中考专题 平面几何基础和向量
中考数学向量知识点梳理2023
中考数学向量知识点梳理2023数学中考是每位学生必须面对的一场考试，准备充分并且掌握重要知识点对于取得好成绩至关重要。
在中考数学中，向量是一个重要的内容。
通过对向量知识点的梳理与整理，可以帮助同学们更好地掌握有关向量的概念、性质以及应用。
本文将围绕中考数学向量知识点展开讨论，让我们一起来梳理一下2023年中考数学向量知识点。
向量的基本概念向量是物理中常见的表示力的量，数学中用于表达方向和大小的概念。
中考数学中，我们需要掌握以下基本概念：1. 向量的表示形式向量可以用一个有向线段来表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
2. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相等时，它们是相等的向量。
3. 零向量所有大小为零的向量都称为零向量，记作o。
4. 向量的方向角向量的方向可以用方向角来表示，方向角是与某个参考方向的夹角。
向量的运算在中考数学中，我们需要熟练掌握向量的运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法向量的加法满足以下几个性质：- 交换律：A + B = B + A- 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)- 零向量：A + o = A2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法来处理，即A - B = A + (-B)，其中-B表示向量B的反向。
3. 数量乘法向量与一个标量相乘，可以改变向量的大小和方向。
如果k是一个实数，则kA表示将向量A的长度乘以k。
向量的性质在中考数学中，我们还需要熟悉向量的一些重要性质，包括共线、平行以及垂直等。
1. 共线向量如果两个向量的方向相同或者相反，它们就是共线的。
如果两个向量的方向相同或者相反，它们就是平行的。
3. 垂直向量如果两个向量的数量积等于0，它们就是垂直的。
向量的应用向量在中考数学中的应用广泛。
其中，平面向量和力的平衡是两个常见的应用场景。
1. 平面向量在平面向量应用中，我们需要掌握点的坐标和向量之间的关系，以及向量的投影等概念。
中考数学平面几何知识点梳理2023
中考数学平面几何知识点梳理2023数学是一门既有逻辑性又有实践性的学科，而平面几何作为数学的一个分支，更是重要的知识点之一。
在中考中，平面几何的知识占据了相当大的比重，掌握好这些知识点，将对我们的数学成绩产生巨大的影响。
本文将对中考数学平面几何的知识点进行梳理，帮助大家全面理解和掌握。
1. 直线和线段在几何中，直线是最基本的图形之一。
直线是由无数个点连在一起形成的，它没有长度、宽度和厚度。
而线段是直线上取两点之间的部分，具有长度，可以用线段的两个端点表示。
在中考中，我们常常需要计算线段的长度，比较线段的大小等。
2. 角和三角形角是由两条射线共同起源于同一个点所形成的图形。
常见的角有直角、锐角和钝角等。
三角形是由三条线段所围成的图形，是平面几何中最基本的多边形。
根据三角形的边和角的性质，我们可以判断三角形的形状和性质。
3. 相似三角形相似三角形是指在形状上相似的三角形，它们的对应角度相等且对应边的比例相等。
相似三角形的性质包括：对应角相等、对应边成比例、边长比例的倒数等。
在中考中，我们需要运用相似三角形的性质来解决一些与比例有关的问题。
4. 圆和圆的性质圆是由平面上到一个固定点距离相等的点的轨迹组成的图形。
圆的性质包括：圆心、半径、直径、弧长、弧度、圆周等。
在中考中，我们需要熟练掌握圆的性质，运用圆的性质解决与圆相关的几何问题。
5. 平行和垂直平行是指在同一个平面内，两条直线或两个平面的方向相同或者重合的关系。
垂直是指两条直线或者两个平面相交，且交角为90度的关系。
在中考中，我们需要判断直线和平面的平行关系，以及直线和直线、平面和平面的垂直关系。
6. 坐标系和平面向量在几何中，坐标系是一个用坐标轴和单位长度构成的平面标示系统。
平面向量是有长度、方向和作用点的，它是平行四边形两条对角线的有向量。
坐标系和平面向量在中考数学中扮演了重要的角色，我们需要掌握它们的定义、运算和性质。
通过对中考数学平面几何知识点的梳理，我们可以发现，数学知识是有一定的逻辑性和联系性的，需要我们在学习过程中注重理解和掌握各个知识点之间的联系。
平面解析几何与向量平面解析几何基本概念和向量运算
平面解析几何与向量平面解析几何基本概念和向量运算平面解析几何是数学中的一个重要分支，研究平面上点、线、圆等几何图形的性质和运算。
与此同时，向量也是解析几何中一个重要的概念，用于解决平面上的运动和力学问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念，以及向量的运算。
一、平面解析几何基本概念1. 平面坐标系平面上的点可以通过坐标系来定位。
平面坐标系由两条垂直的坐标轴，即x轴和y轴组成。
点在平面坐标系中的位置可以用有序数对(x, y)表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2. 平面方程平面方程是指用数学表达式表示平面的方程。
平面的一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为常数，x、y、z为平面上的变量。
3. 直线的表示与判断直线可以用两点的坐标表示。
已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，直线的方程可以表示为(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
利用该方程可以判断某一点是否在直线上。
4. 圆的方程圆的方程可以用数学表达式表示。
圆的标准方程形式为(x - a)² + (y -b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
二、向量运算1. 向量的定义与表示向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，比如AB→表示从点A指向点B的向量。
向量可以用有序数组表示，比如[x, y]表示一个平面向量。
2. 向量的加法与减法向量的加法是将两个向量相加得到一个新的向量，其中新向量的大小等于两个向量之和，方向与两个向量之间的夹角相同。
向量的减法是将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，其中新向量的大小等于两个向量之差，方向与两个向量之间的夹角相同。
3. 向量的数量积与向量积向量的数量积（又称点积）是指两个向量的乘积再乘以夹角的余弦值，表示两个向量之间的夹角关系。
向量的数量积的计算公式为A·B = |A| |B| cosθ，其中A和B分别为两个向量，|A|和|B|分别为它们的长度，θ为它们之间的夹角。
数学中考数学平面与空间几何知识点总结
数学中考数学平面与空间几何知识点总结数学中的几何部分主要包括平面几何和空间几何两个方面。
平面几何是研究平面上的图形性质和几何变换的学科，而空间几何则是研究三维空间中的图形性质和几何变换的学科。
在中考数学中，平面与空间几何的知识点占据了相当重要的位置，下面就对这部分内容进行总结。
一、平面几何知识点总结1. 平面几何基本概念平面是没有厚度的二维图形，平面上的点无限多，并且任意两点可以确定一条直线，三点不共线可以确定一个面积不为零的三角形。
平行线是在同一平面上不相交的直线，垂直线则是两条相交直线互相垂直。
2. 直线和角的性质直线的性质包括相交线、垂线、平分线和角平分线等，角的性质包括相对角、邻补角、余角等。
3. 三角形的性质三角形的性质包括内角和为180度、中线、角平分线、高、中位线等。
4. 四边形的性质四边形的性质包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
5. 圆和圆的性质圆是由平面上的所有点到圆心距离都相等的图形，圆的性质包括切线、弦、弧等。
二、空间几何知识点总结1. 空间几何基本概念空间几何研究的是具有三个维度的空间图形，其中的基本概念包括点、直线、面、体。
2. 空间图形的投影空间图形在二维平面上的投影分为平行投影和中心投影。
平行投影是指空间图形在平面上的投影线平行，中心投影是指空间图形通过一个点在平面上的投影。
3. 空间图形的旋转、平移和对称空间图形的旋转是指围绕一个轴线进行的图形变换，平移是指将图形沿着某个方向进行移动，对称是指相对于某个中心对图形进行镜像翻转。
4. 空间图形的体积和表面积空间图形的体积是指图形所占据的三维空间的大小，表面积是指图形的外表面积。
5. 空间图形的相交关系和平行关系空间图形的相交关系主要包括共面和共轴等，平行关系则是指不相交但平行的图形。
综上所述，平面与空间几何是数学中重要的一部分。
平面几何主要研究平面上的图形性质和几何变换，而空间几何则研究三维空间中的图形性质和几何变换。
《平面几何中的向量方法》 知识清单
《平面几何中的向量方法》知识清单一、向量的基本概念向量是既有大小又有方向的量。
在平面几何中，我们通常用有向线段来表示向量。
