二维随机变量及其分布题目
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
概率统计第三章
第三章二维随机变量及其分布练习题 3.1一、判断题1(X,Y)的分布可确定 X 与 Y 的边缘分布。
()、由2、设、是两个随机变量，则是二维随机变量。
3、设二维随机变量 (,)的联合分布函数为 F (x, y) ，则 F ( x, y)P{x,y} 1 P{x,y} 。
() 4、设二维随机变量(,) 的联合分布函数为 F (x, y) 则，P{ x1x2 , y1y2 } F (x2 , y2 ) F ( x1 , y1 )()5、由( X,Y)的两个边缘分布可确定 ( X ,Y )的联合分布()6、若(X,Y)为离散型二维随机变量，则P{ X a,Y b}P{ x a, y b} (其中 a,b 为常数)() 7、设( , )的概率分布为0133 1010131 1010则， U的概率分布为U012343。
( )P1010 10二、填空题1.设二维随机变量 ( , ) 的联合概率分布为01200.10.2010.30.10.120.100.1则 P0 =____。
2.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度e y0 x yx, y0其他而的边缘密度为y ，则 2 =________。
3.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为1 0 x 1,0 y1x, y0其他则概率 P0.5,0.6 =________。
4.设二维随机变量 ( , ) 的概率密度为4xy0 x1,0y1x, y0其他则 P 01 , 12 41=___________，P{} =_________，P{} =_________。
5.(X ,Y)是二维连续型随机变量，用(X ,Y)的联合分布函数 F ( x, y)表示下列概率（1）p( a X b, Y c)__________ __________;（2）p( X a, Y b)____________________ ;（3） p(0 Y a ) __________ __________;（4） p( X a, Y b) ____________________ .练习题 3.2一、选择题1、设,为随机变量，则事件1,1的逆事件为 ().A1, 1 ;B1, 1 ;C1, 1 ;D1 1 .2、p ij P{x i ,y j }( i, j1,2,) 是离散型二维随机变量( ,) 的（）。
考研数学一二维随机变量及其分布历年真题试卷汇编2_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（二维随机变量及其分布）历年真题试卷汇编2(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ数F(z)的间断点的个数为( )．ZSSS_SINGLE_SELAB1C2D3分值: 7.5答案:BF(z)=P(Z≤z)=P(XY≤z)=P(XY≤z｜Y=0)P(Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)P(Y=1)Z=[P(XY≤z｜Y=0)+P(XY≤z｜Y=1)]／5．又X，Y相互独立，故 F(z)=[P(X·0≤z)+P(X≤z)]／2．Z(z)=[+ф(z)]／2=ф(z)／2．当z＜0时， FZ(z)=[P(Ω)+P(X≤z)]／2=[1+ф(z)]／2．当z≥0时， FZ综上所述，得到因(z)只有一个间断点z=0．仅B入选．所以FZ2.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则P(X＜Y)=( )．SSS_SINGLE_SELA1／5B1／3C2／5D4／5分值: 7.5答案:A由题设有而X与Y相互独立，故f(x，y)=fX (x)fY(y)=则P(X＜Y)= f(x，y)dxdy=∫0+∞∫x+∞4e-(x+4y)dxdy=一∫+∞e-x dx∫x+∞e-4y d(一4y)=∫0+∞e-x·e-4x dx=∫+∞e-5x dx=仅A入选．3.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则( )．SSS_SINGLE_SELAa=0．2，b=0．3Ba=0．4，b=0．1Ca=0．3，b=0．2Da=0．1，b=0．4分值: 7.5答案:B由=(a+0．4)+(b+0．1)=a+b+0．5=1(归一性)知，a+b=0．5．又由事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故 a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4．从而b=0．5一a=0．1．填空题4.[2003年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P(X+Y≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:首先求出积分区域D ∩ G．D ∩ G实质上是G={(x，y)｜0≤x≤y≤1}与D={(x，y)｜x+y≤1}交集．可知，0≤x≤y≤1是在y=x上方的区域，而x+y≤1是直线x+y=1下方的区域．两者之交即为D ∩ G(见图)，故5.[2015年] 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY—Y＜0}=_______．SSS_FILL分值: 7.5答案:因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，故X，Y相互独立，则P{XY—y＜0}=P{(X一1)Y＜0}=P{X一1＜0，Y＞0}+P{X一1＞0，Y＜0}=P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1}=P{X＞1}=．因Y～N(0，1)，故P{Y＞0}=P{Y＜0}=．所以6.[2006年] 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P(max{X，Y}≤1)=______．SSS_FILL分值: 7.5答案:1/9P(max(X，Y)≤1)=P({X≤1}{Y≤1})=P(X≤1，Y≤1)=P(X≤1)P(Y≤1)=[(1一0)／(3—0)][(1一0)／(3一0)]=(1／3)×(1／3)=1／9．解答题[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=一1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y．SSS_TEXT_QUSTI7.求P(Z≤1／2｜X=0)；分值: 7.5答案:由于X，Y相互独立，有P(Z≤1／2 ｜X=0)=P(X+Y≤1／2｜X=0)=P(y≤1／2｜X=0)SSS_TEXT_QUSTI8.求Z的概率密度fZ(z)．分值: 7.5答案:因X的可能取值为一1，0，1，而fY(y)取非零值的自变量的变化范围为0≤y≤1，一1≤z=x+y≤2．(1)当z≥2时，X，Y的所有取值均满足上式，故F(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=1．(2)当z=x+y＜一1时，X，Y的取值为空值，则P(X+Y≤z)==0．(3)当一1≤z＜2时，下面用全概率公式求出FZ(z)的表示式：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=P(X+Y≤z｜X=一1)P(X=一1)+P(X+Y≤z｜X=0)P(X=0)+P(X+Y≤z｜X=1)P(X=1)(Fy(z)为y的分布函数)，则fZ (z)=F'Z(z)=[FY(z+1)+fY(z)+fY(z—1)]．当0＜z+1＜1或0＜z＜1或0＜z—1＜1，即一1＜z＜2时，FZ(z)=；其他情况下，fZ(z)=0．[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，，Y的概率密度为fY(y)=SSS_TEXT_QUSTI9.求P{Y≤E(Y)}；分值: 7.5答案:因E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫1y·2ydy=，故SSS_TEXT_QUSTI10.求Z=X+Y的概率密度．分值: 7.5答案:Z的分布函数FZ(Z)=P{X+Y≤z，X=0}+P{X+Y≤z，X=2} =P{X=0，Y≤z}+P{X=2，Y+2≤z}=，故Z的概率密度函数为[2014年] 设随机变量X的概率分布为P(X=1)=P(X=2)=，在给定X=i的条件下，随机变量y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)．SSS_TEXT_QUSTI11.求Y的分布函数F(y)；Y分值: 7.5答案:记U(0，i)的分布函数为F(x)(i=1，2)，则i(y)=p(Y≤Y)=P(x=1)P(Y≤y｜X=1)+P(X=2)P(Y≤y｜X=2)于是FY因在X=i的条件下，Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)，故当y≤0时，(y)=0．Fi当0＜y≤1时，当1＜y＜2时，当y≥2时，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求期望E(Y)．分值: 7.5答案:(y)可得概率密度函数为由Y的分布函数FY+∞yfy(y)dy=故E(Y)=∫-∞[2013年] 设随机变量X的概率密度为令随机变量，SSS_TEXT_QUSTI13.求y的分布函数；分值: 7.5答案:+∞f(x)dx=，得到a=9．此时，X的利用概率密度函数的归一性，由1=∫-∞概率密度为(y)．由题设知，Y的取值范围为1≤Y≤2，故设Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}=0；P(1≤Y≤2)=1．因而当y＜1时，FY当1≤Y＜2时，F(y)=P{Y≤y}=P{Y＜1}+P{Y=1}+P{1＜Y≤y}Y=0+P{X≥2}+P{1＜X≤Y}=(y)=P{Y≤y}=P{Y≤2}=1．