 真值表与等价公式

2真值表等值式

注意：重言式是可满足式，但反之不真.
7
二、重言式与矛盾式
定理1 任意两个重言式的合取（或析取）仍然是重言式。定理2 一个重言式，对同一个命题变元均用任何公式置换，其结果仍然是重言式。
8
三、等值式及其基本等值式
定义1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值（逻辑相等），记作AB，并称AB是等值式。定理２.1 AB为重言式，当且仅当A、B具有相同的真值表。
12
四、公式等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则 3. 置换规则设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换(A) 中所有的 A 后得到的命题公式若 BA，则 (B)(A)
pq (pq) 1 1 0 1 0 0 1 0
(pq)q 0 0 0 0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
5
真值表的作用:
求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 区别不同公式间的关联，判断公式的类型。
6
二、重言式与矛盾式
定义1 设A为任一命题公式， (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
等值演算在计算机硬件设计，开关理论和电子元器件中都占据重要地位。
17
五、，与，间的区别
，是联结词，是逻辑符号，表明公式的取值情况。
18
第二讲真值表、等值演算
主要内容
一、真值表及其作用
二、重言式与矛盾式的定义和相关结论

命题的逻辑运算与真值表

命题的逻辑运算与真值表逻辑运算是数理逻辑中的一个重要概念，它描述了命题之间的关系和推理规则。

命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。

本文将介绍命题的逻辑运算及其真值表。

一、基本逻辑运算基本逻辑运算包括与运算（∧）、或运算（∨）和非运算（¬）。

1.1 与运算（∧）与运算表示两个命题同时为真时，整个逻辑表达式才为真。

符号为"∧"。

例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∧今天是晴天"表示我只有在今天是晴天的时候才喜欢游泳。

1.2 或运算（∨）或运算表示两个命题中至少有一个为真时，整个逻辑表达式才为真。

符号为"∨"。

例如，命题P为"我喜欢游泳"，命题Q为"今天是晴天"，则"我喜欢游泳∨今天是晴天"表示我不管今天是不是晴天，只要我喜欢游泳就为真。

1.3 非运算（¬）非运算表示对命题的否定。

如果一个命题为真，则其否定为假；如果一个命题为假，则其否定为真。

符号为"¬"。

例如，命题P为"我喜欢游泳"，则"¬我喜欢游泳"表示我不喜欢游泳。

二、复合逻辑运算在基本逻辑运算的基础上，可以进行复合逻辑运算，包括蕴含（→）、等价（↔）和异或（⊕）。

2.1 蕴含运算（→）蕴含运算表示如果前提为真，则结论也为真。

符号为"→"。

例如，命题P为"如果下雨，那么我会带雨伞"，命题Q为"下雨了"，则"P→Q"表示如果下雨了，那么我会带雨伞。

2.2 等价运算（↔）等价运算表示两个命题具有相同的真值，当且仅当两个命题的真假相同时，整个逻辑表达式为真。

符号为"↔"。

离散数学-逻辑学-命题公式求真值表

离散逻辑学实验班级：10电信实验班学号：Q10600132 姓名：王彬彬一、实验目的熟悉掌握命题逻辑中的联接词、真值表、主范式等，进一步能用它们来解决实际问题。

二、实验内容1. 从键盘输入两个命题变元P和Q的真值，求它们的合取、析取、条件和双条件的真值。

（A）2. 求任意一个命题公式的真值表（B，并根据真值表求主范式（C））三、实验环境C或C＋＋语言编程环境实现。

四、实验原理和实现过程（算法描述）1.实验原理（1）合取：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∧Q, 读作P、Q的合取, 也可读作P与Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = T时方可P∧Q =T, 而P、Q只要有一为F则P∧Q = F。

这样看来，P∧Q可用来表示日常用语P与Q, 或P并且Q。

（2）析取：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P∨Q, 读作P、Q的析取, 也可读作P或Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = F, Q = F时方可P∨Q =F, 而P、Q只要有一为T则P∨Q = T。

