历年全国理科数学高考试题立体几何部分含答案

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(一)

1.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如

右图所示,则相应的俯视图可以为

2.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,23AB BC ==,则棱锥

O ABCD -的体积为 。

3.如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为平行四

边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明:PA⊥BD;

(Ⅱ)若PD=AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值。

(一)

1.D

2.83

3. 解:(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得3BD AD =

从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD

(Ⅱ)如图,以D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直

角坐标系D-xyz ,则

()1,0,0A ,()03,0B ,,()

1,3,0C -,()0,0,1P 。

设平面PAB 的法向量为n=(x ,y ,z ),则0,0,{

n AB n PB ⋅=⋅=u u u r u u u r

3030

x y y z -+=-=

因此可取n=(3,1,3)

设平面PBC 的法向量为m ,则

m 0,m 0,{

PB BC ⋅=⋅=u u u r

u u u r

可取m=(0,-1,3-) 27

cos ,27

m n =

=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27

7

-

(二)

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

A

23 B 3 C 2

3

D 6

2. 已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB •u u u v u u u v

的最

小值为

(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+

3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(A)

23 (B)43 (C) 23 (D) 83

4. 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .

(Ⅰ)证明:SE=2EB ; (Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .

(二)

1. D

2. D

3. B

4. 解法一:

(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ,连接BG,

由此知 1,DG GC BG ===即ABC ∆为直角三角形,故BC BD ⊥. 又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,

所以,BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .

作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足,因平面平面,

故,BK EDC BK DE DE ⊥⊥平面,与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直 DE ⊥平面SBC ,DE ⊥EC,DE ⊥SB 所以,SE=2EB

(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知

2

2

121,AD=133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫

=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

又.

故ADE ∆为等腰三角形.

取ED 中点F,连接AF ,则226

,AF DE AF AD DF ⊥=-=

. 连接FG ,则//,FG EC FG DE ⊥.

所以,AFG ∠是二面角A DE C --的平面角.

连接AG,AG=2,2263

FG DG DF =-=

, 2221

cos 22

AF FG AG AFG AF FG +-∠==-g g ,

所以,二面角A DE C --的大小为120°. 解法二:

以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系D xyz -, 设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)

(Ⅰ)

(0,2,-2),(-1,1,0)SC BC ==u u u r u u u r 设平面SBC 的法向量为n=(a, b, c)

由,n SC n BC ⊥⊥u u u r u u u r ,得0,0n SC n BC ==u u u r u u u r

g g

故2b-2c=0,-a+b=0

令a=1,则b=c,c=1,n=(1,1,1)

又设SE EB λ=u u r u u u r

(0)λ>,则

设平面CDE 的法向量m=(x,y,z)

由,m DE m DC ⊥⊥,得 0m DE ⊥=,0m DC ⊥= 故

20,20111x y z

y λλλλλ

++==+++. 令2x =,则(2,0,)m λ=-.

由平面DEC ⊥平面SBC 得m ⊥n,0,20,2m n λλ=-==g 故SE=2EB

(Ⅱ)由(Ⅰ)知222(,,)333E ,取DE 的中点F ,则111211

(,,),(,,)333333

F FA =--u u u r ,

故0FA DE =u u u r u u u r

g ,由此得FA DE ⊥

又242

(,,)333EC =--u u u r ,故0EC DE =u u u r u u u r g ,由此得EC DE ⊥,

向量FA u u u r

与EC uuu r 的夹角等于二面角A DE C --的平面角

于是 1

cos(,)2||||FA EC FA EC FA EC ==-u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u

u r u u u r 所以,二面角A DE C --的大小为120o

(三)

1. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为( )(A )

34 (B )54 (C )74 (D) 3

4

2. 已知二面角l αβ--为60o ,动点P 、Q 分别在面α、β内,P 3Q 到α的距离为23P 、Q 两点之间距离的最小值为( ) (A) (B)2 (C) 3 (D)4

3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒,

则此球的表面积等于 。

4.如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,

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