四年级数学思维训练导引(奥数)第20讲幻方与数阵图拓展
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅⼩学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻⽅”知识定位⼀、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有⼀类⾮常有趣的数学问题，它变化多端，引⼈⼊胜，奇妙⽆穷。
它就是数阵，⼀座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的⼈有着极⼤的吸引⼒，以⾄有些⼈留连其中，⽤毕⽣的精⼒来研究它的变化，就连⼤数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上⾯两个图：右图（1）中有3个⼤圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三⾏三列，每⾏的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对⾓线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上⾯两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将⼀些数按照⼀定要求排列⽽成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是⼀件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这⼀类问题要求数阵中填⼊了⼀些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这⼀类问题可以按以下步骤解决问题：第⼀步：区分数阵图中的普通点（或⽅格），和交叉点（⽅格）第⼆步：在数阵图的少数关键点（⼀般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填⼊的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运⽤已经得到的信息进⾏尝试：数阵图还有⼀类题型⽐较少见，解决这⼀类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，⼀般没有特定的解法，往往需要综合运⽤掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学⽣从整体到局部对问题进⾏观察和判断；2.教授巧妙利⽤容斥原理、余数的性质、整除性质的数学⽅法；3.锻炼学⽣利⽤已知信息枚举，尝试的能⼒；4.培养学⽣综合运⽤各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能⼒.⼆、什么是幻⽅？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思.⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅.如下图：三、如何解决幻⽅问题？幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，三阶幻⽅的中⼼位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横⾏、竖列、对⾓线上数和的三分之⼀.解决数表类问题中，⾸先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从⽽找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（⼀）封闭型数阵问题（⼆）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻⽅例题精讲【试题来源】【题⽬】将1～6填⼊左下图的六个○中，使三⾓形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题⽬】⼩猴聪聪有⼀天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填⼊图中，使得每个⼩三⾓形3个顶点上的数字之和为图中所表⽰的数值，你能做到吗？【题⽬】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中⼀个圆圈⾥的数是6．请你选9个连续⾃然数(包括6在内)填⼈圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题⽬】⼩兔⼦在森林玩耍，遇到⼀个画着奇怪图形的树桩，上⾯写着：把10⾄20这11个数分别填⼊下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中⼼圆内填的数相等，那么就视为同⼀种填法，请写出所有可能的填法，⼩兔⼦发了愁，你能帮它吗？【题⽬】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填⼊右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于⼩、中、⼤圆周上，你能做到吗？【题⽬】在下图中的10个○内填⼊0～9这10个数字，使得循环式成⽴：【题⽬】请在图中的每个圆圈内填⼊不同的⾃然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上⼀⾏与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下⾯的数是20．+=====----20【题⽬】请你将2～10这九个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的三数之和相等.【题⽬】请你将1～25这⼆⼗五个⾃然数填⼊图中的空格内每⾏、每列、每条对⾓线上的五数之和相等.【题⽬】将九个数填⼊左下图的九个空格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和都等于定数k，则中⼼⽅格中的数必为k÷3【题⽬】在下图的九个⽅格中填⼊不⼤于12且互不相同的九个⾃然数（其中已填好⼀个数），使得任⼀⾏、任⼀列及两条对⾓线上的三个数之和都等于21.【题⽬】将前9个⾃然数填⼊右图的9个⽅格中，使得任⼀⾏、任⼀列以及两条对⾓线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个⾃然数在图中的位置也相邻.【题⽬】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填⼊3×3阵列中的九个⽅格，使第⼆⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的2倍，第三⾏组成的三位数是第⼀⾏组成的三位数的3倍.【题⽬】在⼀个3×3的⽹格中填⼊9个数使得每⼀横⾏、竖⾏、对⾓线上三个数的乘积相等.习题演练【题⽬】将1～7这七个数分别填⼊图中的○⾥，使每条直线上的三个数之和都等于12。
小学四年级专项思维训练(幻方与数阵图)【附参考答案】
幻方与数阵图1.在幻方中．每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中该是____。
2.幻方是将n2个数（不重复）排列成纵、横各有n个数的方阵，使其每行、每列和两条对角线上n个数相加的和都相等．请问下图3×3的幻方中丁是多少？3.在下图所示的O内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12．若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是________。
4.下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若“a=4，d=19，l=22，那么6=_______，h=______。
5.在图1、图2的空格中分别填人适当的数，使得横、竖及对角线上的三个数之和都相等，那么“？”处的数字分别为多少？．6．在下图中每个小方格中填人一个数，使每一行每一列都有1、2、3、4、5，那么，右上角小方格内填人的数字，应该是________。
7.下图是一个3×3幻方，满足每行、每列及两条对角线上三数之和都相等，那么其中“★代表的数是__________。
8.下边的一排方格中，除9、8外，每个方格中的汉字都表示一个数（不同的汉字可表示相同的数），已知其中任意3个连续方格巾的数加起来都为22，则“走”+“进”+“数”+“学”+“花”+“园”=__________。
9.所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，请将下图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“”所代表的数是___________。
10.将1至8这八个自然数分别填入下图中的正方体的八个顶点处的o内，并使每个面上的四个O内的数字之和都相等，求与填人数字1的O有线段相连的三个O内的数的和的最大值．11.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数之和都相等，中间数共有__________种填法．12.将1--12这十二个自然数分别填人下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为___________。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
四年级奥数数阵与幻方
