弧长和扇形面积公开课 ppt课件
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弧长及扇形的面积ppt课件
如图所示,扇形OAB的圆心角为60°,半径为1,将它向右 滚动到扇形O′A′B′的位置,点O到O′所经过的路线长
A.π B .4/3π C.5/3π D.2π
B' A
B
C' D
A
C
扇形的定义 如图，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成 的图形叫做扇形.
弧
A B
O
探究二
1.如图，圆的半径为R，圆心角为90°， 怎样计算扇形的面积呢？
∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 B⌒C 的
长．
例2、 如图：在△AOC中，∠AOC=90°， ∠C=15°,以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B 点，若OA=6, 求弧AB的长。
C
B
O
A
试一试：
如图：AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O 于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，求 弧BC的长.
B●
B
B2
B1
F'
U
A
BCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它 翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点 A所经过的路线长是_________．
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌 面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动 ，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路 径的长度等于______．
1 4
π×(652－152)＝1000π(cm2)
例题解析
例2 如图，正三角形ABC的边长为2，分别以A、B、C为 圆心,1为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求弧O1O2、 弧O2O3、弧O3O1围成的图形的面积S（图中阴影部分）.
初中数学《弧长及扇形的面积》公开课课件
（1）要求扇子外围的弧长，需要知道哪些量？
（2）怎样求这把扇子一面用纸的面积？
圆心角度数，半径长度
大扇形面积—小扇形面积
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么
=
扇形 =
1
扇形 =
2
探求新知3——求弓形的面积
A
S阴影= S扇形-S△
B
S阴影=
2.观察该公式，它与我们学过的哪一个公式很类似？
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么
=
扇形 =
1
扇形 =
2
练习2
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为20，则该扇形的面积____.
2.已知扇形面积为
3
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=___.
探索新知1——弧长公式
例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，
试计算图中所示管道的展直长度 l (结果保留，单位：mm)
思考：
展直长度指的是谁的长？
探求新知1——弧长公式
练习1
1.一个扇形半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( C )
A. 2π
B. π
C. 4π
D. 12π
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
圆心角的度数n°
360°
180°90°ຫໍສະໝຸດ 60°1°n°
计算过程
扇形的弧长 l
探索新知1——弧长公式
活 动（1）已知扇形半径为r，请计算不同圆心角度数所对的弧长，并填表。
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
（2）怎样求这把扇子一面用纸的面积？
圆心角度数，半径长度
大扇形面积—小扇形面积
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么
=
扇形 =
1
扇形 =
2
探求新知3——求弓形的面积
A
S阴影= S扇形-S△
B
S阴影=
2.观察该公式，它与我们学过的哪一个公式很类似？
弧长和扇形的面积公式
如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么
=
扇形 =
1
扇形 =
2
练习2
1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为20，则该扇形的面积____.
2.已知扇形面积为
3
，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=___.
探索新知1——弧长公式
例1：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，
试计算图中所示管道的展直长度 l (结果保留，单位：mm)
思考：
展直长度指的是谁的长？
探求新知1——弧长公式
练习1
1.一个扇形半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( C )
A. 2π
B. π
C. 4π
D. 12π
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
圆心角的度数n°
360°
180°90°ຫໍສະໝຸດ 60°1°n°
计算过程
扇形的弧长 l
探索新知1——弧长公式
活 动（1）已知扇形半径为r，请计算不同圆心角度数所对的弧长，并填表。
：
（2）说一说你是如何计算每一个弧长的。
《弧长及扇形面积的计算》PPT课件
小结：
1、弧长计算公式是什么？
2、扇形的面积计算公式是什么？
3、在进行弧长或扇形面积计算时要注意些什么？
4、较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形 的面积的和或差进行计算。
（1）公式中n表示1°的圆心角的倍数；
（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算。
（3）题设没有标明精确度的，结果可以用π表示。
想一想： 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 S扇形= 。
1、圆的周长计算公式是什么？
2、圆的面积计算公式是什么？
如图3-37，某传送带的一个转动轮的半径为10cm。（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长(arelength)的计算公式为 l = 。
作业：P132习题3.10第1、2、3题；P139第14、15题。
- .
