高斯小学奥数四年级上册含答案第23讲_最值问题一
【精选】小学四年级上册数学奥数题带答案
【精选】小学四年级上册数学奥数题带答案一、拓展提优试题1．今年，小军5岁，爸爸31岁，再过年，爸爸的年龄是小军的3倍．2．观察7＝5×1+2，12＝5×2+2，17＝5×3+2，这里7，12和17被叫做“3个相邻的被5除余2的数”，若有3个相邻的被5除余2的数的和等于336，则其中最小的数是．3．有一个数学运算符号“⊙”，使下列算式成立：2⊙4＝8，4⊙6＝14，5⊙3＝13，8⊙7＝23．按此规定，9⊙3＝．4．某列车通过285米的隧道用24秒，通过245米的大桥用22秒．若该车与另一列长135米，速度为每秒10米的货车相遇，两列车从碰上到全错开用秒．5．将一张长11厘米，宽7厘米的长方形纸沿直线剪开，每次必须剪出正方形，这样最多能剪出个正方形．6．把50颗巧克力分给4个小朋友，每个小朋友分得的巧克力的颗数各不相同．分得最多的小朋友至少可以得颗巧克力．7．甲乙两所学校共有学生864人．新学期开学前，由甲校调入乙校32人，这时甲校还比乙校多48人．原来甲校有个学生．8．小慧从开始站立的A点向西走了15米，到达B点，接着从B点向东走了23米，到达C点，那么从C点到A点的距离是米．9．一个口袋中有5枚面值1元的硬币和6枚面值5角的硬币，小明随意从袋中摸出6枚，那么这6枚硬币的面值的和有种．10．有一筐桃子，4个4个地数，多2个；6个6个地数，多4个；8个8个地数，少2个．已知这筐桃子的个数不少于120，也不多于150，共有个．11．（7分）有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，问在前2007个数中，有是偶数．12．爸爸比儿子大24岁，今年爸爸的年龄是儿子的五倍，年后爸爸的年龄是儿子的三倍．13．小东和小荣同时从甲地出发到乙地，小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米，小荣到达乙地后立即返回，若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距米．14．如图是长方形，将它分成7部分，至少要画条直线．15．四年级的两个班共有学生72人，其中有女生35人，四（1）班有学生36人，四（2）班有男生19人，则四（1）班有女生人．【参考答案】一、拓展提优试题1．【分析】根据“今年，小军5岁，爸爸31岁”求出父子的年龄差是（31﹣5）岁，由于此年龄差不会改变，倍数差是3﹣1＝2，所以利用差倍公式，求出当父亲年龄是儿子年龄的3倍时儿子的年龄，由此进一步解决问题．解：父子年龄差是：31﹣5＝26（岁），爸爸的年龄是小军的3倍时，小军的年龄是：26÷（3﹣1）＝26÷2＝13（岁），13﹣5＝8（年），答：再过8年，爸爸的年龄是小军的3倍．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是根据两人的年龄差不会随着时间的改变而变化，利用差倍公式求出儿子相应的年龄，由此解决问题．差倍问题的关系式：数量差÷（倍数﹣1）＝1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数＝几倍数（较大数）．2．【分析】本题主要考察等差数列中最小的项．解：因为这三个数都是被5除余2，所以这三个相邻的数是个等差数列，中间数是336÷3＝112，所以最小的是112﹣5＝107．【点评】本题主要找到每相邻两个数相差5就能解答．3．解：9⊙3＝9×2+3＝21；故答案为：21．4．解：列车速度为：（285﹣245）÷（24﹣22）＝40÷2，＝20（米）；列车车身长为：20×24﹣285＝480﹣285，＝195（米）；列车与货车从相遇到离开需：（195+135）÷（20+10），＝330÷30，＝11（秒）．答：列车与货车从相遇到离开需11秒．5．解：根据题干分析可得：答：一共可以剪出6个正方形．故答案为：6．6．解：因为要使每个小朋友分得的巧克力的颗数各不相同，第一次先分给这4个小朋友的巧克力数依次为：1、2、3、4，从这里可以看出最后那个人是分得鲜花最多的人；那么还剩下50﹣（1+2+3+4）＝40颗巧克力；如果这40颗巧克力全给最后这个人，那么他最多可分得4+40＝44颗，要想让他分得的巧克力数少，那么剩下的40颗朵，可以再分给每个人10，由此可得出这时每个人的巧克力数为：11、12、13、14，答：分得最多的小朋友至少可以得14颗巧克力；故答案为：14．7．解：甲校比乙校多的人数：32×2+48＝112人，甲校的人数：（864+112）÷2，＝976÷2，＝488（人）．答：原来甲校有488人．故答案为：488．8．【分析】我们通过画图进行解决，向西走15米，然后再向东走23米其实，从C点到A点的距离是就是23米与15米的差．解：画图如下：从C点到A点的距离是：23﹣15＝8（米），答：从C点到A点的距离是8米．9．【分析】从5角的硬币进行分析讨论：首选从袋中摸出6枚全是5角的硬币；（2）从袋中摸出6枚中5枚面值5角的硬币和1枚面值1元的硬币；（3）从袋中摸出6枚中4枚面值5角的硬币和2枚面值1元的硬币；（4）从袋中摸出6枚中3枚面值5角的硬币和3枚面值1元的硬币；（5）从袋中摸出6枚中2枚面值5角的硬币和4枚面值1元的硬币；（6）从袋中摸出6枚中1枚面值5角的硬币和5枚面值1元的硬币．解：由以上分析，得出下列情况：这6枚硬币的面值的和有6种．故答案为：6．【点评】解答此题可从5角的硬币考虑，逐一分析探讨得出结论．10．【分析】可以看做4个4个地数，少2个；6个6个地数，少2个；8个8个地数，也是少2个．也就是4、6、8的公倍数减2．[4、6、8]＝24．可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，x＝6．这筐桃子共有24×6﹣2，计算即可．解：[4、6、8]＝24．这筐桃子的数量可以记作24x﹣2，120＜24x﹣2＜150．x是整数，所以x＝6，这筐桃子共有：24×6﹣2＝142（个）．答：这筐桃子共有142个．故答案为：142．【点评】关键是通过把原题转化，运用了求最小公倍数以及解不等式的方法解决问题．11．【分析】因为前两个数相加得偶数，即奇数+奇数＝偶数；同理，第四个数是：奇数+偶数＝奇数，以此类推，总是奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数…；每三个数一个循环周期，然后确定2007个数里面有几个循环周期，再结合余数，即可得出偶数的个数．解：2007÷3＝669，又因为，每一个循环周期中有2个奇数，1个偶数，所以前2007个数中偶数的个数是：1×669＝669；答：前2007个数中，有699是偶数．故答案为：699．12．解：根据题意，由差倍公式可得：今年爸爸的年龄是儿子的五倍时，儿子的年龄是：24÷（5﹣1）＝6（岁）；爸爸的年龄是儿子的三倍时，儿子的年龄是：24÷（3﹣1）＝12（岁）；12﹣6＝6（年）．答：6年后爸爸的年龄是儿子的三倍．故答案为：6．13．【分析】两人从出发到相遇用了10分钟，也就是二人相遇时都行了10分钟，行了两个单程，因此先求出两人的速度和，再乘上相遇时间，再除以2，解决问题．解：（50+60）×10÷2＝110×10÷2＝1100÷2＝550（米）答：甲、乙两地相距550米．故答案为：550．【点评】此题根据关系式：速度和×相遇时间＝路程，进而解决问题．14．【分析】两条直线把正方形分成4部分，第三条直线与前两条直线相交多出3部分，共分成7部分；第四条直线与前3条直线相交，又多出4部分．共11部分，第五条直线与前4条直线相交，又多出5部分，如下图所示．解：1+1+2+3＝7答：在一个长方形上画上3条直线，最多能把长方形分成7部分．故答案为：3．【点评】此题考查了图形的拆拼．使直线间相互交叉，交点越多，则分割的空间越多．每多第几条直线，就加几个部分．15．【分析】先用两个班的总人数减去四（1）班的人数，求出四（2）班的人数，再用四（2）班的人数减去四（2）班男生的人数，求出四（2）班女生的人数，再用女生的总人数35人，减去四（2）班的女生人数，就是四（1）班的女生人数．解：35﹣（72﹣36﹣19）＝35﹣17＝18（人）答：四（1）班有女生 18人．故答案为：18．【点评】解决本题注意理解题意，把总人数按照两种方法进行分类：总人数＝四（1）班人数+四（2）班人数＝男生人数+女生人数．。
高斯小学奥数四年级上册含答案第20讲_底高的选取与组合
=第二十讲底高的选取与组合在之前，我们已经学习过基本直线形的面积公式．从这节课开始我们要熟练掌握基本直线形的面积公式，以便解决更为复杂的几何问题．基本直线形的面积公式如下：正方形的面积边长⨯边长；长方形的面积=长⨯宽；平行四边形的面积=底⨯高；三角形的面积=底⨯高÷2；梯形的面积=(上底+下底)⨯高÷2．已知三角形的底和高，我们很容易算出面积．如果已知三角形的面积和一条边的长度，就可以算出以这条边为底对应的高是多少；如果已知三角形的面积和一条高的长度，就可以算出与这条高所对应的底边的长度．这种反求的方法，在几何问题中是经常会遇到的．．练一练下面三个三角形的面积都是60，有的高未知，有的底未知．请求出未知的长度．15208需要注意的是，已知三角形面积和底（或高），求三角形高（或底）的时候，切记首先要“×2”．例题1如图，在平行四边形ABCD中，三角形BCE的面积为42平方厘米，BC长为14厘米，AE长为9厘米．请问：三角形ECD的面积是多少平方厘米？「分析」三角形已知面积和一条边，就可以求高啦！练习1A E DB C如图，直角梯形ABCD的上底是5厘米，下底是17厘米，三角形ACD的面积是25平方厘米．请问：梯形ABCD的面积是多少平方厘米？A DB C例题2如图，把小正方形的每边延长2厘米后，得到一个大正方形，大正方形的面积比小正方形的面积大36平方厘米．请问：小正方形的边长是多少厘米？小正方形的面积是多少平方厘米？22增加36平方厘米22「分析」仔细观察图形，大正方形与小正方形的面积差36其实就是哪些图形的面= ÷ 积和？练习 2如图所示，校园中间有个正方形花坛，花坛的四周铺了 1 米宽的水泥路．如果水泥路的总面积是 24 平方米，那么花坛的面积是多少平方米？我们知道，正方形的面积等于边长的平方．但是，如果不知道边长，只知道正方形的对角线长，又如何求出正方形的面积呢？如下图，我们把正方形沿对角线剪成两个一样的等腰直角三角形，再拼接成一个大的等腰直角三角形，总面积没有发生改变，由此可以得出正方形面积公式：对对 对角角角正方形面积 对角线长度的平方2类似地，等腰直角三角形的面积等于直角边长平方的一半．如果不知道直角边长，只知道斜边长，也能求出等腰直角三角形的面积．斜斜 斜等腰直角三角形面积 = 斜边长度的平方 ÷ 4从图中我们也可以看出，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，而且斜边上的高还把等腰直角三角形分成了两个一模一样的小等腰直角三角形．例题 3如图所示是一个由正方形 ABDC 和等腰直角三角形 BDEAB组成的梯形，三角形 BDE 的斜边 BE 长 6 厘米，这个梯形的面积是多少平方厘米？「分析」已知等腰直角三角形斜边长度，如何计算面CDE「分析」注意：两条平行线把正方形截成了面积相等积呢？正方形与等腰直角三角形有什么关系呢？练习 3一个等腰直角三角形的斜边长为 8 厘米，这个等腰直角三角形的面积是多少平方厘米？例题 4如图，正方形 ABCD 被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两部分都是等腰直角三角形．已知两条截线的长度都是 6 厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？．．．．的三部分！练习 4两个等腰直角三角形如图所示摆放，恰好拼成一个直角梯形．已知较小的等腰直角三角形斜边长为 4，那么这个直角梯形的面积是多少？AB DC4画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．例题 5如图所示，梯形 ABCD 的上底 AD 长 5 厘米，下底BC 长 12 厘米．腰 CD 的长为 8 厘米，过 B 点向 CD 作出的垂线 BE 的长为 9 厘米，那么梯形 ABCD 的面积是多少？「分析」观察图形，BE 与 CD 垂直，这两条线段的位置关系是否像某个三角形的底和高呢？由此可以计算出什么吗？A DEB C“例题 6如图，直角梯形 ABDC 中，ACE 和 BDE 都是等腰直角三角形．A（1）如果三角形 ACE 面积为 8，三角形 BDE 面积为 18．请问：梯形C面积是多少？（2）如果三角形 ACE 面积为 9，三角形 BDE 面积为 16．请问：梯形 面积是多少？「分析」（1）等腰直角三角形面积是 8 和 18，可以反求出哪几条边的长度呢？要求梯形面积，又需要知道哪些线段的长 EB D度呢？（2）等腰直角三角形面积是 9 和 16，可以反求出哪几条边的长度呢？