高数第一章综合测试题

第一章综合测试题

一、填空题

1

、函数1()arccos(1)

f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f

g x x =-, 则()g x = .

3、已知1tan ,0,()ln(1)

, 0ax x e e x f x x a x +⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩

在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n

n n c n c →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭

，则c = . 5

、函数y =的连续区间为 .

二、选择题

1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数.

（A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x

2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）.

（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛

（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2,

x x f x x x ⎧+≠±⎪=-⎨⎪=±⎩ 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断

（C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续

4、 设lim 0n n n x y →∞

=，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界

（C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

收敛 ，则{}n y 必为无穷小

5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无穷小，则（ ）.

（A ）必有m n = （B ）必有m n > （C ）必有m n ≤ （D ）以上情况皆有可能 三、设2,0,1()(||),(),0.2x x f x x x x x x ϕ<⎧=+=⎨≥⎩

求[()]f x ϕ,[()]f x ϕ. 四、求极限

1、22lim(4)tan 4x x x π→-

2、3113lim 11x x x →⎛⎫-

⎪--⎝

⎭

3、11lim 3x x x x →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭

4、22212lim 12n n n n n n →∞

⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭

L

5、1/1/011lim arctan 1x x x e e x

→+-

五、讨论函数22(4),0,sin ()(1),01x x x x f x x x x x π⎧-<⎪⎪=⎨+⎪≥⎪-⎩

的连续性，如有间断点，判别其类型.

六、设k

A x αβ=

=，求A 及k ，使得当x →+∞时，αβ:.

七、已知()f x 连续，

05x →=，求2

0()lim x f x x →.

八、设函数)(x f 在(,)-∞+∞内有定义，且在点0x =处连续，对任意1x 与2x 有1212()()()f x x f x f x +=+. 证明：)(x f 在(,)-∞+∞内连续.

九、证明：函数()[]f x x x =-在(,)-∞+∞上是有界的周期函数.

十、设)(x f 在]1,0[上非负连续，且(0)(1)0f f ==. 证明：对任意实数(01)a a <<必存在实数0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x a +∈，且00()()f x a f x +=.