向量的大小称为向量的模，记作\（＼vert\vec{a}＼vert\）。
两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
零向量是模为\（0\）的向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
单位向量是模为\（1\）的向量。
二、向量的运算1、加法向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
三角形法则：已知向量\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），将\（＼vec{b}＼）的起点平移到\（＼vec{a}＼）的终点，连接\（＼vec{a}＼）的起点与\（＼vec{b}＼）的终点，得到的向量就是\（＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
平行四边形法则：以同一点\（O\）为起点的两个已知向量\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼），以\（＼vec{a}＼），＼（＼vec{b}＼）为邻边作平行四边形\（OACB\），则对角线\（＼overrightarrow{OC}＼）就是\（＼vec{a}＼）与\（＼vec{b}＼）的和。
向量加法的运算律：交换律：＼（＼vec{a} ＋＼vec{b} ＝＼vec{b} ＋＼vec{a}＼）结合律：＼（（＼vec{a} ＋＼vec{b}）＋＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b} ＋＼vec{c}）＼）2、减法与向量\（＼vec{a}＼）长度相等，方向相反的向量，叫做\（＼vec{a}＼）的相反向量，记作\（＼vec{a}＼）。
向量的减法是向量加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘实数\（＼lambda\）与向量\（＼vec{a}＼）的积是一个向量，记作\（＼lambda\vec{a}＼）。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）的方向相同；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）的方向相反；当\（＼lambda ＝ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
初中九年级数学向量知识点
初中九年级数学向量知识点数学是一门重要且广泛应用的学科，其中向量是数学中的一个重要概念。
在初中九年级数学课程中，学生将学习关于向量的基本概念、性质以及相关运算法则。
本文将围绕初中九年级数学向量知识点展开讨论。
一、向量的基本概念向量是由大小和方向两个部分组成的量。
在几何上，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量记作AB（向量上加一个箭头）或者直接用字母a、b等表示。
二、向量的表示方法有多种方式来表示一个向量，包括数学表示法和几何表示法。
（一）数学表示法在数学表示法中，我们用坐标来表示一个向量。
例如，以点A 和坐标原点O为例，向量OA可以表示为：OA = (x1, y1)这里的x1和y1分别表示OA向量在x轴和y轴上的分量。
（二）几何表示法在几何表示法中，我们使用起点和终点的坐标表示一个向量。
以向量AB为例，起点为点A，终点为点B。
我们可以通过两点之间的坐标差来表示该向量：AB = (x2 - x1, y2 - y1)三、向量的性质向量具有一些基本的性质，包括：（一）相等性两个向量相等，当且仅当它们大小相等且方向相同。
（二）相反性一个向量的相反向量，其大小相等但方向相反。
（三）平行性如果两个向量的方向相同或相反，它们是平行的。
（四）共线性如果两个向量在同一直线上，它们是共线的。
（五）零向量零向量表示大小为零的向量，它没有方向。
四、向量的运算有几种基本的向量运算，包括向量的加法、减法和数量乘法。
（一）向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加的运算。
对于两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，它们的和可以表示为：a +b = (x1 + x2, y1 + y2)（二）向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去的运算。
对于两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，它们的差可以表示为：a -b = (x1 - x2, y1 - y2)（三）数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数的运算。
2024年中考重点之平面与立体
2024年中考重点之平面与立体平面与立体几何是中考数学中的重点内容之一，它关于图形的形状、尺寸、位置等方面的认识与推理。
学好平面与立体几何，对学生培养几何思维，提高解决实际问题的能力有着重要意义。
本文将围绕2024年中考的平面与立体几何的重点内容展开讨论。
一、平面几何1.点、线、面的基本概念在平面几何中，点、线、面是最基本的几何概念。
点是没有大小、形状的，只有位置的，用字母表示。
线是由无数点组成的，没有宽度和高度的，只有长度的，用两个点的大写字母表示。
面是由无数线组成的，有长度和宽度的，用大写字母表示。
2.图形的分类与性质平面上的图形有很多种，常见的有三角形、四边形、圆形等。
它们都有各自特定的性质和分类标准。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，按照边的长度和角的大小可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
四边形是由四条线段组成的闭合图形，按照边的长度和角的大小可以分为正方形、长方形、菱形和普通四边形。
圆形是由无数个等距离于圆心的点组成的图形，它具有唯一的半径、直径和圆心角的性质。
3.图形的相似与全等相似是指两个图形形状相同但大小不同，它们对应的各边长度的比是相等的。
全等是指两个图形既形状相同也大小相同，在平面上可以重合。
二、立体几何1.几何体的名称与性质立体几何是研究空间内的图形形状、尺寸、体积等方面的学科。
常见的几何体有立方体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱和圆锥等。
立方体是由六个面、八个顶点和十二条棱组成的几何体，它的所有面都是正方形。
长方体是由六个面、八个顶点和十二条棱组成的几何体，它的相对的两个面是矩形。
正方体是由六个面、八个顶点和十二条棱组成的几何体，它的所有面都是正方形，并且相邻的两个面之间的直角是直角。
棱柱是由两个平行的底面和若干个侧面组成的几何体，它的侧面是矩形。
棱锥是由一个底面和若干个侧面组成的几何体，它的底面是一个多边形。
圆柱是由两个平行的圆面和若干个侧面组成的几何体，它的侧面是矩形。
九年级向量知识点总结
九年级向量知识点总结在九年级数学学科中，向量是一个重要的知识点。
掌握了向量的相关概念和运算规则，可以帮助我们更好地理解几何和代数等数学内容。
本文将对九年级向量的相关知识进行总结。
一、向量的定义与性质1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 向量的性质：- 向量具有方向性和大小性。
- 向量具有平行性，即两个向量的方向相同或相反。
- 向量具有共线性，即若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量。
二、向量的表示与运算1. 向量的表示方法：- 用字母加上箭头表示向量，如A B⃗表示从点A指向点B的向量。
- 用坐标表示向量，如⃗AB=(x2-x1, y2-y1)。
2. 向量的运算：- 向量的加法：将两个向量的对应分量相加即可。
- 向量的减法：将两个向量的对应分量相减即可。
- 向量的数量乘法：将向量的每个分量乘以一个实数。
- 向量的点乘：对应分量相乘后相加。
- 向量的叉乘：只适用于三维向量，结果是一个向量。
三、向量的模与单位向量1. 向量的模：向量的大小叫做向量的模，用||⃗a||表示。
2. 单位向量：模为1的向量称为单位向量，用⃗a表示。
四、向量的性质与判定1. 平行向量与共线向量：- 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
- 共线向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们是共线向量。
2. 相等向量与零向量：- 相等向量：若两个向量的对应分量相等，则它们是相等向量。
- 零向量：模为0的向量称为零向量，用⃗0表示。
3. 垂直向量与正交向量：- 垂直向量：若两个向量的点乘为0，则它们是垂直向量。
- 正交向量：若两个向量的点乘为0，则它们是正交向量。