当Y≥2时，FY综上得到y的分布函数为SSS_TEXT_QUSTI14.求概率P{X≤Y}．分值: 7.5答案:由随机变量y的分段表示式易看出，满足x≤y的x的取值范围为x＜2．因而所求概率为P{X≤Y}=P{X＜2}=[2016年]设二维随机变量(X，Y)在区域D=((x，y)｜0＜x＜1，x2＜y＜)上服从均匀分布．令SSS_TEXT_QUSTI15.写出(X，Y)的概率密度；分值: 7.5答案:易求得区域D的面积，故(X，Y)的概率密度SSS_TEXT_QUSTI16.问U与X是否相互独立?并说明理由；分值: 7.5答案:考查事件{U=0}与乘积的概率是否与事件{U=0}的概率的乘积相等．事实上，它们不相等．易求得显然，故U与X不独立．SSS_TEXT_QUSTI17.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．分值: 7.5答案:下面用全集分解法求f(u，v)的分布函数FZ(z)=P(Z≤z)=P(U+X≤z)．FZ(z)=P(U+X≤z)=P(U=0，U+X≤z)+P(U=1，U+X≤z)=P(U=0，X≤z)+P(U=1，U≤z—1)=P(X＞y，X≤z)+P(X≤Y，X≤z一1)注意到x取值的边界点为0，1，而U取值边界点也为0，1，因而z的取值的分段点为0，1，2．于是应分下述四种情况分别求出FZ(z)的表示式．①z＜0时，则P(X≤z)==0，P(X≤z—1)==0，故FZ(z)=0．②0≤z＜1时，③1≤z＜2时，④z≥2时，FZ(z)=P(X＞Y)+P(X≤y)=P(U=0)+P(U=1)=1．综上所述，Z的分布函数为[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个白球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球个数．SSS_TEXT_QUSTI18.求P(X=1｜Z=0)；分值: 7.5答案:(I)用缩减样本空间的方法求之．求时应注意两次取球取到的是不同类的球，要讲次序．因而两次都没取到白球(Z=0)的条件下，只能取红、黑两种球，且每次都要取到一个红球，其可能性为C11×C21+C21×C11=4，总的可能性为C 31×C31=3×3=9，故SSS_TEXT_QUSTI19.求二维随机变量(X，Y)的概率分布．分值: 7.5答案:由题设知X与Y的所有可能取值均为0，1，2，而取值的概率可由古典概率的计算公式得到．计算时要注意两次取球取到的是不同类的球要讲次序，取到的是同类的球不讲次序．故(X，Y)的概率分布为20.设随机变量X的概率密度为f(x)=e-｜x｜／2，一∞＜x＜+∞，问随机变量X 与｜X｜是否相互独立?为什么?SSS_TEXT_QUSTI分值: 7.5答案:因X和｜X｜为两个随机变量，下面证明对于给定的a(0＜a＜+∞)，式P(X＜x，Y＜y)=P(X＜x)P(Y＜y)不成立，从而X与｜X｜不相互独立．事实上，因事件{｜X｜＜a}包含在事件{X＜a}之中，即{X＜a} {｜X｜＜a}，故P(X＜a，｜X｜＜a)=P({X＜a}∩{｜X｜＜a})=P(｜X｜＜a)．又P(X＜a)＜1，P(｜X｜＜a)＞0，因而P(X＜a)P(｜X｜＜a)＜P(｜X｜＜a)．于是P(X＜a，｜X｜＜a)=P(｜X｜＜a)＞P(X＞a)P(｜X｜＜a)，故P(X＞a，｜X｜＜a)≠P(X＜a)P(｜X｜＜a) (0＜a＜+∞)．可知，X与｜X｜不相互独立．1。
概率统计习题选讲〔5-6〕
1
2
1
;
其他类似可求得.
4 3 6 1 1 1 ; P ( X 1, Y 3) P ( X 1) P ( Y 3 X 1) 4 3 12
2
(X,Y)的联合分布列为
Y
X
1
0
1/ 6 1 /12
2
1/ 6 1/ 6 1/ 6
3
1 /12 1/ 6
1 2 3
0
P ( X Y ) P ( X Y 1) P ( X Y 2 ) P ( X Y 3)
7 9 2 9
0 .6 2 2 2;
P ( X 0, Y 1) P ( X 0 ) P ( Y 1 X 0 )
0 .1 7 8 8;
P ( X 1, Y 0 ) P ( X 1) P ( Y 0 X 1)
2
8
0 .1 7 8 8;
1, 5 x 6; f X (x) 0, 其 他 .
1
Y 1 4
2
X .
2
2 5 4
Y 9 .
FY ( y ) P ( Y y ) P ( X 4
4y
y ) P (5 X
5.
1
4y
)
5
f X ( x )d x
4y
X Y
的分布。
y
x y 2
解： X Y 的可能取值范围是： 2 Z 2 . Z 2
x y 2
x
2 在这两条平行直线之间，满足 2 z x y 2
概率论与数理统计第3章：二维随机变量及其分布总复习题
第3章总复习题()()1.15 选择题：小题，每小题4分，共20分.下列每小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的.()()()()(){}()1,,1,1.X Y X Y F x y F x F y P X Y >>=设随机变量的联合分布函数为,其边缘分布函数为和,其概率()()11,1.A F -()()()111.X YB F F --()()()()1,1111.X Y C F F F --+()()()()1,111 1.X Y D F F F ++-()1.C 答案为()(){}()222011.X Y P X Y +≤=设随机变量和相互独立，且都服从区间，上的均匀分布，则()1.4A ()12B ().8C π().4D π()2.D 答案为()()(){}()31,1min ,2.X Y E P X Y <<设相互独立的两个随机变量与均服从指数分布则的值为()12.A e e ---()11.B e --()21.C e --()24.D e e ---()3.D 答案为()()()()40111.X Y X N Y N 设随机变量与相互独立，且，，，，则(){}10.2A P X Y +≤=(){}11.2B P X Y +≤=(){}102C P X Y -≤=(){}11.2D P X Y -≤=()4.B 答案为(){}()151.2X Y B P X Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭设随机变量和相互独立，它们的概率分布均为，，则()0.A ()1.4B ()1.4C ()1.D ()5.C 答案为()()2.610.填空题小题，每题4分，共20分()6.X Y Z X Y λ=+已知随机变量和相互独立，且均服从参数为的泊松分布，则服从的分布为()()62.Z P λ 答案:()()(){}7,0,1,0,2,.X Y X U Y U P X Y <=已知随机变量和相互独立则(){}()37,.4x yP XY f x y dxdy <<==⎰⎰答案：()()()()()21,20418,01,20,,1,4.x X f x x F x y X X F ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩-，设随机变量的概率密度为，记为二维随机变其它。
概率统计10——二维随机变量函数分布
特殊情况，如果X与Y具有相同分布，
重庆大学数理学院
FZ1 ( z) F ( z) F ( z) F ( z)
2
即FX(z)=FY(z)记为F(z)，则上述公式变为
FZ2 ( z) 1 [1 F ( z)][1 F ( z)] 1 [1 F ( z)]
2
推广： 若Z1=max(X1,X2,…,Xn), Z2=min(X1,X2,…,Xn),
P
14
14
16
18
18
1 12
重庆大学数理学院
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -1 0 1 1 2 X +Y -2 X -Y XY
0
1 1
-1
0 0
2
-1 -1
1
0 0
3
-2 -1/2
2
0 0
Y/X
X+Y P
-2
-1
0
1
2
14
14
0
重庆大学数理学院
z x ( z x) xe ( z x)e dx, f Z ( z ) f ( x) f ( z x)dx 0 0, z3 z e , 6 0, z0 other z0 other
解：设 X i (i 1,2) 表示第i周需求量，且它们独立同分布， 则欲求 Y X1 X 2 的密度函数。
e
dx
1
2
e
z2 4
所以，X+Y～N(0, 2)。
一般地，X～N(μ1,σ12), Y～N(μ2,σ22), 则X+Y～N(μ1+μ2, σ12+σ22)。 称该性质为线性可加性，二项分布、泊松分布都 机变量的情形。
二维随机变量函数的分布
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例1 设随机变量 ( X, Y ) 的联合分布列如下
Y
X0
1
2
3
4
5
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
试求 ZXY 的分布列．
解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2, ···, 8 . 在联合分布列中对使 Z 可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并, 即得Y 的分布律如下
退出
退出
退出
Z = X＋Y
1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之
在离散量的分布列中, 对X , Y 所有能 使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行 归并 ( 例如, 固定一个变量的取值, 然后 寻找另一变量与其之和为同一值的取值 概率), 所得之和即是函数 Z 在同一可取 之值上的取值概率.
那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + … + X k
也是泊松量，且有
k
Z ~ P ( i ) i1
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例2-4 两[ 0 ,1 ]上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量
ZXY的概率密度.
