(完整word)图形的相似题型总结,推荐文档
(word版)图形相似知识点总结及练习,文档
相似三角形根本知识点总结及练习 知识点一：比例线段有关概念及性质 〔1〕有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得 AB 、CD 的长度分别是 m 、n ，那么就说这两条线段的比是 AB:CD ＝m ：n例：线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段 AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d的比，即a c〔或a ：bdb=c ：d 〕，那么，这四条线段 a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
〔注意：在求线段比时，线段单位要统一 ，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
〕例：b,a,d,c 是成比例线段，其中 a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
〔2〕比例性质. 根本性质:a cadbc 〔两外项的积等于两内项积〕b d2. 反比性质：a cb d 把比的前项、后项交换)bda(c更比性质(交换比例的内项或外项)：a b，(交换内项)cda c d c ，(交换外项)b d b a b ．(同时交换内外项)ca等比性质：〔分子分母分别相加，比值不变.〕如果a c e m(b df n0)，那么a c e ma ．b d f n b d f n b注意：(1) 此性质的证明运用了“设 k 法〞，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．-1-图形的相似知识点总结及练习例：ac e 4(bdf 0),求ace的值b df5bd f5.合比性质：ac ab cd〔分子加〔减〕分母,分母不变〕bd bd．知识点二：平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截 ,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示： AD//BE//CF,ABDE BCEF ABDE∴BC=EF ,AC=DF ,AC=DF2.推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
(完整word版)第四章图形的相似(知识点),推荐文档
第四章图形的相似一•成比例线段 1.线段的比探1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是 m n,那么就说这两条线A m段的比AB:CD=m:n ,或写成 一 一B n探2.成比例线段及比例的性质：（1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即- -,那b d么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段.,简称比.例线段一. ※注意点：①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数 ,所以k 是正数；③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要- 致（2）比例的基本性质 :右 a c ,贝U ad=bc ;若 ad=bc,贝Ua c 卡a 或_bb dbdcd※合比性质:如果ac 那么 a b cd ; b d ，b d※等比性质：如果-cm , , (b dn 0),那么a cm a b dnb dn b注意：若没有“ b+d+…+n 丰0”这个条件，需分类讨论 二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理 ：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例AB如图 1, l i // I 2// I 3，贝U- DE A /7 A L B /\E L图1推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例 定理推论：① 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例② 平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三 边对应成比例 三.黄金分割AC BCAC 和BC,如果AC -BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分 AB AC,AC 与AB 的比叫做黄金.比，…一条线段有两个黄金分割BCEF如图，点C 把线段AB 分成两条线段 割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点 点.AC : AB—5―1 0.618:1 ; BC四•相似多边形一般地，形状相同的图形称为相似图形•1. 概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形..... 相似多边形对应边的比叫做相似比•2. 性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方•（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五•三角形的相似（“S”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法：一般三角形直角三角形基本定理：平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例.①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b. 斜边和一直角边对应成比例.2. 相似三角形的判定定理的证明3. 利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1：可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高（2 ）利用标杆运用方法2 :观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度（3 ）利用反射2运用方法3:光线的入射角等于反射角 . 4.相似三角形的性质(1) 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形…….相似三角形对应边的比叫做相似…_ 比..(2) 全等三角形是相似三角的特例 ，这时相似比等于1.注意：证两个相似三角形，与证两个 全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 (3) 性质：① 相似三角形对应角相等，对应边成比例；② 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； ③ 相似三角形周长的比等于相似比； ④ 相似三角形面积的比等于相似比的平方 • 探5.图形的位似：T位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点|,对应边互相平行或在一条直线上 ,那么这样的两个图形叫做位似图形 ，这个点叫做位似中心•这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比•T位似图形的性质：(1) 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；(2) 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比; (3) 位似图形中的对应线段平行(或在一条直线上) T 位似图形的画法： (1 )画出基本图形；(2)选取位似中心;(3)根据条件确定对应点，并描出对应点；(4) 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形例题：如图，已知△ ABC 和点O.