由此可以计算出什么呢？课堂内外变形记在几何图形都市里住着各种各样的图形，三角形正是几何图形都市中的一员，它每天忙碌着上下班，过着跟普通上班族一样的生活．在公司里，三角形跟上司的关系是非常不和谐的，原因是它头上长着其他图形没有的“尖角”，所以就经常的“顶撞”上司，跟上司闹矛 盾，这让三角形的职业生涯并不是一帆风顺的．话说有一天，三角形在下班途中路过了一家美容院，美容院的广告词上写着： 想改变自己吗？那就快点来加入到美容变形中来吧．从现在起，改变自己．”三角形被美容院的广告词吸引住了，它很想改变自己跟上司的关系，于是它走进美容院中，在和老板商定好协议 后就开始了它的“变形”之旅了．它把自己改变成梯形，为的是去掉这个“与众不同”的尖 角，少顶撞上司．经过变形后的它回到了公司，由此改变成梯形后的三角形受到上司的重用．然而，变成梯形后的三角形虽然能受到上司的重用，但是并不能得到职位上的进一步提升．同事告诉它说：“上司很喜欢跟能广泛接触上层领导的人打交道，虽然你是改变了以前顶撞上司的态度，但是你交际面还是很狭窄了呀．”变成梯形后的三角形恍然大悟，又再一 次走进那间美容院．这一次它把自己变成了正方形，完完全全的将自己的头“磨平”了．变 成了正方形的它再一次引起上司们的注意，它做到了能够在私底下跟上司们打好交道．即使如此，它还是未能完全得到上司们的信任．同事又告诉它说：“虽然你是能够做到私底下跟上司们打上交道了，可是还未能进入到上司们的私生活中，除非你能做到跟上司们有福同享，有难同当，只有这样才能真正受到上司们的重用啊．”受到同事启发的它，又一次进入到了美容院，老板笑嘻嘻地问：“这次又想变成什么样子啊？”三角形认真的回答：“我这次想变成圆形，请把我改造成圆形吧．”于是呢，它又一次变成了圆形，变成圆形的三角形终于能走进上司的私生活中去了，上司们很喜欢它圆滑 的性格，从此变成圆形的三角形享受着跟以前完全不一样的生活．然而领导因为贪污受贿，三角形也被牵连其中……作业1.下图中，平行四边形的面积是24，大正方形的边长是8，小正方形的边长是多少？2.如下图，长方形ABCD中，E是BC的中点，EC=5厘米，三角形FEC的面积是10平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？A F DB E C3.如下图，小正方形的边长是10厘米，阴影三角形的面积是20平方厘米．那么大正方形的边长是多少厘米？A D20B C4.如右上图所示，已知正方形ABCD的对角线BD长20厘米，此正方形的面积是多少平方厘米？5.A、B两个等腰直角三角形如图所示摆放．较小的三角形的斜边是较大的三角形的直角边．已知三角形B的直角边长为4，那么整个图形的面积是多少？A4B第二十讲底高的选取与组合1.例题1答案：15平方厘米详解：三角形BCE的面积是42平方厘米，BC长为14厘米，所以对应的高是42⨯2÷14=6厘米．AE长为9厘米，所以ED=14-9=5厘米．三角形ECD以ED为底的高也是6厘米，所以三角形ECD的面积是5⨯6÷2=15平方厘米．2.例题2答案：7厘米；49平方厘米详解：空白部分的面积是36平方厘米，即四个同样大小的直角三角形面积和是36平方厘米，一个直角三角形面积是36÷4=9平方厘米．直角三角形的底是2厘米，所以高是9⨯2÷2=9厘米．这个高是小正方形边长延长2厘米后的长度，所以每个小正方形边长是9-2=7厘米．所以小正方形的面积是7⨯7=49平方厘米．3.例题3答案：27平方厘米详解：三角形BDE的斜边是BE，所以其面积是6⨯6÷4=9平方厘米．正方形ABDC的面积是三角形BDE的2倍，所以正方形ABDC的面积是9⨯2=18平方厘米，所以梯形的面积是18+9=27平方厘米．4.例题4答案：27平方厘米详解：截线是直角三角形的斜边，所以这个直角三角形的面积是6⨯6÷4=9平方厘米，整个正方形的面积是9⨯3=27平方厘米．5.例题5答案：51平方厘米详解：连接BD，三角形BCD以CD为底，BE为高，其面积是8⨯9÷2=36平方厘米．如果此三角形以BC为底，则对应的高是36⨯2÷12=6厘米．这个高也是梯形ABCD的高，所以梯形ABCD的面积是(5+12)⨯6÷2=51平方厘米．6.例题6答案：50；49详解：（1）三角形ACE的面积是8，所以AE⨯AC÷2=8，所以AE⨯AC=16，这是一个等腰直角三角形，所以直角边AE=AC=4；三角形BDE的面积是18，同理可得直角边BE=BD=6．所以梯形的面积是(4+6)⨯(4+6)÷2=50；（2）三角形ACE的面积是9，所以CE2÷4=9，所以C E=6；三角形BDE的面积是16，同理可得斜边DE=8．所以直角三角形CDE面积为6⨯8÷2=24，所以梯形的面积是9+16+24=49．7.练习1答案：110平方厘米详解：三角形ACD面积是25平方厘米，底是5厘米，所以高为25⨯2÷5=10厘米，即梯形的高为10厘米，所以面积为(5+17)⨯10÷2=110平方厘米．8.练习2答案：25平方米详解：如右图，画出四条辅助线，水泥路总面积是24平方米，所以每一个长方形面积为6平方米，而水泥路宽1米，所以长方形长为6米，小正方形边长为6-1=5米，所以花坛的面积是5⨯5=25平方米．9.练习3答案：16平方厘米简答：以斜边8厘米为底，则高是斜边的一半即4厘米，所以等腰直角三角形的面积是8⨯4÷2=16平方厘米．10.练习4答案：12简答：小等腰直角三角形面积为为4⨯4÷4=4，大等腰直角三角形面积为4⨯4÷2=8，所以直角梯形的面积是4+8=12．11.作业1答案：3简答：平行四边形的底为小正方形边长、高为大正方形边长，所以24÷8=3即为小正方形边长．12.作业2答案：40平方厘米简答：三角形FEC的面积是10平方厘米，以EC为底的高是10⨯2÷5=4厘米．这个高的长度也是长方形ABCD的宽，长方形ABCD的长是2⨯5=10厘米，所以长方形ABCD的面积是10⨯4=40平方厘米．13.作业3答案：14厘米简答：阴影三角形的面积是20平方厘米，底是小正方形的边长，即10厘米，所以高是20⨯2÷10=4厘米，这个高的长度也是两个正方形的边长之差，所以大正方形的边长是10+4=14厘米．14.作业4答案：200平方厘米简答：正方形对角线的长度是20厘米，所以正方形的面积是20⨯20÷2=200平方厘米．15.作业5答案：12B A简答：部分的面积是4⨯4÷2=8．部分的面积是4⨯4÷4=4．所以整个图形的面积是8+4=12．。
2019小学奥数教程之 最值问题 全国通用(含答案)
奥运会北京a e ib dc f hg最值问题练习题一．夯实基础：1.一个三位数，除以 28，得余数是 11，这样的三位数中最大的是多少？2.在下图中间圆圈内填一个数后，计算每条线段两端的两数之差（大减小），然后计算出这三个差值的和，其最小的和是多少？3.2008 年奥运会在北京举行．“奥”、“运”、“会”、“北”、“京”这五个汉字代表五个连续的自然数，将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”=“北”+“京”．这五个自然数的和最大是多少？4.如图是一个奥运匹克五环标识，这五个环相交成 9 部分a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，请将数字1 ~ 9 分别填入这 9 个部分中，使得五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数．问：这五个连续自然数的和的最大值是多少？5.期末达标中，如果甲的语文成绩或数学成绩至少有一科比乙的成绩高，则称甲不亚于乙．在一个有 35 人的班中，如果某同学不亚于其余 34 名同学，就称他（她）为优秀学生．那么，这 35 人中的优秀学生最多可能有多少名？二．拓展提高：6.现将0 到9 这十个数字分成两部分，每个部分有五个数字，然后各组成一个五位数，则这两个五位数的差（以大减小）最小是多少？7.小明、小亮两人玩扑克牌，他们手中各有点数为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的纸牌各一张，两人每轮各出一张牌，点数大的为胜，并将两张牌的点数差（大减小），作为获胜一方的分数，另一方不得分，10 轮牌出完了之后，两人总分之和最大是多少？8.镖盘上的数字代表投中这个区域的得分，未中镖盘记 0 分．小明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，那么小明不可能得到的总分最小是多少？9.有 100 个棱长为 1 厘米的正方体木块，表面均为白色，还有 25 个棱长为 1 厘米的木块，表面均为蓝色.将这 125 个正方体粘在一起，形成一个大正方体，大正方体的表面为白色的面积至少是多少平方厘米？三. 超常挑战10. 有一些小朋友排成一行，从左到右第一人发一块糖，以后每隔2 人发一块糖；从右到左第一人发一个苹果，以后每隔4 人发一个苹果，结果有11个小朋友糖和苹果都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？11. 某小区花园的道路为一个长 480 米，宽 200 米的长方形；一个边长为 260 米的菱形和十字交叉的两条道路组成．一天，王大爷从 A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从 A 处离开．如果他每分钟走 60 米，那么他从进入花园到走出花园最少要用多少分钟？A12. 如图，一个长方形被分成 8 个小长方形，其中长方形 A 、B 、C 、D 、E 的周长分别是 26厘米、28 厘米、30 厘米、32 厘米、34 厘米，那么大长方形的面积最大是多少平方厘米？13. 把1.2 ，3.7 ， 6.5 ， 2.9 ，4.6 分别填在下图的 5 个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的 3 个圆圈中的数的平均值，再把 3 个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？四．杯赛演练：14.（“走进美妙的数学花园”初赛）从1，2，3 ，4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15 整除. N 最大为多少？15.（数学解题能力展示）有四个非零自然数a ，b ，c ，d ，其中c =a +b ，d =b +c ，如果a 能被2 整除，b 能被3 整除，c 能被5 整除，d 能被7 整除，那么d 最小是多少？6279 3 8 54 15298 6 4 71 3答案：1. 999 ÷ 28 = 35 19 ，则符合条件的最大数为999 -19 +11 = 991．2.设中间填的数为x .若x ≥ 41，则和为(x -13) + (x -32) + (x - 41) = 3x -86 ≥ 3⨯41-86 = 37若x ≤13 ，则和为(13 -x) + (32 -x) + (41-x) = 86 -3x ≥ 86 -3⨯13 = 47当13 <x < 41 时，两个差41-x 与x -13 的和是 28，三个差的和只有在第三个差为 0的时候才会等于 28，故x = 32 ．所以，最小和是 28．3.设五个连续的自然数分别是x ，x +1，x + 2 ，x +3 ，x + 4 要使这五个连续自然数的和最大，“北”+“京”应分别表示x + 3 ，x + 4 ，有x + (x +1) +( x+2) =( x+3) +(得x = 4所以有： 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 ．x+4) 解4. b ，d ，f ，h 分别在两个圆内，其余字母都只在一个圆中，所以 5 个圆中的数字和为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（b+d+f+h）=45+（b+d+f+h），最大是45 +b +d +f +h = 45 +（9+ 8 + 7 + 6）= 75 ，此时b ，d ，f ，h 是 9、8、7、6，五个连续自然数是 13，14，15，16，17，经过试验，没有符合题意的填法．其次的五个连续自然数是 12，13，14，15，16，经试验有符合题意的填法(填法不唯一)，如下图：五个连续自然数的和最大是：12 +13 +14 +15 +16 = 70 ．5.这是一道利用极端性原理来解决的问题．要使优秀学生最多，可将每个学生的长处与其他同学的短处相比较．取 35 人为这样一种特殊情况：他们中语文成绩与数学成绩都互不相等，并且语文成绩最高者数学成绩最低，语文成绩次高者数学成绩次低，…，这样一来，语文成绩最好的学生（语文优于其它 34 人）自然是优秀学生，语文成绩第二的学生（优于其他33 人）数学是倒数第二（优于1 人），他也是优秀学生．同理可说明35人可都是优秀学生．6.