高数第一章综合测试题

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高等数学第一章总习题及答案

7. 已知 lim
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 求 lim f ( x) . x →0 x 2 2x − 1
解
因为 lim(2 − 1) = 0 , lim
x →0
x
ln(1 +
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 故必有 lim ln(1 + f ( x) ) = 0 , x →0 sin x 2x − 1
2
2
x
1 1 . = ( )2 = 2 2
1
(4) (5) (6)
lim
x →0
1 x sin x 1 = lim 2 2 = . x →0 2 x
1
x
lim(1 + 3tan 2 x)cot
x →0
= [lim(1 + 3tan 2 x) 3tan x ]3 = e3 .
2
x →0
设 k 为任一个大于 2c 的自然数, 则当 n > k 时,
0 < x ≤ e, 在 x = e 处, lim+ f ( x) = ln e = 1 , lim− f ( x) = 1 , x →e x →e x > e,
故 f ( x) 在 x = e 处连续, 故函数连续区间为 (0, + ∞) .
9.
⎧ cos x , x ≥ 0, ⎪ ⎪x + 2 设 f ( x) = ⎨ 要使 f ( x) 在 (−∞, + ∞) 内连续, 应如何选择 ⎪ a − a − x , x < 0, ⎪ x ⎩
n →∞ n →∞
(B) 无界数列必定发散; (D) 单调数列必有极限.
yn . xn

高数(一)第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x 211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x)1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数 20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高等数学达标测试题第一章

高等数学达标测试题《第一章函数连续极限》一、判断题(每题2分)1. 函数()25f x x =-，则()00f =（）.2. 函数()25f x x =-的定义域为(),-∞+∞（）3. 函数25y u x ==+，则y = ）4. 函数y =21y u x =+复合而成（）5. 任意两个函数()(),y f u u x ϕ==都可以复合成复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦ （）6. 当0x →时，4x 是无穷小量（）7. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量（）8. 2x =是函数()2x f x x =-的一个间断点（） 9. 函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上必有最大值和最小值（）10. 函数x y =是偶函数。

（）11. 函数x x y sin cos +=是非奇非偶函数（）12. 函数x x y cos 2+=是非奇非偶函数（）13. 函数xx y sin =是奇函数（） 14. 有界函数与无穷小量之积是无穷小量。

（）15. 在自变量的同一变化过程中，无穷小量与无穷大量互为“倒数”关系。

（）16. 每一个分段函数都有极限。

（）17. 基本初等函数在其定义域内都是连续的。

（）18. 极限0lim ()x x f x A →=的充要条件为=+→)(lim 0x f x x 0lim ()x x f x A -→=。

（） 19. 若()f x 在 0x 处极限存在，则()f x 在0x 处一定连续（）20. 若()f x 在 0x 处连续，则()f x 在0x 处一定极限存在（）21. 函数()f x 在 0x 处连续的充要条件是在0x 处左右均连续。

（）22. 在自变量的同一变化过程中，无穷大量与无穷小互为“倒数”关系。

（）23. 在自变量的同一变化过程中，非零无穷小量与无穷大互为“倒数”关系。

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷（B ）一、选择题。

（每题4分，共20分）1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞→（） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在2.设函数nn x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x3.函数222111)(xx x x x f +--=的无穷间断点的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（）A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在D. 极限n n n c b ∞→lim 不存在二、填空题（每题4分，共20分）6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+∀，则=)(x f ____________。

7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 2lim 0__________。

8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a xx ，则实数=a ___________。

9.极限=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x x b x a x x ))((lim 2___________。

高等数学第一章练习题

第一章函数、极限、连续一、单项选择题1.区间[a,+∞)，表示不等式（）2.若3.函数是（）。

（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。

5.函数6.函数7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（）（A）必不存在（B）至多只有有限多个（C）必定有无穷多个（D）可以有有限个，也可以有无限多个8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数）（A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于a（B）数列{ x n }极限存在且一定等于a（C）数列{ x n }的极限不一定存在（D）数列{ x n }一定不存在极限9.数列（A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限10.极限定义中ε与δ的关系是（）（A）先给定ε后唯一确定δ（B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一（C）先确定δ后给定ε（D）ε与δ无关11.任意给定12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（）（A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值（B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值（C） f（x）在x0的函数值可以不存在（D）如果f（x0）存在则必等于极限值13.如果14.无穷小量是（）（A）比0稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量（D）0数15.无穷大量与有界量的关系是（）（A）无穷大量可能是有界量（B）无穷大量一定不是有界量（C）有界量可能是无穷大量（D）不是有界量就一定是无穷大量16.指出下列函数中当X→0+ 时，（）为无穷大量。