解 Q X ~ R ( 0 , 1 ) ,Y ~ R ( 0 , 1 ) , 且相互独立 , ∴概率密度
x ty z
[ f(ty,y)d t]d y
第3章习题
第三章习题3-1二维向量及分布一. 单项选择题1. 已知二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数F（x, y）= P{X≤x,Y≤y}，则事件{X>1,Y>0}的概率是（A）F（1, 0）（B）1－F（1, +∞）－F（+∞,0）+F （1, 0）（C）F（1, +∞）－F（1, 0）（D）1－F（1, 0）2. 下列说法不正确的是（A）分布函数F（x, y）是变量x和y的不减函数（B）0< F（x, y）<1（C）P{x1<X2<x2, y1<Y<y2}≥0 （D）f（x, y）≥03. 下列二元函数中，可作为连续型随机变量的联合概率密度为（A）（B）;（C）（D）二.填空题1. 因为二元函数不满足，所以不是某一个二维随机变量的联合分布函数。
2. 用（X ，Y）的联合分布函数F（x, y）表示下述概率：（1）P{a≤X≤b, Y <c} ；（2）P{a≤X, Y≥b} 。
3. 设随机变量X与Y相互独立，且均匀服从正态分布N（0，1），则概率P{XY ≥0}=。
4. 设随机变量（X ，Y）的概率密度为则概率P{ X<0.5,y<0.6}= 。
三. 计算题1. 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑放回抽样试验现定义随机变量如下：0 若第一次取出的是正品 0 若第二次取出的是正品X= ，Y=1 若第一次取出的是次品 1 若第二次取出的是次品试就此情况，写出和的联合分布律2. 上题中若作不放回抽样，写出和的联合分布律3. 设随机变量的概率密度为（1）确定常数k（2）求P{X<1, Y<3}（3）求P{X<1.5}（4）求P{X+ Y≤4}四.证明题1. 二元函数不是一个分布函数。
参考答案一. （1）B（2）B（3）B二． 1. P{x1<X2<x2,y1<Y<y2}= F（x2, y2）－F（x2, y1）－F（x1, y2）+ F（x1, y1），2. （1）F（b, c）－F（a, c）（2） 1－F（+∞, b）－F（a, +∞）+ F（a,b）3. 0.54. 0.3三. 1.010 25/36 5/36 15/36 1/362.0 1 0 45/6610/66 110/661/663. （1）k = 1/8（2）3/8， （3）27/32， （4）2/3 四．3.2-边缘分布与条件分布一、单项选择题：1. 如果二维随机变量（X , Y ）分布律为P {X =x i ,Y =y j }=p i j ，X 的分布律为，X x1x2x31/3 1/5a则a =（A ） （B ） （C ）（D ）不能确定2. 设X ~N (1,0.5)，Y ~ N (0,0.5), 且相互独立。
二维随机变量及其分布题目
word 格式-可编辑-感谢下载支持一、单项选择题1．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为13的0—1分布，则方程220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ）13 （B ）12 （C ）16 （D ）23[] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为()22,02,14,(,)0,.k x y x y f x y ⎧+<<<<⎪=⎨⎪⎩其他则k 的值必为 （A ）130 （B ）150 （C ）160 （D ）180[] 4．设（X ，Y ）的联合密度函数为,0,(,)0,.ye x yf x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(1)P X Y +≥则概率为（A ）1122ee --- （B ）12e e --- （C ）1e - （D ）21e -- []5．设随机变量X 与Y 相互独立，而且X 服从标准正态分布N （0，1），Y 服从二项分布 B （n ，p ），0<p<1，则X+Y 的分布函数（A ）是连续函数 （B ）恰有n+1个间断点（C ）恰有1个间断点 （D ）有无穷个间断点 []6．设X 与Y 相互独立，~(0,2),X U Y 的密度函数为(),0,0, 0.y Y e y f y y -⎧≥=⎨<⎩则 (1)P X Y +≥为（A ）11e -- （B ）21e -- （C ） 1112e --（D ）212e -- [] 二、填空题1 ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=-∞),(y F ， ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+),0(y x F ； ),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=+∞),(x F 随机点),(Y X 落在矩形域],[2121y y y x x x ≤<≤<的概率为2若（X ，Y ）的联合密度(2),0,0,(,)0,.x y Ae x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他，______,(2,1)____.A P X Y =≤≤=则常数3 设3P{0,0}7X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 4 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042,20)6(),(y x y x k y x f ，则=k81. 且区域=D {}3|),(≤+y x y x ，则概率=∈}),{(D Y X P5 设123123~(0,2),~(1,3),~(0,6),,,X N X N X N X X X 且相互独立，则 123(2328)P X X X ≤++≤=_________。
二维随机变量函数的分布
6
4
5
(3,3) (3,4)
0
0
6
7
(X,Y) P
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) 0.1 0.05 0.15 0.1 0.1 0.15 0.1
(2,4) (3,1) (3,2)
0
0.15 0.1
(3,3) (3,4)
0
0
W=
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
1<z≤2
2<z
2y 1x0 ,1y0 f(x,y) 0 其它
FZ(z} f (x, y)dxdy
x yz
1
1 当 z0 时 ,
f(x,y) =2y
FZ(z)0
0
1
f(x,y) =0
2 当 0 z 1时 ,
FZ(z} f (x, y)dxdy x yz
2ydxdy 三角形
1 f(x,y) =2y
f(x,zx)dx
由对称性可得
fz(z)
f(zy,y)dy
如果（X，Y）的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为
fZ(z)
f(x, zx)dx
或
f(zy,y)dy
例题讲解
例1：设二维随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为
1 fX(x) 0
0其 x它 1,fY(x) 0 2y
0.1 0.05 0.15 0.1 0.1 0.15 0.1
0 0.15 0.1
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X、Y分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y）联合分布律。
2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X、Y表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y）联合分布律。
3．设，且P{}=1，求（，）的联合分布律，并指出，是否独立。
4．设随机变量X的分布律为Y=，求（X,Y）联合分布律。
5．设（X,Y）的概率分布为且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a，b。
6. 设某班车起点上车人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0<P<1）相互独立。
以Y表示中途下车的人数。
（1）求在发车时有n个人的情况下，中途m个人下车的概率；（2）求（X,Y）联合分布律。
7. 设二维随机变量（X,Y）联合分布函数F(x.y)=A(B+arctan) (C+arctan)。
（1）A、B、C （2）(X,Y)的联合密度f(x,y) （3）（X,Y）的边缘密度，概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题8.设f(x,y)=为二维随机变量（X,Y）的联合密度函数，求：其它（1）C的值（2）， (3)P{X+Y1}并判别X与Y是否独立。
为（X,Y）的密度函数，求：9．设f(x,y)=其它(3)P{X>1/2|Y>0}为（X,Y）的密度函数，求10. 设f(x,y)=其它11. 设f(x,y)=为（X,Y）的密度函数，求（）的联合分布其它函数。
12.设X,Y独立，均服从(0,1)上的均匀分布，Z的密度函数。
13. 设f(x,y)=（）为（X,Y）的密度函数，Z=X+Y,求的密度函其它数。
概率论与数理统计第三章二维随机变量及其概率分布例题14.设X,Y独立，X~N(μ,),Y~V(-π,π),Z=X+Y,求，结果用Φ( x)表示。
15.设（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)=,Z=X+Y,求Z的概率密度。
为（X,Y）的密度函数，Z=X+2Y,求的密度函数。
概率习题答案