以0为位似中心，求作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边 长扩大到原来的两倍•T位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A',则A '点的坐标可以这样确定xA'=xA X k , yA'=yA X k 即 A' ( kx ，ky )或 xA'=xA X (-k) , yA '=yA X (-k) 即 A' (-kx ，-ky ) 例题：在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为1A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4), 画出它的一个以原点 0为位似中心，相似比为一的位似分别在位似中心同侧和异注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似, 侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图图形•题：△ ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）, B（2,1）, C（6,2）,以点0为位似中心，相似比为2, 将厶ABC放大，点A的对应点A'的坐标为_______________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似•（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转：绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似：以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.相愀三角形判定的基本模塑（1）“平彳己密型"（有 y 型和忖型图〉⑵盒斜交型”」〈有“反A共甬型叫“反R共角共边型叫“蛭型多⑶"垂直型化有”双垂直共角型叭山猱边垂直共甬其边型罠M三垂直型J。
(完整word版)相似三角形经典题型 (2)
用数学语言表述是:BCDE//，∴ADE∆∽ABC∆．知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为:三边对应成比例,两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法:（1)以上各种判定均适用．(2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。
知识点8 相似三角形常见的图形DB CA(4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例。
以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止。
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径.平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）．对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
word完整版相似三角形经典模型总结修改版推荐文档
相似三角形经典模型总结【精选例题】 “平行型”【例 1】 如图，EEJ / FFJ / MM 1，若 AE EF FM MB ,•则S AE® :瓯边形EE^F：乐边形FF 1M 1M :乐边形MM 1CB -----------------------------------------经典模型斜交型平行型斜交型双垂直斜交型平行型一般特殊翻折180°平移双垂直平移特殊一般旋转180°一般特殊翻折180°翻折180°1C【例4】已知：在ABC中，D为AB中点,BF求的值EFE为AC上一点，且AEEC2, BE、CD相交于点F，【例2】如图，AD// EF// MN // BC ,若AD 9 , BC 18 , AE:EM:MB 2:3:4，则EF ______ , MN _______长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H【例3】已知, P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD , BC , CD的延NCPE PH 求证：PF PG1 1【例5】已知：在ABC中，AD -BD，延长BC到F,使CF - BC ,连接FD交AC于点E 2 3 求证：①DE EF②AE 2CE【例6】已知：D , E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F , BD: DE AB: AC求证：CEF为等腰三角形EF 【例7】如图，已知AB//EF //CD，若AB a，CD b，【例8】 如图，找出SABD 、S BED 、S BCD 之间的关系，并证明你的结论于点F如图，在 ABC 中，D 是AC 边的中点，过 D 作直线EF 交AB 于E ,交BC 的延长线于 F 求证：AE BFBE CF【例11】如图，在线段 AB 上，取一点C ，以AC , CB 为底在AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形【例9】 如图，四边形ABCD 中，BD 90，M 是 AC 上一点，ME AD 于点 E ，MF BCMF ABME CD【例10】 CADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q, 求证：CP CQ【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，第二步：连接BF'并延长交AC于点F第三步：过F点作FE BC ,垂足为点E 第四步：过F点作FG // BC交AB于点G 第五步：过G点作GD BC，垂足为点D 四边形DEFG即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形⑵在ABC中，如果BC 6 . 3 , ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG的边长“平行旋转型”图形梳理：【例13】已知梯形ABCD ,AD // BC ，对角线 AC 、 BD 互相垂直，则①证明：AD 2 BC 2 AB 2 CD 2△AEF 旋转到 /\AE ‘ F 'AAEF 旋转至U f .AE ''AAEF 旋转到 AAE ' F '色AEF 旋转到己AE 'F '丄AEF 旋转至U 」AE ' F '△AEF 旋转至U 匚AE 'F△A EF 旋转至U 丄AE 'F“斜交型”【例16】如图， ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD 2 AF AB ,求证：AEF : ACD【例14】当 AOD ，以点0为旋转中心，逆时针旋转度（0说明理由90），问上面的结论是否成立，请D【例15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形AG : DF : CE __________ .ABCD 和BEFG 均为正方形，求GFBEDC【例17】如图，等边三角形 ABC 中，D , E 分别在BC , AB 上，且CD BE , AD , CE 相交于M , 求证：EAM : ECAAB BC CA【例19】如图，设=-BC CA ，贝y 12吗?AD DE EA【例18】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , BAC CDB ,求证： DAC CBDDE【例20】在锐角三角形ABC中，AD , CE分别为BC, AB边上的高，ABC和BDE的面积分别等于18和2 , DE 2，求AC边上的高BD 【例21】如图，在等边ABC的边BC上取点D，使 - -，作CH AD，H为垂足，连结BH 。
(完整word版)相似五大模型总结老师,推荐文档
学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：吴猛授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段2016-07-27相似三角形模型总结模型一：A型或反A型1．（2011•河北模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（）A．B．4 C．或2 D．4或考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题；压轴题．分析：根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8﹣x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案．解答：解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，∴BF=B′F，设BF=x，则CF=8﹣x，∵当△B′FC∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=8，∴=，解得：x=，即：BF=，当△FB′C∽△ABC，，，解得：x=4，当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，故BF=4或，故选：D．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x，能正确列出方程．1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