17.若18.设19.求20.求21.求22.求23.求24.无穷多个无穷小量之和（）（A）必是无穷小量（B）必是无穷大量（C）必是有界量（D）是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量25.两个无穷小量α与β之积αβ仍是无穷小量，且与α或β相比（）。

高等数学第一章测试题

高等数学（上）第一章函数与极限测试题1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为；2.函数)12ln(2712arcsin 2--+-=x xx x y 的定义域 ;3.下列哪些函数相同 ; (1) x ln 2与2ln x ； (2)2x 与x ； (3) x 与x x sgn .4.函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性为；函数xex y 2=的奇偶性为；5. (1) 设52)2(2+-=+x x x f ，则=-)2(x f ； (2) 设x e f x =+)1(，则=)(x f ； (3)设221)1(x x x x f +=+，则=)(x f . .6.计算下列各极限： (1) 13322lim223++-→n n n n ; (2) ∑=∞→nk n nk 12lim； (3)))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n ;(4) )2141211(lim nn +++∞→ ; (5) 332)13)(2)(1(limnn n n n +++→; (6) )1(lim n n n -++∞→;(7) nnn n n 3232lim+-+∞→7.计算下列各极限： (1) 15lim3+-→x x x ； (2)15865lim223+-+-→x x x x x ； (3)hx h x h 220)(lim-+→； (4))1113(lim 31xxx ---→(5) 121lim22---∞→x x x x ； (6)31lim2+++∞→x x x x ； (7)157134lim32-++-∞→x x x x x ; (8) 203050)3()12()52(lim+++∞→x x x x ;(9) 145lim1---→x xx x8.计算下列各极限： (1) xx x 1sinlim 2→； (2) 11sin11lim22-++-∞→x x x x x ; (3) xxx arctan lim∞→9(1) 如果 51lim21=-++→xb ax x x ，求a 与b 的值。

高等数学第一章单元测验试题及答案

4．k 取何值时，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0,20,2tan )(x k x x x x x f 在0=x 处连续.5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。

8.求极限145lim 1---→x x x x 。

9.若0)11lim(2=--++∞→b ax x x x ，试确定常数a 、b 的值.10.已知函数)(x f 在],[b a 上连续，且b b f a a f 2)(,2)(≤≥，证明存在],[b a ∈ξ，使得ξξ2)(=f 。

5.判别函数11arctan )(2++=xx x x f 在0=x 处的间断点的类型.解：函数在0=x 处无定义，所以函数在0=x 处间断，…………3分又)(lim 0x f x →)11arctan (lim 20++=→xx x x 1100=++=，所以0=x 是第一类可去间断点.…….10分6.用极限定义证明：123182lim 23=--→x x x .（δε-定义）.证明：0>∀ε，要使|123)3)(3(2||123182|2--+-=---x x x x x ε<-=-+=|3|2|1262|x x ，………….4分只要2|3|ε<-x 。

取2εδ=，………….8分则当δ<-<|3|0x 时，有|123182|2---x x ε<-=|3|2x ，从而有123182lim 21=--→x x x 。

………….10分7.求极限n n n 25sin 2lim ∞→。

解：n n n 25sin 2lim ∞→=nn n 2125sin lim ∞→--------------------------------------------------------------------------------5分52525sin lim ⋅=∞→nn n 5=-----------------------------------------------------------------------10分8.求极限145lim 1---→x x x x 。

高数测试卷一及答案(第一章)