二维随机变量及其分布 习题1设(X, Y)的分布律为X\Y 123 1 1/6 1/91/1821/3a1/9求a. 分析：dsfsd1f6d解答：由分布律性质Zi- jPij=1, 解得习题2⑴2.设(X.Y)的分布函数为F (X, y)，试用F(x, y)表示:⑴P{a 〈XWb, YWc};解答：P {a 〈X Wb. YWc}二F (b t c) -F (a, c)・习题2⑵2.设(X, Y)的分布函数为F (x.y)，试用F (x, y)表示:(2) P{0〈YWb};解答：P {0〈YWb}二F (+8, b) -F (+8. 0)・2.设(X, Y)的分布函数为F (x. y)，试用F (x, y)表示:⑶ P{X>a, YWb}・P {X>a, YWb}二F g, b)-F (a, b).习题3⑴3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求：(1) P{12<X<32, 0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4第二童 多维随机变量及其分布a 二2/9.2⑶可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9二1,P{X=1F Y=1}+P{X=1, Y=2)+P(X=1, Y=3)二P (X=1, Y=1} +P {X=1，丫二2} +P {X=1，丫二3} =14+0+0=14.习题3⑵3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2) P{1WXW2, 3WYW4};解答：P{1WXW2,3WYW4}二P (X=1，丫二3} +P (X=1，丫二4} +P {X二2, Y二3} +P {X二2, Y二4} 二0+116+0+14二516.3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(3) F(2, 3).F (2, 3)二P (1, 1) +P (1,2)+P (1,3) +P (2, 1) +P (2, 2) +P (2, 3) =14+0+0+116+14+0=916. 习题4设X,Y为随机变量，且P {XMO, YM0} =37, P {XM0}二P {Y20}二47,求P (max (X, Y} >0}.解答:P {max {X, Y} M0} =P (X, Y 至少一个大于等于0)二P{XMO} +P {Y20} —P {XMO, YM0}二47+47-37二57.(X, Y)只取下列数值中的值：(0, 0), (-1,1), (-1, 13), (2, 0)且相应概率依次为16,13,112, 512,请列出(X, Y)的概率分布表，并写出关于Y 的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512二1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X, Y)的联合概率分布.因(X, Y)只取上述四组可能值，故事件：{X二T, Y二0), {X二0, Y二13,{X二0, Y二1}, {X二2, Y二13, {X=2r Y=1)均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：(2)P {Y二0}二P {X=-1，丫二0} +P {X二0, Y二0} +P {X二2, Y二0}=0+16+512=712, 同样可求得P(Y=13=112, P(Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：习题6设随机向量(X, Y)服从二维正态分布N (0, 0. 102,102, 0),其概率密度为f (x, y) =1200 n ex2+y2200, 求P{XWY}.解答：由于P{XWY}+P{X>Y} = ,且由正态分布图形的对称性，知P{XWY}=P{X>Y},故P{XWY} = 2.习题7设随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y)二{k (6-x-y), 0<x<2, 2<y<40,其它，(1) 确定常数& (2)求P(X<1f Y<3};⑶求P(X<); ⑷求P{X+YW4}.解答:如图所示⑴由J* -00+00 J -oo+oof (x, y) dxdy=1,确定常数k.J* 02 J* 24k (6-x-y) dydx=k J 02 (6-2x) dx二8kh,所以k=18.(2) P (X<1 r Y<3}=J*01dx J2318 (6-x-y) dy=38.(3) P {X<} = f J 2418 (6-x-y) dy二2732.(4) P {X+Y W4}二J 02dx J 24-x18 (6-x-y) dy二23.习题8已知X和Y的联合密度为f (x, y)二{cxy, 0WxW1,0WyW10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x, y).解答：(1)由于1= J -oo+oo J* -oo+oof (x, y)dxdy二c j* 01 J* 01 xydxdy=c4, c二4.⑵当xWO或yWO时，显然F(x, y)二0;当x>1,y>1 时，显然F(x, y)=1;设0有F (x, y)= f _oo x J -°°yf (u r v) dudv二4 J Oxudu J* Oyvdv=x2y2.设0WxW1,y>1,有F (x, y)二P ｛X, Y Wy｝二4 J Oxudu J* 01 ydy二x2.最后，设x>1,0WyW1,有F (x, y)二P ｛XW1, YWy｝二4 J 01 xdx J* Oyvdv二y2.函数F(x, y)在平面各区域的表达式F (x, y)二｛0, xWO 或yW0x2, 0WxW1, y>1x2y2, 0WxW1, OWyW, x>习题9设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(X, y)二{(2-x), 0WxW1, xWyWIO,其它, 求边缘概率密度fY (y).解答：fX (x)= J -oo+oof (x, y) dy=｛J (2-x) dy, OWxWIO,其它二｛(2-x), OWxGO,其它.fY (y)= J -oo+oof (x, y) dx=｛J (2-x) dx, OWy W10,其它二｛(4y-y2), 0Wy 0,其它.习题10设(X, Y)在曲线y二x2, y二X所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答=区域G的面积A二J 01 (x-x2) dx二16,由题设知(X, Y)的联合分布密度为f(x, y) = {6, 0WxW1, x2WyWxO,其它, 从而fX (x)= J -oo+oof (x, y) dy=6 J x2xdy=6 (x-x2), 0WxW1,即fX (x) = (6(x-x2), OWx0,其它, fY (y)= J* -oo+oof (Xf y)dx=6 J* yydx二6(y-y), 0WyW1, 即fY (y) = (6 (y-y), OWy0,其它.条件分布与随机变■的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为(1) 求Y的边缘分布律；(2) 求P {Y二0 | X二0}, P {Y=1 | X二0};(3) 判定X与Y是否独立？解答：(1) 由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.P {y二0}二P {x二0, y二0} +P {x=1, y=0}二715+730二P{y=1)=E i =01P (x= i, y=1} =130+115=(2) P (y=0 | x二0}二P{x二0, y二0}P{x二0}二23,P(y=1 | x二0}二13.(3) 已知P {x二0, y二0}二715,由(1)知P {y二0}二，类似可得P(x=0} =因为P{x=0,y=0}#=P{x=0}・ P {y=0},所以x 与y 不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为求边缘分布律；(2) 求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答：(1) 边缘分布律为对应X的值，将每行的概率相加,可得P {X二i}・对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得P{Y=j}・当Y二51时,X的条件分布律为P {X二k | Y=51 }=P {X=k t y=51} P (Y=51 J=pk F r k=511 52, 53, 54, 55.列表如下:习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求:(1)在Yh的条件下.X的条件分布律；(2) 在X二2的条件下,Y的条件分布律.由联合分布律得关于X, Y的两个边缘分布律为故(1)在Y二1条件下，X的条件分布律为(2)在X二2的条件下，Y的条件分布律为已知(X, Y)的概率密度函数为f (x, y) = {3x, 0<x<1,0<y<x0,其它，求: (1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.(1) fX (x)= J -oo+oof (x. y) dy二｛3x2, 0<x<10,其它.fY (y) = J -oo+oof (x, y) dx= (32 (1-y2), 0<y<10,其它.(2) 对V yG(0,1),fX | Y(x | y) =f (x, y)fY(y) = ｛2x1 -y2, y<x<1 r 0,其它, 对V xG (0,1),fY I x(y | x)二f (x,y)fX(x)二｛1x,(Ky〈x0・其它.习题5X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布,p{X+Y=1}r P{X+Y=#0}・表(a)表⑹解答:由X与Y相互独立知P{X二xi, Y二y i}二P{X二xi]P(Y=yj),从而(X,Y)的联合概率分布为亦即表P {X+y=1 }=P {X二-2, y二3} +P {X=0, Y=1} =116+148=112, P(X+Y=#0)=1-P(X+Y=0}=1 -P {X=-1, Y=1 )-P (X=12, Y=-12 =1-112-16=34.习题6某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55-8:00,而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为fY (y) = (2 (5-y) 25, OWy W50,其它，求此人能及时上火车站的概率.由题意知X的密度函数为fX(x)二｛15,0WxW50,其它, 因为X与Y 相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x, y)二｛2 (5-y) 125, 0WyW5, 0WxW50,其它, 故此人能及时上火车的概率为P (Y>X)二j 05 J x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(OJ)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX (x) =12n e-x22, fY (y)=12n e-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f (x, y) =12 n e-12 (x+y) 2.习题8设随机变量X的概率密度f (x)=12e- | x | (-oo<x<+oo) f问：X与| X |是否相互独立？解答：若X与| X丨相互独立，贝w a>0,各有P{XWa, | X | Wa}二P{XWa} • P( | X | Wa},而事件{ | X | Wa}u {XWa},故由上式有P( I X | Wa}=P{XWa} • P{ | X | Wa},=P{ | X | Wa} (—P{XWa})二0=>P{ | X^a | }=0 或 1 二P{XWa}・(V a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与|X丨不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)±服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y) = {12e-y2, y>00, y WO,(1) 求X与Y的联合概率密度；(2) 设有a的二次方程a2+2Xa+Y二0,求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x) = {1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f (x, y)=fX (x) • fY (y) = {12e-y2, 0<x<1, y>00,其它；⑵因{a 有实根}二{判别式△ 2二4X2-4Y$0}二{X22Y}, 故如图所示得到：P {a 有实根} =P {X2NY}二J S x2>yf (x, y) dxdy二J* OldxJ 0x212e-y2dy =-J 01e-x22dx=1-[ J* -°°1e-x22dx- J* -°°0 e-x22dx]=1-2 n [12 n J -oo1e-x22dx-12 n J* -o°0e- x22dx]=1-2 n [①(1)-0 (0),又①⑴二，①(0)二，于是<D (1)-<D (0)= 所以Pfa 有实根]=1-2n [<D (1)-<D (0)]^X =二维随机变■函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U二max {X, Y} 和V二min{X,Y}的联合分布.