这样看来，P∨Q可用来表示日常用语P或者Q。

（3）条件：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P→Q, 读作P条件Q, 也可读作如果P，那么Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为只有当两个命题变项P = T, Q = F时方可P→Q =F, 其余均为T。

（4）双条件：二元命题联结词。

将两个命题P、Q联结起来，构成一个新的命题P←→Q, 读作P双条件于Q。

这个新命题的真值与构成它的命题P、Q的真值间的关系为当两个命题变项P = T, Q =T时方可P←→Q =T, 其余均为F。

（5）真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。

列出命题公式真假值的表。

通常以1表示真，0 表示假。

命题逻辑的等值和推理演算

对蕴涵词、双条件词作否定有 (PQ) = P∧Q
(PQ) = PQ = PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)
8. 同一律 P∨F = P P∧T = P TP = P TP = P
还有 PF = P FP = P
9. 零律 P∨T = T P∧F = F
还有
PT = T FP = T 10. 补余律 P∨P = T P∧P = F 还有
P Q = Q P 4. 分配律
P∨(Q∧R) = (P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R) = (P∧Q)∨(P∧R)
P(QR) = (PQ)(PR) 5. 等幂律(恒等律)
P∨P = P P∧P = P
PP = T
PP = T
6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P
7. 摩根律 (P∨Q) = P∧Q (P∧Q) = P∨Q
Venn图可以用来理解集合间、命题逻辑中、部分信息量间的一些关系。
2.2.2 若干常用的等值公式
等值演算中，由于人们对、∨、∧更为熟悉，常将含有和的公式化成仅含有、 ∨、∧的公式。这也是证明和理解含有，的公式的一般方法。但后面的推理演算中，更希望见到和.
11. PQ = P ∨Q
证明:
左端= (P∧(Q∧R)) ∨((Q∨P)∧R) (分配律)
=((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) (结合律)
=((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) (摩根律)
=((P∨Q)∨(Q∨P))∧R
(分配律)
=((P∨Q)∨(P∨Q))∧R
(交换律)
=T∧R
(置换)
=R
(同一律)
例2: 试证 ((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))
问题提出：由命题公式写真值表是容易的，那么如何由真值表写命题公式呢？

02命题逻辑等值演算

中国地质大学本科生课程
离散数学
第2章命题逻辑等值演算
本章说明
本章的主要内容
– 等值式与基本的等值式 – 等值演算与置换规则
– 析取范式与合取范式、主析取范式与主合取范式
– 联结词完备集(不讲) – 可满足性问题与消解法（不讲）
本章与后续各章的关系
– 是第一章的抽象与延伸 – 是后续各章的现行准备
例2.5 解答
(1) (p→q)∧p→q (┐p∨q)∧p→q ┐((┐p∨q)∧p)∨q (┐(┐p∨q)∨┐p)∨q （蕴涵等值式）（蕴涵等值式）（德摩根律）
((p∧┐q)∨┐p)∨q
(1∧(┐q∨┐p))∨q (┐q∨q)∨┐p 1∨┐p 1
（德摩根律）
((p∨┐p)∧(┐q∨┐p))∨q （分配律）（排中律）（同一律）（排中律）（零律）
例2(续）
执行X的条件可化简为：
(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ) ＝Ｂ∧(Ａ∨ Ａ)＝Ｂ执行Y的条件可化简为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
X Start
T
A
F
Y
＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝Ｂ
End
程序可简化为：If B then X else Y
例3
有一逻辑学家误入某部落，被拘于劳狱，酋长意欲放行，他对逻辑学家说： “今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。为协助你脱逃，今加派两名战士负责解答你所提的任何问题。惟可虑者，此两战士中一名天性诚实，一名说谎成性，今后生死由你自己选择。” 逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。该逻辑学家应如何发问？
例2.6 应用题
在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人进行了判断：

