斐波那契法(最优化一维搜索)
斐波那契算法
斐波那契算法
斐波那契数列又称黄金分割数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci, 1170-1250)在公元1202年提出的。
斐波那契数列是一个递归数列，由两个属性决定，第一个数字叫做种子，后一个数字叫做步长。
斐波那契数列是一个著名的数学定理。
其定义为：从第三项起，每一项都是它前面两项的和，即：
F0=0;F1=1;F2=F1+F0=1,得到F3=F2+F1=2;F4=F3+F2=3;以此类推，得出序列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55....
来自斐波那契数列的规律我们可以发现，斐波那契数列的特点是数列中的每一项都是它前两项的和，当前一项和它的后面项之间的比例接近于黄金比例。
斐波那契数列在许多领域有着广泛的应用，它可以准确地预测动物存活时间、天文计算中移动物体的轨道，在工程设计中应用广泛，使用户节省很多时间。
斐波那契数列的应用大致分为以下三类:
1. 解决工程实际的问题，比如求解叶轮等制造中的齿轮比、调节问题，还有建筑师设计空间的方案，根据斐波那契数列可实现最佳的设计等。
2. 生物学方面，斐波那契数列可以被用来研究动物、植物等生物种群的保持能力。
3. 在数学研究中，斐波那契数列还可用于推导其他数列，同时链接数论、进化论、微分方程等学科，或许引出崭新的数学结构。
从上面的叙述中我们可以知道，斐波那契数列的应用范围十分广泛，不管是数学研究，工程设计，还是其他科学研究都有着重要的意义和作用。
正是由于斐波那契数列的优势，使它得到了大量的应用，得到不断的完善和发展，在许多学科方面都发挥了着重要的作用。
最优化方法课程设计-斐波那契法分析与实现-完整版
斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进 行的，斐波那契法成功地实现了单峰函数极值范围的缩减.从理论上来说，斐波 那契法的精度比黄金分割法要高.但由于斐波那契法要事先知道计算函数值的次 数，故相比之下，黄金分割法更为简单一点，它不需要事先知道计算次数，并且 当n7时，黄金分割法的收敛速率与斐波那契法越来越接近.因此，在实际应用 中，常常采用黄金分割法. 斐波那契法也是一种区间收缩算法，和黄金分割法不 同的是：黄金分割法每次收缩只改变搜索区间的一个端点，即它是单向收缩法. 而斐波那契法同时改变搜索区间的两个端点，是一种双向收缩法.
关键字：一维搜索斐波那契法单峰函数黄金分割法MATLAB
Abstract
Mathematicalsciencesisamajortrendincontemporary scientific development, optimizationtheoryandalgorithmsisanimportantbranchofmathematics,theproblemsitwasdiscussedinnumerousresearchprogramsinthe bestofwhat programsandhowtofindtheoptimalsolution.
2.3斐波那契法原理………………………………………………………………3
2.4斐波那契法与黄金分割法的关系……………………………………………6
3.斐波那契法实现………………………………………………………7
最优化方法-一维搜索方法
% CopyRight@XiaBo % Date:2008.3.20
%% 定义搜索函数fun function f = fun(x) % 这里是一个简单的函数定义， 倘若在一个大型的优化计算中，这个函数一般是和第k 步的迭代点和下降方向有关的 % 是一个关于步长的函数 % x --- 待求步长值 f = x^2-x+2;
.
一维最优化问题：
极值点的必要条件：
f '( x ) 0
3
1. 下单峰函数 定义：设 f ( x ) 是区间 [ a , b ] 上的一元函数，x 是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的极小点，且对任意的 x1 , x2 [ a , b ], x1 x2 , 有 （a）当 x 2 x 时，f ( x1 ) f ( x2 ); （b）当 x1 x 时，f ( x1 ) f ( x2 ) .