高数第一章测试一、选择题（每题5分）1、当x →0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）A ．x 2 B. 1-cos x C. x - tan x D. ln(1+x 2)答案：C;211cos ~2x x -，22ln(1)~x x +， 222222000011tan cos 11sin 1cos lim lim lim lim 022cos 2cos x x x x x x x x x x x x x x x→→→→---===-=， ∴该选（C ）2、设当x →0时，(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比（2x e ）高阶的无穷小，则正整数n 为（）A.1B.2C.3D.4答案：B ；因为当0x →时，224121(1cos )ln(1)sin ,(1)2n n x x x x x x x e x +-+-，，所以214n <+<满足题设条件的2n =。

故选B 。

3、设232)(-+=x x x f ,则当x →0时（） A. )(x f 与x 是等价无穷小量 B. )(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C. )(x f 与比x 较高阶的无穷小量D. )(x f 与比x 较低阶的无穷小量答案：B ；【解法1】ln 22ln32121ln 2(ln 2)2!131ln 3(ln 3)2!()232(ln 2ln 3)()x x x x x x e x x e x x f x x x ο==+++ ==+++∴=+-=++ 故0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

【解法2】 000()2322ln 23ln 3lim lim lim ln 2ln 31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+ ∴0x →时()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量。

4、下列极限存在的是（） A.x x x x 1arctan sin lim 0→ B. x x x x 1arctan sin lim 0→ C. x x x x 1arctan sin lim 0→ D. x x x x 1arctan sin lim 0→答案：A;因为00sin sin 11lim arctan (1)()lim arctan 12222x x x x x x x x ππππ-→→=--==⨯=＋，。