命题公式及真值表

离散结构命题公式及真值表教学目标基本要求（1）会判断命题公式及其层次；（2）真值表；（3）公式类型；重点难点真值表的应用。

命题中的符号命题中的符号：(1) 命题常元：真值唯一确定。

例如：T、F(2) 命题变元：真值可变化。

例如：P、Q、R(3) 联接词：优先级按¬, ∧, ∨, →, ↔递减(4) 辅助符号如括号（）。

命题中的符号任意组成的符号串是否都有意义？例：(∧p ¬q) pq →(思考：按什么规律组成的符号串才有意义？合式公式合式公式：合法的命题公式。

（简称公式）（1）命题常元或变元是合式公式（2）若A, B是合式公式，(¬A),(A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B)也是合式公式（3）只有有限次地应用(1)、(2)形成的符号串才是合式公式注意这个定义是递归的。

(1)是递归的基础，由(1)开始，使用规则(2)，可以得到任意的合式公式。

公式简写的约定1) 最外层括号可以省略；2) 省略括号后, 运算顺序与联结词的优先级一致，则可以省略；3) 相同联结词按从左到右的顺序计算，则可以省略。

公式的层次定义：（1）若公式A 是单个的命题变项，则称A 为0层公式。

（3）若公式的层次为k ，则称A 是k 层公式。

（2）若有下面情况之一的，称A 为n+1层公式:A 是¬B ，B ∧C ，B ∨C ，B→C ，B↔C ，其中B 、C 分别是i 层、j 层公式，且n=max(i,j)；例：((¬p ∧q)∨(p ∧ ¬q))→r1层 2层 3层 4层公式的解释命题公式代表一个命题，但只有当公式中的每一个命题变元都用一个确定的命题代入时，命题公式才有确定值，成为命题。

解释（I）：给公式A（ P1，P2，…,Pn ）中的命题变元P1，P2，…,Pn指定一组真值称为对A的一个解释（赋值）。

成真赋值: 使公式为真的赋值。

成假赋值: 使公式为假的赋值。

用真值表法判断命题公式

用真值表法判断命题公式真值表法是一种常用的推理方法，用于判断命题公式的真假。

它通过列出所有可能的真假组合来确定命题公式的真值。

在进行真值表法判断时，首先需要确定命题公式中所有的命题变量。

命题变量是命题公式中可以取真或假的变量。

然后，列出所有可能的真假组合，并依次代入命题公式，以确定每种组合下命题公式的真值。

举个例子，假设我们有一个命题公式为p∨(¬q∧r)，其中p、q和r是命题变量。

那么我们可以列出如下的真假组合：p，q，r，¬q，(¬q∧r)，p∨(¬q∧r):-----:，:-----:，:-----:，:--:，:------:，:----------:真，真，真，假，假，真真，真，假，假，假，真真，假，真，真，真，真真，假，假，真，假，真假，真，真，假，假，假假，真，假，假，假，假假，假，真，真，真，真假，假，假，真，假，假通过代入每种组合，我们可以得出该命题公式的真值表。