数阵问题知识要点：一般地来讲在解决数阵图的问题上，我们应先观察好数阵图，找出“公用数”的位置，求出“公用数”是解决数阵问题的关键。
在数阵图中横行有，竖行也有的数，我们把它叫做“公用数”。
如果题中给你的数的个数是奇数个，而“公用数”仅一个，而这个“公用数”又是中心数，这样的数阵图称为辐射型数阵图。
在解决这类数阵图时，就是先找出公用数，每边均剩下两个数，实际上就是在奇数个数中找到和相等的几对数，找的办法有三种，即：去头、去尾、去中间，而数阵图中的“公用数”就是这列数中的头、尾、中间任意一个数。
还有一种数阵图，题中给你的已知数的个数为偶数个，“公用数”不再是一个，而是多个。
这样的数阵图称为封闭型数阵图，在解决此类数阵图时，应分三步走：l、先求出题中给出已知数的总和，2、再求出数阵图中的和，3、用图中和减去已知数的和即为“公用数”的总和。
例题分析：一．辐射型数阵：例1.将2～8这7个数分别填在下图中的圆圈内,使每条线段上三个圆圈内数的和相等.例2.把1～9这9个数字,分别填入下图的各圆圈内,使每条线上5个数的和相等.例3.将1～9这九个数字填在”七一”内,使每一横行,每一竖列的数字的和都是13.二．封闭型数阵：例4.将1~6六个数填入图中的圆圈中，要求四条直线上的数字之和都等于10，那么a是多少？例5. 如果将—11这11个自然数填入左下图的圆圈中，使每个菱形上的四个数之和都等于24，那么A等于多少？例6.把10～80八个整十数填入下图的○中，使每个圆上五个数的和为210。
例7.把10～15这6个数字分别填放图中的各个圆圈内，使每边上的三个圆圈内数之和相等。
例8. 图中五个正方形和12个圆圈，将1—12填入圆圈中，使每个正方形四角上圆圈中的数字之和都等于K，那么K等于几?例9. 图中的大三角形被分割成九个小三角形将1—9填入小三角形中，使每条边上的五个小三角形的数字之和都相等，那么这个和的最小值是多少？最大值是多少？例10.图中有10个小三角形和4个大三角形，将1~10填入每个小三角形，使每个大三角形内的数字之和都等于25。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图讲义(含答案)
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
2、求解幻方的方法。
例题1：请你将1～9这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
思维导引-幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案教学目标：1. 了解幻方与数阵的基本概念及其关系；2. 学会制作简单的幻方与数阵；3. 培养学生的逻辑思维能力和观察能力；4. 提高学生对数学美的欣赏能力。
教学重点：1. 幻方与数阵的基本概念；2. 制作幻方与数阵的方法。
教学难点：1. 理解幻方的性质；2. 制作具有一定规律的数阵。
教学准备：1. PPT课件；2. 练习题；3. 彩笔、白纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）1 2 34 5 67 8 92. 学生发现这是一个3x3的幻方，接着教师讲解幻方的定义及性质。
二、幻方的概念与性质（10分钟）1. 介绍幻方的定义：幻方是指一个n×n的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
2. 讲解幻方的性质：如奇数阶幻方的中心数是幻方中所有数的平均数，且幻方的数字呈对称分布等。
3. 举例说明并引导学生验证幻方的性质。
三、制作幻方（10分钟）1. 引导学生了解制作幻方的方法：如利用中心数法、奇偶数填充法等。
2. 分组讨论，让学生尝试制作一个7x7的幻方。
3. 学生展示制作结果，教师点评并讲解制作过程中的注意事项。
四、数阵的概念与制作（10分钟）1. 介绍数阵的概念：数阵是指在二维空间内，按照一定规律排列的一组数字。
2. 讲解数阵的分类：如线性数阵、网格数阵、螺旋数阵等。
3. 引导学生观察不同的数阵类型，分析其规律。
五、欣赏与创作（5分钟）1. 展示一些具有美感的数阵图片，让学生欣赏并感受数学美。
2. 学生自由创作一个数阵，要求体现个人特色和规律。
3. 展示学生作品，大家共同欣赏、评价。
教学反思：六、数阵的规律与应用（10分钟）1. 介绍数阵在实际生活中的应用，如在计算机科学、信息编码、数据分析等领域。
8 3 1 6 4 2 9 7 54 9 2 75 3 1 8 62 7 53 1 8 64 93. 学生分组讨论，尝试找出数阵中的规律，并探讨如何在实际问题中应用这些规律。
思维导引幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案第一章：幻方的概念与性质1.1 幻方的定义解释幻方的概念，让学生理解幻方是一种特殊的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
1.2 幻方的性质探讨幻方的性质，如奇数阶幻方的存在性、最小正整数幻方的构造方法等。
引导学生通过数学归纳法证明幻方的性质。
第二章：幻方的构造方法2.1 经典幻方的构造介绍经典幻方的构造方法，如Lehmer算法，让学生理解并掌握如何构造最小正整数幻方。
2.2 非经典幻方的构造探讨非经典幻方的构造方法，如带重复数字的幻方、带特定数字序列的幻方等。
引导学生通过实例分析和归纳总结构造方法。
第三章：数阵与幻方的关系3.1 数阵的概念解释数阵的概念，让学生理解数阵是一种矩阵，其元素可以是数字或符号。
3.2 数阵与幻方的联系探讨数阵与幻方的联系，如数阵可以看作是幻方的一种扩展形式，幻方可以看作是特殊的三维数阵等。
引导学生通过实例分析和转化理解数阵与幻方的关系。
第四章：数阵的运算与性质4.1 数阵的运算介绍数阵的运算规则，如加法、减法、乘法、除法等，让学生掌握数阵的运算方法。
4.2 数阵的性质探讨数阵的性质，如对角线对称性、行列式性质等，让学生理解并应用数阵的性质解决问题。
第五章：数阵的应用5.1 数阵在数学问题中的应用介绍数阵在解决数学问题中的应用，如数阵的行列式在解线性方程组中的应用等。
5.2 数阵在其他领域中的应用探讨数阵在其他领域中的应用，如数阵在图像处理、数据分析等领域的应用。
引导学生通过实例分析和项目实践，体验数阵在不同领域的应用价值。
第六章：幻方的进阶构造6.1 多元幻方的构造介绍多元幻方的概念，即多维空间中的幻方，例如二维幻方、三维幻方等。
引导学生理解多元幻方的构造原理，并掌握基本的构造方法。
6.2 复合幻方的构造探讨复合幻方的构造，即通过组合多个基本幻方来构造新的幻方。
分析不同类型幻方的组合方式，以及如何保持幻方的性质。
第七章：数阵的变换与操作7.1 数阵的旋转与反射讲解数阵的旋转和反射操作，让学生了解这些变换对数阵的影响。
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、 掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
小学数学 拓展专题 幻方和数阵图 带答案
练习4
中心数：60÷3＝20
则这9个数为
14
16、17、18、19、20、21、22、23、24
19 24 17 18 20 22
（右图答案不唯一）
23 16 21
12
准备题5
字母A~E表示5个不同的数，若B+C=D+E，则 A＋B＋C = A＋D＋E。（填写“＞”“＜” 或“=”。）
知识提炼： 根据等式的性质，等式两边同时加上相同的数，等式 __成__立___ （填成立或 不成立）
中间数：60÷5=12 对于连续的奇数个自然数3×3的方格中，形 成幻方，幻和是60，这些自然数分别 是 1_6_、_1_7_、_1_8_、1__9_、2__0_、_2_1_、_2_2_、_2_3_、2__4__
中间数＝60÷3 ＝20
9
例2
写出一个幻和是18的三阶幻方。
首先确定中心数 中心数＝幻和÷行数(或列数)
中心数：18÷3＝6 则这9个数可为 2、3、4、5、6、7、8、9、10 （答案不唯一）
再用例1学到的方法填幻方
5 10 3 46 8 9 27
练习3
中心数：24÷3＝8 则这9个数可为
4、5、6、7、8、9、10、11、112 4
（右图答案不唯一）
7 12 5 6 8 10 11 4 9
同时去掉A得B＋C＝D＋E， 符合条件的有：2＋5＝3＋4＝7，则A＝1；F＝8
1＋5＝2＋4 ＝6 ，则A＝3； F＝9 1＋4＝2＋3 ＝5 ，则A＝5； F＝10
20
准备题8
自然数1~7分别代表字母A~G，且A＋B＋C＝A＋D＋E ＝A＋F＋G＝H。自然数H可能是___1__0_、__1__2_、__1_4________
4年级奥数数幻方与数阵图进阶
幻方的概念与基本性质，三阶和四阶幻方的编制，各种在方格表中填入数值或符号要求在每行、每列及对角线上具有某种性质的幻方类型的数阵图问题．其他结构较为独特的数阵图问题。