教学目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。2、了解弧长计算公式及扇形计算公式，并会应用公式解决问题。
教学重点和难点：重点：经历探索弧长计算公式和扇形计算公式的过程及公式的推导过程。难点：会推导这些公式，并应用这些公式解决问题。
复习提问：
比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
S扇形= l
解：
≈25.1（cm）
S扇形=
≈150.7（cm2）
1、弧长计算公式是什么？
2、扇形的面积计算公式是什么？
3、在进行弧长或扇形面积计算时要注意些什么？
4、较复杂的图形的面积的计算可把它分解成几个特殊图形 的面积的和或差进行计算。
（1）公式中n表示1°的圆心角的倍数；
（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算。
（3）题设没有标明精确度的，结果可以用π表示。
想一想： 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗。 （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 S扇形= 。
1、圆的周长计算公式是什么？
2、圆的面积计算公式是什么？
如图3-37，某传送带的一个转动轮的半径为10cm。（1）转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？（2）转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长(arelength)的计算公式为 l = 。
作业：P132习题3.10第1、2、3题；P139第14、15题。
- .
教学目标：1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。2、了解弧长计算公式及扇形计算公式，并会应用公式解决问题。
教学重点和难点：重点：经历探索弧长计算公式和扇形计算公式的过程及公式的推导过程。难点：会推导这些公式，并应用这些公式解决问题。
复习提问：
比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长公式表示扇形的面积吗？
S扇形= l
解：
≈25.1（cm）
S扇形=
≈150.7（cm2）
弧长和扇形面积的计算ppt课件
式 S扇形=
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
lr，与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形
看作一个曲边三角形，把弧长看作底，r 看作高；（4）注
意区分扇形面积公式和弧长公式，其存在两方面不同：一是
分母不同，二是半径的指数不同.
28.5 弧长和扇形面积的计算
对点典例剖析
考
点
典例2 某摆盘的形状是扇形的一部分，如图所示是其几
清
单 何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到 AC=BD=12 cm
∠BAB′=n°，根据题意，得 2π×2=
××
，解得
，∴∠BAB′=120°，∵ 点 C′为 BB′ 的中点，
n=120
28.5 弧长和扇形面积的计算
重
∴∠BAC′= ∠BAB′=60°，∴△BAC′为等边三角形
难
题 ，∵ 点 D 为 AC 的中点，∴ 点 D′为 AC′的中点，
型
［解析］如解析图，连接 OD，∵AC=4，AB=2，∴AC=2AB
重
难
题 ，∵∠ABC=90°，∴∠C=30°，∴∠DOB=2∠C=60°，∵BC
型
突 = − =2 ，∴OC=OD=OB= BC= ，过点 O 作
破
OM⊥CD 于点 M，在 Rt△OCM 中，∠C=30°，∴OM= OC=
π+ π
2
3
突
破
28.5 弧长和扇形面积的计算
重 ■题型二 求阴影部分的面积
难
例 2 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
题
型 点 O为 BC 的中点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作半圆
突
讲课用弧长和扇形面积公式课件PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
O
B
D
C
当堂训练
2.（08·潍坊）如图，正六边形内接于圆 O,
圆O
旳半径为10，则圆中阴影部分旳面积为10_0____1_5．0 3
O
效果检测
3. 已知等边三角形ABC旳边长为a，分别以A
、B、C为圆心，以a 为半径旳圆相切于点D
2
、 E、F，求图中阴影部分旳面积S.