cxbx的极小点解出及其的函数值最小的三个点中选择重新标记为左右两点31作业小结各种精确一维搜索算法3233距离最优解远的时候精度太大算法效率低只要求有充分下降即可这种类似与充分足够等描述词汇在与计算相关的描述中要特别在意因为这里的充分已经不再是理论上的要求这里的充分必须与可计算相关到底要多充分就是这里的非精确搜索的准测34armijo是使得下述不等式成立的最小非负整数下有界wolfe准则
2. 若 bk a k , 停止， 且
bk a k . 否则， 2 当 f ( k ) f ( k ) 时，转 3；当 f ( k ) f ( k ) 时，转 4. x
bk 1 bk ,
3. 令 a k 1 k ,
k 1 k ,
k 1 a k 1 0.618(bk 1 a k 1 ), 计算 f ( k 1 ), 令 k : k 1, 转 2。
fibonacci法的算法步骤
fibonacci法的算法步骤Fibonacci法是一种基于斐波那契数列的搜索算法，可以用于解决一些优化问题，例如最小化费用的路径问题。
本文将介绍Fibonacci法的算法步骤。
一、斐波那契数列在介绍Fibonacci法之前，我们先来了解一下斐波那契数列。
斐波那契数列是一个以0和1开始，后面每一项都等于前两项之和的数列，如下所示：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...二、Fibonacci堆Fibonacci堆是一个基于斐波那契数列的数据结构，它具有以下特点：1. 每个节点有一个指向其父节点、左兄弟节点、右兄弟节点、子节点中最小节点的指针。
2. 每个节点还有一个度数表示其子树中包含多少个子节点。
3. 所有根节点构成一个双向循环链表。
4. 堆中包含最小值节点指针。
三、Fibonacci法算法步骤1. 初始化：创建一个空堆，并将所有顶点加入堆中。
2. 循环直到堆为空或者找到目标顶点：（1）从堆中取出最小值顶点。
（2）如果该顶点是目标顶点，则结束循环。
（3）否则，将该顶点从堆中删除，并将其所有邻居的距离更新为“当前距离+边权”。
（4）对于每个邻居节点，如果其不在堆中，则将其加入堆中；否则，更新堆中该节点的值。
3. 返回结果：如果找到了目标顶点，则返回从起始顶点到目标顶点的最小距离；否则，返回无穷大。
四、Fibonacci法的优缺点1. 优点：（1）相比于Dijkstra算法和A*算法，Fibonacci法具有更快的运行速度和更低的空间复杂度。
（2）Fibonacci堆可以在常数时间内合并两个堆，因此可以用于处理动态图问题。
2. 缺点：（1）由于Fibonacci堆包含大量指针和链表操作，因此实现相对复杂。
（2）在稠密图上运行时，Fibonacci法可能会比Dijkstra算法慢。
斐波那契查找算法（黄金分割查找算法）
斐波那契查找算法（黄⾦分割查找算法）什么是斐波那契查找斐波那契数列，⼜称黄⾦分割数列，指的是这样⼀个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、····，在数学上，斐波那契被递归⽅法如下定义：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=f(n-1)+F(n-2) （n>=2）。
该数列越往后相邻的两个数的⽐值越趋向于黄⾦⽐例值（0.618）。
斐波那契查找就是在⼆分查找的基础上根据斐波那契数列进⾏分割的。
在斐波那契数列找⼀个等于略⼤于查找表中元素个数的数F[n]，将原查找表扩展为长度为F[n](如果要补充元素，则补充重复最后⼀个元素，直到满⾜F[n]个元素)，完成后进⾏斐波那契分割，即F[n]个元素分割为前半部分F[n-1]个元素，后半部分F[n-2]个元素，找出要查找的元素在那⼀部分并递归，直到找到。
斐波那契查找的时间复杂度还是O(log 2 n )，但是与折半查找相⽐，斐波那契查找的优点是它只涉及加法和减法运算，⽽不⽤除法，⽽除法⽐加减法要占⽤更多的时间，因此，斐波那契查找的运⾏时间理论上⽐折半查找⼩，但是还是得视具体情况⽽定。
对于斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……（也可以从0开始），前后两个数字的⽐值随着数列的增加，越来越接近黄⾦⽐值0.618。
⽐如这⾥的89，把它想象成整个有序表的元素个数，⽽89是由前⾯的两个斐波那契数34和55相加之后的和，也就是说把元素个数为89的有序表分成由前55个数据元素组成的前半段和由后34个数据元素组成的后半段，那么前半段元素个数和整个有序表长度的⽐值就接近黄⾦⽐值0.618，假如要查找的元素在前半段，那么继续按照斐波那契数列来看，55 = 34 + 21，所以继续把前半段分成前34个数据元素的前半段和后21个元素的后半段，继续查找，如此反复，直到查找成功或失败，这样就把斐波那契数列应⽤到查找算法中了。
优化方法及其工程应用中的斐波那契法
优化方法及其工程应用中的斐波那契法斐波那契法是一种常见的数学算法，被广泛应用于计算机科学和工程领域。
然而，随着问题规模的增大，斐波那契法的效率往往变得低下。
因此，研究人员提出了一系列优化方法来改进斐波那契法，并将其应用于各种工程项目中。
一、优化方法1. 迭代法：传统的斐波那契法使用递归方式计算，但递归会导致大量重复计算，影响效率。
迭代法是一种基于循环的计算方法，通过保存中间结果避免了重复计算，从而提高了效率。
2. 矩阵乘法：斐波那契数列可以通过矩阵乘法的方式来计算。
将斐波那契数列的递推关系转化为矩阵形式，可以利用矩阵乘法的高效性质来加速计算过程。
3. 存储优化：斐波那契法中的关键是保存中间结果，以避免重复计算。