2、求证：3、BDA CFE答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CM∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴△BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF ∴∵CM=AB，AD=AC ∴（方法二）过D作DG∥BC交AE于G则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴，∵AD=AC，BE=CE ∴模型二：X型和反X型1．（2012•朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为80π﹣160．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆．专题：压轴题．分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．解答：解：连接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=4，FC=12，∴，∴EM=2，FM=6，在Rt△AEM中，AM==2，在Rt△FCM中，CM==6，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8×=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：π•（）2=80π，∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．2、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.3．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】D模型三：字母型1．如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交BD 于点E ，CE=2，CD=3，则AE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 【答案】B. 2．（2015•南通）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB=6，AD=5，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 专题： 压轴题． 分析：连接BD 、CD ，由勾股定理先求出BD 的长，再利用△ABD ∽△BED ，得出=，可解得DE 的长，由AE=AD﹣DE 求解即可得出答案．解答： 解：如图1，连接BD 、CD ，，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=，∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB ，在△ABD 和△BED 中，∴△ABD ∽△BED ，∴=，即=，解得DE=， ∴AE=AD ﹣DE=5﹣=2.8．故选：B点评： 此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD ∽△BED ．3、已知如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F 。
(完整word版)史上最全!!!!相似三角形难题精选
相似三角形难题精选模块一:相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°,AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时,它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1)①当t=2。
5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒)的函数解析式;(2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6,BC＝8，点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似?如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．(1)当x为何值时，PQ∥BC？（2)△APQ与△CQB能否相似？若能,求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发,用t（s)表示移动的时间（0＜t＜6）。
(完整word版)相似三角形知识点归纳(全),推荐文档
《相似三角形》知识点归纳知识点1有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 •(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比 (相似系数).知识点2比例线段的相关概念、比例的性质 (1)定义: 在四条线段a,b, c,d 中，如果a 和b 的比等于e 和d 的比，那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段.注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是b,c,d 的第四比例项，那么应得比例式为:注：①黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形a -，(交换内项)c d②a c b d d c，(交换外项) 核心内容：ad bcb a'd -.(同时交换内外项) (2)黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC,BC(AC BC),且使AC 是AB 和BC 的比例中项, 即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AC 也」AB 〜0.618 AB •即 2 AC AB BC E 1 AC 2 简记为: 长-短-V5 1全—长—2a c abed(3)合、分比性质：注：实际上，比例的合比性质可扩展为: 比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b a d c发生同样和差变化比例仍成立•如：a c a c等等•b d a bc da b c d(4)等比性质：如果 a c e m(b d f n 0),b d f n那么a c e m ab d f n b知识点3比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD//BE// CF,可得JAB些或AB BC EFAC特别在三角形中：DF AB由DE// BC可得：如圧或BDDB EC AD EF DEEC EA知识点4相似三角形的概念匹巨或便BC等.(1)定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形•相似用符号“S”表示，读作“相似于” 似系数)•相似三角形对应角相等，对应边成比例.•相似三角形对应边的比叫做相似比(或相注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.用轴语言表港是r 石6三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角对应相等 两角一对边对应相等(AAS)两边对应成比例，且夹角相等 两边及夹角对应相等(SAS)三边对应成比例 三边对应相等(SSS)、(HL ) “ HL ”知识点5 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形的几种基本图形：称为“平行线型”的相似三角形(有“ A 型”与“ X 型”图)(2)三角形相似的判定方法 1、 平行法： 2、 判定定理 3、 判定定理 4、 判定定理 5、 判定定理 全等与相似的比较： (或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角对应相等，两三角形相似. AA 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 .SAS 三边对应成比例，两三角形相似 .SSS “HL ” (图上)平行于三角形一边的直线和其它两边 1 2 3 4 简述为： 简述为： 简述为： 直角三角形中, 则S ==> AD 2 =BD- DCS ==> AB 2 =BD- BC S ==> AC 2 =CD- BC⑴⑵⑶⑷知识点6(1)如图: / BAC=90°, AD 是斜边 BC 上的高, (3)射影定理： 如图，Rt △ ABC 中,则厶ADE^A ABC称为“斜交型”的相似三角形。