A
F
E
B
DC
1.扇形旳面积大小与哪些原因有关？ （1）与圆心角旳大小有关 （2）与半径旳长短有关
B●
B
B2
B1
F'
A
BC
DE
FB2
当堂测验
1.如图，已知扇形AOB旳半径为 10cm，∠AOB=60°，求弧AB旳长 和扇形AOB旳面积(写过程）
10 cm 50 cm2
2.假如一3 种扇形面3积是它所在圆旳面积旳
1
，则此扇形旳圆心角是____4_5_°___
8
3、已知扇形旳半径为6cm,扇形旳弧长为
360
180
弧长公式
若设⊙O半径为R，n°旳圆心角所对
旳弧长为l，则 l nR
180
O
注意：
n°
①在应用弧长公式 进行计算时A,要l 注意B
公式中n旳意义,n表达1°圆心角旳倍数,
它是不带单位旳；
②公式中l、n、R，已知其中两个量就可
求第三个量
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展 直长度”，再下料，试计算图所示管道旳展
C
A
B
A是半径为1旳圆O外一点，且OA=2，AB是 ⊙O旳切线，BC//OA，连结AC，则阴影部 分面积等于 。
C
《弧长和扇形面积》PPT课件 人教版九年级数学
B
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的 半径 不变时，扇形面
的扇形面积与 半径 有关，
积与 圆心角 有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்
B
弧
O
圆心角
扇形
A
O
A
探究新知
判一判
下列图形是扇形吗？
×
×
×
√
√
探究新知
2
问题1 半径为r的圆,面积是多少？ S = r
问题2 ①360°的圆心角所对扇形的面积是多少？
②1°的圆心角所对扇形的面积是多少？
③n°的圆心角所对扇形的面积是多少？
r
O
问题3 下页图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，
∴=360°×
l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
n r 2
S扇形 =
360
注意
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它
是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过
程记忆）.
探究新知
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
A
E
B
C
A
C
O
D
●
F
B
O●
D
圆心角大小不变时，对应
圆的 半径 不变时，扇形面
的扇形面积与 半径 有关，
积与 圆心角 有关，圆心角越
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
S
பைடு நூலகம்
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件下载(第1课时)
n
180l BC
180 25
143.
πr 3.1410
所以∠BOC约为143° .
总结
扇形的面积公式有两个，若已知圆心角的度数和 半径，则用S扇形＝n3π6r02 ；若已知扇形的弧长和半径， 则用S扇形＝12 lR(l是扇形的弧长)．
1 若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D )
= 120π 0.62 - 1 AB OD
360
2
=0.12π- 1 0.6 3 0.3 2
0.22（m2）.
1. 弧长公式为 l n • πr nπr .
180 180
2.
扇形的面积计算公式为
S扇形
nπr 2 360
.
3. 弧长和扇形面积都和圆心角n°，半径r有关系，
因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：
O
垂足为D，交AB于点C，连接AC .
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
O
∴OD=OC-DC=0.3（m）. ∴OD=DC .
A
D
B
图1
又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 .
C
∴AC=AO=OC . 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 图2
有水部分的面积 S =S扇形OAB -S OAB
A．π
B．2π
C．4π
D．6π
3 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝
4，则 BC 的长为( B )
A. 10 π
3
C. 5 π
9
B. 10 π
9
D. 5 π
18
知识点 2 扇形面积公式
半径为r的⊙O，面积为πr2，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所
《弧长和扇形面积的计算》PPT课件
科学课件： .
/kejian/kexue/
物理课件： .
/kejian/wuli/
化学课件： .
/kejian/huaxue/ 生物课件： .
/kejian/shengwu/
地理课件： .
/kejian/dili/
历史课件： .
/kejian/lishi/
c
甲
问题2： 怎样来计算弯道的“展直长度”？
面积S扇＝
4
cm2
3
.
（3）已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长
＝
4
3
.
（4）已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长
为
8
cm.
（5）已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面
积为 336
.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B
为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD
知识讲解
1.认识扇形
扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所
组成的图形叫做扇形.
如图所示,在☉O中,由半径OA,OB和所组
成的图形为一个扇形.由半径OA,OB和
所
组成的图形也是扇形.
【思考】一个扇形对应几个圆心角?一个圆心角对应几个扇形?
在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对
范文下载： .
/fanwen/
试卷下载： .
/shiti/
教案下载： .
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ppt课件： .