传统的方法使用数组或列表来保存中间结果，但随着问题规模的增大，存储空间的需求也会增加。
因此，研究人员提出了一些存储优化的方法，如使用位操作或只保存最近的几个中间结果。
4. 并行计算：斐波那契法可以通过并行计算的方式来提高效率。
将斐波那契数列的计算任务划分为多个子任务，并行地计算这些子任务，最后将结果合并得到最终的结果。
通过利用多核处理器或分布式计算系统，可以进一步提高计算速度。
二、工程应用1. 金融领域：斐波那契数列在金融领域有广泛应用，如股票价格预测、期权定价等。
优化的斐波那契法可以提高计算效率，减少计算时间，为金融决策提供更快速、准确的支持。
2. 图像处理：斐波那契数列的特性被应用于图像处理领域，如生成斐波那契序列的图案、图像压缩算法等。
通过优化斐波那契法，可以加快图像处理的速度，提高图像处理的效果。
3. 编码算法：斐波那契数列的特性被广泛应用于编码算法中，如霍夫曼编码、动态规划等。
通过优化斐波那契法，可以改进编码算法的性能，提高编码效率。
4. 算法设计：斐波那契法作为一种经典的算法，被广泛应用于算法设计和分析中。
优化的斐波那契法可以提高算法的效率和性能，为解决实际问题提供更好的解决方案。
一维搜索-最优化方法
止 ； 否则 ， ������0 = ������1 ，转（2） 。
例题：用切线法求Ψ(t) =������2-5t+2 , 在定义域 t ∈ ( 0 , 10 ) 上的极小点 ， 要求 ε = 0.2 。
切线法（Newton法）
设Ψ(t)是区间(a , b)上的二次可微的单谷函数，������∗ 是 Ψ(t) 在 (a , b)上的极小值点， ������������ 是 ������∗ 的一个近似点。 目标 函数Ψ(t) 的一阶导数为������ = Ψ’(t) ，过点 (������������, Ψ’(������������) ) 作导函数 Ψ’(t) 的图像的切线，则此切线的方程为
在实践工作中，应根据问题的具体特点以及工作条 件来选用相应的合适算法。不过，从以往的实践中 来看，0.618法和对分法使用的更多一些。
可望达到上述的最小值，
所以有 c-a = b-c ， 即 c = 0.5(b-a)
对分法的步骤
设单谷函数 Ψ（t）存在导函数Ψ’（t），极小值点的初始搜索 区间为(a。，b。），要求极小值点的近似值 ������ҧ 与精确极小值 点 t* 的最大绝对误差 ������ − ������ ∗ ҧ 不超过 ε 。
⑴ 令 a=a。 , b=b。;
⑵ 令 c = 0.5(b-a)，计算Ψ’(c);
⑶ 若 Ψ’(c)ຫໍສະໝຸດ <0 ，令 a=c , 转到⑷
若 Ψ’(c)>0 ，令 b=c ，转到⑷
常用一维搜索算法
常用一维搜索算法常用一维算法一维算法是解决一维问题的常用方法。
一维算法主要通过在一维数据集中查找目标元素来解决问题。
以下是一些常用的一维算法：1. 线性（Linear Search）：线性算法是一种最简单的算法，也是最基本的一维算法。
它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，直到找到目标元素或遍历完整个数据集。
线性算法的时间复杂度为O(n)。
2. 二分（Binary Search）：二分算法是一种高效的算法，但它要求数据集必须是有序的。
算法通过将数据集分成两半，并与目标元素进行比较，从而确定目标元素在哪个半部分中。
然后，它将重复这个过程，直到找到目标元素或数据集被划分为一个元素。
二分算法的时间复杂度为O(log n)。
3. 插值（Interpolation Search）：插值算法是改进的二分算法，它根据目标元素与数据集中元素的相对位置来确定的起始位置。
它使用目标元素与数据集首尾元素之间的比例来估计目标元素的位置。
插值算法在数据集分布均匀的情况下具有较好的性能。
4. 斐波那契（Fibonacci Search）：斐波那契算法基于斐波那契数列来确定的起始位置。
它通过比较目标元素与斐波那契数列中的元素来确定的范围，并将数据集划分成两部分。
然后，它在适当的部分中重复这个过程，直到找到目标元素。
斐波那契算法的时间复杂度为O(log n)。
5. 插入（Interpolation Search）：插入算法是一种改进的线性算法，它使用了数据集中元素的顺序信息来提高效率。
与线性算法一样，它从头到尾依次检查数据集中的每个元素，但是当元素不满足条件时，它会根据元素的顺序信息来确定的方向，从而减少的次数。
6. 哈希（Hash Search）：哈希算法使用哈希函数将数据集中的元素映射到哈希表中的索引。
然后，它通过查找哈希表中的索引来确定目标元素的位置。
哈希算法通常具有很高的效率，但是它需要额外的内存空间来存储哈希表。
上述算法是一维问题的常用解决方法。
最优化方法实验报告（1）
最优化方法实验报告（1）最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And Its Applications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验一实验名称：熟悉matlab基本功能实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：在本次实验中，通过亲临使用MATLAB，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。
