高三数学每日一题试题及答案136.周末培优

136周末培优

【典例】某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校2015—2016学年高二年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，得到如下所示频数分布表．

（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果看，数学成绩与性别是否有关；

（2）规定80分以上者为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

参考公式：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

．

【练习】1．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：

使用智能手机 不使用智能手机

合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀

16 2 18 合计

20

10

30

附表：

20()P K k ≥

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

0k 2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879 10.828

经计算210K =，则下列选项正确的是

A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

2．某学校为调查该校学生每周使用手机上网的时间，随机收集了若干位学生每周使用手机上网的时间的样

本数据（单位：小时），将样本数据分组为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]，绘制了如下图所示的频率分布直方图，已知[0,2)内的学生有5人．

（1）求样本容量n ，并估计该校学生每周平均使用手机上网的时间；

（2）将使用手机上网的时间在[4,12]内定义为“长时间看手机”；使用手机上网的时间在[0,4)内定义为“不长时间看手机”．已知在样本中有25位学生不近视，其中“不长时间看手机”的有15位学生．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关．

近视 不近视 合计 长时间看手机

参考公式和数据：

2

2

()

,

()()()()

n ad bc

K n a b c d

a b c d a c b d

-

==+++ ++++

．

【参考答案】（1）男生的平均分为71.5，女生的平均分为71.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关；（2）列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

（2）由频数分布表可知：在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得22⨯列联表如下：

优分 非优分 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计

30

70

100

可得2

2

100(15251545) 1.7960403070

K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，

因为1.79 2.706<，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．

【解题必备】1．在2×

2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足0ad bc -≈. ||ad bc -越小，说明两个变量之间关系越弱；||ad bc -越大，说明两个变量之间关系越强. 2．解独立性检验的应用问题的关注点

（1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题. （2）两个关键：①准确画出2×

2列联表；②准确理解K 2.

1．【答案】A

【解析】因为2107.879

K=>，对照表格得：有99.5％的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选A．

2．【答案】（1）100

n=，该校学生每周平均使用手机上网的时间约为5.8小时；（2）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关．学科^网

（2）由题可得样本中“不长时间看手机”的学生有50.1210025

+⨯⨯=位，

由此可得补充完整的22

⨯列联表如下：

近视不近视合计

长时间看手机65 10 75

不长时间看手机10 15 25

合计75 25 100

因此2

K的观测值

2

100(65151010)

21.77810.828

75257525

k

⨯⨯-⨯

=≈>

⨯⨯⨯

，

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为该校学生长时间看手机与近视有关．