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/kejian/yuwen/ 数学课件： .
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c
甲
问题2： 怎样来计算弯道的“展直长度”？
面积S扇＝
4
cm2
3
.
（3）已知半径为2的扇形，面积为π，则这个扇形的弧长
＝
4
3
.
（4）已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长
为
8
cm.
（5）已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面
积为 336
.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B
为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD
知识讲解
1.认识扇形
扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所
组成的图形叫做扇形.
如图所示,在☉O中,由半径OA,OB和所组
成的图形为一个扇形.由半径OA,OB和
所
组成的图形也是扇形.
【思考】一个扇形对应几个圆心角?一个圆心角对应几个扇形?
在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对
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弧长和扇形面积(公开课)课件
电磁学
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
在电磁学中，弧长和扇形面积可以用 于计算带电粒子在磁场中运动的轨迹 长度和角度，进而研究电磁场的变化 。
在日常生活中的应用
建筑学
在建筑学中，弧长和扇形面积可以用 于计算各种形状的建筑物的表面积、 体积等参数，进而进行建筑设计、施 工和预算等工作。
艺术
在艺术领域中，弧长和扇形面积可以 用于设计各种形状的艺术作品，例如 雕塑、绘画等，使作品更加美观、协 调。
圆心角与弧长的关系
通过弧长公式可以看出，圆心角越大 ，弧长越长。
弧长计算的实例
实例1
一个圆的半径为5cm，圆 心角为60°，求弧长。
实例2
一个圆的半径为8cm，圆 心角为90°，求弧长。
实例3
一个圆的半径为10cm，圆 心角为120°，求弧长。
03
扇形面积的计算方法
扇形面积公式
总结词
扇形面积公式是计算扇形面积的关键公式，它基于圆的面积 和圆心角。
02
弧长的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度 为单位），弧长l可以通过公式 l=rθ计算得出。
扇形面积的定义
扇形面积是指由圆心角和半径确定的 扇形区域的面积，通常用字母"A"表 示。
扇形面积的计算公式：对于半径为r的 圆，其对应的圆心角为θ（以弧度为单 位），扇形面积A可以通过公式 A=(θ/2π)×πr²计算得出。
详细描述
扇形面积公式为 (S = frac{1}{2} r^2 (θ))，其中 (S) 是扇形面 积，(r) 是半径，(θ) 是圆心角（以弧度为单位）。这个公式 是计算扇形面积的基础，通过它可以将扇形的面积与半径和 圆心角联系起来。
扇形面积公式的应用
总结词
弧长和扇形面积-ppt课件
第二十四章
圆
24.4
弧长和扇形面积
感悟新知
知1－讲
知识点 1 弧长公式
1.弧长公式
在半径为 R 的圆中， n°的圆心角所对的
弧长 l 的计算公式为l=
.
感悟新知
知1－讲
特别提醒
●公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180 倍，
n， 180 不带单位.
●题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表
知3－讲
感悟新知
知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥
的高 .
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 .
2.圆锥的母线长都相等 .
3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角
∠ACB=90°，AC=BC=2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，
交AB于点F，则图中阴影部分的面积是
(
)
A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
知2－练
解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 °，AC=BC=
求所得旋转体的全面积 .
知3－练
感悟新知
知3－练
思路导引：
感悟新知
解：(1)∵∠ C=90°， AC=6， BC=8，
∴ AB= + =10.
∴ S 底=π AC2=36π， S 侧=π× 6× 10=60π .
圆
24.4
弧长和扇形面积
感悟新知
知1－讲
知识点 1 弧长公式
1.弧长公式
在半径为 R 的圆中， n°的圆心角所对的
弧长 l 的计算公式为l=
.
感悟新知
知1－讲
特别提醒
●公式中，n表示1°的n 倍， 180 表示1°的180 倍，
n， 180 不带单位.
●题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表
知3－讲
感悟新知
知3－讲
(2)圆锥的母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的母线 .
(3)圆锥的高： 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥
的高 .
感悟新知
知3－讲
特别提醒
1.圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面 .