二、实验内容：1. 全面了解MATLAB系统2. 实验常用工具的具体操作和功能实验二实验名称：一维搜索方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过上机利用Matlab数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景：(一）0.618法（黄金分割法），它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3）置11111110.382*()k kk k k k k k k k a b b a b a λλμμ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（4）置11111110.382*()k k k k k k k k k k a a b a b a μμλλ+++++++=??=??=??=+-?转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。
最优化理论
一维搜索:1精确一维搜索精确一维搜索可以分为三类：区间收缩法、函数逼近法（插值法）、以及求根法。
区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。
包括：黄金分割法、成功失败法、斐波那契法、对分搜索法以及三点等间隔搜索法等。
优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。
确定初始区间的方法：进退法①已知搜索起点和初始步长；②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向；③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。
1.1黄金分割法：黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。
具有对称性以及保持缩减比原则。
优点：不要求函数可微，除过第一次外，每次迭代只需计算一个函数值，计算量小，程序简单；缺点：收敛速度慢；函数逼近法（插值法）：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。
从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。
1.2牛顿法：将目标函数二阶泰勒展开，略去高阶项后近似的替代目标函数，然后用二次函数的极小点作为目标函数的近似极小点。
牛顿法的优点是收敛速度快，缺点是需要计算二阶导数，要求初始点选的好，否则可能不收敛。
1.2抛物线法：抛物线法的基本思想就是用二次函数抛物线来近似的代替目标函数，并以它的极小点作为目标函数的近似极小点。
在一定条件下，抛物线法是超线性收敛的。
1.3三次插值法：三次插值法是用两点处的函数值和导数值来构造差值多项式，以该曲线的极小点来逼近目标函数的极小点。
一般来说，三次插值法比抛物线法的收敛速度要快。
精确一维搜索的方法选择：1如目标函数能求二阶导数：用Newton法，收敛快。
2如目标函数能求一阶导数：1如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快；2对分法、收敛速度慢，但可靠；3只需计算函数值的方法：1二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强；2黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠；4减少总体计算时间：非精确一维搜索方法更加有效。
斐波那契哈希最优算法
斐波那契哈希最优算法斐波那契哈希(Fibonacci hash)是一种哈希算法，它使用斐波那契数列的性质来减少哈希冲突的可能性，并提高哈希表的性能。
在斐波那契哈希算法中，使用一个无序的斐波那契数列作为哈希表的容量，在插入元素时将元素哈希到最接近斐波那契数的位置上。
首先，我们需要了解什么是斐波那契数列。
斐波那契数列是指从0和1开始，后面的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的前几项为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,……1.初始化斐波那契数列：由于哈希表的容量是无序的斐波那契数列，我们需要找到最接近并且小于要求容量的斐波那契数列项。
2.插入元素：将元素哈希到距离目标位置最近的斐波那契数位置上。
具体来说，可以通过计算元素的哈希值与斐波那契数的差值的绝对值，找到离目标位置最近的斐波那契数。
3.处理冲突：如果目标位置上已经有元素存在，我们可以使用线性探测或者二次探测等方式来解决冲突。
4.动态扩容：当哈希表中元素的数量达到斐波那契数列中的下一个数值时，需要进行扩容操作，重新计算斐波那契数列。
5.删除元素：删除元素的操作与插入操作类似，只是需要将目标位置上的元素标记为删除状态，而不是实际移除。
利用斐波那契哈希算法，可以有效减少哈希冲突的可能性，提高了哈希表的性能。
然而，斐波那契哈希算法的主要缺点是插入和删除操作的时间复杂度为O(n)，其中n是斐波那契数列中的位置，因此在一些对插入和删除操作非常敏感的场景中，斐波那契哈希算法可能不适用。
需要提醒的是，斐波那契哈希算法虽然在一定程度上减少了哈希冲突的发生，但并不能完全避免冲突。
在实际使用中，需要根据具体的场景和需求来选择合适的哈希算法，以达到最佳的性能和效果。
总结起来，斐波那契哈希算法是一种利用斐波那契数列作为哈希表容量的方法，以减少哈希冲突并提高哈希表性能的算法。
该算法的核心思想是使用斐波那契数列的无序性和间隔较大的特点，将元素哈希到距离最近的斐波那契数位置上。
斐波那契查找算法详解