五、向量的应用1. 几何意义：向量可以表示平移、方向、位置等几何概念。
2. 物理意义：向量可以表示力、速度、加速度等物理量。
六、习题与解析以下是几个习题以及解析，帮助你巩固向量的知识：1. 已知向量⃗a=(2, -3)，求向量⃗b，使得⃗a与⃗b正交。
平面向量与平面几何
平面向量与平面几何平面向量是数学中的重要概念，与平面几何有着紧密的联系。
通过研究平面向量的性质和运算规律，可以更好地理解和解决平面几何的问题。
本文将从定义、性质、基本运算和应用等方面介绍平面向量与平面几何的关系。
一、平面向量的定义与性质1.1 平面向量的定义平面向量是指在平面内具有大小和方向的有序对。
通常用箭头或者加粗的字母表示，如→a或者a。
平面向量的起点和终点分别代表向量的始点和终点，向量的方向由起点指向终点。
平面向量常用坐标表示，如（a, a）。
两个平面向量相等的条件是它们的长度相等且方向相同。
1.2 平面向量的性质（1）平面向量的模或长度：平面向量→a的模表示为|→a|，计算公式为|→a|=√(a²+a²)。
（2）平面向量的零向量：长度为0的平面向量，记作→0或者a。
（3）平面向量的相反向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量，记作−→a。
（4）平面向量的平行：如果两个非零向量→a和→b的方向相同或者相反，则称其平行，记作→a∥→b；如果两个向量方向垂直，则称其互相垂直。
（5）平面向量的共线：如果两个向量→a和→b的起点在同一直线上，则称其共线。
二、平面向量的基本运算2.1 平面向量的加法平面向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的平面向量。
设有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(a₁, a₂)，则其和向量表示为→c=→a+→b= (a₁+a₁, a₂+a₂)。
（例子和计算过程省略）2.2 平面向量的数乘平面向量的数乘运算是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的平面向量。
设有向量→a=(a₁, a₂)和实数a，数乘后的向量表示为→b=a→a=(aa₁, aa₂)。
（例子和计算过程省略）2.3 平面向量的减法平面向量的减法运算是指将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的平面向量。
设有向量→a=(a₁, a₂)和→b=(a₁, a₂)，则其差向量表示为→c=→a−→b= (a₁−a₁, a₂−a₂)。
平面几何中的向量方法例题和知识点总结
平面几何中的向量方法例题和知识点总结在平面几何的学习中，向量方法是一种强大而实用的工具。
它能够将几何问题转化为代数运算，使复杂的几何关系变得清晰明了，从而帮助我们更轻松地解决问题。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解平面几何中的向量方法，并对相关知识点进行总结。
一、向量的基本概念向量是既有大小又有方向的量。
在平面几何中，我们通常用有向线段来表示向量。
向量的大小称为模，记为|a|。
两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
例如，在平面直角坐标系中，向量 a ＝（x₁, y₁)，向量 b ＝（x₂, y₂)，如果 x₁＝ x₂且 y₁＝ y₂，那么向量 a ＝向量 b。
二、向量的运算1、加法向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则。
三角形法则：将两个向量首尾相连，从第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量。
平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线向量就是它们的和向量。
例如，向量 a ＝（1, 2)，向量 b ＝（3, 4)，则向量 a ＋向量 b ＝（1 ＋ 3, 2 ＋ 4) ＝（4, 6)。
2、减法向量的减法是加法的逆运算。
将减向量的终点与被减向量的终点重合，从被减向量的起点指向减向量的起点的向量就是差向量。
例如，向量 a ＝（5, 3)，向量 b ＝（2, 1)，则向量 a 向量 b ＝（5 2, 3 1) ＝（3, 2)。
3、数乘实数λ与向量 a 的乘积是一个向量，记为λa。
其模为|λa| ＝｜λ|｜a|，方向当λ ＞ 0 时与向量 a 相同，当λ ＜ 0 时与向量 a 相反。
例如，向量 a ＝（2, －1)，λ ＝ 3，则λa ＝（6, －3)。
4、数量积向量 a 和向量 b 的数量积记为 a·b ＝｜a|｜b|cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
数量积的结果是一个实数。
例如，向量 a ＝（1, 2)，向量 b ＝（3, 4)，则 a·b ＝ 1×3 ＋ 2×4 ＝11。
初中数学知识点向量的平面与空间几何应用
初中数学知识点向量的平面与空间几何应用初中数学知识点：向量的平面与空间几何应用向量是数学中一个重要的概念，它的应用涵盖了平面几何和空间几何的许多领域。
向量的平面与空间几何应用具有广泛的实际意义，本文将介绍一些初中数学中向量的平面与空间几何应用。
一、向量的平行与垂直在平面几何中，向量的平行与垂直是常见的问题。
两个向量平行意味着它们方向相同或相反，可以通过比较向量的坐标或使用向量的定义来判断是否平行。
垂直向量的内积为0，可以通过计算两个向量的内积来判断是否垂直。
例子1：有向线段AB的坐标为(3, 4)，BC的坐标为(-2, 3)，判断AB和BC是否平行或垂直。
解析：向量AB的坐标为(3, 4)，向量BC的坐标为(-2, 3)。
计算两个向量的内积，AB·BC = 3*(-2) + 4*3 = 0，因此AB和BC是垂直的。
例子2：已知向量a的坐标为(2, 3)，向量b的坐标为(-4, 6)，判断a 和b是否平行或垂直。
解析：向量a的坐标为(2, 3)，向量b的坐标为(-4, 6)。
由于a和b的坐标比例不相同，它们不平行。
计算两个向量的内积，a·b = 2*(-4) + 3*6 = 12，不等于0，因此a和b不垂直。
二、向量的共线与线段在空间几何中，向量的共线与线段是常见的问题。
三个向量共线意味着它们可以根据比例关系表示为同个方向的向量；线段是两个点的连接，在空间中可以通过向量来表示和计算线段的性质。
例子3：已知向量a的坐标为(2, 4, 6)，向量b的坐标为(1, 2, 3)，向量c的坐标为(-3, -6, -9)，判断向量a、b和c是否共线。
解析：向量a的坐标为(2, 4, 6)，向量b的坐标为(1, 2, 3)，向量c的坐标为(-3, -6, -9)。
可以观察到向量a、b和c的坐标比例相同，即a：b：c = 2：1：-3。
因此，向量a、b和c共线。
例子4：已知点A(1, 2, 3)和点B(4, 6, 8)，求线段AB的长度。
2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题7：平面几何基础
2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题7：平面几何基础和向量一、选择题1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。
【考点】正多边形和圆，命题与定理。
【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：[来源:]A 、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；B 、正多边形一个内角的大小=(n －2)×180n ，不符合正比例的关系式，故错误；C 、正多边形的外角和为360°，每个外角=0360n，随着n 的增大，度数将变小，故正确；D 、正五边形的对角线就不相等，故错误。
故选A ，C 。
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a -的结果是【 】A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B 。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a -。
故选B 。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a = ，AD b = ，那么a b +等于【 】[来源:学科网] A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 。
【考点】向量的几何意义。
【分析】根据向量的意义，=a b AC +。
故选B 。
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形【答案】C 。
【考点】多边形内角与外角。