要使这两个五位数的差最小，那么这两个五位数的万位上的数的差应为1 ，且较大的五位数的后四位应尽可能小，较小的五位数的后四位应尽可能大，而较大的五位数的后四位最小为0123 ，较小的五位数的后四位最大为9876 ，还剩下4 和5 两个数，所以较大的数是50123，较小的数是49876 ，它们的差为50123 - 49876 = 247 .7. 一共 20 张牌，点数之和：2⨯ (1+ 2 + 3 +... +10) =110 .但是 10 轮下来，共有 10 张牌的作为减数被减掉，因此选最小的 10 张牌作为 10 轮的输家，即1,2,3,4,5 各一对.总分之和=110 - 2⨯ 2⨯ (1+ 2 + 3 + 4 + 5) = 50 .8.每支飞镖都可以让小明得到0，1, 3，8，12, 23 分，那么两支飞镖可以得到0，1, 2， 3,4，8，9，11, 12, 13, 15, 16, 20，23, 24, 26, 31, 35, 46 分．那么两支飞镖得不到的数从小到大看一下能否用前两组各取 1 个数来组合即可，如5 = 1+ 4 ，6 = 3 + 3 …，发现 5, 6，7, 10，14, 17，18，19，21 都可以组出，而 22 无法组出，固最小的为 22．9. 当蓝色面积最大时，白色面积最小.因此，依次令蓝色木块占据正方体的 8 个顶点，12 个棱，和 6 个面.简单分析发现，正方体顶点处需要 8 个小正方体，棱上需要3⨯12 = 36 个小正方体，则蓝色最大面积为8⨯3 +17⨯ 2 = 58 ，则白色最少面积为5⨯5⨯ 6 - 58 = 92 .10. 由于[3,5] =15 ，因此从第一个同时拿到糖和苹果的小朋友算起，每 15 人有一人同时拿到糖和苹果，则这 11 个人及其间隔共有10⨯15 +1 =151 人.其左边最多有3⨯ 4 =12 人， 其右边最多有5⨯ 2 =10 人，那么最多人数为151+12 +10 =173 .11. 王大爷走的最短路线是：EA → O → E → D → C →B → A → H → G → F → E → G → A →C → E → G → C → A ． 他走了480⨯ 3 + 200⨯ 3 + 260⨯ 6 = 3600 （米），共要走3600 ÷ 60 = 60 （分钟）．12. 设 B 的高是a ，则 A 、C 、D 的高分别为a -1, a +1, a + 2 ， B 的宽为28 ÷ 2 - a =14 - a ， 则 E 的宽为14 - a + 3 =17 - a , 大正方形的面积为(a -1+ a + a +1+ a + 2)(14 - a +17 - a ) = (4a + 2)(31- 2a ) = 2(2a +1)(31- 2a ) 2a +1和31- 2a 的和是 32，两数和相同，两数越接近时，积越大 2a +1 = 31- 2a ， 4a = 30 ， a = 7.5 总面积为2⨯16 ⨯16 = 512 .13. 设 5 个小圆中的数依次为a 、a 、a 、a 、a ，则三个方框中的数依次为a 1 + a 2 + a 3、1 2 3 4 5 3a 2 + a 3 + a 4 、 a 3 + a 4 + a 5 ，继而求出三角形中的数为 a 1 + 2a 2 + 3a 3 + 2a 4 + a 53 3 9个数最小，a 3 应该填入最小的数1.2 ，a 2 、a 4 应该填入次小的2.9 和3.7 ，a 1 、a 5 填入4.6和6.5 ．可得三角形中的数最小为3.1 ．14. 取出的 N 个不同的数中，任意三个的和能被15 整除，则其中任意两个数除以15 的余数相同，且这个余数的3 倍能被15 整除，所以这个余数只能是0 ，5 或者10 .在1 2007 中， 除以15 的余数为0 的有15⨯1 ，15⨯ 2 ，…，15⨯133 ，共有133 个；除以15 的余数为5 的有15⨯ 0 + 5 ，15⨯1+ 5 ，…，15⨯133 + 5 ，共有134 个；除以15 的余数为10 的有15⨯ 0 +10 ， 15⨯1+10 ，…，15⨯133 +10 ，共有134 个.所以 N 最大为134 .15. 令 a = 2m ，b = 3n ，则，d = 2m + 6n = 2(m + 3n ) ，因为d 能被7 整除，最小14 ，此时c 取不到整数；若d = 28 ，则m =11， n = 1 符合条件，所以d 最小是28 .。
小学思维数学讲义：最值中的数字谜（一）-带详解
小学思维数学讲义：最值中的数字谜（一）-带详解最值中的数字谜（一）1. 掌握最值中的数字谜的技巧2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题数字谜中的最值问题常用分析方法1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值．5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。
【例1】有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是11469，那么其中最小的四位数是多少？【考点】加减法的进位与借位【难度】3星【题型】填空【解析】设这四个数字是a b c d >>>，如果0d ≠，用它们组成的最大数与最小数的和式是11469a b c dd c b a +，由个位知9a d +=，由于百位最多向千位进1，所以此时千位的和最多为10，与题意不符．所以0d =，最大数与最小数的和式为0011469a b c c b a +，由此可得9a =，百位没有向千位进位，所以11a c +=，2c =；64b c =-=．所以最小的四位数cdba 是2049．【答案】2049【例2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是．7902D C B AA B C D -例题精讲知识点拨教学目标【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【解析】用A 、B 、C 、D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首位来看A 只能是1或2，D 是8或9；从末位来看，102A D +-=，得8D A =+，所以只能是1A =，9D =．被减数的十位数B ，要被个位借去1，就有1B C -=．B 最大能取9，此时C 为8，因此，符合条件的原数中，最大的是1989．【答案】1989【例 3】在下面的算式中，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别代表1～9中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则三位数EFG 的最大可能值是．2006A B C DE F G +【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【解析】可以看出，1A =，6D G +=或16．若6D G +=，则D 、G 分别为2和4，此时10C F +=，只能是C 、F 分别为3或7，此时9B E +=，B 、E 只能分别取()1,8、()2,7、()3,6、()4,5，但此时1、2、3、4均已取过，不能再取，所以D G +不能为6，16D G +=．这时D 、G 分别为9和7；且9C F +=，9B E +=，所以它们可以取()3,6、()4,5两组．要使EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此EFG 的最大可能值为659．事实上134********+=，所以EFG 最大为659．【答案】659【巩固】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是奥林匹克+奥数网2008【考点】加减法的进位与借位【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，6年级，1试，第2题【解析】显然“2≤奥”，所以“1=奥或2”，如果“2=奥”，则四位数与三位数的和超过2200，显然不符合条件，所以“1=奥”，所以“9≤林”，如果“9=林”那么“200819001008+=--=匹克数网”，“0=匹=数”，不符合条件，所以“林”最大只能是8，所以“20081800100108+=--=匹克数网”，为了保证不同的汉字代表不同的数字，“匹克”最大是76，所以“奥林匹克”最大是1876。
小学三年级奥数第23讲 盈亏问题(含答案分析)
一、专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。
盈亏问题的基本解法是：
份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏数求出。
解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。
练习三
1，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分4粒，则多了12粒；如果每人分6粒，则多了2粒。有小朋友几人？有多少粒糖？答案
设有x个小朋友，
4x+12=6x+2
2x=10
x=5(列方程【解题方法-解题方法】)
4×5+12=32(粒)
答：有5个小朋友，32粒糖.
解析
本题考查的是列方程解决实际问题的应用，解答本题的关键是理解无论怎样分，糖的数量和小朋友的数量都是不变的，根据这一等量关系列方程即可，计算过程中注意等号要对齐.
4、学校排练节目，如果每行排8人，则有一行少2人；如果每行排9人，则有一行少7人。一共要排几行？一共有多少人？
5、小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟；如果每分钟走50米，则早到4分钟。小明家到学校有多远？
第二十三讲盈亏问题（答案）
专题简析：
把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题。
例2：幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？
练习二
1、小明带了一些钱去买苹果，如果买3千克，则多出2元；如果买6千克，则少了4元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？
高斯小学奥数四年级上册含答案第23讲_最值问题一
第二十三讲最值问题一最值问题，即求最大值、最小值的问题．这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．例题1（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？练习1在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．例题2有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？练习2有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大”．“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．例题3墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？练习3墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？例题4请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□ 「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？练习4请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□例题5墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？养鸡场想一想要用篱笆围一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种面积会最大呢？在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！例题6各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．