斐波那契查找算法详解斐波那契查找算法详解说明1. 斐波那契查找算法核⼼思想类似于⼆分查找和插值查找，区别在于对标志值，即 mid 的设计算法不⼀样，⼆分查找直接重⽤中间值作为标杆，插值查找使⽤⾃适应确定mid,⽽斐波那契查找算法则使⽤黄⾦分割，使得mid总是处于查找数列的黄⾦分割点位置2. 因为斐波那契数列越到后边，相邻两数的⽐值越发接近0.618，也就是黄⾦分割⽐，因为可以巧妙的使⽤斐波那契数列寻找数组中的黄⾦分割点，即mid对应的下标3. 因此需要先构建⼀个斐波那契数列，可以使⽤递归的⽅法或者⾮递归的⽅式4. 使⽤斐波那契数列寻找数组的黄⾦分割点公式为： mid = low + f (k - 1) - 1,k为当前斐波那契数对应的索引5. 使⽤斐波那契数列查找，需要先将当前数组的长度构建为第⼀个⽐数组长度⼤的斐波那契数，这个数对应的索引就是 k ,可以使⽤循环的⽅法6. 将构建的新数组后边补零的位置替换为数组中的最后⼀个位置，即最⼤值7. 准备⼯作准备好后，就可以计算当前数组的黄⾦分割值，然后获取到当前黄⾦分割值对应的元素8. 将这个元素和要查找的元素进⾏⽐较，然后重置左右指针和重置后数组对应的黄⾦分割点9. 当查找完所有的元素后，如果没有找到，则返回 - 110. 注意斐波那契数列的特性即当索引 > 2时，当前位置元素 = 前两个位置元素之和，⽽前两个位置元素之⽐刚好是满⾜黄⾦分割，正是基于这样的特性，才有公式 mid = low + f (k - 1) - 111. 斐波那契查找算法不易理解，须慢慢体会12. 源码及详解见下源码及分析//斐波那契数列的最⼤长度public static int maxSize = 20;public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 23, 45, 66, 67, 88, 90, 100};int index = fisSearch(arr, 88);System.out.println("index = " +index);}//构建斐波那契数列public static int[] fis() {int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < f.length; i++) {f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;}/*** 斐波那契查找算法实现** @param arr 要查找的原始数组* @param key 要查找的值* @return 查找的结果*/public static int fisSearch(int[] arr, int key) {//数组左侧索引int low = 0;//数组右侧索引int high = arr.length - 1;//⽐右侧索引⼤的第⼀个斐波那契数对应的索引int k = 0;//黄⾦分割点int mid = 0;//斐波那契数列int[] f = fis();//由数组最⼤值计算kwhile (high > f[k] - 1) {k++;}//因为f[k]的值可能⼤于数组的长度，因此需要给原数组扩容到长度 == f(k)int[] tmp = Arrays.copyOf(arr, f[k]);//调⽤copyOf⽅法后在扩容部分全部补了0，实际上需要补数组的最后⼀位for (int i = high + 1; i < tmp.length; i++) {tmp[i] = arr[high];}//使⽤while循环来查找需要找的数while (low <= high) {//先计算黄⾦分割点mid = low + f[k - 1] - 1;//判断黄⾦分割点的元素和要查找的元素的关系 //如果要查找的值在mid左边，重置high和kif (tmp[mid] > key){high = mid - 1;k--;//如果要查找的值在mid右边}else if (tmp[mid] < key){low = mid + 1;k -= 2;//否则找到该元素}else {if (mid <= high){return mid;}else {return high;}}}//如果循环结束后还没有找到，说明没有return -1;}。
最优化方法课程设计 斐波那契法分析与实现
2. 斐波那契法分析
斐波那契法的一维搜索过程是建立在一个被称为斐波那契数列的基础上进 行的.在此之前，有必要知道区间缩短率以及斐波那契数列的概念. ·2.1 区间缩短率 定义 2.1.1 在逐次缩短区间时，设
b1 a1 1 0 1 1 , ba
b2 a 2 2 0 2 1 , b1 a1
……
2
bk a k k 0 k 1 , bk 1 a k 1
称 k k 1,2, 为区间缩短率. 对于上面的 k 不外乎两种情况，要么 k c ，要么 k c ( c 为常数).第一种 情况就可以引入前面提到的黄金分割法， 第二种情况就是下面要分析的斐波那契 法. ·2.2 斐波那契数列 斐波那契数列是 13 世纪,由意大利的数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)提出的，当时和兔子的繁殖问题有关，它是一个很重要的数学模型. 斐波那契数列，又被称为“黄金分割数列” ，它指的是这样的一个数列：数列的 第一个和第二个数都为 1，接下来每个数都等于前面两个数的和. 在数学上，斐波那契数列有如下的递归定义：
f x1 f x 2 ， 则 对 x a, x1 ， 有 f x f x 2 ； 如 果 f x1 f x 2 ， 则 对 x x 2 , b ，有 f x f x1 .