由于UNV,可见P{U=i T V=j)=O(i<j).此外,有P{U二V二i}二P{X二Y二i}=1/9(i=1,2, 3),P{U=i r V=j}=P{X二i, Y二j} +P{X二j t Y=i) =2/9(i>j)r于是，随机变量U和V的联合概率分布为习题2设(X,Y)的分布律为试求:(1) Z二X+Y; (2) Z二XY; (3) Z二X/Y;(4) Z二max｛X, Y｝的分布律.解答:与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则•注意，z的相同值的概率要合并.于是(1)习题3设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D二｛(x,y | 0WxW2,0WyW1｝的均匀分布, 且求U与V的联合概率分布.解答：依题(U,V)的概率分布为P {U二0, V二0}二P {XWY, XW2Y}二P {XWY}二JO1dx Jx112dy二14, P {U二0, V二 1 }=P {XWY, X>2Y} =0,P {U二1, V=0}二P (X>Y, X W2Y}二P {Y<XW2Y}=J* 01dy J*y2y12dx=14, P {U=1, VP 1=1 -P {U二0, V二0} -P {U二0, Vh }-P {U=1, V=0) =1 /2,即习题4设(X,Y)的联合分布密度为f (x, y)=12n e-x2+y22, Z二X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ (z)二P {ZWz}二P {X2+Y2 Wz). 当z<0 时,FZ(z) =P(0 )=0;当zMO时,FZ (z)二P {X2+Y2Wz2} = J* J x2+y2Wz2f (x, y) dxdy=12 n J J x2+y2Wz2e-x2+y22dxdy二12 TT J 02 n d 0 J Oze- p 22 p d p二J Oze- p 22 p d p =1-e-z22.故z的分布函数为FZ(z) = (1-e-z22, z^OO, z< 0. Z的分布密度为fZ (z) = (ze-z22, z>00, zWO.习题5设随机变量(X, Y)的概率密度为f(x r y) = {12(x+y) e- (x+y), x>0, y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z二X+Y的概率密度.解答：(1) fX (x)= J* -oo+oof (x, y) dy={ J 0+°°12 (x+y) e- (x+y) dy, x>00, x W0\under21i ne 令x+y二t ( J* x+°° 12te~tdt=12 (x+1) e-x, x>00, xWO,由对称性知fY(y) = (12(y+1)e-y, y>00, yWO,显然f(x, y)*fX(x)fY(y),x>0, y>0, 所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ (z)= J -oo+oof (x, z-x) dx.当(x>0z-x>0 即(x>0x<z 时，f(x, z-x)去0,所以当z WO 时,fZ(z)=0;当z>0 时，fZ (z) = J 0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z二X+Y的概率密度为fZ(z) = {12z2e-z,z>00, zWO.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z二X+Y的概率密度.解答:据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x) = {1r 0<x<10,其它，fY (y) = (e-y, y$00, y<0, 由卷积公式得Z二X+Y的概率密度为fZ (z) = J -oo+oofx (x) fY (z-x) dx二J -oo+oofx (z-y) fY (y) dy二J O+oofX (z-y) e-ydy.由0<z-y<1 得z-1<y<z,可见：当z W0 时,有fX (z-y) =0, 故fZ (z) = J 0+oo0 - e-ydy二0;当z>0时,fZ (z)二J O+°°fX (z-y) e-ydy二J max (0, z-1) ze-ydy二e-max (0, z-1) -e- z,即fZ(z)二{0, zW01-e-z, 0<z^1e1-z-e-z, z>1习题7设随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y)二(be- (x+y), 0<x<1,0<y<+°°, 0,其它.(D试确定常数b；(2) 求边缘概率密度fX (x), fY (y)；(3) 求函数U=max {X, Y)的分布函数.解答：(1)由J -oo+oo J* -oo+oof (x r y) dxdy=1,确定常数 b.J 01dx J O+°°be-xe-ydy=b(1-e-1) =1,它.(2) 由边缘概率密度的定义得fX (x)二{ J 0+°°11 -e-1 e- (x+y) dy=e~x1 -e-x, 0<x<1,0,其它,fY(x) = {f 0111 -e-1 e- (x+y) dx=e-y F 0<y<+8, 0,其它(3) 因为f(x, y)=fX(x)fY(y),所以X与Y独立，故FU (u)=P (max (X, Y) Wu}二P {XWu, YWu} =FX (u) FY (u), 其中FX (x)二j 0xe-t1 -e-1 dt=1 -e-x1-e-1,0<x<1,所以FX(x)二{0, xWO, 1-e-x1-e-1,0<x<1, 1,x^1.同理FY (y)二{ j Oye-tdt=1-e-y, 0<y<+°°, 0, yWO,因此FU(u)二{0, u<0, (1-e-u)21-e-1,0^u<1,1-e-u f u^1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y,其概率密度分别为(f> 1 (x) = { a e- a x F x>00, xWO, (j> 2 (y) = { P e- p y, y>00, yWO t 其中a >0, B >0, a工B ,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z 二min{X,Y},则F(z)二P{ZMz}二P{min(X, Y) Wz}=1 -P{min(X, Y)>z}=1 -P{XMz, YMz}=1 - [1P (X<z) ] [1 -P {Y<z} ] =1 - [1 -F1 {z} ] [1-F2 {z}]由于F1 (z)二{ j Oz a e- a xdx=1-e- a 乙zNOO, z<0,F2 (z) = {1-e-p z, zMOO, z<0,故F (z) = {1 -e- ( a + B ) z, z 200, z<0, 从而© (z) = ( ( a + P ) e-( a + P ) z, z>00, zWO.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P (a<min {X, Y} Wb}二[P {X>aJ ] 2- [P {X>bJ ]2. 解答:设min{X r Y}=Z,则P (a<m i n {X, Y} Wb} =FZ (b) -FZ (a),FZ(z)=P{min(X, Y) Wz} =1 -P(min{X, Y}>z)=1-P{X>z, Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)=1-[P{X>z}]2,P {a<m i n {X, Y} ^b}=1 - [P (X>b}]2-(1- [P {X>a} ] 2)= [P{X>a)]2-[P(X>b}]2. 证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样•我们定义随机变量X,Y如下：X二{0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品，Y二{0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品，试分别就(1), (2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1) 有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0F Y=0} =10X1012X12=2536; P (X=1, Y=0}=2X 1012X12二536,P{X=0F Y=1)=10X212X12二536, P{X=1, Y=1)=2X212X 12=136,(2) 不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0F Y=0} =10X912X11 二4566, P{X=0f Y=1} =10X212X11 =1066,P{X=1f Y=1}=2X112X11=166F习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量Xk二{0,若YWk1,若Y>k (k=1 f 2), 求(X1, X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1二{0,若YW11,若Y>1,所以有P{X1=1}二P(Y>1) = J1+oo e-ydy=e-1,P{X1=0)=1-e-1,同理P (X2=1)二P (Y>2} = J 2+8e-ydy二e-2,P{X2 二0}二因为P{X1=1,X2=1)=P {Y>2}=e-2,P{X1 =1, X2二0}=P{X1=1}-P(X1=1, X2=1}=e-1-e-2,P {X1 二0, X2二0}二P {YW1}二1 -e-1,P(X1 二0, X2=1 }=P{X1 二0}-P(X1 二0, X2二0}二0,(X1, X2)：习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉.今从袋中随机抽出4只，以X 记橘子数，Y 记苹果数，求(X,Y)的联合分布. 解答：X可取值为0, 1,2, 3, Y 可取值0J r 2.所以，(X,Y)的联合分布如下:习题4 设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X, Y)的联合分布律及关于X 与Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处:解答：由题设X 与Y 相互独立，即有pij 二 pi ・ P ・ j(i 二 X2; jh.2,3), p 1—p21 二 p"二 16-18 二 124, 又由独立性，有p11=p1・ p ・ 1=p1・ 16故 p1 • =14.