(完整word版)相似三角形题型归纳
三角形题型归纳一、线段比例问题（构造平行）1、下图中，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE∶EC=1∶3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF∶FG=1∶2.2、已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB= AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE= 45°，（1）求证：BD·BC= BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。
3、如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．（1）求证：△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点，时，如图2，求的值；（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．4、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求::BP PQ QR ．二、相似比乘积处理方法（逆向和正向分析找解题思路）1、如下图，已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC,EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E.求证：DE 2=BE·CE.2、过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证：AE∶ED=2AF∶FB.3、如果四边形ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线OG∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，交CD 的延长线于G ，求证：OG 2=GE·GF.A BCD EPO R4、已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。
求证：5、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证：（1）△AED∽△CBM；（2）6、如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。
(word完整版)相似三角形知识点及典型例题(2),推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2， 即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
图形的相似知识点总结和练习.docx
WORD格式相似三角形基本知识点总结及练习知识点一：比例线段有关概念及性质（ 1 ）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、 CD 的长度分别是m、 n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD＝ m： n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm，求线段AB与 CD 的比。
2.比例线段：四条线段 a 、b、c 、d 中，如果 a与b的比等于c与d的比，即a c（或a：b db=c： d ），那么，这四条线段a、 b 、 c 、 d叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例： b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm, 求线段 d的长度。
（ 2 ）比例性质1a c（两外项的积等于两内项. 基本性质 :ad bc积）b d2a c b d. 反比性质：( 把比的前项、后项交换)b d a c3. 更比性质 (交换比例的内项或外项) ：b， ( 交换内项 )ac dc， ( 交换外项 )a c db d b ad b． ( 同时交换内外项 )c a4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变. ）n 0)，那么如果a c e m (b d fc e m a ．ab d f n b d f n b注意：此性质的证明运用了k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种(1)“设常用方法．专业资料整理WORD格式(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．- 1 -专业资料整理WORD格式专业整理例：已知a c e4 (b d f0), 求a ce 的值b d f5 b d f5.合比性质：a c abc d（分子加（减）分母, 分母不变）b d b d．知识点二：平行线分线段成比例定理1. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
(word完整版)相似三角形动点问题题型
动点问题 题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形． 注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。
word完整版相似三角形经典模型总结推荐文档
数学公益教学博客。
相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】 “平行型”【例 1】 如图，EEJ FF ,// MM ,，若 AE EF FM MB ,则S REE ,:瓯边形EE^F ： S 四边形FF i M i M1C:S 四边形MM ,CB ____________________平移平行型数学公益教学博客。
AD// EF // MN // BC ,若 AD 9 , BC 18 , AE:EM:MB 2:3: 4,则,MN【例2】EF【例3】 已知，P 为平行四边形 ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD , BC , CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点 E , F , G , H求证： PE PHPF PG【例4】 已知：在 ABC 中, BF求 的值EFD 为AB 中点,E 为AC 上一点，且【例5】 已知：在ABC 中，AB=3AD 延长 BC 到 F ,使 CF求证：①DEEF ② AE 2CEAEEC2, BE 、CD 相交于点F ,-BC ,连接FD 交AC 于点E 3N C已知：D ，E 为三角形 ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ,BD:DE AB: AC求证：CEF 为等腰三角形【例6】 【例7】如图，已知 AB//EF//CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ,求证: 【例8】 如图，找出S ABD 、S BED 、 S BCD 之间的关系，并证明你的结论如图，四边形ABCD 中，B 于点F… MFME , 求证：一1AB CDD 90，M 是 AC 上一点，ME AD 于点E ，MF BC【例bC【例10】如图，在ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E,交BC的延长线于F 求证：AE BF BE CF【例11】如图，在线段AB上，取一点C,以AC，CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q,求证：CP CQ【例12】阅读并解答问题.在给定的锐角三角形ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F , G分别落在AC , AB 边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在ABC两边上的正方形D'E'F'G'如图，第二步：连接BF'并延长交AC于点F第三步：过F点作FE BC,垂足为点E第四步：过F点作FG // BC交AB于点G第五步：过G点作GD BC，垂足为点D四边形DEFG即为所求作的正方形问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG为正方形⑵在ABC中，如果BC 6 .3 , ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG的边长B D' E' D“平行旋转型”图形梳理：【例13】已知梯形ABCD , AD // BC，对角线AC、BD互相垂直，则2 2 2 21.