课堂内外动物之最最大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马最聪明的动物：海豚（人除外）最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）形体最小的鸟：蜂鸟飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）最耐寒的鸟：企鹅路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重1141倍的物体）外形最奇特的鱼：海马最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁了）冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）作业1.在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？2.两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？3.用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？4.请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入算式□□□□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大．5.各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？第二十三讲 最值问题一1. 例题1答案：（1）124435；（2）98766789详解：（1）枚举：112435、122435、124435、124335、124355，最大的六位数是124435；（2）枚举：99876789、98876789、98776789、98766789、98767789、98767889、98767899，最小的八位数是98766789．2. 例题2答案：20场详解：如果是（1，8），那么共188⨯=场；如果是（2，7），那么共2714⨯=场；如果是（3，6），那么共3618⨯=场；如果是（4，5），那么共4520⨯=场；所以一共最多有20场比赛．3. 例题3答案：长、宽 都为5米时，面积最大为25平方米详解：长方形周长是20米，长、宽之和为10，是固定不变的；长方形面积为长、宽之积，根据“和同近积大”，可知长、宽越接近，面积越大； 当长、宽相等，即篱笆为正方形时，面积最大，最大面积为5525⨯=平方米．4. 例题4答案：631542⨯详解：要使得乘积最大，那么就要百位上的数字最大、个位上的数字最小；所以百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；在这个前提下，无论怎么填，最后两个三位数的和都固定等于5006003040121173+++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个三位数差最小，尝试可得是631542⨯．5. 例题5答案：两条直角边都为10米时，面积最大为50平方米详解：设两条直角边分别为A 、B ，则20+=A B 米；直角三角形面积为“2⨯÷底高”，即面积大小是由“⨯A B ”决定的；A 、B 之和为20米，越接近则乘积越大，所以当10==A B 米时， “⨯A B ”有最大值； 所以，三角形面积最大为1010250⨯÷=平方米．6. 例题6答案：689；8543210详解：数的大小，首先是要考虑位数，再考虑各个数位上的数的大小．（1）最小：即要位数最少，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的大，把23拆开：23986=++，所以最小数为689；（2）最大：即要位数最多，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的小，把23拆开：230123458=++++++，所以最大数为8543210．7.练习1答案：441729详解：枚举：441729、411729、417729、417229、417299，最大的六位数为441729．8.练习2答案：12场详解：如果是（1，6），那么共166⨯=场；如果是（2，5），那么共2510⨯=场；如果是（3，4），那么共3412⨯=场；所以一共最多有12场比赛．9.练习3答案：长8米，宽7米时，面积最大为56平方米简答：长、宽和为15米，当长为8米、宽为7米时，长、宽最接近，长、宽乘积最大，最大面积为56平方米．10.练习4答案：76428531⨯简答：要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大、个位上的数字最小；所以千位填7、8，百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；在这个前提下，无论怎么填，最后两个四位数的和都固定等于+++++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个四7000800050060030401216173位数差最小，尝试可得是76428531⨯．11.作业1答案：1129854简答：在原数某一位前面插入相同数一共可以得到1129854、1229854、1299854、1298854、1298554、1298544这些数，对比可知1129854最小．12.作业2答案：25简答：两个数的和为10，根据“和同近积大”的原则，当两个数都为5时乘积最大，为25．13.作业3答案：25平方厘米简答：长、宽的和是10厘米，根据“和同近积大”的原则，正方形的时候面积最大，此时边长为5厘米，面积为25平方厘米．14.作业4答案：853764⨯简答：最高位填8和7，十位填6和5，个位填4和3，相差越小乘积越大，所以应为853764⨯．15.作业5答案：26789；98543210简答：3298762=++++，所以最小为26789；3201234589=+++++++，所以最大为98543210．。
《你知道吗 聪明的高斯》试卷及答案_小学数学四年级上册_西师大版_2024-2025学年
《你知道吗聪明的高斯》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、高斯是哪个国家的数学家？A、英国B、德国C、法国2、高斯在小学时解决的一个著名问题是？A、连续自然数的求和问题B、解二次方程C、三角函数的计算3、小明在做一道算式题，他算了20次，每次都比正确答案少了5。
请问小明正确答案应该是多少？A. 100B. 105C. 110D. 1154、一个长方形的长是12厘米，宽是5厘米，请问这个长方形的周长是多少厘米？A. 32B. 40C. 27D. 205、高斯在小学时，通过使用等差数列求和的方法解答了1～100的和，这种方法是基于以下哪种思想？A、加法结合律B、乘法分配律C、等差数列求和公式D、减法对加法的关系6、下列哪一个场景最能体现高斯在思考和处理问题时的“思维火花”？A、通过背诵来记忆乘法表B、在课堂上认真听讲，积极举手发言C、将1到100的所有数依次加在一个计算器上D、将1+2+3+4+…+100的计算过程可视化，通过图形来寻找规律二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、2、3、5、8、13、21、34、55……这是一个著名的数列，它叫做斐波那契数列。
请填写第11个数是：______ 。
2、一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，它的周长是 ______ 厘米。
3、高斯小时候解决了一个关于求1到100自然数之和的问题。
首先，他发现把所有数两两相加，每对的和都是101（例如：1+100=101，2+99=101，以此类推）。
因为自然数从1到100共有100个数，所以可以组成50对这样的数。
因此，总和可以通过将50乘以每对的和101来计算。
计算结果为：50×101=5050。
所以，1到100自然数之和是 ____ 。
4、一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米。
如果将这个长方形剪成两个相同大小的正方形，每个正方形的边长是 ____ 厘米。
5、小华打算用10个相同的火柴棍拼成一个正方形，至少需要 ______ 根火柴棍。
高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲_等积变形
第二十一讲等积变形三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形）底底底底如图，已知平行四边形ABCD 的面积是100平方厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图，E 是平行四边形ABCD 中的任意一点，已知△AED 与△EBC 的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB 、三角形P AB 、三角形MAB 和三角形NAB ，它们的底相同，都是AB ；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A 、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的．我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等．利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．ADAD底AB如图，平行四边形ABCD 的底边AD 长20厘米，高CH 为9厘米；E 是底边BC 上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？ 练习2如图，平行四边形ABCD 的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图所示，ABFE 和CDEF 都是长方形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？ 练习3如图，ABCD 和CDEF 都是平行四边形，四边形ABFE 面积为60平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进 而寻找同底等高．．．．、面积相等．．．．的三角形． BEFDEABD例题4如图，梯形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，已知DE 和AB 平行，那么与△ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线．．．．．去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化． 例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影部分的面积．「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！ABCDEADBO如右图，梯形ABCD 中，对角线相交于O 点，由于AD 与BC 平行，那么就有△ABC 与△DBC 同底等高、面积相等，△ABD 与△ACD 同底等高、面积相等．那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ABC 与△BCD 都包含有△OBC ，而△ABC 与△BCD 面积相等，那么就有△ABO 与△CDO 面积相等．我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ABO 与△CDO 恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”．“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单． 例题6如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB =8，AD =15，四边形EFGO 的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly theorem ），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一． 这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开．这个定理最基本的叙述为：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD ，设AD 和BC 分别相交PQ 于点X 和Y ，则M 是XY 的中点．从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得．