证明： （反证法）先证第一种情形.假设当 f x1 f x 2 时， x a, x1 ，使得
关键字：一维搜索
斐波那契法
单峰函数
黄金分割法
MATLAB
Abstract
Mathematical sciences is a major trend in contemporary scientific development, optimization theory and algorithms is an important branch of mathematics, the problems it was discussed in numerous research programs in the best of what programs and how to find the optimal solution . One-dimensional search is the best method of seeking functions of one variable on the merits of a certain interval. Such methods not only have practical value, but also a large number of multi-dimensional optimization methods rely on a series of one-dimensional optimization article on Fibonacci the one-dimensional search method carried out a detailed analysis, and successful in MATLAB Fibonacci method for solving unimodal function minimization problem. Fibonacci method of one-dimensional search process is based on the Fibonacci sequence is called a Fibonacci conducted on, Fibonacci method successfully achieved a unimodal function extreme range reduction. Theory , Fibonacci method accuracy is higher than the golden section method, but the number of times due to the Fibonacci method to calculate function values to know in
斐波那契法(最优化一维搜索)
1•用斐波那契法求函数f(t) = t26t+2的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于区间［0,10］的5%1解：由题意5%，由斐波那契数列F n丄，则n=7，a0 0，b0 10所以选择t6为极小点, f (t6) 6.89。
60 35121'105・F&八、80 1 F6心130 t1 = b0 (b0 a0)= J t1 a0 L (b。
a°) , 5 F7 21 F7 21将t1和t1代入函数，比较大小有f(t1)f (t1)180 130 F5 50则有a1a00，t2 t1 ，b1 t1 t2 b1 (b1 aj21 21 F6 21将t2和t2代入函数，比较大小有f(t2)f (t2)-150 80 F430 则有a2 a1t3 t2 ，b2 t2 t3 b2 (b2 a?)21 21 F5 21将t3和t a代入函数，比较大小有f(t3)f (t s)，30 1 50 80 1 F3 60 则有a3 t3，t4 t3 ，b3 b2 t4 a3 (b3 a3)21 21 21 F4 21将t4和t4代入函数，比较大小有f(t4)f (t4)，50 1 60 , , 80 ' F2 、70则有a4 t4't5 t4 b b3 ，t5 a4 - (b4 a4 )21 21 21 F3 21将t5和t5代入函数，比较大小有f(t5)f (t5)，… 60 ，70 , , 80则有a5t5-，t6 t5 ，t>5 b421 21 2160 80 60 351 则令t6 a5 ( 1)(b5 a 15) (0.5 0.01) ( )F2 21 21 21 105将t6和t6代入函数，比较大小有f(t6)f (t6)，则a6 a5 60，b6 t6 351，区间为:21 1052.用斐波那契法求函数f(t)=cost 的近似极小点和极小值，要求缩短后的区间不大于区间［0,2 ］的0.08倍1解：由题意0.08，由斐波那契数列 F n，则n=6， a 0 0, b 0 2将t 1和t 1代入函数，比较大小有 f (tj f (t 1)将t 5和t 5代入函数，比较大小有f (t 5) f (t 5)，1012则有a 5t 5， b 5 b 4131310 12区间1313所以选择t 5 为极小点，f 住5)f(10) 0.913325t i b F5(b 0 a 。
斐波那契分治算法
斐波那契分治算法引言斐波那契数列是一个经典的数学问题，在计算机科学中有着重要的应用。
斐波那契分治算法是一种高效地计算斐波那契数列的方法。
本文将详细介绍斐波那契分治算法的原理和实现，并对其效率和优缺点进行讨论。
什么是斐波那契数列斐波那契数列是一个以递归的方式定义的数列，每个数字都是前两个数字的和。
数列的前几个数字通常为0、1或者1、1。
斐波那契数列的前几项如下： 1. 0 2. 1 3. 1 4. 2 5. 3 6. 5 7. 8 …斐波那契分治算法的原理斐波那契分治算法将计算斐波那契数列的任务划分为更小的子任务，并通过递归的方式解决子问题。
该算法的基本思想是将原问题划分为两个相同类型的子问题，并通过将这些子问题的解合并得到原问题的解。
具体而言，斐波那契分治算法的步骤如下：步骤1：定义基本情况定义斐波那契数列的前几个数字作为基本情况，用于终止递归。
步骤2：划分问题将问题划分为两个相同类型的子问题。
例如，计算斐波那契数列的第n个数字，可以划分为计算第n-1个数字和第n-2个数字两个子问题。
步骤3：递归地解决子问题使用递归的方式解决划分出的子问题。
递归终止的条件是达到了定义的基本情况。
步骤4：合并子问题的解将子问题的解合并，得到原问题的解。
斐波那契分治算法的实现具体实现斐波那契分治算法的伪代码如下：function fibonacci(n):if n is 0 or 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)这段伪代码展示了斐波那契分治算法的递归实现。
在实际编程中，可以使用动态规划等方法来优化算法的效率。
斐波那契分治算法的效率斐波那契分治算法的时间复杂度为O(2^n)，其中n是要计算的斐波那契数的位置。
这是由于在每一层递归中，需要递归调用两次函数来解决子问题。
这样的复杂度使得斐波那契分治算法在处理较大的n时效率非常低下。
斐波那契分治算法的优缺点斐波那契分治算法的主要优点是简单易懂，容易实现。
利用一维数组计算斐波那契数列的前20项
一维数组是一种常见的数据结构，它可以用来存储一组有序的数据。
在计算机编程领域，一维数组通常被用来表示一系列的数值或者其他类型的数据。
本文将介绍如何利用一维数组来计算斐波那契数列的前20项。
斐波那契数列是由意大利数学家斐波那契在13世纪提出的一个数列，它的定义如下：数列的第一项和第二项都是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