证明：AD BC AB CD△AEF旋转到/\AE ' AAEF旋转至U f .AE ''AAEF 旋转到AAE 'F'色AEF旋转到己AE '丄AEF旋转至U AE ' F'△AEF旋转至U匚AE 'F'△A EF旋转至U丄AE '“斜交型”【例15】如图， ABC 中，D 在AB 上，且DE // BC 交AC 于E , F 在AD 上，且AD 2 AF AB ,求证：AEF : ACD【例16】如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O , BAC CDB ,求证： DAC CBD2.当 AOD ，以点0为旋转中心，逆时针旋转 度（0由90 ），问上面的结论是否成立，请说明理【例14】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE __________GFBEDCDB CAB BC CA【例17】如图，设BC CA ，贝y 12吗?AD DE EA等于18和2 , DE 2，求AC 边上的高【例20】已知：在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD CE ,直线CD与AE 相交于点F求证：① DC AE ,② AD 2 DC DF【例19】如图， BD 1 在等边 ABC 的边BC 上取点D ，使BD 1，作CHCD 2 求证：DBH DABAD , H 为垂足，连结BH 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初三数学图形的相似题型总结
【回顾知识点】
1、 比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质
2、 黄金分割点；
3、平行线分线段成比例 3、 相似三角形的性质与判定；
4、图形的位似
【例题讲解】
题型一：比例性质的考查
例1、（1）已知线段a 、b ，且3
2
=b a ，则下列说法错误的是（ ）
A ．a=2cm ，b=3cm
B ．a=2k ，b=3k （k ≠0）
C ．3a=2b
D ．a=b 3
2
2、如果23=b a ，那么b a a
+等于( )A ．3：2 B ．2：3 C ．3：5 D ．5：3
（3）若k b
a
c a c b c b a =+=+=+，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．-1
C ．2或-1
D ．不存在
题型二：黄金分割的考查
例2、已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC=1cm ，则线段AB 的长为__________. 题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ，
1
2
AD DB =，DE=4，则BC 的长是（ ） A 、8 B 、10 C 、11 D 、12
（2）如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8
C ．3：5
D ．2：5
例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查
例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C 、3:2 D 、3:3
（2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2.
（3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。
题型五：相似三角形判定的考查
例5、（1）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）
A、∠ABD=∠C
B、∠ADB=∠ABC C 、AB CB BD CD
=
D、
AD AB
AB AC
=
（2）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截
△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有__________条。
（3）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为
一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE
都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE
与BD交于点P，连接PC．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC=∠BPC．
题型六：相似三角形的应用
例6、一天，小青在校园内发现旁边一棵树在阳光下的影子和她本人的影子在同一
直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于
树影的中点（如图）．如果小青的身高为1.65米，由此可推断出树高是_______米．
题型七：图形位似的考查
例7、（1）如图，△ABO缩小后变为△A’B’O，其中A、B的对应点分别为A’、B’均
在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′
的坐标为________.
（2）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0），以
点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原
来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B
的横坐标是（）
A、
1
2
a
-B、
1
(1)
2
a
-+C、
1
(1)
2
a
--D、
1
(3)
2
a
-+
【堂上练习】
1、如果x-3y=0，且y≠0，那么
y
x
等于（）A．3 B．
3
1
C．-3 D．
3
1
-
2、若
3
2
=
-
b
b
a
，则
b
a
=（）A．
3
1
B．
3
2
C．
3
4
D．
3
5
3、如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则下列结论不正确的
是（）
A、BC=2DE
B、△ADE∽△ABC
C、
AD AB
AE AC
=D、3
ABC ADE
S S
∆∆
=
4、如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2.
（1）△ADB和△ABE相似吗？（2）小明说：“AE
AD
AB•
=
2”，你同意吗？
5、如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对
方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N
离地面的距离NM=_________米．
【课后作业】
1、已知：如图，DE∥BC，AD: DB=1:2，则下列结论不正确的是（）
A、
1
2
DE
BC
=B、
1
9
ADE
ABC
∆
=
∆
的面积
的面积
C、
1
3
ADE
ABC
∆
=
∆
的周长
的周长
D、
1
8
ADE
∆
=
的面积
四边形BCED的面积
2、为了测量一池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上
找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE，交EC的延长线于B，测得AB=6m，
则池塘的宽DE为（）A、25m B、30m C、36m D、40m
3、已知AB CD EF
∥∥，那么下列结论正确的是（）
A、
AD BC
DF CE
=B、
BC DF
CE AD
= C、
CD BC
EF BE
=D、
CE AD
EF AF
=
4、如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，:2:3
DE CE=，连结,,
AE BE BD
且,
AE BD交于点F，则S△DEF:S△ADF:S△ABF等于（）
A、4:10:25
B、4:9:25
C、2:3:5
D、2:5:25
5、东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是176cm，东东的身高是156cm，在同一时刻爸爸的影长是88cm，那么东东的影长是cm．
6、△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．相应坐标是____________________。
7、如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
8、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．。