【分析】正n 边形的内角和可以表示成02180n -⋅（），则它的内角是等于02180n n-⋅（），n 边形的中心角等于0360n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：002180360n n n-⋅=（），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。
九年级向量知识点汇总图
九年级向量知识点汇总图向量是数学中的重要概念，它在几何、物理等领域中有广泛的应用。
在九年级数学学习中，学生要掌握向量的定义、性质、运算以及与平面几何和解析几何的关系。
本文将对九年级向量知识点进行汇总，并以图表的形式进行展示。
1. 向量的定义向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向两个属性。
图中用箭头表示方向，线段的长度表示向量的大小。
2. 向量的表示方法a) 用字母加箭头表示，如AB→表示从点A到点B的向量。
b) 用坐标表示，如向量AB的坐标表示为(AB)。
3. 向量的性质a) 相等向量的性质：具有相同大小和方向的向量是相等的。
b) 零向量的性质：零向量的大小为0，没有确定的方向。
c) 相反向量的性质：相反向量的大小相等，方向相反。
4. 向量的运算a) 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连，用第一个向量的起点和第二个向量的终点构成一个新的向量，称为它们的和向量。
b) 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即A减去B等于A加上-B的相反向量。
c) 数量乘向量：将向量的大小乘以一个实数，即可得到新的向量，它的方向与原向量相同（当实数为正数）或相反（当实数为负数）。
5. 平面向量的坐标表示平面上的向量可以用坐标表示。
设A(x1, y1)和B(x2, y2)为平面上的两点，向量AB的坐标表示为(x2 - x1, y2 - y1)。
6. 向量的数量积和向量积a) 向量的数量积（点积）定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
b) 向量的数量积的性质：满足交换律和分配律。
c) 向量的数量积的应用：可以求向量的模、判断向量是否垂直或平行、求向量夹角等。
d) 向量的向量积（叉积）定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
e) 向量的向量积的性质：满足反交换律和分配律。
f) 向量的向量积的应用：可以求平行四边形的面积、判断向量是否垂直或平行、求直线的方程等。
7. 向量与平面几何的关系a) 向量共线：若两个向量的夹角为0°或180°，则它们共线。
中考数学专题复习向量问题(一)
中考数学专题复习向量问题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人 得分一、单选题1．已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（ ） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =-2．已知e 是一个单位向量，a 、b 是非零向量，那么下列等式正确的是（ ） A ．a e a =B ．e b b =C ．1a e a =D ．11a b ab=3．已知向量a 和b 都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ） A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b -=D ．a b =4．已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A ．a b =B ．2a b +=C ．0a b +=D ．2a b +=5．已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）． A ．1a e a =；B ．e a a =；C ．b e b =；D ．11a b ab=．6．已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（ ）A ．23a b =B ．23a b =-C ．32a b =D ．32a b =-7．如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，BC a =，那么ED 等于（ ）A ．23aB ．23a -C ．25aD ．25a -8．下列命题中，正确的是（ ） A ．如果e 为单位向量，那么a a e = B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b = C ．如果a b =-，那么//a bD．如果a b =，那么a b =9．已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（ ） A ．12e e = B ．a b =-C ．a b =D ．a b =-评卷人 得分二、填空题 10．在△ABC 中，AB BC CA ++＝_____．11．已知向量关系式()260a b x +-=，那么向量x =______．（用向量a 与向量b 表示）12．计算：()13242a ab --=________． 13．计算：()()2232a b a b -++=________．14．如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，BD 与AC 相交于点O ，OB =2OD ，设AB a =，AD b =，那么AO =____．（用向量a 、b 的式子表示）15．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______．16．计算：322a a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭______．17．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为______．18．计算：()()322a b a b+--=______．19．计算：()122a b b-+=_______________．评卷人得分三、解答题20．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，//AB DE，//AC DF，AC与DE 相交于点G，12AG DGGC GE==，2BE=．（1）求BF的长；（2）设EG a=，BE b=，那么BF=，DF=（用向量a、b表示）．21．如图，在ABC中，点G是ABC的重心，联结AG，联结BG并延长交边AC于点D，过点G作//GE BC交边AC于点E．（1）如果AB a=，AC b=，用a、b表示向量BG；（2）当AG BD⊥，6BG=，45GAD∠=︒时，求AE的长．22．如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE 的长； （2）设BA a =，BC b =．△请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE =________；△连接BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】23．已知向量关系式()132a xb x -=+，试用向量a 、b 表示向量x ．24．如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．25．如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．26．如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DNNE的值； （2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．27．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O ．设BA a =，CB b =．（1）试用a、b表示BO；（2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）参考答案：1．B 【解析】 【分析】根据向量的有关定义和运算分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确； B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误； C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确；D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确．故答案为：B ． 【点睛】本题考查了向量的相关应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及运算法则． 