高等数学第一章综合测试卷含答案

第一章函数与极限综合测试题A 卷一、填空题（每小题4分,共20分） 1、21lim(1)xx x→∞-= .2、当0x →+时,无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价,则常数A= .3、已知函数()f x 在点0x =处连续,且当0x ≠时,函数1()2x f x -=,则函数值 (0)f = . 4、111lim[]1223(1)n n n →∞+++⋅⋅+ = .5、若lim ()x f x π→存在,且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-,则lim ()x f x π→= .二、选择题（每小题4分,共20分）1、当0x →+时, 无穷小量是 [ ].（A ） 1sin x x （B ） 1x e （C ） ln x (D) 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的 [ ]. （A ）连续点（B ）第一类非可去间断点（C ）可去间断点 (D) 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 [ ]. （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件 (D) 无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=,则常数a 等于 [ ]. （A ）1- （B ）0 （C ）1 (D) 2 5、极限201limcos 1x x e x →--等于 [ ].（A ） ∞ （B ）2 （C ）0 (D) 2- 三、解答题（共60分）1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- . 2、（7分）求极限 3tan sin limx x xx →-. 3、（7分）求极限 123lim()21x x x x +→∞++. 4、（7分）求极限1x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ,求,a l 的值.6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-,试确定常数,c n ,使得()()x x αβ .7、（7分）试确定常数a ,使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续.8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续,12a x x b <<<,试证:在开区间(,)a b 内至少存在一点c ,使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>.综合测试题A 卷答案一、填空题1、2e - 2、3 3、0 4、1 5、1 二、选择题1、（A ）2、（C ）3、（D ）4、（A ）5、（D ）三、解答题1、原式=132411111lim()()()lim 223322n n n n n n n n →∞→∞-++⋅⋅⋅=⋅= .2、原式=2322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2x x x x x xx x x x x x x →→→--===.3、原式= 232lim (1)(1)lim(1)2121x x x x x x x eee →∞→∞+-++++===.4、原式=201sin 12lim 2x x xx →=.5、因为1lim(1)0x x →-+=,所以 321lim(4)0x x ax x →---+=,因此 4a =,代入原式得321144(1)(1)(4)limlim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++. 6、此时,()()x x αβ7、当0x >时,()f x 连续,当0x <时,()f x 连续.20001lim ()lim sin 0,lim ()lim()x x x x f x x f x a x a x+-→→→→===+= 所以,当0a =时,()f x 在0x =连续,因此,当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞内连续. 8、因为()f x 在(,)a b 内连续,12a x x b <<<,所以 ()f x 在12[,]x x 上连续,由连续函数的最大值、最小值定理知,()f x 在12[,]x x 上存在最大值M 和最小值m,即在12[,]x x 上,()m f x M ≤≤,所以12112212()()()()t t m t f x t f x t t M +≤+≤+,又因为 120t t +>,所以32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)α→=-+=-+-+=∴==- x x x x x x x x c n c x c112212()()t f x t f x m M t t +≤≤+,由连续函数的介值定理知:存在12(,)(,)c x x a b ∈⊂,使得112212()()()t f x t f x f c t t +=+.第一章函数与极限综合测试题B 卷一、填空题（每小题5分,共30分） 1、若()2110x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =2、ln 12sin x x →+=3、102lim arccos xx x π→⎛⎫= ⎪⎝⎭4、limn →∞⋅=5、121limn n n n n n ββαααβ→∞⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 6、()lim 1txtxt x e f x e →+∞+=+,()f x 的间断点是二、选择题（每小题5分,共30分）1、(),012,12,12x x f x x x x <<⎧⎪==⎨⎪-<≤⎩的连续区间为 [ ] .（A ）[]0,2；（B ）()0,2；（C ）[)(]0,11,2 ；（D ）()(]0,11,2 .2、01sinlimsin x x x x→的值为 [ ]. （A ）1 （B ）∞ （C ）不存在（D ）0.3、若222lim 22x x ax bx x →++=--,则必有 [ ]. （A ）2,8a b == （B ）2,5a b == （C ）0,8a b ==- （D ）2,8a b ==-. 4、若0x →时,()f x 为无穷小,且()f x 是2x 的高阶无穷小, 则()20limsin x f x x→= [ ].（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）12. 5、()11121arccot1xxe f x xe-=+,则0x =是()f x 的 [ ]. （A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）无穷间断点（D ）振荡间断点.6、(),0,0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩,要使()f x 在0x =处连续,则a = [ ].（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-. 三、计算题（每小题6分,共30分） 1、求13521lim 2482n n n →∞-⎛⎫++++⎪⎝⎭ .2、讨论函数()221lim1nn n x f x x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型. 3、设()()()4,1,2122,1x ax bx x x x f x x ⎧++≠≠-⎪-+=⎨⎪=⎩在1x =处连续,求,a b 的值.4、求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ . 5、求()()222ln sin limln 2x xx x e x e x x→+---.四、证明题（共10分）1、若()f x 在[],a b 上连续,12n a x x x b <<<<< ,证明:在[]1,n x x 上必有ξ,使()()()()121n f f x f x f x nξ=+++⎡⎤⎣⎦ .综合测试B 卷答案一、填空题1、()20x x x -≠; 2、2; 3、2e π-; 4、2; 5、2βα+; 6、0x =二、选择题1、(D)2、(C)3、(D)4、(A)5、(B)6、(B) 三、计算题 1、()12121231,2,222n n n n n n n --++=-= ,13521lim 3.2482n n n →∞-⎛⎫++++= ⎪⎝⎭2、()22,11lim0,11,1nnn x x x f x x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩,1x =±也是第一类（跳跃）间断点.3、,2,3a b ==-.4、()()221111221n n n n n x n n n n n ++≤≤++++,由夹逼准则1lim 2n n x →∞=. 5、原式()()222222002sin ln 1ln sin ln lim lim ln ln ln 1x x x x x x x x x x e e e x e x e e →→⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭==⎛⎫--- ⎪⎝⎭2222222000sin sin lim lim lim 1x x xx x x x x e x x e e x e xx --→→→==-=-=-- . 四、证明题因为()f x 在[],a b 上连续,[][]1,,n x x a b ⊂,故()f x 在[]1,n x x 上连续,因而在[]1,n x x 上()f x 必有最大值M 和最小值m .于是()(),1,2,i m f x Mi n ≤≤= ,作和,有()1ni i nm f x nM =≤≤∑,于是()11ni i m f x M n =≤≤∑.由介值定理的推论,[]1,n x x 上连续的函数()f x 必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值,即存在[]1,n x x ξ∈,使()()11ni i f f x n ξ==∑.。