实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可．ABCDOA BC DOEGF这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”．混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论．混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别．混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国．作业1. 如图所示，梯形ABCE 是由正方形ABCD 和等腰直角三角形CDE 构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE 的面积是多少平方厘米？2. 如图，长方形ABCD 的面积为6，平行四边形BECF的面积为多少？ABCEDD3. 如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？4. 如图，长方形的长为16，宽为5．阴影三角形的面积和为多少？5. 如图，直角梯形ABCD 中，，，BD 和CD 垂直．那么三角形ABC 的面积是多少？40BD = 30CD =ABC第二十一讲等积变形1.例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米．2.例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米．3.例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米．4.例题4答案：△ABD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根据AD平行于BC，可以知道△ADC的面积等于△ABD；根据AB平行于DE，可以知道△ABD的面积等于△ABE．所以与△ADC 面积相等的三角形有△ABD和△ABE．5.例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米．6. 例题6 答案：10详解：梯形ADCF 中，阴影CDG 与AFG 面积相等，所以阴影总面积可以转换为△ABD 与四边形OEFG ，其中△ABD 面积为长方形一半60，所以四边形OEFG 面积为706010-=． 7. 练习1答案：40平方厘米详解：平行四边形中任意一点，与四个顶点连线，分成的四个小三角形面积关系：+=+上下左右． 8.练习2答案：50平方厘米详解：单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形．这个三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是50平方厘米． 9.练习3答案：30平方厘米简答：双层犬牙模型，可以把ABCD 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABCD 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半．所以阴影部分的面积是平行四边形ABFE 面积的一半，即30平方厘米． 10. 练习4答案：共8个三角形；△ABC 与△DBC 、△ABD 与△ACD 、△ABO 与△CDO简答：这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等．根据AD 平行于BC ，可以知道△ABC 的面积等于△BCD 的面积；△ABD 的面积等于△ACD 的面积．△ABD 和△ACD 有一个共同的△AOD ，所以△ABO 和△OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等． 11. 作业1答案：25平方厘米简答：根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是25平方厘米和50平方厘米．方法一：△BCE 的面积是正方形面积的一半，所以△BCE 的面积是25平方厘米；方法二：连接BD ，△BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则△BCE 的面积也是25平方厘米． 12. 作业2答案：6简答：三角形BCF的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积就等于长方形的面积，为6．13.作业3答案：22平方厘米简答：红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半．所以蓝色面积为：2110922+-=平方厘米．14.作业4答案：40简答：“狗牙”模型，阴影部分多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大三角形，面积为长方形的一半，面积为：165240⨯÷=．15.作业5答案：600简答：△ABC与△BCD同底等高，所以两个三角形面积相等，△BCD底CD长30、高BD长40，面积为30402600⨯÷=．。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案11最值问题(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最值问题（一）在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路尽可能使所行的路程最短，用时最少或车费最省；做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短；学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。
最值问题涉及的知识面较为广泛，但在国内外的历届数学竞赛中，一般都带有某种限制条件，因而解决问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情况入手我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。
因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
（2）枚举比较根据题目的要求，把可能得出的答案一一枚举出来，使题目的条件范围逐步缩小，进而筛选比较出答案。
（3）分析推理根据两个事物在某些属性上相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
（4）构造在寻求解题途径时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
（5）应用求最大值和最小值的结论和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。
例1一把钥匙只能打开一个房间的门，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙能开哪个房间的门，如要打开所有房间的门，最多要开几次？分析与解：考虑极端情况，开第一个房间的门最多需20次。
开第二个房间的门最多需19次，……，开最后一个房间的门需1次，共需20＋19＋18＋…＋1＝210（次）。
例2小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？分析与解：将最后一排座位编号，由题意可知，没有连续3个的空位，而最后一排最少坐了的人数也就是已经坐下的每一个人两旁尽可能都是空位，即极端情形：2，5，8，11，14，17，19这几个编号的座位上坐着人，其余座位空着，故最少坐7人。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
创新思维·小学奥数寒假专项突破之最值问题(第一讲和第二讲)
第一讲：最值问题（最大值和最小值专项）一、最小值问题专项突破：例题1：贵宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）答案解析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
（知识点：公约数）例题2:在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）答案解析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB；故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
（知识点：立体思维，画线）二、最大值问题专项突破：例1：有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）答案解析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
四年级高思奥数之最值问题一含答案
第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数，这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?4．三个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是多少?5．(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中．要求5、6分别填在百位，4、3分别填在十位，1、2分别填在个位，并使得算式结果最大．应该怎么填?6. 在图23-1的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这3个差数相加，所得的和最小是多少?7. 在所有包含3个相同数码的四位数中，与1389之差(大减小)最小的一个是多少?8. 把1、2、3、4、5、6填人算式“□□□－□□□”的空格中，要求前一个三位数比后一个三位数大．这个减法算式的结果最大可能是多少?最小可能是多少?9. 一个自然数是由数字8、9组成的，它的任意相邻两位都可以看成一个两位数，并且这些相邻数字组成的两位数都不相等．请问：满足条件的自然数最大是多少?10. 有7个盘子排成一排，依次编号为1，2，3，…，7．每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80个．其中1号盘里放了18个玻璃球，并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等．请问：第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?拓展篇1.3个连续自然数相乘，所得乘积的个位数字最大可能是多少?2. (1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字(例如：可以在2的后面插入2得到122435)，这样得到的六位数最大可能是多少?(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小是多少?3．有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛．他们一共最多能比赛多少场?4．3个互不相同的自然数之和是17，它们的乘积最大可能是多少?5．请将2、3、4、5、6、8填人算式“口口口×口口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?6．请将6、7、8、9填人算式“口×口+口口”的方格中．要使得算式结果最大，应该怎么填?7．在图23-2的中间圆圈内填一个数，计算每一条线段两端的数之差(大减小)，然后把这5个差数相加，所得的和最小是多少?8．如果7个互不相同的自然数之和为100，那么其中最小的数最大可能是多少?最大的数最小可能是多少?9．一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为23．这样的多位数最小可能是多少?最大可能是多少?10．黑板上写着l，2，3，4，…，10各一个．小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数．最后当黑板上只剩下一个自然数时，这个数最大可能是多少?11．如图23-3，这是一个正方体的展开图．将它折成一个正方体后，相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少?12．