例题：1．用l至9这9个数编制一个三阶幻方，写出所有可能的结果．所谓幻方是指在正方形的方格表的每个方格内填入不同的数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格的个数．[分析与解]为了方便叙述，在幻方内标上字母．显然有a+c+e＝h+A+g＝f+d+b，而这9个数的和为1+2+3+…+9＝45，所以每行，每列，两条对角线的和均为45÷3＝15．又有a+A+b＝c+A+d＝e+A+f＝g+A+h，所以有a+b＝c+d＝e+f＝g+h＝k，那么有4k+4A＝15×4，而4k+A＝45，所以A＝5，即中间数为5，k＝10，试着填入，有如下填充结果满足题意：．2．已知图16-1是一个四阶幻方，那么标有“*”的方格中所填的数是多少?[分析与解]对角线的和为12+9+5+8＝34，于是，第三列的和也是34，有34－7－9－16＝2知第三列第四行的数为2．有34－8－11－2＝13，则第四行第四列为13．有34－12－3－13＝6，所以第四列第二行为6，即标有“*”的方格内所填得数为6．3．将自然数l至9分别填在如图16-2所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．[分析与解]设中间的数为A，有a+b＝5+A，c+d＝5+A，e+f＝5+A，g+h＝5+A，那么有a+b+c+d+e+f+g+h+A ＝20+5A＝1+2+3+…+9＝45．有A＝5，a+b＝10，c+d＝10，e+f＝10，g+h＝10，即为普通的三阶幻方，答案与题一一样．有如下图给出几种填法：4．把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216．求位于正中间的方格中所填的数．[分析与解]有1×36＝2×18＝3×12＝4×9，36×6＝216，所以有中心填入6．多次调整位置，可得出如下填法：．5．图16-3是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?[分析与解]第一行和第一列都包含“*的方格，且它们的和相等，那么左下角中的方格内数为8+10－1＝17．那么这个幻方的和就是(10+17)÷2＝13.5．这样，每行每列数的和就应当是10+13.5+17＝40.5．标有*的方格内填入的数应是40.5－10－8＝22.5．6．在图16-4的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95．那么，标有*的格内所填的数是多少?[分析与解]中央的数为19.95÷3＝6.65，因而第二列第一个数是19.95－6.65－8.80＝4.50．从而标有“*”的格内为19.95－4.33－4.50＝11.12．7．如图16-5所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．[分析与解](1) 由于幻方中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，可以列出等式：(a+b+c)+(d+e+f)＝(a+d+g)+(g+e+c)．化简得：b+f＝2×g．题目已知f＝19，g＝95，因此x＝2×95－19＝171．(2) 因为中间方格填的是100，所以幻方中各行各列三个数的和是100×3＝300．这样第二行第一个方格中应填300－100－19＝181，并且依次求得其他各个方格中的数．结果如上右图．8．在图16-6所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么?[分析与解]从对角线看，★格可能是B、C、D，从第4列看，★格不可能是D．因而★格内只可能为B或C．用上述方法考察左下角，有最小角为B，从而★只能是C．下面给出一种满足题意的填法：．9．请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列成如图16-7所示形状的4个方格中所填数的和都是7．[分析与解]我们先考虑3×3的表格情况，按要求填好后，有：a+b+e+f＝b+e+f+i＝7．所以a=i，同理，c=g．又因为a+b+e+f＝c+b+e+d＝7，从而：a+f＝c+d，同理，g+f＝d+i，两式相加，得到a+g+2×f＝c+i+2×d．其中a=i，c=g，所以f＝d，也就是说中间隔一个方格的两个方格所填入的数相同，我们可以借助上面方法来填写，只用先将一格2×2的小方格填号，使它们的和为7，再将其复制平移知其他的方格内即可．下面给出几种填法：10．如图16-8，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?[分析与解]因为每相邻3位数字之和为20，从右边起第一位数字7与第二，三位数字之和是20，第二、三位数字与第四位数字之和也是20，所以第四位数字是7．这样，我们便找到一条规律：每隔2位必出现相同的数字．所以“？”的数字应该是7．11．如图16-9，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为21，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x．那么x所代表的数是多少？[分析与解]竖行上任意三个相邻数之和为21，从而数列上任意三个相邻数都是由同样的三个数组成(只不过顺序不同)，这样我们可把“3”向下每隔两格的“移动”，最后得到，由此得出中间的一格应填21－3－8＝10．即x的右面一格是10．横行上的任意三个数之和是20．如果把横行最左边的5，每隔两格地“移动”，就知道x的左边一格是5，这样就有x＝20－5－10＝5，即x代表的数是5．12．把l，2，3，…，13这13个数分别填在如图16-10所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把l，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．[分析与解]6只能填入第二个圆，这是因为7－1＝6，6－3＝3．5、8、11都不能填入第一圈，这是因为5－4＝1，8－1＝7，11－7＝4，如果8填入第三个圆，那么5、11都不能填入第三个圆，这是因为8－5＝3，11－8＝3，从而都只能填入第二个圆，这又导致11－5＝6，所以8只能填入第二个圆．因为2不能填入第一个圆，这是因为2－1＝1，也不能填入第二个圆，这是因为8－6＝2，所以2只能填入第三个圆．于是5只能填入第二个圆，这是因为5－3＝2，11只能填入第三个圆，这是因为11－6＝5，13只能填入第一个圆，这是因为13－11＝2，13－8＝5，9只能填入第二个圆，这是因为13－4＝9，11－2＝9，12只能填入第三个圆，这时因为12－6＝6，13－1＝12，10只能填入第一个圆，这是因为10－5＝5，12－2＝10．最终结果如下：13．请在图16-11的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和．[分析与解]本题填法不唯一，下面给出两种填法：14．在图16-12的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，那么x等于多少?[分析与解]如下图所示，将剩下的圆圈内标上字母：于是A＝(13+17)÷2＝15，即B+15与D+17相等，均为2C，因此B－D＝2，于是2D＝B+13＝D+2+13，故D＝15．C＝(17+15)÷2＝16，x＝2C－13＝19．15．请在图16-13所示的8个小圆圈内，分别填入1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好分别是l，2，3，4，5，6，7．[分析与解]填法有很多，如下给出两种填法：。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十)数阵图
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（1）温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握数阵图的概念。
2、灵活应用数阵图的求解方法。
例题1：把1～5这五个数分别填在右图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9？例题2：将1～7这七个自然数填入右图的七个○内，使得每条线上的三个数之和都等于10。
例题3：将 10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
例题4：下把1～5这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
（即是该课程的课后测试）练习1：如图，将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12或10。
练习2：如图将1～9这九个数分别填入图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
练习3：如图，将1～9这九个数分别填入图中的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两种本质上不同的填法）练习4：如图，将3～9这七个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
练习5：如图，将1～11这十一个数分别填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
练习1：解析：练习2：解析：练习3：解析：练习4：解析：练习5：解析：中心数是重叠数，并且重叠4次。
所以每条直线上的三数之和等于［（1＋2＋…＋11）＋重叠数×4］÷5＝（66＋重叠数×4）÷5。
为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。
显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。
所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十）数阵图------数阵图基础（2）1、掌握什么是数阵图2、会灵活应用多种方法求数阵图1、掌握幻方的概念。
四年级数学思维训练导引(奥数)第20讲幻方与数阵图拓展