高数第一章练习题

B. f ( x ) 在 x0 点的极限值不一定存在 D. f ( x ) 在点 x0 必连续）
21、若函数 f ( x ) 在某点 x0 函数值存在，则（ A. f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在
B. 如果 f ( x ) 在 x0 点的极限值存在，则极限值必等于函数值
C. f ( x ) 在 x0 点连续 D. 如果 f ( x ) 在 x0 点的连续，则 f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在且等于函数值 22、 lim f ( x ) = lim f ( x ) 是 f ( x ) 在 x0 处连续的（
1、求极限 lim
x ®3
x -3 x2 - 9
2、.求极限 lim
x ®3
x 2 - 7 x + 12 x2 - 2 x - 3
2 1 ) 2 1- x 1- x
8x3 - 1 3、求极限 lim 2 1 x® 6 x - 5 x + 1
2
4、求极限 lim(
x ®1
5、求极限 lim (
x ®-2
）
D. 跳跃间断点
x4 + x3 +1 的间断点是（ x 2 - 3x + 2 B. - 1 , 2
D. - 1 , - 2
30、若函数 f ( x ) 连续，则下列命题正确的有（ A. f ( x ) 一定有最大值 C. 有界
B. f ( x ) 一定有最小值 D. 若 f ( x ) 在闭区间连续，则 f ( x ) 在该区间有界
7、变量 y =
2
9、已知函数 f ( x ) = 3 x cos a x ，则 f ( x ) 是当 x ® 0 时的无穷_____________量 10、当 x ® 0 时,无穷小量 ln(1 + x ) 与 b sin

高等数学第一章测试卷

高等数学第一章测试卷XXX数学系《高等数学》配套测试题（含答案）高等数学第一章测试卷（B）一、选择题。

（每题4分，共20分）1.假设对任意的$x\in R$，都有$\phi(x) \leq f(x) \leq g(x)$，且$\lim\limits_{x \to \infty}[g(x)-\phi(x)]=0$，则$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)$（）A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在2.设$f(x)=\lim\limits_{x_2 \to \infty}\dfrac{1}{1+x_1^2+。

+x_{n-1}^2+x_n^2}$，讨论函数$f(x)$的间断点，其结论为（）A.不存在间断点B.存在间断点$x=1$C.存在间断点$x=-1$D.存在间断点$x=0$3.函数$f(x)=\dfrac{2x-1}{x}$，的无穷间断点的个数为（）A。

0B。

1C。

2D。

34.设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内单调有界，$\{x_n\}$为数列，下列命题正确的是（）A.若$\{x_n\}$收敛，则$\{f(x_n)\}$收敛B.若$\{x_n\}$单调，则$\{f(x_n)\}$收敛C.若$\{f(x_n)\}$收敛，则$\{x_n\}$收敛D.若$\{f(x_n)\}$单调，则$\{x_n\}$收敛5.设$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$均为非负数列，且$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$，$\lim\limits_{n \to\infty}b_n=1$，$\lim\limits_{n \to \infty}c_n=+\infty$，则（）A。

$a_n<b_n$对任意$n$成立B。

$b_n<c_n$对任意$n$成立C。

极限$\lim\limits_{n \to \infty}a_nc_n$不存在D。

高等数学第一章测试题(第7版)

高等数学（上）第一章函数与极限测试题一、填空（20分）1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为；2.函数)21ln(12arcsin 2x x x xy --++=的定义域 ;3.下列哪些函数相同 ;(1) x ln 2与2ln x ； (2) 2x 与x ； (3) x 与x x sgn .4.函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性为；函数x e x y 2=的奇偶性为；5. (1) 设2)1(2+=+x x f ，则=)(cos x f ；(2) 设x e f x =+)1(，则=)(x f .6.如果,21)74)(1(132lim 23=+-+-∞→n x x x x x 则=n ； 7. =+∞→）（x xx x x 2sin 2sin lim ；8.当=α 时，αx x 21~1s i n 1-+；9. 1x =-为2()1f x x =+的第____类间断点；10.若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a 。

二、计算数列极限（50分）：1. )2141211(lim n n +++∞→ ; 2. )1(lim n n n -++∞→; 3. n n nn n 3232lim +-+∞→ 4.15865lim 223+-+-→x x x x x ；5.)1113(lim 31x x x ---→ 6. 121l i m 22---∞→x x x x ； 7. 30sin tan lim x x x x -→; 8. xx x sin 20)31(lim +→; 9. x e e xx x cos 1lim 0---→； 10. 11sin 1lim 20--+→x x e x x ;五（6分）、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=-001)(2x k x x x f x ）（，试确定k 的值，使)(x f 在0=x 处连续。