2.圆锥的母线长都相等 .
3.圆锥的母线l、高h及底面圆的半径r构成直角三角
∠ACB=90°，AC=BC=2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，
交AB于点F，则图中阴影部分的面积是
(
)
A.π－2
B.2π－2
C.2π－4
D.4π－4
感悟新知
知2－练
思路导引：
感悟新知
知2－练
解：在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90 °，AC=BC=
求所得旋转体的全面积 .
知3－练
感悟新知
知3－练
思路导引：
感悟新知
解：(1)∵∠ C=90°， AC=6， BC=8，
∴ AB= + =10.
∴ S 底=π AC2=36π， S 侧=π× 6× 10=60π .
弧长和扇形面积ppt
利用弧度制计算弧长
总结词
利用弧度制计算弧长是一种基于角度的另一种计算方式，通过将角度转换为弧度 ，并利用弧长公式进行计算。
详细描述
在弧度制下，角度和弧长之间的关系可以用公式L=rθ表示，其中θ是以弧度为单位 的角度。通过将角度转换为弧度，我们可以利用这个公式计算出弧长。
利用微积分计算弧长
总结词
利用微积分计算弧长是一种基于微元法的计算方式，通过将圆分割成无数个小的弧段，并求和得到整 个圆的周长。
详细描述
利用微积分计算弧长的基本思想是将圆分割成无数个小的弧段，每个弧段的长度可以近似为弦长。然 后，将这些弦长相加得到整个圆的周长。这个方法可以用来计算任意曲线的长度，包括圆的周长。
03 扇形面积的计算方法
利用圆的性质计算扇形面积
总结词
通过圆的性质，我们可以将扇形面积转化为圆的一部分，从而计算出其面积。
05 弧长和扇形面积的扩展知 识
弧长的变种：曲线的长度
弧长的概念
弧长是曲线的基本属性之一，表示曲线上两点之间的长度。在几 何学中，弧长通常用于描述曲线段的长度。
曲线的长度
除了弧长，曲线的长度也是重要的概念。一条曲线由无数个小的直 线段组成，这些直线段的长度之和就是曲线的总长度。
计算方法
计算曲线的长度通常需要使用微积分的方法，通过求和公式将无数 个小的直线段长度相加，得到曲线的总长度。
04 弧长和扇形面积的应用
在几何学中的应用
弧长公式
弧长公式是计算圆弧或曲线的长度的重要工 具，广泛应用于几何学中。通过弧长公式， 可以确定圆弧的长度，进而用于解决与圆、 椭圆、抛物线等形状相关的几何问题。
扇形面积公式
扇形面积公式是计算扇形面积的基础，对于 解决与圆、椭圆、抛物线等形状相关的几何 问题具有重要意义。通过扇形面积公式，可 以确定扇形的面积，进而用于解决与角度、 弧长等相关的几何问题。
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C
B
O
A
2020/12/2
9
(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( 10πcm )
(2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧长为
( 9πcm )
(3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为
___6_0_0__
(4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的
半径为___2__4__。
尝试练习2
1.扇形的弧长和面积都由_______、________决定？
2.（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角 的增大而__增__大__。
3.圆心角是1800的扇形面积是多少？
圆心角是900的扇形面积是多少？
圆心角是2700的扇形面积是多少？
1
个圆面积
1 个圆面积
2
4
尝试练习2
已知扇形的圆心角为120°,半径为2， 则这个扇形的面积为多少？
2020/12Leabharlann 210• ．5、(07年)如图，ABCD是边长为1的正方 形，其中、、的圆心依次是A、B、C．
• （1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过 的路线长；
• （2）判断直线GB与DF的位置关系，并说 明理由．
F
2020/12/2
B AE
G
CD
11
6、将以边长为1的等边三角形木 板沿水平线翻滚(如图所示)，那么 点B从开始至结束所经过的路径的长 度为____。
2020/12/2
25
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这
个扇形的面积是(
)．
3
4、（2007，四川内江）如图，这是中央电视台“曲
心角为1°的扇形的面积的__n____倍, n°
A
B
nR 2
（4）圆心角为n°的扇形的面积是__36_0___
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
S扇形，则
S扇形
注意:
nR2
360
（1）公式中n的意义．n表示1°圆心角的 倍数，它是不带单位的；
（2）公式要理解记忆（即按照上面推导 过程记忆）.
