第十六章二次根式知识点总结大全

二次根式

【知识回顾】

1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；

⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a

=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

a （a ＞0）

a -（a ＜0） 0 （a =0）；

1、 概念与性质

例1、下列各式

1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153

x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）x x --

+315；（2）22)-(x

例3、 在根式1) 22

2;2);3);4)275x a b x xy abc +-， 最简二次根式是（ ）A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)

例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y

例5、已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )

A. a>b

B. a

C. a≥b

D. a≤b

2、二次根式的化简与计算

例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )

A. ；

B. －；

C. －；

D.

例2. 把（a －b ）

－1a －b 化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512

-．

例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：

222

()a b a b ---

4、比较数值

（1）、根式变形法

当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则a b <。

例1、 比较35与53的大小。

（2）、平方法

当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较231-与121

-的大小。

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514-与1413-的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76-与65-的大小。

（6）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<

例6、比较2131++与23

的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415

的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.

例3、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b a b

-+的值为（ ） A ．22

B ．2

C ．2

D ．12 例4、甲、乙两个同学化简

时，分别作了如下变形： 甲：==；

乙：=。其中（）A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确

C. 只有甲正确

D. 只有乙正确

【基础训练】

1．化简：（1）72=__ __；（2）222524-=___ __

（3）61218⨯⨯=___ _；

（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _；

（5）_______420=-。

2.)化简()2

4-=_________。

3.计算4的结果是

Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4

4. 化简：（1）9的结果是 ；

（2）123-的结果是 ； （3）825-= （4））5x -2x =_____ _； （5）3＋（5－3）=_________；

（6） ；

（7）＝________；

（8）

．

5．计算28-的结果是（ ）

A 、6

B 、6

C 、2

D 、2 63的倒数是 。

7.下列计算正确的是

A ．

B ．

C ．

D ．

8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=-

C 、39=-

D 、3

294= 9．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是__________；

10. 比较大小：３ 10。

11．使2x -有意义的x 的取值范围是 ．

12.若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ）

A.x >-5

B.x <-5

C.x ≠-5

D.x ≥-5

13. 函数中，自变量的取值范围是 ．

14.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（ ）

A 、2－x

B 、x+2

C 、x －2

D 、

1x －2

15.下列根式中属最简二次根式的是（ ）