第二十讲幻方与数阵图拓展1．把1，2，…，9填入图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．2．(1)如图20.2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．(2)如图20—3，在4×4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等.3．在图204所示的3×4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在－些数已经填出，标有符号“木”的方格内所填的数是多少？4．如图20-5，请在空格中填入适当的数，组成－个三阶幻方．5．请将图20—6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有－个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5恰好各出现－次，请问：标有符号“△”，“V”和“O”的方格中所填的数分别是什么？6．请将1至9这9个数填入图20.7中的方框内，使得所有不等号都成立，所有满足要求的填法共有多少种？7．请在图20.8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．9．请在图20-10中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6，使得对每－个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．10.将0至9填入图20-11的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的，请问：这个和最小是多少？最大是多少？1．将1，2，3，…，24，25分别填入图20-12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了－些数，标有符号“术”的方格内所填的数是多少？2．请在图20-13的每个空格内填入－个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．3．(1)在图20-14的每个空格内填入－个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95.那么，标有“球”的方格内所填的数是多少？(2)请在图20-15的每个空格内填入－个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．4．如图20-16，大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264.奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264.请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填入另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264.5．将1、2、3、5、6、7、9、10、1 1填入图20-17中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．6．请将1至10填入图20-18中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第－行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．7．在图20-19的7个圆圈内各填－个数，要求对于每－条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．8．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入图20-20中，使得相同的数所在的方格都连在－起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少？9．将数字1、2、3、4、5、6、7填入图20-21中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．10.将1至9填入图20-22中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16.11.图20-23中－共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填－个．如果要求图中的3个2x2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出－种填法．12.如图20-24，大三角形被分成了9个小三角形，试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填－个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？请给出－种填法，1．请在图20-25的每个空格内填入－个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．2．图20-26是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每－条直线上圆圈中的各数之和相等，美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．3．在图20-27中有6个正方形，请你将1至9填入图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．4．在图20-28的七个圆圈中填入－些自然数，要求所填的自然数中最小的－个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．5．将1至9分别填入图20-29中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？6．将0，1，2，…，9这10个数分别填入图20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．7．在图20-31中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个圆圈中的数之和等于43.8．图20-32中共有10个圆圈，6条直线．请问：(1)能否将1至10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？(2)能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？(3)请从1至11中去掉－个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等．。
思维导引幻方与数阵教案
幻方和数阵图幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
需要掌握的幻方填写方法主要有：1、奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
（见右上图）对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。
小学奥数四年级_幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展[内容概述]本讲有两部分主要内容：1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制；2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。
大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
四、 掌握好3阶幻方中的规律。
本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。
数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。
其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。
思维导引-幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案第一章：幻方的概念与性质1.1 幻方的定义介绍幻方的概念，让学生理解幻方是一种特殊的方阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
1.2 幻方的性质解释幻方的性质，包括：奇数阶幻方的存在性、最小正整数解的存在性、幻方的对称性等。
1.3 幻方的构造方法介绍构造幻方的方法，包括：递推法、矩阵法、迭代法等。
第二章：数阵的基本概念2.1 数阵的定义解释数阵的概念，让学生理解数阵是一种由数字排列成的阵列，可以有多种不同的排列规则。
2.2 数阵的类型介绍常见的数阵类型，包括：线性数阵、矩阵数阵、幻方数阵等。
2.3 数阵的性质解释数阵的性质，包括：数阵的行列式、逆矩阵数阵的存在性等。
第三章：幻方与数阵的关系3.1 幻方是一种特殊的数阵说明幻方是一种特殊的数阵，其特点是每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
3.2 数阵的幻方化介绍将一般数阵转化为幻方的方法，包括：行列式法、矩阵变换法等。
3.3 幻方的数阵表示解释如何将幻方表示为数阵，以及如何利用数阵的性质来研究幻方的性质。
第四章：幻方的应用4.1 幻方在数论中的应用介绍幻方在数论中的应用，例如：证明费马大定理、研究素数的分布等。
4.2 幻方在组合数学中的应用解释幻方在组合数学中的应用，例如：构造拉丁方、解决排列组合问题等。
4.3 幻方在其他领域的应用探讨幻方在其他领域的应用，例如：在计算机科学中的应用、在经济学中的应用等。