8. (2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D 相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心 得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分) 的弧长之和是___________.
B A
D
C
2020/12/2
15
精讲点拨
如下图，由组成圆心角的两条半径和
圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
2020/12/2
解：由弧长公式，可得弧AB的长
l
n R 100900500
180
180
因此所要求的展直长度 L2 70 500 0 29
2020/12/2
8
答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6， 求弧AB的长。
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形
O A
16
自学提纲2
自学教材P110----P111，思考下列内容：
（1）半径为R的圆,面积是__S_=__π_R__2__
（2）圆的面积可以看作是_3_6__0__度的
圆心角所对的扇形 R 2 （2）圆心角为1°的扇形的面积是_3_60____
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆 O
S扇形
n R2
360
120 22
360
4
3
S扇 形36 n0S圆36 n0R2132600(22)43
当堂训练
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
πcm,则该扇形的面积是______cm2,
l,R3代 入
l nR 3n
n60
180
180
S扇形 n3R 62 063 0 63202 3
2020/12/2
2020/12/2
1
创设情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”(虚线的长度)，再下料，
试计算图所示管道的展直长度L(单位：
mm，精确到1mm)
2020/12/2
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
弧长公式
若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对
的弧长为l，则
l nR
180
注意：
在应用弧长公式 l nR
O n°
180 A
B
l
进行计算时,要注意公式中n的意义,n表
示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；
解决问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展
直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解： S扇形
1lR 2
1 3
2
3
2020/12/2
2
24
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，
则这个扇形的面积S扇形=_ 4 .
3
2、已知扇形面积为 1 ，圆心角为60°，
则这个扇形的半径R=3___2 _．
4
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为3
，
4
则这个扇形的面积，S扇形=—3—．
22
精讲点拨
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
l nR
180
S扇形
nR2
360
S扇形 n 1R 8R 2 01 2n 1R 8R 0 12 lR
1
S扇形
lR 2
S
1 2
ah
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
回顾思考
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
πcm,则该扇形的面积是__23____cm2,
（2）圆的周长可以看作是_3_6__0_度的圆心角
所对的弧
1
（3）圆心角是10的扇形是圆周长的_3_6_0__
1°圆心角所对弧长是_3_1_6_0_2__R ___ 1R 80
（4）n°圆心角所对的弧长是
O
1°圆心角所对的弧长的___n___倍， n°
nRA
B
（5）n°圆心角所对弧长是___1_8_0_____
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
学习目标
了解扇形的概念，理解 n•°的圆心角所对的弧 长和扇形面积的计算公 式,并应用这些公式解 决相关问题。
2020/12/2
5
自学提纲1
自学教材P110----P111，思考下列内容：
（1）半径为R的圆,周长是_C_=__2_π_R___
2020/12/2
12
变式：边长为2的正方形木块在水平地 面上翻滚两周(如图所示)后，顶点A所 经过的路径总长为_______。
2020/12/2
13
点击中考
7.（2007，山东）如图所示，分别以n边形 的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴 影部分的弧长之和为 ．
2020/12/2
14
点击中考
B
O
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9
(1)已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为( 10πcm )
(2)已知圆的半径为9cm ，60°圆心角所对的弧长为
( 9πcm )
(3)已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为
___6_0_0__
(4)已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的
半径为___2__4__。
尝试练习2
1.扇形的弧长和面积都由_______、________决定？
2.（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角 的增大而__增__大__。
3.圆心角是1800的扇形面积是多少？
圆心角是900的扇形面积是多少？
圆心角是2700的扇形面积是多少？
1
个圆面积
1 个圆面积
2
4
尝试练习2
已知扇形的圆心角为120°,半径为2， 则这个扇形的面积为多少？
2020/12Leabharlann 210• ．5、(07年)如图，ABCD是边长为1的正方 形，其中、、的圆心依次是A、B、C．
• （1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过 的路线长；
• （2）判断直线GB与DF的位置关系，并说 明理由．
F
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B AE
G
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11
6、将以边长为1的等边三角形木 板沿水平线翻滚(如图所示)，那么 点B从开始至结束所经过的路径的长 度为____。
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25
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这
个扇形的面积是(
)．
3
4、（2007，四川内江）如图，这是中央电视台“曲
心角为1°的扇形的面积的__n____倍, n°
A
B
nR 2
（4）圆心角为n°的扇形的面积是__36_0___
扇形面积公式
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积
S扇形，则
S扇形
注意:
nR2
360
（1）公式中n的意义．n表示1°圆心角的 倍数，它是不带单位的；
（2）公式要理解记忆（即按照上面推导 过程记忆）.