2．B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】A. 由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；B. 符合向量的长度及方向，正确；C. 得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；D. 左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量. 3．D 【解析】 【分析】根据向量a 和b 都是单位向量，，可知|a |＝|b |＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =不一定成立，故本选项错误．B 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=不一定成立，故本选项错误．C 、向量a 和b 都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=不一定成立，故本选项错误．D 、向量a 和b 都是单位向量，则|a |＝|b |＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键 4．D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义进行选择． 【详解】解：△a 和b 是两个单位向量，△它们的长度相等，但是方向不一定相同； △2a b +=正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查单位向量的含义；属于基础题． 5．B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A、左边得出的是a的方向不是单位向量，故错误；B、符合向量的长度及方向，正确；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了向量的性质．6．B【解析】【分析】根据向量的方向和模的关系可得a=2e，b=-3e，从而可得e=13b-，即可求出结论．【详解】解：由题意可知：a=2e，b=-3e△e=1 3b -△a=2e=2 3b -故选：B．【点睛】此题考查的是向量的数乘运算，根据向量的方向和模的关系找出各向量关系是解题关键．7．D【解析】【分析】先根据相似三角形的判定与性质求出DE与BC的数量关系，再根据向量的定义即可求出ED的值．【详解】解：△//DE BC，△DE AD BC AB=，△2AD=，3BD=，△223 DEBC=+，△25DE BC =． △BC a =， △ED =25a -．故选D ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的定义，向量用有向线段来表示，有向线段长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向． 8．C 【解析】 【分析】根据向量的定义和要素可直接进行排除选项． 【详解】A 、如果e 为单位向量，则有1e =，但e 不等于1，所以a a e ≠，故错误；B 、长度等于1的向量是单位向量，故错误；C 、如果a b =-，那么//a b ，故正确；D 、a b =表示这两个向量长度相等，而a b =表示的是长度相等，方向也相同的两个向量，故错误； 故选C ． 【点睛】本题主要考查向量的定义，熟练掌握向量的定义是解题的关键． 9．C 【解析】 【分析】由1e 、2e 是两个单位向量的方向不确定，从而判定A 与B 错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C 正确，选项D 错误． 【详解】解：△1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，△1e 与2e 不一定相等，选项A 错误；△1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，△a 与b -不一定相等，选项B 错误； △133a e ==，233b e =-=，△a b =，选项C 正确，选项D 错误；故选：C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的．10．0．【解析】【分析】由在△ABC 中，根据三角形法则即可求得AB +BC 的值，则可求得答案．【详解】△0AB BC CA AC CA ++=+=．故答案为：0．【点睛】本题考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．11．13a b + 【解析】【分析】利用类似一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．【详解】解：△()260a b x +-=△2660a b x +-= 626x a b =+x =13a b + 故答案为：13a b + 【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，此向量方程的解法与一元一次方程的解法类似．12．22a b +【解析】【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案．【详解】解：()13242a a b --=3222.a a b a b -+=+ 故答案为：22a b +．【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键．13．8a b -【解析】【分析】根据向量的线性运算以及实数与向量相乘的运算法则计算即可．【详解】解：()()2232a b a b -++=2463a b a b -++=8a b -．故答案为8a b -．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算以及实数与向量相乘，掌握相关运算法则成为解答本题的关键．14．1233a+b【解析】【分析】先证明△AOD△△COB ，推出OA OC =12AD OD CB OB ==，求出2AD 2BC b ==，由三角形法则得出2AC AB BC a b =+=+即可根据13AO AC =求出答案．【详解】△OB=2OD，△12 ODOB=，△AD△BC，△△AOD△△COB，△OAOC=12AD ODCB OB==，△2AD2BC b==，△2 AC AB BC a b=+=+,△13AO AC==1233a+b，故答案为：1233a+b．【点睛】此题考查了平面向量的知识与相似三角形的判定及性质，解题时注意三角形法则的应用．15．b a-【解析】【分析】根据AB AO OB OA OB=+=-+计算即可．【详解】解：△OA a=，OB b=，△AB AO OB=+OA OB=-+a b=-+b a=-，故答案为：b a-．【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解决本题的关键．16．42a b-【解析】【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【详解】解：323-2=4-22⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭a ab a a b a b 故答案为：4-2a b【点睛】此题考查了平面向量的运算，注意去括号时的符号变化，熟练掌握法则是解题的关键，属于基础题17．a b --【解析】【分析】 根据题意得2BC b =，再求出2CA a b =--，由CD CA AD =+即可求出结果．【详解】解：△2BC AD =，AD b =，//AD BC ，△2BC b =，△()()22CA AC AB BC a b a b =-=-+=-+=--，△2CD CA AD a b b a b =+=--+=--．故答案是：a b --．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算方法．18．8a b +【解析】【分析】根据向量的线性运算可直接进行求解．【详解】解：()()32236228a b a b a b a b a b +--=+-+=+；故答案为8a b +．【点睛】本题主要考查向量的运算，熟练掌握向量的运算是解题的关键．19．12a b 【解析】【分析】去括号，合并同类向量即可解得．【详解】()1112222a b b a b b a b -+=-+=+ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题．20．（1）8BF =；（2）4b ，332b a - 【解析】【分析】（1）先证△CEG△△CBA ，再证△ECG△△EFD ，然后求解即可；（2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可．