从真值表中可以看出，该命题公式在p为真，或(¬q∧r)为真时，整个命题公式为真。

因此，该命题公式可以表示为p∨(¬q∧r)。

这就是真值表法判断命题公式的基本过程。

在进行真值表法判断时，我们还可以利用真值表的特点来推导命题公式的等价关系、重言式、矛盾式等。

例如，如果我们得出一个真值表中的其中一列的值全为真，那么可以得出该命题公式是一个重言式。

如果其中一列值全为假，那么命题公式是一个矛盾式。

真值表法的优点是能够准确地判断命题公式的真假，而不受语义混淆的干扰。

然而，对于较复杂的命题公式而言，真值表法的计算量可能非常庞大，因为需要列出所有可能的真假组合。

在这种情况下，可以考虑使用其他推理方法，如逻辑推理、等价转换、命题演算等来简化问题。

综上所述，真值表法是一种能够准确判断命题公式真假的常用推理方法。

它通过列出所有可能的真假组合，代入命题公式，来确定命题公式的真值。

真值表法可以用于推导命题公式的等价关系、重言式和矛盾式，并且可以用于简化复杂的命题公式。

离散数学第2章命题逻辑等值演算

A00
A0A. A1A
ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
等价否定等值式
注意：要牢记各个等值式，这是继续学习的基础
以上 16 组等值式包含了 24 个重要等值式。由于 A,B,C 可以代表任意的命题公式，因而以上各等值式都是用元语言符号书写的，称这样的等值式为等值式模式，每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。例如，在蕴涵等值式（2.12）中，取 A=p，B=q 时，得等值式: p→q ┐p∨q 当取 A=p∨q∨r，B=p∧q 时，得等值式: (p∨q∨r)→(p∧q) ┐(p∨q∨r)∨(p∧q) 这些具体的等值式都被称为原来的等值式模式的代入实例。
mi 与 Mi 的关系由书上定理 2.4 给出，即 mi Mi, Mi mi
2. 主析取范式与主合取范式定义 2.5 （1）主析取范式——由极小项构成的析取范式（2）主合取范式——由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (p q r) (p q r) m1m3 ——主析取范式 (p q r) (p q r) M7M1——主合取范式 3. 命题公式 A 的主析取范式与主合取范式（1）与 A 等值的主析取范式称为 A 的主析取范式；与 A 等值的主合取范式称为 A 的主合取范式. （2）主析取范式的存在惟一定理定理 2.5 任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式,并且是惟一的
由最后一步可知，（1）为矛盾式.
（2）(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(pq) 1 由最后一步可知，（2）为重言式. 问：最后一步为什么等值于 1？说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省. （蕴涵等值式）（交换律）

任意命题公式的真值表

实验报告实验名称：任意命题公式的真值表实验目的与要求：通过实验，帮助学生更好地掌握计算机科学技术常用的离散数学中的概念、性质和运算，包括联结词、真值表、运算的优先级等，提高学生编写实验报告、总结实验结果的能力，培养学生的逻辑思维能力和算法设计的思想，能够独立完成简单的算法设计和分析，进一步用它们来解决实际问题，帮助学生学习掌握C/C++语言程序设计的基本方法和各种调试手段，使学生具备程序设计的能力。

实验内容提要：求任意一个命题公式的真值表实验步骤：（一）、关于命题公式的形式和运算符（即联结词）的运算首先根据离散数学的相关知识，命题公式由命题变元和运算符（即联结词）组成，命题变元用大写字母英文表示（本次试验没有定义命题常元T和F，即T、F都表示命题变元），每个命题变元都有两种真值指派0和1，对应于一种真值指派，命题公式有一个真值，由所有可能的指派和命题公式相应的真值按照一定的规范构成的表格称为真值表。

目前离散数学里用到的包括扩充联结词总共有九种，即析取（或）、合取（与）、非、蕴含、等值、与非、或非、异或、蕴含否定，常用的为前五种，其中除了非运算为一元运算以外，其它四种为二元运算。

所以本次实验设计时只定义了前五种运算符，同时用“/”表示非，用“*”表示合取，用“+”表示析取，用“>”表示蕴含，用“:”表示等值，且这五种运算符的优先级依次降低，如果需用括号改变运算优先级，则用小括号()改变。

以下为上述五种运算符运算时的一般真值表，用P和Q表示命题变元：1．非，用“/”表示2．合取（与），用“*”表示3．析取（或），用“+”表示4.蕴含，用“>”表示5.等值，用“:”表示（二）、命题公式真值的计算对于人来说，计算数学表达式时习惯于中缀表达式，例如a*b+c，a*（b+c）等等，而对于计算机来说，计算a*b+c还好，计算a*（b+c）则困难，因为括号的作用改变了运算的顺序，让计算机识别括号而改变计算顺序显得麻烦。