高等数学章节练习题及答案第一章

高等数学章节练习题及答案第一章作业1.1.11．求下列函数的定义域.(1)y ；(2) 213y x =- ；(3) πsin ,0,2π,π.2x x y x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩≤≤解（1）解不等式243x x -+≥0得x ≤1或x ≥3；故函数定义域为(,1][3,)-∞+∞；（2）解不等式2x +≥0得x ≥2，由230x -≠知x ≠；故函数定义域为[2,)+∞；（3）分段函数的定义域为各段取值范围的并集，故定义域为[0,π)．2. 设3()21f x x x =-+，求(0),(1),(2),(1)f f f f x -+．解 (0)0011f =-+=；3(1)12112f -=--⨯-+=（）（）；3(2)22215f =-⨯+=； 33232(1)12113312213f x x x x x x x x x x +=+-++=+++--+=++（）（）3. 设23,1,()4,x x f x x -<⎧=⎨⎩≥1，求(2)f -，(0)f ，(2)f ．解 (2)23(2)8f -=-⨯-=；(0)2f =；(2)4f =．4. 求下列函数的反函数，并在同一个坐标系中作出它们的图像（1）23y x =-；（2）21y x =-，(0,)x ∈+∞ 解（1）函数的定义域和值域都是R ，由23y x =-得322y x =+，故其反函数为 322x y =+，x ∈R ．它们的图像为第4（1）题图（2）函数的定义域为(0,)+∞，值域为(1,)-+∞，由21y x =-得x =为y=(1,)x ∈-+∞．它们的图像为第4（2）题图1．写出下列函数的复合过程.(1) 21x y e -= ； (2) ln(3)y x =- ； (3) y =(4) 2πsin (3)6y x =-．解（1）u y e =，21u x =-；（2）ln y u =，3u x=-；（3）y =tan u v =，2xv =；（4）2π,sin ,36y y u v v x ===-．2．写出各函数复合而成的函数并求其定义域 .(1) 5u y =, u = ln v x = ； (2) ln y u = ， 381u x =+.解（1）y =[,)e +∞‘（2）3ln(81)y x =+，定义域为1(,)2-+∞．作业1.1.31．市场对某种商品的需求量Q 满足：()2002Q P P =-，其中P 为商品价格，而生产商对此商品的供应量S 满足：()3100S P P =-，求该种商品的市场均衡价格P 和均衡数量Q ．解（1）()2002Q P P =-= ()3100S P P =-得 P =60，将P =60代入()2002Q P P =-得Q =80．2．已知某商品的成本函数（单位：万元）为()608C Q Q =+，其中Q 为该商品的产量．（1）该商品的计划售价为12万元/件，那么该商品的盈亏平衡点（保本点）Q 0是多少件？（2）求生产50件时的成本和平均成本为多少？（3）当该商品以计划售价的五折出售时，能否盈利？解（1）Q 0=15（件）；（2）(50)(50)100,(50)250C C C ===（万元）；（3）不会盈利，会造成亏空．3．某商品的销售价格为100元，月销售量为4000件，当销售价格每提高2元，月销售量会减少50件，在不考虑其他因素情况下，（1）求这商品月销售量与价格之间的函数关系；（2）当价格提高到多少元时，这商品会卖不出去？解（1）()650025Q P P =-；（2）260元．作业1.2.11.通过观察对应函数图像，讨论下列极限：（1）1lim1x x →∞+；（2）1lim 4x x →+∞（）；（3）lim 3x x →-∞；（4）1lim(2)x x→∞-；（5）0lim x +→（6）1limln x x →．（7）π3lim sin x x →；（8）设1,()1,x x f x x x -<⎧=⎨+⎩0,≥0，求0lim ()x f x →．解做出相应的函数图像（略）．（1）观察函数11y x =+的图像知，1lim 01x x →∞=+；第1（1）题图第1（2）题图（2）观察函数1()4x y =的图像知，1lim 04xx →+∞=（）；（3）观察函数3x y =的图像知，lim 30x x →-∞=；第1（3）题图（4）观察函数12y x =-（5）观察函数y =的图像知，0lim0x →=；第1（5）题图第1（6）题图（6）观察函数ln y x =的图像知，1limln ln10x x →==．（7）观察函数sin y x =的图像知，π3πlim sin sin3x x →=；第1（7）题图第1（8）题图（8）观察函数的1,()1,x x f x x x -<⎧=⎨+⎩0,≥0图像知，0lim ()x f x →=1；1.