【详解】解：（1）△AB△GE ，△△B=△DEC ，△△ACB=△ACB ，△△CEG△△CBA ，△1=2AG BE GC CE =， △CE=2BE=4，同理△ECG△△EFD ，△1=2DG FC GE CE =， △CE=2FC=4，△FC=2，△BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b =，由（1）可知BE=CF=12EC ，△22EC BE b ==，CF b =，△4BF BE EC CF b =++= ，△EG a = ，△1122GD EG a ==， △32ED EG CD a =+=， △23EF EC CF b b b =+=+=，△332DF EF ED b a =-=-． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．21．（1）2133BG a b =-+；（2）42AE =. 【解析】【分析】（1）由G 是重心，可得12AD b →→=， 23BG BD →→=， 因为BD BA AD →→→=+，可得12BD a b →→→=-+， 进而求出BG →； （2）根据G 是重心，求出DG =3，因为△AGD 是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD =32，由AD =DC ，DC =3DE 求出DE =2，相加即可．【详解】解：（1）△BD BA AD →→→=+，△点G 是Rt △ABC 的重心，△AD ＝12AC ，△→→=AB a ，→→=AC b ，△12AD a →→=， △12BD a b →→→=-+ △221()332BG BD a b →→→→==-+，21+33BG a b →→→=-． （2）△G 是三角形的重心，△BG =2GD ，AD =DC ，△BG =6，△GD =3，△AG BD ⊥，45GAD ︒∠=，△AG =GD =3，△223332AD =+=，△//GE BC ，△13DE GD DC BD ==， △DE =2，△AE =AD +DE =42【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．22．（1）83AE =；（2）△1133a b -+；△作图见解析． 【解析】【分析】（1）先求出AB ，再据平行线分线段成比例，写出关于AE 、AC 、AD 、AB 的等比式，问题可解．（2）△以AD ，DE 为边作平行四边形ADEF ，，先再求得11,33AD a AF b =-=，据AE AD AF =+问题可解；△以BD 、DE 为边作平行四边形即可．【详解】解：（1）△//DE BC ，△AD AE AB AC=， △83AE =．（2）△如下图△DE△BC△△ADE=△B，△AED=△C△△ADE△△ABC△2163AD DEAB BC===又BA a=，BC b=△11,33AD a DE b=-=△四边形ADEF是平行四边形△13AF DE b==△1133AE a b=-+，△如下图，BD和BM是BE分别在a、b方向上的分向量．23．1277x a b=-【解析】【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．【详解】解：△()132a xb x-=+，△11322a xb x-=+，△7122x a b=-，△1277x a b=-．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）点N和点A、B所构成的三角形与ABC相似，理由见解析；（2）2a3b-【解析】【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；（2）延长AB至E，使BE=AB，根据向量加法的三角形法则计算即可．【详解】解：（1）点N和点A、B所构成的三角形与ABC相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a，则BC=a，AB=22a a2a+=，AC=()2225a a a+=，其中BC＜AB＜AC如下图所示，连接BM、AM则BM=()2225a a a+=，AM=()()223213a a a+=，其中AB＜BM＜AM△22AB aBC a==，51022BM aAB a==△ABBC≠BMAB△ABM和ABC不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a，AN=()22310a a a +=，其中AB ＜BN ＜AN △22AB a BC a ==，222BN a AB a ==，1025AN a AC a==， △AB BC ＝BN AB =AN AC △NBA △△ABC ； 如下图所示，连接BP则BP=()2225a a a +=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP △22AB a BC a==，51022BP a AB a == △AB BC ≠BP AB△ABP △和ABC 不相似； 如下图所示，连接BQ 、AQ则BQ=()()222222a a a +=，AQ=()22310a a a +=，其中AB ＜BQ ＜AQ △22AB a BC a==，2222BQ a AB a == △AB BC ≠BQ AB△ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示△22AE AB a ==，33ED BC b =-=-△AD =AE ＋ED=2a 3b -．【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．25．（1）BF :DF =2：3，（2）3355DF a b =-． 【解析】【分析】（1）先证∆BFE ∼∆DF A ，得出BE BF AD DF= ，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到BE AB AD AD=再结合平行四边形的性质即可求得答案． （2）利用第（1）小问的结论，得到DF 与DB 的数量关系，进而得到DF 与DB 的关系，根据向量DB =AB AD -即可求解．【详解】（1）在ABCD 中，△BC △AD△△BEA =△DAE ，又△△BFE =△DF A ，△∆BFE ∼∆DF A ，△BE BF AD DF= ， 又△AE 平分BAD ∠，△△BAE =△DAE ，△△BAE =△BEA ，△AB =BE ，△BE AB AD AD= 又△ 1.2AB =， 1.8AD BC ==．△ 1.221.83BF AB DF AD === △BF :DF =2：3（2）△BF :DF =2：3△DF =35DB △35DF DB ==3()5AB AD - △BC △ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，△AD BC b ==△333()555DF a b a b =-=-． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明∆BFE ∼∆DF A 并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．26．（1）12；（2）4455b a -． 【解析】【分析】（1）由平行线的性质得到△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，可得DN NE BM MC，即DN BM NE MC =，根据13BM BC =可求出DN NE 的值； （2）根据23AD DB =可得25AD AD AB AD DB ==+，所以DN =()2255BM BA AM =+，根据DN NE =12，即可得出答案．【详解】解：（1）△//DE BC ，△△AND=△B ，△AND=△AMB ，△ANE=△AMC ，△AEN=△C ，△△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，△DN AN BM AM =，AN NE AM MC =， △DN NE BM MC ， △DN BM NE MC=， △13BM BC =， △12BM MC =， △DN NE =12； （2）△23AD DB =， △25AD AD AB AD DB ==+， △DN =()2255BM BA AM =+=()222555a b b a -+=-， △DN NE =12， △224422=5555NE DN b a b a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．27．（1）2133BO a b =-；（2）见解析，2233CO b a =+ 【解析】【分析】（1）首先证明23BO BE =，求出BE 即可求解； （2）证明23CO CA =，求出CA 即可解决问题． 【详解】解（1）△//AD BC△12OE AE BO BC == △23BO BE =△()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭； （2）△AE△BC ，△1=2AO AE CO CB =， △23CO CA =， △()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．。