从而 p13=14-124-18,又由 p12=p1 - p- 2,即 18=14- p- 2. 从而p ・2-12.类似的有p 3=3, p13二 14, p2・二34. 将上述数值填入表中有P{X 0,Y 0) P(X 0,Y 1) P(X 0,Y 2) P(X 1.Y 0) P(X 1.Y 1) P(X 1.Y 2) P(X 2,Y 0) P(X 2,Y 1) P(X 2,Y 2) P(X 3,Y 0) P(X 3,Y 1) P(X 3,Y 2)P{0 )=0,C30C21C33/C84 2/70, C30C22C32/C84 3/70, C31C20C33/C84 3/70, C31C21C32/C84 18/70, C31C22C31/C84 9/70, C32C20C32/C84 9/70, C32C21C31/C84 18/70, C32C22C30/C84 3/70, C33C20C31/C84 3/70, C33C21C30/C84 2/70,P{0 )=0,习题5设随机变量(X, Y)的联合分布如下表：求：(Da值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3) (X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX (x)与FY (y).(1) \because 由分布律的性质可知Zi- jPij=1,故14+14+16+a=1, •••a 二13.⑵因F(x, y)二P{XWx, YWy}①当x<1 或y<T 时，F(x, y)二0;②当1Wx<2,TWy<0 时，F(x r y)=P{X=1f Y=-1}=1/4;③当x$2, TWy<0 时，F (x, y)二P {X=1, Y=-1} +P {X=2, Y=-1) =5/12;④当1Wx<2,y>0 时,F(x r y)=P (X=1 r Y=-1} +P {X=1，丫二0} =1 /2;⑤当x$2,yM0时，F (x, y) =P {X=1, Y=-1} +P {X二2, Y二T}+P{X=, Y二0}+P{X二2, Y二0}=1 ；综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)二{0,x<1 或y<T1/4,1Wx<2,TWy<05/12,xN2,TW y<01/2, 1 Wx<2, y$01, xN2, y$0.⑶由FX (x)=P {X Wx, Y<+oo}二Zxi<xZj=1+oo p jj,得(X, Y)关于X 的边缘分布函数为：FX(x)二{0, x<114+14, 1 x<214+14+16+13, x22二{0, xC 1/2, 1 Wx<21, x$2,同理，由FY(y)二P{X〈+oo, YWy}二ZyiWyX i 二1+ooPij,得(X, Y)关于Y 的边缘分布函数为FY (y) = (0, y<-12/12, -1 Wy<01, y $0.习题6设随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y) = (c (R-x2+y2), x2+y2〈R0, x2+y2MR,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2Wr2} (r<R).解答：⑴因为1 = J -oo+oo J -oo+oof (x, y) dydx= J* J x2+y2<Rc (R-x2+y) dxdy=S 02 n J* ORc (R- p ) p d p d 0 =c n R33,所以有c=3nR3.(2) P {X2+Y2Wr2}二J J* x2+y2<r23 n R3 [R-x2+y2] dxdy=J 02 n JOr3nR3 (R-p ) p d p d 0 =3r2R2 (1-2r3R).设 f (x, y) = {1,0WxW2, max (0, x-1) WyWmin", x)0,其它，求fX (x)和fY (y).max (0, x-1) = (0, x<1 x-1, xN1, min(1, x) = {x, x<11, xM1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0WxW1,0WyWx}, {1WxW2,1-xWyW1},即 f (x, y)二{1,0WxW1, OWyWxh 1 WxW2, x-1 WyW1,0,其它所以fX (x)二{ J Oxdy 二x, OWxC J x-11dy=2-x, 1 WxW20,其它, fY(y)二{ J yy+1dxh,OWyWIO,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则a, B应满足的条件是一，若X与Y独立，则ah , Bh . 解答：应填 a + p=13;29;19.由分布律的性质可知li- jpij=1,故16+19+118+13+0 + (3=1,即 a + B = 3.又因X与Y相互独立,故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j),从而a 二P{X二2, Y二2}二P{X=i}P{Y=j},= (19+a) (14+a + [3) = (19+a) (13+13)=29,B 二P {X二3, Y二2}二P {X二3} P {Y二2}二(118+B)(13+a + (3)二⑴8+B) (13+13),・•・B二19.习题9设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为f (x, y) = (ce- (2x+y), x>0, y>00,其它,(1) 确定常数c; (2)求X, Y的边缘概率密度函数；⑶求联合分布函数F (x, y) ; (4)求P {YWX};(5) 求条件概率密度函数fX | Y(x | y); (6)求P(X<2 | Y<1).解答：⑴由 f -8+8 J -oo+oof (x, y) dxdy=1 求常数 c.J* 0+oo J* 0+°°ce-(2x+y) dxdy=c - (-12e-2x)\vl ineO+°° - (-e-y) | 0+°°二c2二1, 所以c二2.(2) fX (x)= J* -oo+oof (x r y) dy= { J* 0+°°2e-2xe-ydy r x>00, xWO二(2e-2x, x>00, x W 0, fY (y)= J* -oo+oof (x, y) dx= { J* 0+°°2e-2xe-ydx, y>00,其它二(e-y, y>00, y W0.(3) F (x, y)二J -°°x J -°°yf (u, v) dvdu=(J* Ox J 0y2e-2ue~vdvdu r x>0, y>00,其它二((1-e-2x) (1-e-y), x>0, y>00,其它.(4) P {YWX}二J O+oodx J 0x2e-2xe-ydy= J 0+o°2e-2x (1 -e-x) dx=13. ⑸当y>0时，fX | Y (x | y)二f (x, y)fY(y)二{2e-2xe-ye-y, x>00, xWO二{2e-2x, x>00, xWO.(6) P (X<2 | Y<1)=P(X<2r Y<1}P(Y<1}=F(2, 1) jO1e-ydy=(1-e-1) (1-e-4) 1-e-1=1-e-4.设随机变量X以概率1取值为0,而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立. 因为X的分布函数为F(x)二{0,当x<0时1,当x$0时，设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y),则当x<0时，对任意y,有F(x, y)二P{XWx, YWy}二P{(XWx) D (YWy)}二P (0 fl (Y Wy) }=P {0 }二0二FX (x) FY (y);当xNO时，对任意y,有F(x, y)二P{XWx, YWy}二P{(XWx) D (YWy)}二P (S A (YWy) )=P {YWy}二Fy (y) =FX (x) FY (y), 依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习題11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X WY} = /2.解答：因为X,Y 独立，所以f(x, y)=fX(x) fY(y).P{XWY}二J* JxWyf (x, y)dxdy二J J* xWyfX (x) fY (y) dxdy=J -oo+oo [fy (y) J -ooyfX (x) dx] dy= J -8+8 [fy (y) FY (y) ] dy =J -oo+oofY (y) dFY (y)二F2 (y) 2 | -00+00=12, 也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{XWY}二P{YWX},而P{XWY}+P{XMY} = ,故P{XWY}二1/12.设二维随机变量(X, Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答:关于Y的边缘分布为由于X与Y独立，则有p22二p2・ p・ 2 得b二(b+19) (b+49) ①p12=p1- p- 2 得19=(a+19) (b+49) ②由式①得b二29,代入式②得a二118.由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=11 & b二29,得c二16.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pi j二pi - Xp- j.因此，所求a,b,c的值为a二1b二29, c二16.已知随机变量X1和X2的概率分布为且P (X1X2=0)=1.⑴求X1和X2的联合分布律；(2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P 1X1X2=01=1,求出联合分布.列表如下：由已知P{X1X2=0)=1,即等价于P{X1X2H0}二0,可知P {X1=1, X2=1 )=0, P {X1=-1, X2=1 )=0.再由p- 1=p-11+p11+p01,得p01=12, pTO二p-j =p-11=14f p10=p1 - -p11=14, 从而得pOO二0.(2)由于p-10=14*p-1 • - p- 0=14- 12=1 & 所以知X1 与X2 不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y) = {1 nR2, x2+y2WR20,其它，(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立?(1) 当x<-R 或x>R 时,fX (x)= J -oo+oof (x, y) dy= J -oo+ooOdy=0; 当-RWxWR 时，fX (x)= J* -oo+oof (Xf y) dy=1 nR2 J -R2-x2R2-x2dy=2 n R2R2-x2.于是fX (x) = (2R2-x2 n R2, -RWxWR0,其它.由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY (y) = (2R2-y2 n R2,・RWy WR0,其它.(2) fX | Y(x | y)=f(x,y) fY(y)注意在y处x值位于| x | WR2-y2这个范围内，f (x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX | Y (x | y)=1 nR22nR2 - R2-y2=12R2-y2,即Y二y时X的条件概率密度为fX | Y(x | y) = (12R2-y2r | x | WR2-y20,其它.