即F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中n>2。
计算斐波那契数列的前20项可以用多种方法，其中一种方法是利用一维数组来存储数列的每一项。
下面将介绍如何使用一维数组来计算斐波那契数列的前20项。
1. 创建一个长度为20的一维数组fibonacci，用来存储斐波那契数列的前20项。
数组的第一个和第二个元素分别赋值为1，表示数列的前两项。
2. 使用一个循环来计算数列的后18个项。
在每一次循环中，将数组的第i个元素赋值为数组的第i-1个元素和第i-2个元素的和。
具体的代码如下所示：```int fibonacci[20];fibonacci[0] = 1;fibonacci[1] = 1;for (int i = 2; i < 20; i++) {fibonacci[i] = fibonacci[i-1] + fibonacci[i-2];}```3. 完成上述步骤后，数组fibonacci中存储的就是斐波那契数列的前20项。
可以将数组的内容打印出来，以验证计算的正确性。
以下是打印数组内容的代码：```for (int i = 0; i < 20; i++) {cout << fibonacci[i] << " ";}```通过上述方法，我们成功利用一维数组计算出了斐波那契数列的前20项。
这种方法的优点是简单易懂，代码量少，而且计算效率高。
一维数组的存储结构也符合斐波那契数列的定义，因此很适合用来存储数列的每一项。
凸优化之无约束优化（一维搜索方法：黄金分割法、斐波那契数列法）
凸优化之⽆约束优化（⼀维搜索⽅法：黄⾦分割法、斐波那契数列法）⽬标函数为⼀元单值函数f：R->R的最⼩化优化问题，⼀般不会单独遇到，它通常作为多维优化问题中的⼀个部分出现，例如梯度下降法中每次最优迭代步长的估计。
⼀维搜索⽅法是通过迭代⽅式求解的，这不同于我们⼈脑的直接通过解表达式求解⽅法。
迭代算法是从初始搜索点x(0)出发，产⽣⼀个迭代序列x(1),x(2),...。
在第k=0,1,2，...次迭代中，通过当前迭代点x(k)和⽬标函数 f 构建下⼀个迭代点x(k+1)。
某些算法可能只需要⽤到迭代点处的⽬标函数值，⽽另⼀些算法还可能⽤到⽬标函数的导数 f'(x)，甚⾄是⼆阶导数 f''(x)。
1、问题描述：如果⼀元单值函数 f:R->R 在闭区间[a0,b0]上是单峰的，求解 f 在该区间上的极⼩点。
2、计算机求解⽅法：以下⽅法的本质是：区间压缩(截取)法，通过不断缩⼩极⼩点所在的区间长度到⾜够的精度⽔平来逼近极⼩点。
（1）黄⾦分割法（每次区间截取⽐例为固定值）第⼀步：初始区间[a0,b0]，设定截取⽐例为 r，则第⼀次挑选两个中间点 a1和 b1，它们满⾜对称要求：a1-a0=b0-b1= r(b0-a0)，显然r<1/2，如果 f(a1) < f(b1)，那么极⼩点应该在区间 [a0,b1] 中; 否则，如 f(a1) >= f(b1)，极⼩点应该位于区间 [a1,b0] 中。
第⼆步：经过第⼀次压缩后，极⼩点所在区间变为[a0,b1]，或者[a1,b0]。
假定为[a0,b1]，下⾯需要第⼆次挑选中间点 a2和 b2 。
为了充分利⽤第⼀次的挑选点信息，减少计算次数，那么第⼆次挑选的点 b2可以取第⼀次的挑选点 a1，这样就只需要计算b2（即a1）在新区间上的对称点 a2 和 f(a2) 。
为了实现这样的想法，那么必须满⾜下⾯的要求: r(b1-a0)= b1 - b2=b1-a1 <=> r[b0-r(b0-a0)-a0]=(1-2r)(b0-a0)<=>r2-3r+1=0<=>1-r=(sqrt(5)-1)/2 = 0.618，即每次截取后保留⽐例为0.618 故称此⽅法为黄⾦分割法。
常用一维搜索算法
无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。
这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。
（直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。
间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。
首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。
）在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。
根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。
一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。
一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。
由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。
在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k设Φ(a)=f(x k+ad k)这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。
其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。
一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。
如果求得a k使目标函数沿方向d k达到极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0)则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子;如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维搜索。
斐波那契法
斐波那契法
斐波那契法（Fibonacci Method）是一种古老的数学方法，它是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契发现的。
斐波那契法的重要性在于它能够帮助科学家和工程师在解决复杂问题的时候获得一个近似解，它主要是用来生成一系列数值，通过公式将这些数值拼接在一起，可以解决一些复杂的问题。
斐波那契法的核心思想是：每个数字都是前两个数字之和，也就是：第n个数字是由第n-1个数字与第n-2个数字的和组成。
斐波那契数列的第一个和第二个数字分别是0和1，从第三个开始每个数字都是前两个数字的和，例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34等。
斐波那契法的应用非常广泛，主要应用于找出数学中的最优解，比如最佳表现值，最小误差等。
它可以用来解决大多数数学问题，比如最短路径问题、最小生成树问题、凸包问题（Convex Hull）等。
此外，斐波那契法还能够帮助算法设计者和系统分析师迅速找到最优解，从而大大提高工作效率，节省工作时间。
斐波那契法是一种非常有效的方法，可以快速找到最优解，节省人力和时间成本，提高工作效率，是一种极好的数学方法。
- 1 -。
最优化方法-一维搜索法
搜索区间及其确定方法
• 加步探索法算法的计算步骤： • (1) 选取初始数据．选取初始点 t0 [0, ) (或 t0 [0, tmax ]),