计算下列极限：（1）331lim(2)x x x→∞+-；（2）2222lim 341x x x x x →∞+--+；（3）21lim 1x x x →∞--解（1）333131lim(2)lim2lim lim 2x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞+-=+-=；（2）2222122222lim lim 4133413x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+；（3）222111lim lim 0111x x x x x x x→∞→∞--==--．2.计算下列极限：（1）324lim()x x x →+；（2）4322lim ()x x x→--；（3）222lim 2x x x →-+.解（1）3322444lim()limlim 8412x x x x x x x →→→+=+=+=；（2）443322222265lim ()lim lim 1684x x x x x x x→-→-→--=-=-=-；（3）222421lim 2222x x x →--==++.3.作出函数21,1,(),11x x f x x x -⎧<⎪=⎨-⎪⎩≥ 的图像． (1) 写出1lim ()x f x →-和2lim ()x f x →；(2) 写出1lim ()x f x -→和1lim ()x f x +→；(3) 判断1lim ()x f x →是否存在，若存在求出来．解函数图像如图下：第3题图（1）观察函数图像知，1lim ()2x f x →-=，2lim ()3x f x →=；（2）11lim ()lim (1)0x x f x x --→→=-=，211lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=；（3）因为1lim ()x f x →=1lim ()x f x +→=0，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()0x f x →=．4. 已知函数231,1,(),>11x x f x x x -⎧<⎪=⎨+⎪⎩,求1lim ()x f x →．解 11lim ()lim (31)2x x f x x --→→=-=，211lim ()lim (1)2x x f x x ++→→=+=．故 1lim ()x f x →=2.5. 利用微软高级计算器计算下列各极限（1）2lim(1)x x x →∞+；（2）0sin5lim 2x x x →；（3）0tan lim x x x →；（4）01lim sin x x x →．解（1）22lim(1)x x e x →∞+=；（2）0sin55lim 22x x x →=；（3）0tan lim1x x x →=；（4）01lim sin 0x x x→=．1.判断下列命题是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）（1）10000.001是无穷小；（ × ）（2）当x →-∞时，10x 是无穷小；（ × ）（3）当x →-∞时，0是无穷小；（ √ ）（4）当x →-∞时，2x 是无穷小；（ √ ）（5）当x →∞时，2x 是无穷小；（ × ）（6）当2x →时，24x -是无穷小．（ √ ）2.比较下列各组无穷小.（1）当0x →时，4x 与2x ;（2）当2x →时， 2x -与38x -;（3）当x →∞时，318x -与12x -. 解（1）因为40lim 0x x →=，2lim 0x x →=，且42200lim lim 0x x x x x →→==，所以当0x →时，4x 是比2x 较高阶的无穷小．（2）因为2lim(2)0x x →-=，32lim(8)0x x →-=，且3222222211limlim lim 8(2)(1)17x x x x x x x x x x x →→→--===--++++，所以，当2x →时， 2x -与38x -是同阶无穷小．（3）因为31lim08x x →∞=-，1lim 02x x →∞=-，且3233311228lim lim lim 018812x x x x x xx x x x→∞→∞→∞---===---，所以，当2x →时，318x -为比12x -较高阶的无穷小．3.确定函数1()1x f x x +=-为无穷小的条件．解由于-1111lim=0111x x x →+-+=---，故函数为无穷小的条件为“ 1x →-”。