如图23-4，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行?它可以选择的最短路线一共有几条?超越篇1．一个两位数除以它的各位数字之和，余数最大是多少?2．4个小朋友，每人的体重都是整数千克，而且其中任意3人体重之和都大于99千克．这4个小朋友体重之和最小是多少千克?3．将1至30依次写成一排：123…2930，形成一个多位数．从这个多位数中划掉45个数字，剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为0，这个数最小是多少?4．用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数，使这2个数的差最小(大减小)，这个差最小是多少?5．将2至8这7个自然数填入算式“口口×口口一口口÷口”的方格中．如果算式的计算结果为整数，那么这个结果最大是多少，最小是多少?6．如图23-5，一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米．有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱只允许爬一次．甲虫最多能爬行多少厘米?如果要求甲虫最后回到A点，那么它最多能爬行多少厘米?7．如图23-6，黑板上写有一个三位数减三位数的算式，其中首位已经确定．接下来，甲每次报一个数字，乙就把它放入四个方框中的一个，甲要使得差尽量大，乙要使得差尽量小，如果两人都使用最佳的策略，那么最后的差是多少?8．一栋大楼共33层，电梯停在第1层，现在有32个人分别要去第2层、第3层……第33层，他们可以选择坐电梯或者走楼梯．有一天电梯坏了，电梯只能在某一层停，每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯．每个人上一层楼梯会有3份不满意，下一层楼梯会有1份不满意．请问：电梯停在哪一层，才能使得所有人不满意的总份数最小?第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形．和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．典型问题兴趣篇1．3个连续奇数相乘，所得乘积的个位数字最小可能是多少?答案：3分析：乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。
高斯小学奥数四年级上册含答案第01讲_整数计算综合
第一讲整数计算综合同学们已经学过了四则混合运算，在这里我们先简单复习一下四则混合运算的各种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等．一、交换律：加法交换律：a b b a⨯=⨯．+=+；乘法交换律：a b b a例如：123234234123+=+；123234234123⨯=⨯．二、结合律：加法结合律：()()a b c a b c++=++；乘法结合律：()()a b c a b c⨯⨯=⨯⨯．例如：()()123234345123234345++=++；()()101112101112⨯⨯=⨯⨯．三、分配律：乘法分配律：()()a b c a c b ca b c a c b c⎧+⨯=⨯+⨯⎪⎨-⨯=⨯-⨯⎪⎩；()()c a b c a c bc a b c a c b⎧⨯+=⨯+⨯⎪⎨⨯-=⨯-⨯⎪⎩．例如：()234123523451235-⨯=⨯-⨯；()523412352345123⨯-=⨯-⨯．除法分配律：()()a b c a c b ca b c a c b c⎧+÷=÷+÷⎪⎨-÷=÷-÷⎪⎩．例如：()1004010100104010-÷=÷-÷；避免错误使用：()1836183186÷+≠÷+÷．四、去（添）括号：1.加、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括号前面是“-”，去（添）括号后要变号．例如：()234345123234345123+-=+-，()345234123345234123--=-+．2.乘、除法去（添）括号：括号前面是“⨯”，去（添）括号后不变号；括号前面是“÷”，去（添）括号后要变号．例如：()858858⨯÷=⨯÷，()9331393313÷÷=÷⨯．五、带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序．注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算．例如：2411645924159164-+=+-；165295165529⨯÷=÷⨯．四则混合计算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号内的．由这些性质出发，我们能总结出很多种巧算的方法，比如凑整．．法、提公因数．．．．法等等．（1）125718⨯⨯；（2）1242431⨯÷；（3）287287⨯÷⨯．「分析」按照从左往右的顺序依次计算会很麻烦，可不可以改变运算顺序使得计算非常简便呢？练习1计算：（1）251234543214⨯⨯；（2）962524⨯÷．同级运算时，可以通过添（去）括号改变运算顺序．例题2（1）2226432÷⨯；（2）()1234132÷÷；（3）()12521607815⨯⨯÷÷⨯． 「分析」通过除法我们可以把数变小，进而使得计算更加简便．添去括号时要注意符号哦！练习2计算：（1）()72278891112⨯⨯÷⨯⨯；（2）()2512121154⨯÷÷⨯÷．提取公因数是最常用、最重要的巧算方法之一，很多时候还需要我们自己构造公因数．例题3（1）2223388966⨯+⨯；（2）213258683237⨯+⨯+⨯；（3）122123125211⨯+⨯+⨯．「分析」部分有公因数就先提一提吧！没有公因数时可以试着去构造哦！倍数关系往往是构造公因数的关键．练习3计算：23546256915⨯+⨯+⨯（1）()+++÷；（2）96417641284163236404÷+÷+÷；（3）156536206÷+÷-÷．「分析」除法中，我们就把“提取公因数”改称“提取公除数”吧！练习4计算：（1）52713737÷+÷+÷-÷．÷-÷+÷；（2）115111515235例题5（1）151612÷⨯．⨯÷；（2）642835「分析」除数太大，除不开？拆一拆！例题6（1）56474644⨯-⨯．⨯+⨯；（2）55455644「分析」本题的两小题中都没有公因数，但是有些因数很接近，我们能不能构造公因数呢？比如（1）题中的47可以看成46加1，接下来怎么办？课堂内外数学以外的括号括号，又称括弧号或夹注号Array在数学中，括号主要是用来规定运算次序的符号，主要分为四大类，包括大括号“{ }”、中括号“[ ]”、小括号“( )”以及比较少用的括线“─”．而数学以外，括号主要用于作注释之用．写文章写到某个地方，为了让读者了解得更透彻，有时需要加个注释．这种注释，要用括号表明．注释的性质是多种多样的．但是小括号内只能对前面的语句进行附加说明，不能引入新的内容．用作注释的括号主要包括：方括号“[ ]”、六角括号“〔〕”、方头括号“【】”和书名号“<>”等形式．它们各自用途不同，不可混淆．方括号“[ ]”用来标示行文中的补缺或订误、国际音标、参考文献等．六角括号“〔〕”用来标示公文编号中的发文年份，作者国籍、朝代等． 方头括号“【】”又称“鱼尾号”，常用来标示工具书的条目．最早出现的括号是小括号“( )”，于1544年出现．直至17世纪，中括号“[ ]”才出现于英国瓦里斯﹝1616─1703﹞的著作中，至于括线则由1591年韦达﹝1540─1603﹞首先采用，而大括号“{ }”则约在1593年由韦达首先引入；至1629年，荷兰的基拉德采用了全部括号，18世纪后开始在世界通用．进入计算机时代，括号又有了新的任务，各种编程语言中都会大量地用到 小括号“（）”和大括号“{}”．作业1. 计算：（1）752425⨯÷；（2）46132623÷⨯÷．2． 计算：（1）()50277725119⨯⨯÷⨯⨯；（2）()11047125100478⨯-÷⨯⨯．3. 计算：132926191139⨯+⨯+⨯．4. 计算：49131071311013÷-÷+÷．5. 计算：502745⨯÷．第一讲整数计算综合1.例题1答案：71000；96；49详解：（1）12571812587110007171000⨯⨯=⨯⨯=⨯=；（2）1242431124312442496⨯÷=÷⨯=⨯=；（3）28728728287749⨯÷⨯=÷⨯⨯=．2.例题2答案：111；96；12000详解：（1）()÷⨯=÷÷=÷=；222643222264322222111（2）()1234132123413233296÷÷=÷⨯=⨯=；（3）()⨯⨯÷÷⨯12521607815=⨯⨯÷⨯÷12521607815()()()=⨯⨯÷⨯÷=．12582176015120003.例题3答案：66000；5800；1100详解：（1）()222338896611166889666611188966000⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+=；（2）213258683237⨯+⨯+⨯()()=⨯++⨯=⨯+⨯=⨯+=；3221375868325858685832685800（3）122123125211⨯+⨯+⨯()=⨯++⨯=⨯+⨯122123521112445211()481152111148521100=⨯+⨯=⨯+=．4.例题4答案：31；100；8详解：（1）()+++÷=÷+÷+÷+÷=+++=；1632364041643243644044891031（2）()964176412849617612844004100÷+÷+÷=++÷=÷=；（3）()÷+÷-÷=+-÷=÷=．156536206155320648685.例题5答案：20；80详解：（1）()()1516121516341531645420⨯÷=⨯÷÷=÷⨯÷=⨯=；（2）()()÷⨯=÷÷⨯=÷⨯÷=⨯=．642835644735644357165806.例题6答案：4656；11详解：（1）()⨯+⨯=⨯++⨯=⨯+⨯+⨯5647464456461464456465614644()465644564600564656=⨯++=+=；（2）()⨯-⨯=-⨯-⨯=⨯-⨯-⨯5545564456145564456451455644()=⨯--=-=．564544455645117.练习1答案：12345432100；100简答：（1）25123454321425412345432112345432100⨯⨯=⨯⨯=；（2）962524962425425100⨯÷=÷⨯=⨯=．8.练习2答案：144；110简答：（1）()⨯⨯÷⨯⨯72278891112()()()=⨯⨯÷÷÷=÷⨯÷⨯÷=⨯⨯=7227889111272122798811638144（2）()2512121154⨯÷÷⨯÷=⨯÷÷÷⨯2512121154()()()=÷⨯÷⨯÷=．25512111421109.练习3答案：2300简答：()⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯++= 235462569152352350234523550452300 10.练习4答案：6；20简答：（1）()527137375213374276÷-÷+÷=-+÷=÷=；（2）()⨯+÷+÷-÷=++-÷=÷=．11511151523511111123510052011.作业1答案：72；4简答：（1）75242575252432472⨯÷=÷⨯=⨯=；（2）()()÷⨯÷=÷⨯÷=⨯=．461326234623261322412.作业2答案：42；4700简答：（1）()⨯⨯÷⨯⨯=⨯⨯÷÷÷5027772511950277725119()()()=÷⨯÷⨯÷=；5025279771142（2）()1104712510047811047125100478⨯-÷⨯⨯=⨯-÷⨯⨯=⨯-⨯÷⨯=⨯-⨯=⨯=．1104712581004711047104710047470013.作业3答案：1300简答：()⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯++=．132926191139132913383313132938331300 14.作业4答案：4简答：()÷-÷+÷=-+÷=÷=．4913107131101349107110135213415.作业5答案：30简答：()()⨯÷=⨯÷÷=÷⨯÷=．50274550275950527930。
高斯杯四年级数学练习
【模块】直线型面积
【解析】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50平方厘米.