初中数学的平面向量与解析几何知识梳理
初中数学的平面向量与解析几何知识梳理平面向量与解析几何知识梳理平面向量是数学中的重要概念之一，它在初中数学的学习中占有重要地位。
解析几何是基于代数方法研究几何图形的一门学科，同样也是初中数学中的重要内容。
本文将梳理初中数学中的平面向量与解析几何知识，帮助读者更好地理解和掌握这些概念和方法。
一、平面向量1. 向量的定义与表示向量可以被定义为具有大小和方向的量。
它可以用有序的实数组来表示，通常用“a”或“⃗a”表示，其中，a为向量的大小，⃗a为向量的方向。
例如，向量a = (a1, a2)表示一个二维向量，a1和a2分别为向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数乘和数量积。
- 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即，对于向量a和b，有a +b = b + a和(a + b) +c = a + (b + c)。
- 向量的减法：向量的减法可以通过向量加法和数乘来表示。
即，a - b = a + (-b)。
- 向量的数乘：向量的数乘指将一个向量乘以一个实数。
即，对于向量a和实数k，有ka = (ka1, ka2)。
- 向量的数量积：向量的数量积又称内积，记作a · b，表示两个向量的数量之积。
数量积有性质：a · b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示两个向量之间的夹角。
3. 向量的性质和运算法则向量具有一些重要的性质和运算法则，包括平移法则、共线法则、平行法则、垂直法则、三角形法则等。
这些法则和性质在解决向量的几何问题中具有重要的应用。
二、解析几何1. 直角坐标系解析几何的基础是直角坐标系，也称笛卡尔坐标系。
直角坐标系通过一组坐标轴将平面分为四个象限。
在直角坐标系中，点的位置可以用有序实数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
2. 点、直线、平行和垂直在解析几何中，点可以用坐标表示，直线可以用方程表示。
无锡新领航教育2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编专题7：平面几何基础
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无锡新领航教育
2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编
专题7：平面几何基础和向量
一、选择题
1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】
（A ）正多边形都是轴对称图形；
（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
（C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
（D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
【答案】A ，C 。
【考点】正多边形和圆，命题与定理。
【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：
A 、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；
B 、正多边形一个内角的大小=(n －2)×180n ，不符合正比例的关系式，故错误；
C 、正多边形的外角和为360°，每个外角=0360
n ，随着n 的增大，度数将变小，故正确；
D 、正五边形的对角线就不相等，故错误。
故选A ，C 。
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a - 的结果是【 】
A ．a
B ．a
C ．a -
D ．a -
【答案】B 。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a - 。
故选B 。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果
AB a = ，AD b = ，那么a b + 等于【 】。
数学中的平面几何与向量
数学中的平面几何与向量一、引言平面几何和向量是数学中两个重要的概念和研究领域。
平面几何研究的是二维空间中的图形和性质，而向量则是表示大小和方向的量。
本文将介绍平面几何和向量的基本概念、性质以及它们之间的关系。
二、平面几何的基本概念1. 点、直线和平面在平面几何中，最基本的概念是点、直线和平面。
点是没有大小和形状的，用坐标表示；直线是由无数相邻的点构成的，可以用斜率和截距或者两点的坐标表示；平面则是由无数不共线的点构成的，可以用点和法向量表示。
2. 图形的性质平面几何研究的对象还包括各种图形，如三角形、四边形、圆等。
这些图形都有一些共同的性质，例如三角形的内角和为180度，四边形的对角线互相平分等等。
3. 相似与全等在平面几何中，相似和全等是两个重要的关系。
两个图形相似意味着它们的形状相似，但大小可以不同；而全等则表示两个图形既形状相似又大小相等。
三、向量的基本概念1. 向量的表示向量是数学中的一个重要概念，它表示大小和方向。
向量通常用一个有箭头的字母表示，例如AB。
向量的起点为A，终点为B。
向量可以用坐标、模长和方向角等方式表示。
2. 向量的运算向量之间可以进行加法、减法、数量乘法等运算。
向量的加法和减法满足平行四边形法则，即向量的和可以用平行四边形法则找到它的起点和终点。
向量的数量乘法则是将向量的长度按比例伸缩。
3. 向量的性质向量有一些重要的性质，例如零向量的模长为0，任意向量与零向量的和为其本身，相等向量的模长和方向都相等等等。
四、平面几何与向量的关系1. 向量的位移平面几何和向量的关系最直观的地方在于向量的位移。
平面上的图形可以通过向量的位移来移动或旋转，而不改变其形状和大小。
例如，平移向量可以用来描述图形的平移，旋转向量可以用来描述图形的旋转。
2. 向量的点乘向量的点乘是平面几何和向量之间的重要操作。
向量的点乘可以用来计算两个向量之间的夹角、判断两个向量的方向关系等。
点乘还可以用于求解平面上的投影问题。
数学中的向量与平面几何关系的证明技巧
数学中的向量与平面几何关系的证明技巧数学中的向量与平面几何关系是一项基础而重要的内容。
在数学证明过程中，通过运用向量与平面几何的知识，可以对几何问题进行分析和解决。
本文将介绍一些常见的向量与平面几何关系的证明技巧，以帮助读者更好地理解和运用这些知识。
一、向量与平面的基本定义在开始讨论向量与平面的关系之前，我们先来回顾一下向量和平面的基本定义。
向量：向量是有大小和方向的量，可以用箭头表示。
向量的大小通常使用线段的长度来表示，而方向则由箭头所指的方向来表示。
向量可以通过坐标表示，例如在平面直角坐标系中，向量可以表示为(a, b)。
两个向量可以相加、相减以及与实数相乘。
平面：平面是一个无限延伸的二维空间，可以由三个非共线的点确定。
平面上的点可以通过二维坐标表示，例如在平面直角坐标系中，平面上的点可以表示为(x, y)。
二、向量在平面几何中的应用1. 平面上两点的向量表示在平面上，可以通过两点来确定一个向量。
对于平面上的两点A和B，它们的向量表示为向量AB，记作→AB。
向量AB的大小等于直线AB的长度，方向由A指向B。
2. 平面上向量的加减运算在平面上，两个向量的加法和减法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
对于向量AB和向量BC，它们的和向量等于从A到C的向量AC，差向量等于从B指向A的向量→BA。
3. 平面上向量的数量积和夹角向量的数量积可以用来计算向量的长度以及两个向量之间的夹角。
对于向量→AB和→CD，它们的数量积等于|→AB|·|→CD|·cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角。
三、向量与平面几何关系的证明技巧基于以上的向量与平面几何的基本知识，我们可以运用一些证明技巧来解决相关问题。
1. 平面的垂直与平行关系证明通过向量的数量积可以证明平面的垂直与平行关系。
例如，对于平面上的两个向量→AB和→CD，若它们的数量积为零，则可以得出结论：直线AB与直线CD垂直。
若它们的数量积非零且比值相等，则可以得出结论：直线AB与直线CD平行。
平面几何与向量的关系
平面几何与向量的关系在数学中，平面几何和向量是密切相关的概念。
平面几何研究了平面上的点、线、面等几何图形的性质和关系，而向量则是用来描述平面上的位移、力、速度等物理量的工具。
本文将探讨平面几何与向量之间的关系，并分析它们在解决实际问题中的应用。
一、平面几何基础知识在讨论平面几何与向量的关系之前，我们首先需要了解一些基础知识。
平面几何主要研究平面内的点和线，其中点是最基本的概念，不具有方向性；线由两个点确定，具有方向性。