同法可得X二x时Y的条件概率密度为fY | X (y | x) = {12R2-x2, | y | WR2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示X\Y-112-12 1/102/103/102/101/101/10求：(1)Z=X+Y; (2) Z二max {X, Y}的分布律.解答：运算法则•注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X, Y) X+YXYX/Ymax {X, Y)1/102/103/102/101/101/10(-1,-1) (-1, 1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2r 2) -2011341 -1 -2-2241 -1 -1 /2-221 -112222 于是⑴⑵习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y) = {1,0<x<1,0<y<2 (1 -x) 0,其他, 求Z二X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz (z),再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0 时,Fz(z)=P{X+YWz}=0;当0WzC时，Fz (z)二P {X+YWz}二J J x+yWzf (x, y)dxdy=J* Ozdx J* Oz-x1dy= J Oz (z-x) dx二z2T 2x2 | 0z=12z2 ；当时，Fz (z) = J 02-zdx J* Oz~xdy+ J* 2-z1dx J 02 (1 -x) dy=z (2-z)-12(2-z)2+ (z-1)2；当zN2 时，J J Df (x r y) dxdy= J 01 dx J 02 (1 -x) dy=1.综上所述Fz (z) = {0, z<012z2, 0Wz<1 z (2-z)-12 (2-z) 2+ (z-1) 2, 1 Wz<21, z N2,故fz (z)二{z,0Wz<12-z,1Wz<20,其它.习题17设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(X, y) = (2e- (x+2y), x>0, y>00,其它，求随机变量Z二X+2Y的分布函数.解答：按定义FZ(Z)=P{x+2yWz},当zWO 时,FZ (Z) = J* J* x+2y Wzf (x, y) dxdy二J J x+2yWz0dxdy二0.当z>0 时，FZ (Z) = J* J x+2y Wzf (x, y) dxdy二J Ozdx J 0 (z・x)/22e-(x+2y) dy二J Oze-x • (1-ex-z) dx= J* Oz (e-x-e-z) dx=[-e-x] | 0z-ze~z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z) = (0, z^01-e-z-ze-乙z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX (x)二(1, OWxWIO,其它，fY (y)二{Ae-y, y>OO, yWO, 求：(1)常数A; (2)随机变量Z 二2X+Y的概率密度函数.解答：(1) 1= J -oo+oofY (y) dy二J* 0+°°A • e-ydy二A.(2) 因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y) = {e-y,0WxW1,y>00,其它.于是当z〈0时，有F (z) =P {Z Wz} =P {2X+Y Wz} =0;当0WzW2时，有F (z) =P {2X+YWz} = J 0z/2dx J* 0z-2xe-ydy= J Oz/2 (1 -e2x-z) dx;当z>2时，有F (z) =P {2X+Y W2} = jO1dx J 0z-2xe-ydy= f 01 (1 -e2x-z) dx.利用分布函数法求得Z二2X+Y的概率密度函数为fZ (z)二{0, z<0 (1 -e-z)/2, 0 Wz<2 (e2-1) e-z/2, z $2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0 J)与(0, 2)上的均匀分布, 求U二max{X, Y}与V=min{X,Y}的概率密度.由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x) = {1,0<x<10r其它,fY (y) = {1/2, 0<y<20,其它，于是，①X与Y的分布函数分别为FX (x)二{0, xW0x, 0Wx<11, , FY (y) = (0, y<0y/2, 0Wy<21, y22,从而U二max (X, Y)的分布函数为FU (u) =FX (u) FY (u)二(0, u<0u2/2, 0WuCu/2, 1 Wu<21, u22,故U二max (X, Y}的概率密度为fU (u) = {u, 0<u<11/2,1 Wu<20,其它.②同理，由FV(v)=1 - [1-FX (v)] [1-FY)]二FX (v) +FY (v) -FX (v) FY (v)二FX (v) +FY (v) -FU (v),得V二min{X, Y}的分布函数为FV (v) = (0, v<0v2 (3-v), 0 Wv<H,心，故V二min{X,Y}的概率密度为fV (V)={32-V F0<V<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY (y),然后求出FU (u), 再求导得fU (u);同理先求出FV(v),求导即得fV (v).。
概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)
将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴 影部分．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
e y , y 0 , 1 , 0 x 1 , fY ( y ) fX ( x) 0 , 其它 , 0 , 其它,
fZ ( z )
f X ( x ) fY ( z x )dx
定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2 ，…，Xn 为相互独立的随机变量，且 X i ~ N (i , i 2 ), i 1,2,...,n C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
C X
i 1 i
n
i
~ N ( C i i , C i i )
2 2 i 1 i 1
i 1 n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
(2) 将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中， 得 n
FY ( y) [F ( y)] FZ ( z ) 1 [1 F ( z )]n
(3) Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可 由上述两式分别对y和z求导得到
fY ( y) n[F ( y)]n1 f ( y) fZ ( z ) n[1 F ( z )]n1 f ( z )
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为
f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度．
解：事件X + Y Z所占有的区域如图，
由 FZ ( z ) P{ X Y z }
x y z
f ( x, y)dxdy
f ( x, y)dx]dy
t 2
概率论与数理统计 二维连续性随机变量及其分布
概率论与数理统计
例5 (X,Y)分布律如下，求cov(X,Y) X,Y)
−1 0 2 P +∞ 0.3 0.45 0.25 P 0.55 0.25 0.2 E( X ) = ∑xi pi = 0×0.3+1×0.45 + 2×0.25 = 0.95,
E ( X ) = ∫−∞ xf ( x)dx
+∞
概率论与数理统计
3.随机变量函数的数学期望 （1）X为随机变量，Y=g(X), 离散型： 离散型： E (Y ) = E[ g ( X )] = ∑ g ( xi ) pi
i =1 ∞
连续型： 连续型：E (Y ) = E[ g ( X )] =
∫
]
E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} D ( X ) D(Y ) Cov( X , Y )
D ( X ) D(Y )
概率论与数理统计
若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称
( X − E( X ))(Y − E(Y) cov( X ,Y) E = D( X ) D(Y) D( X ) D(Y)
−∞ −∞
概率论与数理统计
j =1 i =1
解 X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
y
D
O
x
概率论与数理统计
X 型区域D : 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1;
概率论与数理统计
1.E (C ) = C 2. E (aX ) = a E (X ) 3.E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
二维随机变量练习题
1
2
3
1
1/6
1/3
1/9
a
1/18
b
2
(1)求 X,Y 的边缘分布列； (2)若 X,Y 相互独立，则 a ,b 的值是多少？
4、已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律
Y X
1 a 1/8
2 1/8 c e f
3 b d
Pi.
m n
0
1
P. j 1/6
若 X,Y 相互独立，求其余数值。
11、设二维随机变量（X ,Y）的分布函数
1 x F ( x , y ) 2 ( arctan )( arctan y ) 2 2 2
试求： （1）（X，Y）的概率密度； （2）（X，Y）的两个边缘概率密度； （3） P (0<X<2，0<Y<1) .
12、设 X 和 Y 是两个随机变量，且
（2）关于X与Y的边缘分布律。
2、已知二维离散型随机变量(X,Y)的 联合分布律：
Y X
0
0.2 0 a
1
0 0.4 0
2
0.1 0 0.2
-1 0 1
(1) 求 a；
(2) F(0,3);
(3) 边缘分布律；
(4) P(XY=0); (5) P(X=1|Y=2) .
3、已知二维离散型随机变量(X,Y)的 联合分布律:
10、设二维随机变量 ( X, Y ) 的联合分布密度为
kx , f ( x, y) 0,
求：(1) k ;
0 x y 1; 其它
(3) F(1, 1/2) ;
(2) P (X+Y<1) ;
(4) (X,Y)关于 X, Y 的边缘密度； (5) f(y|x) ; (6) P(Y<1|X<1/2) ; (7) P(Y<1|X=1/2) .