第五章：数阵的应用5.1 数阵在数学中的应用介绍数阵在数学中的应用，例如：解线性方程组、研究矩阵的性质等。
5.2 数阵在物理中的应用解释数阵在物理中的应用，例如：描述量子力学中的状态向量、研究物质的结构等。
5.3 数阵在其他领域的应用探讨数阵在其他领域的应用，例如：在工程学中的应用、在生物学中的应用等。
第六章：幻方的制作技巧与练习6.1 幻方的手工制作教授学生如何通过手工计算制作小阶幻方，例如3x3、4x4幻方。
小学奥数思维训练-幻方与数阵图扩展｜通用版
2014年四年级数学思维训练：幻方与数阵图扩展1．把1，2，…，9填入图20﹣1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．2．如图，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．3．如图，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．4．如图所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是多少？5．如图，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．6．请将如图所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么？7．请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种？8．请在如图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．9．将1至5这5个数字填入图中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．10．请在图中的六块区域内填人1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．11．将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的．请问：这个和最小是多少？最大是多少？12．将1，2，3，…，24，25分别填入图20﹣12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“*”的方格内所填的数13．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．14．在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95．那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？15．请在图的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．16．如图，大正方形的4个角上已填人4个数，4个数之和是264．奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填人另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264．17．将1、2、3、5、6、7、9、10、11填人图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．18．请将1至10填入如图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆19．如图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．20．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填人图20.20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数是多少？21．请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在图中的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等．应怎样填？22．将1至9填人图中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16．23．如图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3个2×2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．24．如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法．25．请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．26．如图是有名的“六角幻方”：将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．27．在图中有6个正方形，请你将1至9填人图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．28．在图中的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．29．将1至9分别填人图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？30．将0，1，2，…，9这10个数分别填人图20﹣30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．31．在下面的图中有11个空的圆圈，要求把1～13这些数填入各圈内（其中3，4已经填好），使得上面两个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面两个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面一个圈中的数），并且最下面空着的四圆圈中的数之和等于43．32．图中共有10个圆圈，6条直线．请问：（1）能否将l至10填人图中，使得每条直线上各数之和都相等？（2）能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（3）请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．参考答案1．由以上分析可得：【解析】试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．解：根据题意可得：当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；由以上分析可得：点评：解答此题的关键是求出中间圆圈的数是多少，然后再进一步解答即可．2．【解析】试题分析：首先根据第1列的三个数为16、11、12，求出幻和为：16+11+12=39；然后根据幻和为39，分别求出空格里的数即可．解：因为第1列的三个数为16、11、12，所以幻和为：16+11+12=39；因此第2行的第2个数为：39﹣11﹣15=13，第1行的第3个数为：39﹣12﹣13=14，第1行的第2个数为：39﹣16﹣14=9，第2列的第3个数为：39﹣9﹣13=17，第3列的第3个数为：39﹣14﹣15=10．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出幻和是多少．3．【解析】试题分析：首先求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，然后根据这个共同的和为34，分别求出空格里的数即可．解：每行、每列、每条对角线上所填数之和均为：12+9+5+8=34，所以第3行的第1个数为：34﹣5﹣16﹣3=10，第2列的第1个数为：34﹣4﹣5﹣11=14，第1行的第1个数为：34﹣14﹣7﹣12=1，第2行的第1个数为：34﹣1﹣10﹣8=15，第2行的第4个数为：34﹣15﹣4﹣9=6，第3列的第4个数为：34﹣7﹣9﹣16=2，第4列的第4个数为：34﹣12﹣6﹣3=13．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出每行、每列、每条对角线上所填数之和均为34．4．【解析】试题分析：首先根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12；然后用12减去6，可得第4列的第1个数和第3个数的和是6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；再求出第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，根据各行所填的数之和为16，各列所填的数之和为12，求出其余的空格中的数即可．解：根据第1列的三个数分别为2、3、7，可得各列的各数之和均为：2+3+7=12，所以第4列的第1个数和第3个数的和是：12﹣6=6，因此第4列的第1个数、第3个数可以分别为5、1；因为第1行的4个数的和是：2+4+5+5=16，所以第2行的第2个数和第3个数的和是：16﹣3﹣6=7，第3行的第2个数和第3个数的和是：16﹣7﹣1=8，第2列的第2个数和第3个数的和是：12﹣4=8，第3列的第2个数和第3个数的和是：12﹣5=7，因此第2行的第2个数和第3个数分别是5、2，第3行的第2个数和第3个数分别是3、5．答：标有符号“*”的方格内所填的数是1．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等”，注意答案不唯一．