此外，还有一些特殊的线，如直线、射线和线段。
在平面几何中，还有一些重要的概念，如距离、角度和面积。
距离用来描述两个点之间的间距，可以通过勾股定理进行计算。
角度用来描述线之间的夹角，可以通过正弦、余弦和正切等三角函数进行计算。
面积用来描述平面上图形所占据的空间大小，可以通过计算图形的长度和宽度来确定。
二、向量的基本概念向量是平面几何中的一个重要概念，它可以表示平面上的位移、力、速度等物理量。
向量由大小和方向两个因素组成，可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的加法可以用几何方法和代数方法进行计算。
几何方法中，将向量的起点放在另一个向量的终点上，然后连接起来形成一个三角形，最终得到一个新的向量。
代数方法中，将向量的坐标表示为一个有序数对，然后将对应位置的元素相加得到新的有序数对。
三、平面几何与向量之间存在紧密的联系，可以相互转化和运用。
首先，向量可以用来表示平面上的位移。
假设平面上有两点A和B，它们的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则点A到点B的位移可以表示为向量 AB，其坐标表示为 (x2-x1, y2-y1)。
这样，我们就可以通过向量的概念来描述平面上的位移情况。
其次，平面几何中的线段、角度和面积等概念也可以通过向量的计算进行求解。
例如，给定平面上的三个点 A、B、C，可以用向量表示线段 AB、AC，然后通过向量的加法和减法来计算线段的长度、角度和面积。
平面几何与向量
平面几何与向量引言：平面几何是研究平面图形的性质和变换规律的一门数学学科，它在我们日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
而向量作为一个重要的数学工具，在平面几何中也有着重要的作用。
本文将探讨平面几何与向量的相关概念、性质和应用。
一、平面几何的基本概念和性质1. 点、线和面点是平面几何中最基本的概念，线是点的集合，而面是线的集合。
它们在平面几何中相互联系，共同构成了图形的组成要素。
2. 直线和直线之间的关系平面几何中存在着直线之间的多种关系，如平行、相交、垂直等。
这些关系不仅在几何图形的构造和证明中起着重要的作用，也在实际问题的解决中具有指导意义。
3. 角和角之间的关系角是由两条射线共享一个端点而形成的图形，它有大小和方向。
平面几何中的角与直线、线段、弧等有着紧密的联系，通过角的运算可以推导出许多重要的结论。
4. 图形的面积和周长图形的面积和周长是平面几何中常用的度量指标，它们可以帮助我们计算图形的大小和形状。
根据不同的图形，有不同的计算方法和公式。
二、向量的基本概念和性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。
向量的大小叫做模，用两点表示的向量记作AB，其中A是起点，B是终点。
2. 向量的运算向量可以进行加法、减法和数乘等运算。
向量的加法满足交换律和结合律，减法可以转化为加法运算，数乘可以改变向量的大小和方向。
3. 向量的性质向量具有平行、共线和共面的性质。
两个向量平行，说明它们的方向相同或相反；两个向量共线，说明它们在同一条直线上；多个向量共面，说明它们在同一个平面内。
三、平面几何与向量的应用1. 平面解析几何平面解析几何是将平面几何的问题用坐标系和代数的方法来解决。
通过引入坐标系，可以将点、直线、面等几何对象与代数方程相联系，从而化解几何问题为代数问题。
2. 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中有着广泛的应用，如向量的平移、旋转、镜像等变换。
通过向量的运算和性质，可以简化几何问题的推导和证明，提高解题的效率。
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上海市2001-2012年中考数学试题分类
专题8：平面几何基础和向量
一、选择题
1．(上海市2002年3分)下列命题中，正确的是【】
（A）正多边形都是轴对称图形；
（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算3a-2a的结果是【】
A．a B．a C．-a D．-a
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD中，
如果AB=a，AD=b，那么a+b等于【】
A．BD B．AC C．DB D．CA
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【】A．正六边形B．正五边形C．正四边形C．正三边形
5.（上海市2009年4分）如图，已知AB∥C D∥EF，那么下列结论正确的是【】
A．C．AD BC
=
DF CE
CD BC
=
EF BE
B．
D．
BC DF
=
CE AD
CD AD
=
EF AF
6.（上海市2012年4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【】
A．等腰梯形等腰三角形B．平行四边形C．正五边形D．
二、填空题
1.（上海市2002年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝．
2.（上海市2004年2分）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴。
分）在ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，3.（上海市2005年3△
如果AD＝2，
DB＝4，AE＝3，那么EC＝
4.（上海市2006年3分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。
图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。
5.（上海市2007年3分）图是4⨯4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
6.（上海市2008年4分）如图，已知a∥b，∠1=40，那么∠2的度数等于
7.（上海市2009年4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量AB=a，BC=b，如果用向量a，b表示向量AD，那么AD=．
延长 BA 到点 D ，使 AD = AB ，点 E 、F 分别为 BC 、AC 的中点。
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8.（上海市 2010 年 4 分）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O 设
向量 AD = a ，
AB = b ，则向量 AO =
.（结果用 a 、 b 表示）
9.（上海市 2011 年 4 分）如图，AM 是△ABC 的中线，设向量 AB = a ， BC = b ，
那么向量 AM =
（结果用 a 、 b 表示）．
10.（上海市 2011 年 4 分） 如图， 点 B 、C 、D 在同一条直线上，∠ACB
＝90°，如果∠ECD＝36°， 那么∠A＝
．
11.（2012 上海市 4 分）如图，已知梯形 ABCD ，AD∥BC，BC=2AD ，
如果 AD=a ，AB=b 那么 AC =
（用 a ，b 表示）．
三、解答题
1.（上海市 2004 年 10 △分）如图所示，在 ABC 中，∠BAC = 90° ，
1
2
（1）求证：DF=BE ；
（2）过点 A 作 AG//BC ，交 DF 于点 G ，求证：AG=DG 。
2.（上海市 2005 年 8 分）（1）在图所示编号为①、②、③、④的四个三
角形中，关于 y 轴对称的两
个三角形的编号为
；关于坐标原点 O 对称的两个三角形的编号
为
；
（2）在图 4 中，画出与△ABC 关于 x 轴对称的△A B C 1 1
1
(2)
y 5 4
3 2 1
(1)
y 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1 2 3 4 5 x
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1 2 3 4 5 x
A
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3.（上海市2008年10分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计
图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图1所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对
称图形，A是OD与圆O的交点．
O
A C
D E H
图2
图1
（1）请你帮助小王在图2中把图形补画完整（3分）；
（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值（7分）．。