8.【答案】150
高思杯四年级练习题答案
1.【答案】89
【模块】计算
【解析】原式=8.9×2.1+8.9×7.9=8.9×10=89
2.【答案】4.5元
【模块】应用题
【解析】平均数问题，设数法最为简捷。
3.【答案】7岁
【模块】应用题
【解析】年龄问题中的极值讨论，7岁。
4.【答案】3
【模块】计算
【解析】设：119×229+229×339=a
原式=(1+a)×(a+3)-(a+4)×a=a2+4a+3-a2-4a=3
5.【答案】24
【模块】计数
【解析】百位：4种选法，十位：3种选法，个位：2种选法。方法数：4×3×2=24
6.【答案】900
【模块】计数
【解析】写被减数，两位数共90个，减数，一位数共10个(包括0)，所以共有90×10=900种可能。
【模块】乘法原理
【解析】5×6×5=150
9.【答案】-3)+(4+5-6)+(7+8-9)+……+(97+98-99)=0+3+6+……+96=(0+96)×33÷2=1584
10.【答案】3
【模块】行程
【解析】高的速度是75米/分，那么他12分钟走过的路程是75×12=900米。也就是说，爸爸出发时，落后小高900米。因为爸爸每分钟行375米，小高每分钟75米，所以爸爸每分钟能追上小高300米。那么爸爸900÷300=3分钟后追上小高。
四年级上册奥数题30道
四年级上册奥数题的30道题目1．某五个数的平均值为60，如果将其中一数改为80，这五个数的平均值为70，改的这个数应是多少？答案：原五个数的总和为60×5=300，改为80后，总和为70×5=350，所以改的这个数为350-300=50。
2．30个同学平分一些练习本，后来又来了6人，大家重新分配，每人分得的练习本比原来少2本，这些练习本共有多少？答案：原来每人分得的练习本数为x，总共有30x本。
后来每人分得的练习本数为x-2，总共有(30+6)(x-2)本。
解方程得到x=12，所以这些练习本共有30×12=360本。
3．甲乙两位同学同时从学校出发，分别以每分钟80米和120米的速度回家，甲比乙早出发10分钟，甲到家时，乙还剩多少米？答案：甲到家时，乙已经走了10×120=1200米。
甲回家需要的时间为1200/(120-80)=30分钟，所以乙还剩30×120-1200=1200米。
4．一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。
货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。
甲乙两地相距多少千米？答案：设客车的速度为x千米/小时，货车的速度为4x/5千米/小时。
相遇时，货车行了全程的四分之一，所以全程为28×4=112千米。
5．车间原计划每天生产15台机器，24天就可以完成，实际每天生产18台，实际只要几天就可以完成任务？答案：原计划总共需要生产的机器数为15×24=360台。
实际每天生产18台，所以需要的天数为360/18=20天。
6．小明上山用了4小时，每小时行3千米，下山的速度加快，是6千米时，下山用了多长的时间？答案：上山总共走了4×3=12千米。
下山速度为6千米/小时，所以下山用了12/6=2小时。
7．一个正方形的边长是10厘米，它的面积是多少？周长是多少？答案：正方形的面积为10×10=100平方厘米。
最新四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级高思奥数之还原问题与年龄问题含答案
第3讲还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。
典型问题兴趣篇1. 某数加上6，再乘以6，再减去6，再除以6，其结果等于6，则这个数是多少？2. 有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝. 这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完. 问：原来酒葫芦里有多少两酒？3. 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？4. 三棵树上共有48只鸟. 后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多. 问：一开始三棵树上各有几只鸟？5. 1997年张伯伯45岁，小方9岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4倍？6. 今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍. 今年小明多少岁？7. 今年，父亲年龄是儿子年龄的5倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的2倍. 问：现在父子的年龄各是多少？8. 兄弟两个年龄之和是32岁. 当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.求哥哥现在的年龄.9. 学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了.”求老师和学生现在的年龄.10. 今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6岁, 多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少6岁？拓展篇1. 有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11.这个数原来是多少？2. 果园里有一棵桃树. 有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半. 这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？3. 地上有26地砖，兄弟二人争着去挑. 弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖. 哥哥看弟弟挑得太多，就从弟弟那儿抢过一半. 弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半. 哥哥不服，弟弟只好再给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？4. 甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？5. 甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加2倍，结果三人的钱数一样多，如果他们三人共有81元，那么三人原来分别有多少钱？6. 今年张明15岁，他父亲45岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的2倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的4倍？7. 12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍. 请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍？8. 去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍. 求哥哥和弟弟现在的年龄。
小学四年级奥数教程30讲(经典讲解)
小学奥数基础教程（四年级）第1讲速算与巧算（一）第2讲速算与巧算（二）第3讲高斯求和第4讲 4，8，9整除的数的特征第5讲弃九法第6讲数的整除性（二）第7讲找规律（一）第8讲找规律（二）第9讲数字谜（一）第10讲数字谜（二）第11讲归一问题与归总问题第12讲年龄问题第13讲鸡兔同笼问题与假设法第14讲盈亏问题与比较法（一）第15讲盈亏问题与比较法（二）第16讲数阵图（一）第17讲数阵图（二）第18讲数阵图（三）第19将乘法原理第20讲加法原理（一）第21讲加法原理（二）第22讲还原问题（一）第23讲还原问题（二）第24讲页码问题第25讲智取火柴第26讲逻辑问题（一）第27讲逻辑问题（二）第28讲最不利原则第29讲抽屉原理（一）第30讲抽屉原理（二）第1讲速算与巧算（一）计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。
例1 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。
求这10名同学的总分。
分析与解：通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错。
观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大。
我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，这10个数与80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”号表示这个数比80小。
于是得到总和=80×10＋（6-2-3＋3＋11-＝800＋9＝809。
实际计算时只需口算，将这些数与80的差逐一累加。
为了清楚起见，将这一过程表示如下：通过口算，得到差数累加为9，再加上80×10，就可口算出结果为809。
四年级奥数培优《高斯求和(一)》
高斯求和（一）约翰·卡尔·弗里德里希·高斯德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。
是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。
高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。
一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。
一、例题精讲例1.观察下面三组数据，你发现了什么？（1）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10（2）2、 4、 6、 8、 10、 12、14、 16（3）101、 98、 95、 92、 89、 86、 83（4）6、 6、 6、 6、 6、 6、 6例2.等差数列的初步认识我们把第一个数称为（首项），最后一项称为（末项）相邻两个数的差相等，所以这个差叫（公差）。
数列（1）的公差是（），数列（2）的公差是（），数列（3）的公差是（），数列（4）的公差是（），因为相邻两数的差都（），这样的数列就是等差数列。
数列中数的个数称为（项数），数列（3）的项数是（）个。
例3.下列数列不是等差数列的是（）。
A. 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7、 8、 7B. 0、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35C. 50、 48、 46、 44、 42、 40、 38例4.花园里的玫瑰花如下图排列，请你快速算出花的数量？例5.通过例4的学习，我们小结等差数列求和的公式是：请你利用公式计算：（1）2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＝（2）25＋21＋17＋13＋9＋5＋1＝例6.在下图中，每个小等边三角形的边长是1根火柴棒，面积是15平方厘米。
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴摆成？二、课堂小测7. 5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33＋378. 5＋9＋13＋17＋21＋29＋33＋379. 3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋22＋20＋18＋16＋14＋12＋10＋810. 将正方形叠成山形（如图），叠1层一共用1个正方形，叠2层一共用4个正方形。
小学数学六年级奥数《最值问题（1）》练习题（含答案）
⼩学数学六年级奥数《最值问题（1）》练习题（含答案）⼩学数学六年级奥数《最值问题(1)》练习题（含答案）⼀、填空题1.⼀把钥匙只能开⼀把锁.现在有4把钥匙4把锁,但不知哪把钥匙开哪把锁,最多要试次才能配好全部的钥匙和锁.2.⽤长和宽分别是4厘⽶和3厘⽶的长⽅形⼩⽊块,拼成⼀个正⽅形,最少要⽤这样的⽊块块.3.⼀个⼀位⼩数⽤四舍五⼊法取近似值精确到万位,记作50000.在取近似值以前,这个数的最⼤值是 .4.100个⾃然数,它们的总和是10000,在这些数⾥,奇数的个数⽐偶数的个数多,那么这些数⾥⾄多有个偶数.5.975?935?972?( ),要使这个连乘积的最后四个数字都是零.在括号内最⼩应填 .6.有三个连续⾃然数,它们依次是12、13、14的倍数,这三个连续⾃然数中(除13外)是13倍数的那个数最⼩是 .7.下图九个数中取出三个数来,这三个数都不在同⼀横⾏,也不在同⼀纵⾏.问:怎样取才能使这三个数之和最⼤,最⼤数是 .8.农民叔叔阿根想⽤20块长2⽶,宽1.2⽶的⾦属⽹建⼀个靠墙的长⽅形鸡窝.为了防⽌鸡飞出,所建鸡窝的⾼度不得低于2⽶,要使鸡窝⾯积最⼤,长⽅形的长和宽分别应是 .9.⼀个三⾓形的三条边长是三个两位的连续偶数,它们的末位数字和能被7整除,这个三⾓形的最⼤周长等于 .10.农场计划挖⼀个⾯积为432m 2的长⽅形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m 和4m 的堤堰如图所⽰,要想占地总⾯积最⼩,⽔池的长和宽应为 .⼆、解答题11.下图中,已知a 、b 、c 、d 、e、f 是不同的⾃然数,且前⾯标有两个箭头的每⼀个数恰等于箭头起点的两数的和(如b =a +d ),那么图中c 最⼩应为多少?a b cd ef12.唐⽼鸭与⽶⽼⿏进⾏⼀万⽶赛跑,⽶⽼⿏的速度是每分钟125⽶,唐⽼鸭的速度是每分钟100⽶.唐⽼鸭⼿中掌握着⼀种迫使⽶⽼⿏倒退的电⼦遥控器,通过这种遥控器发出第n 次指令,⽶⽼⿏就以原速度的n ?10%倒退⼀分钟,然后再按原来的速度继续前进,如果唐⽼鸭想在⽐赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数⾄少应是多少次?13.某游泳馆出售冬季学⽣游泳卡,每张240元,使⽤规定:不记名,每卡每次只限⼀⼈,每⼈只限⼀次.某班有48名学⽣,⽼师打算组织学⽣集体去游泳,除需购买若⼲张游泳卡,每次游泳还需包⼀辆汽车,⽆论乘坐多少名学⽣,每次的包车费均为40元.若要使每个同学游8次,每⼈最少交多少钱?14.某商店需要制作如图所⽰的⼯字形架100个,每个由铝合⾦型材长为2.3⽶,1.7⽶,1.3⽶各⼀根组装⽽成.市场上可购得该铝合⾦型材的原料长为 6.3⽶.问:⾄少要买回多少根原材料,才能满⾜要求(不计损耗)?———————————————答案——————————————————————1. 