5．【解析】试题分析：如图，首先根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为14+15+16=45；然后根据幻和为45，分别求出a、c、d、e的值即可．解：如图，根据第1行和对角线上a、15、11三个数的和相等，可得b+12=15+11，解得b=14，所以幻和为：14+15+16=45；因此a=45﹣12﹣14=19，c=45﹣19﹣16=10，d=45﹣10﹣15=20，e=45﹣16﹣11=18．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出幻和是多少．6．△=5，▽=5，○=4．【解析】试题分析：根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；因为d、f在第2行中，只能从1、3中各取一个，因为d在第1列中，所以d不能是3，只能是1，则f=3；因为k、m在对角线上，只能从1、4中各取一个，因为m在第1列中，所以m不能是1，只能是4，则k=1；因为○、b在第1行中，只能从2、4中各取一个，因为b在第4列中，所以b不能是4，只能是2，则○=4；所以j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5，据此解答即可．解：（1）根据图示，因为h在第3列中，所以h不能是1、3；又因为h在第3行中，所以h不能是4；因为h在对角线上，所以h不能是5，因此h=2，a、p只能从1、3中各取一个，因为a在第1行中，所以a不能是1，只能是3，则p=1；（2）因为c、l在第4列中，只能从3、5中各取一个，因为c在第1行中，所以c不能是3，只能是5，则l=3；（3）因为e、△在第3列中，只能从4、5中各取一个，因为e在第2行中，所以e不能是5，只能是4，则△=5；同理，可得d=1，f=3；m=4，k=1；b=2，○=4；j=2，▽=5，g=3，i=1，n=2，o=5．答：△=5，▽=5，○=4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次”，逐一确定每个方格中的数字．7．2种．【解析】试题分析：首先第一行第二列的数最大，只能是9，第一行的第三列最小只能是1，第一行第一列只能是8，第二行第一列只能是7，第二行第三列只能是2，第三行第三列只能是3，第三行第二列只能是4，中间的数可以是6或5，而第三行第一列可以是6或5，所以满足要求的方法有2种方法．解：答案如下：所以满足要求的填法共有2种．点评：解决此题的关键找出最大最小数的位置，进一步确定固定的数以及可调整的数，得出结论．8．【解析】试题分析：首先根据两个小圆圈内所填的数的差最大是：8﹣1=7，可得当差为7时，只能是8与1的差；剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；据此可得中间两个圆圈中的数分别为1、5，然后填上其余圆圈中的数即可．解：因为两个小圆圈内所填的数的差最大是：8﹣1=7，所以当差为7时，只能是8与1的差；因为剩下的2、3、4、5、6、7这6个数组成的差最大是：7﹣2=5，所以当差为6时，只能是7与1的差；同理，当差为5时，只能是6与1的差；5与4的差为1，5与3的差为2，5与2的差差为3，5与1的差为4；因此中间两个圆圈中的数分别为1、5，可得点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是判断出中间两个圆圈中的数只能是1和5．9．【解析】试题分析：1+2+3+4+5=15，根据题意，可得计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：15×2÷3=10；然后根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3，据此解答即可．解：1+2+3+4+5=15，根据题意，计算横线、竖线、大圆周上所填数之和时，圆圈中的每个数均被计算了2次，所以这个共同的和是：15×2÷3=10；根据1+4+5=2+3+5=1+2+3+4，可得中心圆圈的数为5，大圆周上所填数为1、2、4、3．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是求出横线、竖线、大圆周上所填数之和均为10．10．【解析】试题分析：如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；最后根据B+C+E=2（A+B）=2×7=14，可得B=6，C=5，E=3，据此解答即可．解：如图，设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，则根据题意，可得A+B+C+D=C+D+E+F=A+B+E+F=B+C+E，整理，可得A+B=C+D=E+F；因为1+6=2+5=3+4，所以A、B可以从1、6中个取一个，C、D可以从2、5中各取一个，E、F可以从3、4中各取一个；又因为B+C+E=2（A+B）=2×7=14，所以B=6，C=5，E=3，可得．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是设图中的六块区域内填入的数分别为：A、B、C、D、E、F，能判断出A+B=C+D=E+F．11．这个和最小是11，最大是16，如图所示：【解析】试题分析：根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9；据此解答即可．解：0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，根据图示，可得每个圆圈内的3个数有1个是圆圈独有的，有2个是和其它圆圈共有的；（1）因为每个圆内的三个数之和都是相等的，所以要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小，是0、1、2、3、4，这个和最小是：（45+0+1+2+3+4）÷5=11；（2）所以要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大，是5、6、7、8、9，这个和最大是：（45+5+6+7+8+9）÷5=16．答：这个和最小是11，最大是16．点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是判断出：要使这个和最小，则5个圆圈共有的5个数的和最小；要使这个和最大，则5个圆圈共有的5个数的和最大．12．4.【解析】试题分析：首先根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；然后根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a ﹣*+31…②；再根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；再根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；再根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；再根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；再根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；解：根据第1列和对角线19、g、25、13的各数之和相等，可得g+19+25+13=20+9+23+12，解得g=7；根据第4列和第5行的各数之和相等，可得b+25+14+3=i+8+15+24，解得b=i+5…①；根据第1列和第1行的各数之和相等，可得i+12+23+9=a+b+*+13，解得b=i﹣a﹣*+31…②；由①②，可得a+*=26；根据第5行和对角线i、19、7、25、13的各数之和相等，可得j+8+15+24=19+7+25+13，解得j=17；根据第1行和对角线20、c、7、3、24的各数之和相等，可得a+*+b+13=c+7+3+24，解得c=b+5；根据第2列和第3行的各数之和相等，可得a+c+19+8=23+7+14+16，解得a+c=33；根据第5列和第2行的各数之和相等，可得13+16+10+24=9+c+d+25，解得c+d=29；根据第3列和第4行的各数之和相等，可得*+d+7+15=12+19+3+10，解得*+d=22；综上，可得a=22，*=4，因此d=22﹣4=18，c=29﹣18=11，b=11﹣5=6，f=b﹣1=5，e=（20+22+4+6）﹣（16+10+24）=52﹣50=2，h=（20+22+4+6+13）﹣（12+19+3+10）=65﹣44=21，i=（20+22+4+6+13）﹣（20+9+23+12）=65﹣64=1，h=（20+22+4+6+13）﹣（1+8+15+24）=65﹣48=17．答：标有符号“*”的方格内所填的数是4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的数的和相等”．13．【解析】试题分析：（1）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；然后根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；再根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；再求出另一条对角线上的三个数的和，进而求出c、d、e的值是多少即可．