8. (2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D 相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心 得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分) 的弧长之和是___________.
B A
D
C
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15
精讲点拨
如下图，由组成圆心角的两条半径和
圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
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解：由弧长公式，可得弧AB的长
l
n R 100900500
180
180
因此所要求的展直长度 L2 70 500 0 29
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8
答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，以O为 圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6， 求弧AB的长。
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形
O A
16
自学提纲2
自学教材P110----P111，思考下列内容：
（1）半径为R的圆,面积是__S_=__π_R__2__
（2）圆的面积可以看作是_3_6__0__度的
圆心角所对的扇形 R 2 （2）圆心角为1°的扇形的面积是_3_60____
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆 O
S扇形
n R2
360
120 22
360
4
3
S扇 形36 n0S圆36 n0R2132600(22)43
当堂训练
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
πcm,则该扇形的面积是______cm2,
l,R3代 入
l nR 3n
n60
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180
S扇形 n3R 62 063 0 63202 3
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创设情境
制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”(虚线的长度)，再下料，
试计算图所示管道的展直长度L(单位：
mm，精确到1mm)
2020/12/2
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
弧长公式
若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对
的弧长为l，则
l nR
180
注意：
在应用弧长公式 l nR
O n°
180 A
B
l
进行计算时,要注意公式中n的意义,n表
示1°圆心角的倍数,它是不带单位的；
解决问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展
直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解： S扇形
1lR 2
1 3
2
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2
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1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，
则这个扇形的面积S扇形=_ 4 .
3
2、已知扇形面积为 1 ，圆心角为60°，
则这个扇形的半径R=3___2 _．
4
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为3
，
4
则这个扇形的面积，S扇形=—3—．
22
精讲点拨
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
l nR
180
S扇形
nR2
360
S扇形 n 1R 8R 2 01 2n 1R 8R 0 12 lR
1
S扇形
lR 2
S
1 2
ah
想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？
回顾思考
已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为
πcm,则该扇形的面积是__23____cm2,
（2）圆的周长可以看作是_3_6__0_度的圆心角
所对的弧
1
（3）圆心角是10的扇形是圆周长的_3_6_0__
1°圆心角所对弧长是_3_1_6_0_2__R ___ 1R 80
（4）n°圆心角所对的弧长是
O
1°圆心角所对的弧长的___n___倍， n°
nRA
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（5）n°圆心角所对弧长是___1_8_0_____
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
学习目标
了解扇形的概念，理解 n•°的圆心角所对的弧 长和扇形面积的计算公 式,并应用这些公式解 决相关问题。
2020/12/2
5
自学提纲1
自学教材P110----P111，思考下列内容：
（1）半径为R的圆,周长是_C_=__2_π_R___
2020/12/2
12
变式：边长为2的正方形木块在水平地 面上翻滚两周(如图所示)后，顶点A所 经过的路径总长为_______。
2020/12/2
13
点击中考
7.（2007，山东）如图所示，分别以n边形 的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴 影部分的弧长之和为 ．
2020/12/2
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点击中考