6第⼀把钥匙最坏的情况要试3次,第⼆把要试2次,第三把要试1次,共计6次.2. 12因4和3的最⼩公倍数为12,故最少需这样的⽊块12块.3. 50000.44. 48⼀共有100个⾃然数,其中奇数应多于50个,因为这100个⾃然数的总和是偶数,所以奇数的个数是偶数,⾄少有52个,因⽽⾄多有48个.5. 20因975=39?52,935=187?5,972=243?22,要使其积为1000的倍数,⾄少应乘以5?22=20.6. 1105因为12、13、14的公倍数分别加上12、13、14后才依次是12、13、14倍数的连续⾃然数,故要求是13的倍数的最⼩⾃然数,只须先求12、13、14的最⼩公倍数为1092,再加上13得1105.7. 20第⼀横⾏取6,第⼆横⾏取7,第三横⾏取7.8. 12⽶,6⽶.⾦属⽹应竖着放,才能使鸡窝⾼度不低于2⽶.如图,设长⽅形的长和宽分别是x ⽶和y ⽶,则有x +2y =1.2?20=24.长⽅形的⾯积为S =xy =()y x 221?.因为x 与2y 的和等于24是⼀个定值,故它们的乘积当它们相等时最⼤,此时长⽅形的⾯积S 也最⼤,于是有:x =12,y =6.9. 264依题意,末位数字和能被7整除的只有7、14、21等三种.但三个两位的连续偶数相加其和也⼀定是偶数,故符合题意的只有14.这样三个最⼤的两位连续偶数.它们的末位数字⼜能被7整除的,便是90、88、86，它们的和即三⾓形最⼤周长为90+88+86=264.10. 24m ,18m如图,设⽔池边长为xm ,宽为ym ,则有xy =432,占地总⾯积S =(x +8)(y +6)m 2 于是S =xy +6x +8y +48=6x +8y +480.因6x +8y=48?432为定值,故当6x =8y 时,S 最⼩,此时x =24,y =18.11. 依题意,d 应当取最⼩值1,那么a 和f 只能⼀个为2,另⼀个为4.这样,根据b =a +d ,e =d +f ,b 和e 便只能⼀个为3,另⼀个为5,⽽c =b +e .所以c 最⼩应为3+5=8.12. ⽶⽼⿏跑完全程⽤的时间为10000÷125=80(分),唐⽼鸭跑完全程的时间为10000÷100=100(分).唐⽼鸭第n 次发出指令浪费⽶⽼⿏的时间为n n 1.01125%101251+=??+. 当n 次取数为1、2、3、4…13时,⽶⽼⿏浪费时间为1.1+1.2+1.3+1.4+…+2.3=22.1(分)⼤于20分.因为⽶⽼⿏早到100-80=20分,唐⽼鸭要想获胜,必须使⽶⽼⿏浪费的时间超过20分钟,因此唐⽼鸭通过遥控器⾄少要发13次指令才能在⽐赛中获胜.13.设⼀共买了x 张卡,⼀共游泳y 次,则共有xy =48?8=384(⼈次),总运费为:(240x +40y )元.因240x ?40y =240?40?384是⼀定值,故当240x =40y ,即y =6x 时和最⼩,此时可求得x =8,y =48.总⽤费为240?8+40?48=3840(元),平均每⼈最少要交3840÷48=80(元).显然④⑤⑥三种⽅案损耗较⼩. ④⑤⑥⑦⽅案依次切割原材料42根、14根、29根和1根共⽤原材料42+14+29+1=86(根).。
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第二十三讲最值问题一
最值问题，即求最大值、最小值的问题．
这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．
例题1
（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？
（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？
「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？
练习1
在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？
直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．
例题2
有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？
「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？
练习2
有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？
从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大”．
“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．
例题3
墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均
为整数
米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）
「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不
可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？
练习3
墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？
例题4
请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．
⨯□□□□□□ 「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？
练习4
请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．
⨯□□□□□□□□
例题5
墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形
养鸡场，已
知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那
么怎样围所
得的养鸡场面积最大？
「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？
养鸡场
想一想
要用篱笆围一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种面积会最大呢？
在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！
例题6
各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？
「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．
课堂内外
动物之最
最大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）
最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）
最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）
嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马
最聪明的动物：海豚（人除外）
最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）
翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）
嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）
形体最小的鸟：蜂鸟
飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）
最耐寒的鸟：企鹅
路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）
速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）
飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）
现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）
牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）
飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）
力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重
1141
倍的物体）
外形最奇特的鱼：海马
最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）
毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）
寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁
了）
冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）
作业
1.在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插
入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？
2.两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？
3.用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
4.请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入算式
□□□□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大．
5.各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？
第二十三讲 最值问题一
1. 例题1
答案：（1）124435；（2）98766789
详解：
（1）枚举：112435、122435、124435、124335、124355，最大的六位数是124435；
（2）枚举：99876789、98876789、98776789、98766789、98767789、98767889、98767899，最小的八位数是98766789．
2. 例题2
答案：20场
详解：
如果是（1，8），那么共188⨯=场；
如果是（2，7），那么共2714⨯=场；
如果是（3，6），那么共3618⨯=场；
如果是（4，5），那么共4520⨯=场；
所以一共最多有20场比赛．
3. 例题3
答案：长、宽 都为5米时，面积最大为25平方米
详解：
长方形周长是20米，长、宽之和为10，是固定不变的；
长方形面积为长、宽之积，根据“和同近积大”，可知长、宽越接近，面积越大； 当长、宽相等，即篱笆为正方形时，面积最大，最大面积为5525⨯=平方米．
4. 例题4
答案：631542⨯
详解：
要使得乘积最大，那么就要百位上的数字最大、个位上的数字最小；所以百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；
在这个前提下，无论怎么填，最后两个三位数的和都固定等于5006003040121173+++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个三位数差最小，尝试可得是631542⨯．
5. 例题5
答案：两条直角边都为10米时，面积最大为50平方米
详解：设两条直角边分别为A 、B ，则20+=A B 米；
直角三角形面积为“2⨯÷底高”，即面积大小是由“⨯A B ”决定的；
A 、
B 之和为20米，越接近则乘积越大，所以当10==A B 米时， “⨯A B ”有最大值； 所以，三角形面积最大为1010250⨯÷=平方米．
6. 例题6
答案：689；8543210
详解：数的大小，首先是要考虑位数，再考虑各个数位上的数的大小．
（1）最小：即要位数最少，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的大，把23拆开：23986
=++，所以最小数为689；
（2）最大：即要位数最多，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的小，把23拆开：230123458
=++++++，所以最大数为8543210．
7.练习1
答案：441729
详解：枚举：441729、411729、417729、417229、417299，最大的六位数为441729．
8.练习2
答案：12场
详解：
如果是（1，6），那么共166
⨯=场；
如果是（2，5），那么共2510
⨯=场；
如果是（3，4），那么共3412
⨯=场；
所以一共最多有12场比赛．
9.练习3
答案：长8米，宽7米时，面积最大为56平方米
简答：长、宽和为15米，当长为8米、宽为7米时，长、宽最接近，长、宽乘积最大，最大面积为56平方米．
10.练习4
答案：76428531
⨯
简答：要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大、个位上的数字最小；所以千位填7、8，百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；
在这个前提下，无论怎么填，最后两个四位数的和都固定等于+++++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个四7000800050060030401216173
位数差最小，尝试可得是76428531
⨯．
11.作业1
答案：1129854
简答：在原数某一位前面插入相同数一共可以得到1129854、1229854、1299854、1298854、1298554、1298544这些数，对比可知1129854最小．
12.作业2
答案：25
简答：两个数的和为10，根据“和同近积大”的原则，当两个数都为5时乘积最大，为25．13.作业3
答案：25平方厘米
简答：长、宽的和是10厘米，根据“和同近积大”的原则，正方形的时候面积最大，此时边长为5厘米，面积为25平方厘米．
14.作业4
答案：853764
⨯
简答：最高位填8和7，十位填6和5，个位填4和3，相差越小乘积越大，所以应为853764
⨯．15.作业5
答案：26789；98543210
简答：3298762
=++++，所以最小为26789；3201234589
=+++++++，所以最大为98543210．。