（2）首先根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；然后根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；最后根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，求出三个数的和是多少，进而求出n、m、p、r的值是多少即可．解：（1）根据第2行和第1列的各数之和相等，可得a+95=100+19，解得a=24；根据第3列和对角线95、100、c三个数的和相等，可得f+19=95+100，解得f=176；根据第3行和第2列的三个数的和相等，可得b+100=95+176，解得b=171；另一条对角线上的三个数的和为：24+100+176=300，所以c=300﹣24﹣171=105，d=300﹣100﹣19=181，e=300﹣95﹣176=29．（2）根据第2行和第1列的各数之和相等，可得q+6=5+9，解得q=8；根据第3列和对角线9、8、n三个数的和相等，可得s+6=9+8，解得s=11；根据另一条对角线上的三个数分别是5、8、11，可得三个数的和是：5+8+11=24，所以n=24﹣9﹣8=7，m=24﹣5﹣7=12，p=24﹣8﹣6=10，r=24﹣12﹣8=4．．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一确定每个空格中的数即可．14．11.12．【解析】试题分析：首先根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；然后根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以 4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；由①②③，求出f、c的值，进而求出*是多少即可．解：根据题意，可得c+f=19.95﹣4.33=15.62…①，e+f=19.95﹣8.80=11.15…②；根据第1行和第2列的三个数的和相等，可得*=8.80+c﹣4.33=4.47+c；根据两条对角线上的三个数的和相等，可得*=4.33+f﹣e，所以4.47+c=4.33+f﹣e，整理，可得f﹣c﹣e=0.14…③；由①+②+③，可得3f=26.91，解得f=8.97，所以c=15.62﹣8.97=6.65，所以*=4.47+c=4.47+6.65=11.12．答：标有“*”的方格内所填的数是11.12．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95”，确定出两条对角线上的数分别是多少．15．【解析】试题分析：首先根据第1行和第1列的三个数的和相等，可得第1行的第3个数为：29+19﹣17=31；然后根据第2行的三个数和对角线上的三个数的和相等，可得第2行的第3个数为：19+31﹣29=21；再根据第2行和第2列的三个数的和相等，可得第2列的第3个数为：29+21﹣17=33；最后根据第1行和第3列的三个数的和相等，可得第1行的第1个数比第3列的第3个数多：21﹣17=4，再根据两条对角线上的三个数的和相等，可得第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：19+31=50，据此求出第1行的第1个数和第3列的第3个数分别是多少，进而求出中心方格的数是多少即可．解：第1行的第3个数为：29+19﹣17=31；第2行的第3个数为：19+31﹣29=21；第2列的第3个数为：29+21﹣17=33；第1行的第1个数比第3列的第3个数多：21﹣17=4，第1行的第1个数和第3列的第3个数的和为：19+31=50，所以第1行的第1个数为：50÷2+2=27，第3列的第3个数为：50÷2﹣2=23；中心方格的数为：（27+17+31）﹣（29+21）=75﹣50=25．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等”，逐一判断出每个方格中的数是多少．16．【解析】试题分析：首先在0﹣9这10个数字中，找出0、1、6、8、9这5个数字倒过来是0、1、9、8、6；本题中用了1、6、8、9这4个数字，并且对角线上的数的个位相加都是7，所以本题用不上数字0，所以中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9；然后分析确定出相应的数字即可．解：在0﹣9这10个数字中，有0、1、6、8、9这5个数字倒过来是0、1、9、8、6；本题中用了1、6、8、9这4个数字，并且对角线上的数的个位相加都是7，所以本题用不上数字0，所以中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9；左下右上的圆圈里已经有了91、86，所以最简单的方法只需要在这条对角线里圈里的两个圆圈里填上19、68即可；左上右下的圆圈里已经有了19、68，所以只需要在这条对角线里圈里的两个圆圈里填上91、86即可．答：左上、左下、右上、右下的圆圈里应分别填上：91、68、19、86．实际上，还有很多种方法，例如：点评：此题主要考查了学生的分析推理能力，分析确定出中间的小正方形四个角的圆圈里四个数还是1、6、8、9是解答本题的关键．17．【解析】试题分析：如图，根据每条直线上各数之和都相等，可得a﹣b=9﹣1=8，除1、3、9之外的8个数中只有10、2两个数相差8，所以a=10，b=2；然后根据a+b=c+d，可得c+d=10+2=12，而且c﹣d=3﹣1=2，解得c=7，d=5；最后求出每条直线上的和是多少，进而求出e、f的值是多少即可．解：根据每条直线上各数之和都相等，可得a﹣b=9﹣1=8，除1、3、9之外的8个数中只有10、2两个数相差8，所以a=10，b=2；因为a+b=c+d，可得c+d=10+2=12，而且c﹣d=3﹣1=2，解得c=7，d=5；因此每条直线上的和为：10+3+5=18，所以e=18﹣5﹣7=6，f=18﹣5﹣2=11．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先根据题意，分别求出四个角上的数分别是多少．18．【解析】试题分析：首先根据b、c的差是9，可得b、c只能是10、1各一个；然后根据c是1时，d、f的差是1，所以d、f是两个相邻的自然数，而且d=f+1；b是10时，a、b的差是e，所以a、e只能是2、8或3、7或4、6；（1）当a=2，e=8时，g=9﹣8=1，与c=1矛盾，因此e=2，则g=9﹣2=7；d、f、h、i从3、4、5、6中各取一个，经验证，可得d=6，f=5，h=4，i=3．（2）当a、e是6、4时，g=9﹣4=5，d、f、h、i从2、3、7、8中各取一个，经验证，可得d=8，f=7，h=2，i=3．（3）经验证，当a、e是3、7时，不符合题意．解：根据b、c的差是9，可得b、c只能是10、1各一个；当c是1时，d、f的差是1，所以d、f是两个相邻的自然数，而且d=f+1；当b是10时，a、b的差是e，所以a、e只能是2、8或3、7或4、6；（1）当a=2，e=8时，g=9﹣8=1，与c=1矛盾，因此e=2，则g=9﹣2=7；d、f、h、i从3、4、5、6中各取一个，经验证，可得d=6，f=5，h=4，i=3．，根据对称性，可得满足题意的还有：（2）当a、e是6、4时，g=9﹣4=5，d、f、h、i从2、3、7、8中各取一个，经验证，可得d=8，f=7，h=2，i=3．根据对称性，可得满足题意的还有：（3）经验证，当a、e是3、7时，不符合题意．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是灵活应用“除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差”，逐一确定出每个圆圈中的数字即可．19．【解析】试题分析：如图，根据题意，可得a=（13+17）÷2=15，然后根据13+c=15+d=17+e=2f，可得c=d+2，d=e+2，再根据d+13=2e，可得e+2+13=2e，解得e=15，所以d=15+2=17，c=17+2=19，f=（19+13）÷2=16，据此解答即可．解：如图，根据题意，可得a=（13+17）÷2=15，因为13+c=15+d=17+e=2f，所以c=d+2，d=e+2，又因为d+13=2e，所以e+2+13=2e，解得e=15，所以d=15+2=17，c=17+2=19，f=（19+13）÷2=16．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，解答此题的关键是首先求出a的值，并灵活应用“居中的数是旁边两个数的平均数”这一条件．20．6732489．【解析】试题分析：首先根据题意，可得A、B、C、D、E、F、G中不可能有1，也不可能有5，因此A、B、C、D、E、F、G只能是2、3、4、6、7、8、9各一个；然后根据C的正下方第二个数是3，D的正下方第一个数是2，所以C=3，D=2；根据图示，可得最下面一行中一定没有6，最下面一行中或者左边两个都不是9，或者右边两格都不是9，最下面一行中不可能有2个8，因此最下面一行中必有5，而且只能是A=9，B=8，或者G=9，F=8，经推理，可得G=9，F=8，E=4，A=6，B=7，所以七位数是6732489，据此解答即可．解：因为只有1个1，而且D的正下方第二个数是1，所以A、B、C、D、E、F、G中不可能有1，因为相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），所以A、B、C、D、E、F、G中也不可能有5，因此A、B、C、D、E、F、G只能是2、3、4、6、7、8、9各一个；因为C的正下方第二个数是3，D的正下方第一个数是2，所以C=3，D=2；根据图示，可得最下面一行中一定没有6，最下面一行中或者左边两个都不是9，或者右边两格都不是9，最下面一行中不可能有2个8，因此最下面一行中必有5，而且只能是A=9，B=8，或者G=9，F=8，经推理，可得G=9，F=8，E=4，A=6，B=7，所以七位数是6732489．