二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布1.设二维随机变量(ξ，η)只能取下列数组中的值：(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。
且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。
2.一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2。
从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。
设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。
以ξ，η分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(ξ，η)的联合分布律。
3.一整数n 等可能地在1，2，3，…，10十个值中取一个值，设ξ=ξ(n )是能整除n 的正整数的个数，η=η (n )是能整除n 的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出ξ和η联合分布律。
4.已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用ξ表示所含的一级品件数，η表示二级品件数。
试求：(1)( ξ，η)的联合分布律； (2){}{}{}0,2,5.2,5.1<≤<<ηξηξP P P 。
5.已知二维随机变量(ξ，η)的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=,,0,40,40,)s i n (),(其它ππy x y x c y x f试确定待定系数c ，并求关于ξ、η的边际概率密度。
6.设二维随机变量(ξ，η)在区域G 上服从均匀分布，其中{}，）（x y x x y x G <≤≤≤=2,10|,试求(ξ，η)的联合概率密度及ξ和η的边缘概率密度。
7.已知相互独立的随机变量ξ，η的分布律为：ξ0 1 η0 1 2 3 p0.70.3p0.40.20.10.3试求：(1)( ξ，η)的联合分布律； (2)ζ=ξ+η的分布律。
8.设ξ和η是两个独立的随机变量，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0,0,21)(2y y e y f yη(1)求ξ和η的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为a 2+2ξa +η=0，试求a 有实根的概率。
第三专题 二维随机变量
一、选择题1、设f (x)为连续函数，⎰⎰=tty dx x f dy t F 1)()(，则)2(F '等于(A) 2f (2). (B) f (2). (C) –f (2). (D) 0.2、设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 3、设随即变量服从二维正态分布,且与不相关,,分别表示的概率密度,则在的条件下,的条件概率密度为(A) (B)(C)(D)4、设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为(A)(B) (C)(D)5、设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为(A)0(B)1(C)2 (D)36、设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）1124()() () ()5355A B C D(,)X Y X Y ()X f x ()Y f y ,X Y Y y =X |(|)X Y f x y ()X f x ()Y f y ()X f x ()Y f y ()()X Y f x f y ,X Y X ()F x {}max ,Z X Y =()2Fx ()()F x F y ()211F x --⎡⎤⎣⎦()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦X Y X ()0,1N Y {}{}1012P Y P Y ====()Z F z Z XY =()Z F z7、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}221P X Y +≤= ( )(A)14 (B) 12 (C) 8π (D)4π 8、设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，则{2}P X Y +== ( )（A ）112 （B ）18 （C ）16 （D ）12二、填空题1、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y , 则=2、设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则.3、设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0;1,1,0)N ，则{0}__.P XY Y -<=4、设随机变量X 与Y 相互独立，且11~(1,),~(2,),32X B Y B 则{}P X Y == ( )5、已知随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为λ的指数分布， P {Y =−1}=14, P {Y =1}=34, 则概率 P{XY≤2} = .X ,,2,1 }2{=Y P X Y 与[]0,3{}{}max ,1P X Y ≤=三、计算题1、设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ). 2、设A,B 为随机事件，且111432P(A),P(B A),P(A B )===，令 ;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求：（I ）二维随机变量(X ,Y )的概率分布；（II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ 3、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z ( III ) （数三） 4、设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.(Ⅰ) 求的概率密度；(Ⅱ) ；(Ⅲ) . 5、设二维随机变量的概率密度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X }.2121{≤≤X Y P X ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他()2,,Y X F x y =(,)X Y Y ()Y f y Cov(,)X Y 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度. 6、设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记,(1)求.(2)求的概率密度.7、袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(1) 求. (2)求二维随机变量概率分布8、设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求条件概率密度（Ⅱ）求条件概率 9、设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度10、设随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；(II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．11、设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域.(I) 求X 的概率密度()X f x ；(II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y .{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X Y X {}()11,0,13P X i i ===-Y ()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它Z X Y =+102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭Z ,,X Y Z {}10p X Z ==(),X Y (,)X Y 0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他()Y X f y x 11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦()X Y +2222(,)e ,,,x xy y f x y A x y -+-=-∞<<∞-∞<<∞A |(|).Y X f y x（Ⅰ）求{}2P X Y =；（Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.13、设随机变量X 与Y 相互独立，且服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =（Ⅰ）求V 的概率密度()V f v ；（Ⅱ）求()E U V +.14、设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ． （1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望).(Y E15、设随机变量X 与Y 的概率分布相同，X 的概率分布为12{0},{1},33P X P X ====且X 与Y 的相关系数12XY ρ=（1） 求（X ，Y ）的概率分布（2） 求P{X+Y ≤1}16、设二维随机变量(,)X Y 在区域(){2,01,D x y x x y =<<<<上服从均匀分布，令1,0,X YU X Y≤⎧=⎨>⎩（I ）写出(,)X Y 的概率密度；（II ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由； （III ）求Z U X =+的分布函数()F z .17、设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．18、已知随机变量,X Y 相互独立，且1(1)(1)2p X p X ===-=，Y 服从参数为λ的泊松分布，Z XY =（I ）求(,)COV X Z ;（II ）求Z 的分布律.19、在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为X ，较长一段的长度记为 Y .令 Z =YX .(Ⅰ)求X 的概率密度；(Ⅱ)求Z 的概率密度; (Ⅲ)求 E (XY).20、设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为 ()()222221,0x y ,x y ,f x y ,.π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩其他(1)求X 与Y 的协方差; (2)X 与Y 是否相互独立? (3)求Z 22X Y =+的概率密度.。
第三章二维随机变量及分布第三节历年真题数学一
第三章 二维随机变量及分布第三节 历年真题数学一：1（87，6分）设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为⎩⎨⎧≤≤=其他,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(y y e y f y Y 求随机变量Z=2X+Y 的概率密度函数。
2（91，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,02),()2(y x e y x f y x求随机变量Z=X+2Y 的分布函数。
3（92，6分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从正态分布),(2σμN ，Y 服从[-π，π]上均匀分布，试求Z=X+Y 的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中)(21)(22dt ex xt ⎰∞--=Φπ。
4（94，3分）设相互独立的两个数随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为212110pX则随机变量Z =max{X ，Y }的分布律为。
5（95，3分） 设X 和Y 为两个随机变量，且74}0{}0{,73}0,0{=≥=≥=≥≥Y P X P Y X P 则=≥}0),{max(Y X P。
6（98，3分）设平面区域D 由曲线所围成及直线2,1,01e x x y xy ====，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，则（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为 。
7（99，3分） 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则（A ）21}0{=≤+Y X P（B ）21}1{=≤+Y X P（C ）21}0{=≤-Y X P（D ）21}1{=≤-Y X P 8（99，8分） 设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
9（02，3分）设21X X 和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为)()(21x f x f 和，分布函数分别为)()(21x F x F 和，则 （A ）)()(21x f x f +必为某一随机变量的概率密度； （B ）)()(21x f x f •必为某一随机变量的概率密度； （C ）)()(21x F x F +必为某一随机变量的分布函数； （D ）)()(21x F x F •必为某一随机变量的分布函数。
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一、单项选择题
1
，那么下列结论正确的是
（）A B
C
D.以上都不正确
2设X与Y相互独立，X
0—1分布，Y
0—1分布，则方程
t
有相同实根的概率为
（A（B（C
（D
3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则k的值必为
（A（B（C
（D
4．设（X，Y）的联合密度函数为
（A
（B（C（D
5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0<p<1，则X+Y的分布函数
（A
）是连续函数（B）恰有n+1个间断点
（C）恰有1个间断点（D）有无穷个间断点 [] 6．设X
与Y
（A
（B
（C）（D
二、填空题
2
若（X ，Y ）的联合密度
，
3
4
，则
且区域
5。
6
.
7
=⎰
∞+∞
-)(x f X
.
8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为
X
1 2 3
1
61 91 181 2
3
1
α β
则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度
=),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为
()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧
≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2
22则 A =_____。
11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则
(max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠=
12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a =>
7
()9
P A B ⋃=
且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为
221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π
-++=
-∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________.
三．解答题
1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数.
2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下：
0,,1,i i X i ⎧=⎨⎩
第次取出正品第次取出次品.
试分别在下面两种情况下求出（12,X X ）的联合分布律和关于12,X X 的边缘分布律：
（1） 放回抽样；
（2） 不放回抽样。
3、设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其它0
,0),()43(y x ke y x f y x
(1)确定常数k
(2)求),(Y X 的分布函数 (3)求}20,10{≤<≤<Y X P
4设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
()(6),02,24,
,0,.k x y x y f x y --≤≤≤≤⎧⎪=⎨
⎪⎩
其他 试求：（1）k 的值；
（2）(2,3)P X Y ≤≤；
（3）3()2
P X ≤； （4）(4).P X Y +≤ 5 设随机变量
),(Y X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤≤≤+=其它
02
0,103
/),(2y x xy x y x f 求}1{≥+Y X P
6 设二维随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，求一元 二次方程220t Xt Y ++=有实根的概率，其中区域D 为
7 设 随 机 变 量 ( , )的 分 布 函 数 为
F x y A B arctg x C arctg y
(,)()()=++23
求：( 1 )
系 数 A , B 及 C 的 值 ， ( 2 ) ( , )的 联 合 概 率 密 度 (x , y)。
8一电子器件包含两部分，分别以Y X ,记这两部分的寿命(以小时记)，设),(Y X 的分布函
{(,)|01,01}D x y x y =<<<<
(1)
(2)
9．
（1,并判
（2
（3
（4
（5
10 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为
试求: (1)常数c ; (2)X与Y的边缘密度函数
.
11 设（X, Y
（1（3（4
12．
（1
（2
13．
（1
（2
（3
（4
()0,
,
0.
y
cxe x y
f x y
-
⎧<<<+∞
=⎨
⎩其它
P72页第2，3,4题
P75页1， 3，4和5.
P79页 2，3和5.
P86页 1，2,3,4,5
14 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为
.
四、综合应用题
.
试求（1.
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可复制、编制，期待你的好评与关注！）。