高数(一)第一章练习题

高等数学（一）（第一章练习题）一、单项选择题1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ）A.x 2+2xB.x 2-2xC.-x 2+2xD.-x 2-2x2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ）A.2x 2B.x 2xC.x 2xD.22x3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)4.函数2x x y -=的定义域是（ D ）A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]5.设函数=-=)x 2(f 1x x )x 1(f ，则（ A ） A.x211- B.x 12- C.x 2)1x (2- D.x )1x (2- 6.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2x7.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ）A.x 2-6x+5B.x 2-5x+6C.x 2-5x+2D.x 2-x 8．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（）A ．[a,3a]B ．[a,2a]C ．[-a,4a]D ．[0,2a]9．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ）A ．|x|≤1B ．|x|<1C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<110.函数y=1-cosx 的值域是（ C ）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞) 11．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ）A ．x(x-1)B ．x(x+1)C ．(x-1)2-(x-1)D ．(x+1)(x-2)12.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ）A.[0，2]B.[0，16]C.[-16，16]D.[-2，2]13.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ）A.t 2+1B.t 4+2C.t 4+t 2+1D. t 4+2t 2+2 14．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x15.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞) 16.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]17.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B ) A.(a a 2,1) B.（aa 1,2) C.(a ，2a) D.(a a ,2] 18．函数f (x )=2211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x 的定义域为（ B ） A ．[]1,1- B ．[]3,1- C ．(-1,1)D ．(-1,3) 19.函数f (x )=21sin 2x x ++是（ C ） A.奇函数 B.偶函数 C.有界函数 D.周期函数20．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ）A ．(-1,+∞)B ．(0,+∞)C ．(1,+∞)D ．(0,1) 二、填空题1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.2.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.3．函数y=x ln ln 的定义域是 .4．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.5．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.6．.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

高数b第一章测试题及答案解析

高数b第一章测试题及答案解析一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：B解析：根据导数的定义，f'(x)=2x，所以f'(1)=2。

2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B解析：利用洛必达法则，分子分母同时求导得到lim(x→0)(cos(x)/1)=cos(0)=1。

3. 定积分∫(0,1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1)x^2dx=(1/3)x^3|(0,1)=(1/3)(1)^3-(1/3)(0)^3=1/3。

4. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的极值是：A. 最大值B. 最小值C. 无极值D. 不确定答案：B解析：首先求导数y'=3x^2-3，令y'=0，解得x=1或x=-1。

再求二阶导数y''=6x，将x=1代入得y''(1)=6>0，说明x=1处为最小值。

5. 曲线y=x^3+2x-3在点(1,0)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：求导数y'=3x^2+2，将x=1代入得y'(1)=3+2=5。

6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. x*e^xD. x*e^x + C答案：B解析：根据积分公式，∫e^x dx = e^x + C。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x+8的极值点是__。

答案：x=2解析：求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2，再求二阶导数f''(x)=6x，将x=2代入得f''(2)=12>0，说明x=2处为极小值点。

高一必修一数学第一章测试卷

高一必修一数学第一章测试卷一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A = {xx > - 1}，B={xx < 2}，则A∩ B = (_ )A. {xx > - 1}B. {xx < 2}C. {x1 < x < 2}D. varnothing2. 设集合M={1,2,3}，N = {xx^2-3x + 2 = 0}，则M∩ N=(_ )A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3}3. 已知全集U = R，集合A={xx^2-1 < 0}，则∁_UA = (_ )A. {xx≤slant - 1或x≥slant1}B. {xx < - 1或x > 1}C. {x1 < x < 1}D. {xx≤slant - 1}4. 下列函数中，与y = x是同一个函数的是(\underline{\quad})A. y=√(x^2)B. y=frac{x^2}{x}C. y = sqrt[3]{x^3}D. y = (√(x))^25. 函数y=(1)/(√(x - 1))的定义域为(\underline{\quad})A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (-∞,1)D. (-∞,1]6. 已知f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x + 1,x≤slant0 x^2,x > 0end{array}right.，则f(-2)+f(2)=(_ )A. 0.B. 3.C. 4.D. 5.7. 函数y = f(x)的图象如图所示，则函数y = f(x)的单调递增区间是(\underline{\quad})（此处假设给出一个简单的函数图象，横坐标为x，纵坐标为y，图象从左到右先下降后上升再下降）A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞, - 1)∪(1,+∞)D. (-1,1)8. 设函数f(x)=x^2+2(a - 1)x + 2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(\underline{\quad})\)A. a≤slant - 3B. a≥slant - 3C. a≤slant5D. a≥slant5二、填空题（每题5分，共20分）1. 集合{1,2,3}的所有子集个数为_ 。