答：七位数是6732489．点评：此题主要考查了幻方问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是灵活应用“相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）”，逐一确定出每个字母代表的数是多少即可．21．由以上分析可得：．【解析】试题分析：我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”．因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来．这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等．1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写．所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7．这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出．解：根据题意可得：当中间圆圈填入1时，剩下的六个数：2+7=3+6=4+5；那么三条直线上的和是2+7+1=10，而两个圆圈上的三个数2+3+5=10，另外三个数7+6+4=17，所以不符合；当中间圆圈填入7时，剩下的六个数：1+6=2+5=3+4，那么三条直线上的和是1+6+7=14，而两个圆圈上的三个数不论怎么填都得不到14，所以不符合；当中间圆圈填入4时，剩下的六个数：1+7=2+6=3+5；那么三条直线上的和是1+7+4=12，又1+5+6=12，7+3+2=12；由以上分析可得：。
小学四年级奥数幻方教程
小学四年级数学提高教程——幻方与数阵图【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
3、比较法利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。
注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。
4、掌握好3阶幻方中的规律。
【例题】1、如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9 这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。
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第二十讲幻方与数阵图拓展
1．把1，2，…，9填入图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等．
2．(1)如图20.2，在3×３的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
(2)如图20—3，在4×４的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、
每列、每条对角线上所填数之和都相等.
3．在图204所示的3×4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在－些数已经填出，标有符号“木”的方格内所填的数是多少？
4．如图20-5，请在空格中填入适当的数，组成－个三阶幻方．
5．请将图20—6所示的5×５方格表补充完整，使得每个方格内都有－个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5恰好各出现－次，请问：标有符号“△”，“V”和“O”的方格中所填的数分别是什么？
6．请将1至9这9个数填入图20.7中的方框内，使得所有不等号都成立，所有满足要求的填法共有多少种？
7．请在图20.8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7．
8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
9．请在图20-10中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6，使得对每－个小圆圈来说，与它相邻的区域内的数之和都相等．
10.将0至9填入图20-11的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等的，请问：这个和最小是多少？最大是多少？
1．将1，2，3，…，24，25分别填入图20-12的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的数的和相等．现在已经填入了－些数，标有符号“术”的方格内所填的数是多少？
2．请在图20-13的每个空格内填入－个合适的数，使得每行、每列及两条
对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
3．(1)在图20-14的每个空格内填入－个数，使得每行、每列及两条对角线
上的3个方格中的各数之和都等于19.95.那么，标有“球”的方格内所填的数是多少？
(2)请在图20-15的每个空格内填入－个合适的数，使得每行、每列及两条
对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
4．如图20-16，大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264.奇妙的是，把这个图倒过来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264.请你在中间的小正方形的4个角的圆圈里，填入另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也
都是264.
5．将1、2、3、5、6、7、9、10、1 1填入图20-17中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．
6．请将1至10填入图20-18中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第－行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
7．在图20-19的7个圆圈内各填－个数，要求对于每－条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
8．请将1个1，2个2，3个3，…，8个8，9个9填入图20-20中，使得相同的数所在的方格都连在－起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCDEFG是多少？
9．将数字1、2、3、4、5、6、7填入图20-21中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．
10.将1至9填入图20-22中的9个圆圈内，使4个大圆周上的4个数之和都等于16.
11.图20-23中－共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填－个．如果要求图中的3个2x2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出－种填法．
12.如图20-24，大三角形被分成了9个小三角形，试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填－个数，要求靠近大三
角形三条边的每5个数相加的和相等．这5个数的和最大可能是多少？请给出－种填法，
1．请在图20-25的每个空格内填入－个合适的数，使得每行、每列及两条
对角线上的3个方格中的各数之和都相等．
2．图20-26是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每－条直线上圆圈中的各数之和相等，美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．
3．在图20-27中有6个正方形，请你将1至9填入图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．
4．在图20-28的七个圆圈中填入－些自然数，要求所填的自然数中最小的
－个数是1，并且相邻两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆
圈之间标出的数字．
5．将1至9分别填入图20-29中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内所填数之和都相等，那么这个和是多少？
6．将0，1，2，…，9这10个数分别填入图20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．
7．在图20-31中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个圆圈中的数之和等于43.
8．图20-32中共有10个圆圈，6条直线．请问：
(1)能否将1至10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？
(2)能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？
(3)请从1至11中去掉－个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等．。