计算0 (t0 ), 给出初始步长h0 0, 加步系数 1,令 k 0 • (2) 比较目标函数值．令 tk 1 tk hk计算 k1 (tk1) ，
方向 Pk 之间应满足
f (Xk1)T Pk 0
4.2
• 事实上，设 (t) f ( X k tPk ), 对 t 求导有
(t) f (X k tPk )T Pk
• 令 '(t) 0, 即 f (X k tPk )T Pk 0 所以 f (X k1)T Pk 0
这一准则对于定义域上的凸函数是完全正确的．若是非凸函数，有 可能导致误把驻点作为最优点。 对于约束优化问题，不同的优化方法有各自的终止准则．
• 定义3.3 当一个算法用于n元正定二次函数求最优 解时，可以从任意初始点出发，至多经过n步迭 代求出最优解，就称此算法具有二次终止性。
• 如果算法具有二次终止性，则认为算法比较好。 • 二次终止性仅仅是判断一个算法优劣的衡量标准
存在
,且
,则称[t1 t2]是函数(t)
的最优解 的一个搜索区间。
搜索区间及其确定方法
•单峰区间和单峰函数有如下有用的性质： •定理3.1 设 : R1 R1, [a, b] 是的单峰区间，任取
t1, t2 [a, b] 并且 t2 t1 ． （1）若有 (t2 ) (t1) ，则 [a, t1 ]是(t) 的单峰区间． （2）若有 (t2 ) (t1) ，则[t2 , b]是(t)的单峰区间．
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短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。
解：由题意=δ5%，由斐波那契数列δ1
≥n F ，则n=7， 00=a ，100=b
1t =0b )(0076a b F F --=2180 , 21
130)(00760'1=-+=a b F F a t , 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f <
则有001==a a ，21801'2==t t ，21130'11==t b ，21
50)(116512=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f < ,
则有012==a a ，21502'3==t t ，2180'22==t b ，21
30)(225423=--=a b F F b t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f >， 则有213033==t a ，2150'34==t t ，218023==b b ，21
60)(33433'4=-+=a b F F a t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有215044==t a ,2160'45==t t ,218034==b b ,21
70)(44324'5=-+=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有216055=
=t a ，2170'56==t t ，218045==b b ， 则令105
351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6=-⨯++=-++=a b F F a t ε， 将6t 和'6t 代入函数，比较大小有)()('66t f t f <，
则216056==a a ，105351'66==t b ，区间为：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡105351,2160 所以选择6t 为极小点，=)(6t f 89.6)2170(
-=f 。
后的区间不大于区间[0,2π]的0.08倍。
解：由题意08.0=δ，由斐波那契数列δ1
≥n F ，则n=6， π2,000==b a .
1310)(006501π=--=a b F F b t , 13
16)(00650'1π=-+=a b F F a t 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f =
则有001==a a ，13101'2π==t t ，1316'11π==t b ，13
6)(115412π=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f > , 则有13622π==t a ，1310'23π==t t ，131612π==b b ，13
12)(22432'3π=--=a b F F a t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f =， 则有13623π==a a ，13103'4π==t t ，1312'33π==t b ，13
8)(333234π=-+=a b F F b t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有13844π=
=t a ,1310'45π==t t ,131234π==b b , 则令325
1310))((44214'5ππε+=-++=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有131055π=
=t a ， 131245π==b b ， 区间为：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1312,1310ππ 所以选择'5t 为极小点，=)('5t f 99.0)3251310(
-=+ππf 。
短后的区间不大于区间[-1,3]的0.08倍。
解：已知08.0=δ，由斐波那契数列δ1
≥n F =12.5，则n=6；3,100=-=b a .
538.0)(006501=--=a b F F b t , 462.1)(006
50'1=-+=a b F F a t 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f <
则有101-==a a ，538.01'2==t t ，462.1'11==t b ，077.0)(115412-=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('
22t f t f > , 则有077.02-=a 538.0'23==t t ，462.112==b b ，846.0)(224
32'3=--=a b F F a t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('
33t f t f >， 则077.023-==a a ，538.03'4==t t ，846.0'33==t b ，231.0)(333
234=-+=a b F F b t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('
44t f t f >， 则有231.044==t a ,538.0'45==t t ,846.034==b b , 则令545.0))((,01.0442
14'5=-++==a b F F a t εε， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f <，
则有231.045==a a ， 545.0'55==t b ，
区间为：[]545.0,231
.0 所以选择5t 为极小点，=)(5t f 751.1。