方程与不等式应用题(习题及答案)

方程与不等式应用题（习题）

例题示范

例 1：现要把 228 吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

运往地

车型

甲地（元/辆）乙地（元/辆）

大货车720 800

小货车500 650

（1）求这两种货车各用多少辆．

（2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与

a 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．

【思路分析】

运往地车型

9

甲地（元/辆）

9

乙地（元/辆）

载重量

大货车8 720 a800 8-a16

小货车10 500 9-a650 a+1 10

2．建立数学模型

（1）结合题中信息“用大、小两种货车共18 辆，恰好能一次性运完这批物资”，考虑方程模型；

（2）结合题中信息“自变量的取值范围”，考虑建立不等式模型，寻找题目中的不等关系（显性和隐性）；

（3）结合题中信息“运费最少的货车调配方案”，考虑建立函数模型．

3．求解验证，回归实际．

【过程书写】

解：（1）设大货车用x 辆，则小货车用（18-x）辆，根据题意得，16x+10(18-x)=228

解得，x=8

即大货车用 8 辆，小货车用 10 辆．

（2）由题意得，

w = 720a + 800(8 -a) + 500(9 -a) + 650[10 - (9 -a)] = 70a +11550

⎧a ≥0

⎪8 -a

≥0

⎪9 -a ≥0

⎪⎩10 - (9 -a) ≥0

∴0≤a≤8，且a 为整数

∴w= 70a +11550（0≤a≤8，且a为整数）

（3）由题意得，16a +10(9 -a) ≥120

解得，a ≥5

∵0≤a≤8，且a 为整数

∴5≤a≤8，且a 为整数在

w = 70a +11550 中

∵70 > 0

∴w 随a 的增大而增大

∴当a=5 时，w

= 11900（元）即

min

最优方案为：

巩固练习

1.已知 2 辆A 型车和 1 辆B 型车载满货物时一次可运货 10 吨；

1 辆 A 型车和

2 辆 B 型车载满货物时一次可运货 11 吨．某物流

公司现有货物 31 吨，计划同时租用 A 型车和 B 型车，要求一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：

（1）1 辆A 型车和 1 辆 B 型车都载满货物时一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮助该物流公司设计出所有的租车方案；

（3）若每辆 A 型车的租金为 100 元/次，每辆 B 型车的租金为120 元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少的租车费．

2.受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价与去年相

比，每台降价 500 元，如果卖出相同数量的手机，去年销售额为

8 万元，今年销售额只有 6 万元．

（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，今年该店决定再经销乙型号手机，已知甲型号手机每台进价为 1 000 元，乙型号手机每台进价为 800 元，计划用不多于 1.84 万元且不少于 1.76 万元的资金购进这两种手机共 20 台，则该店有哪几种进货方案？

（3）若乙型号手机每台售价为 1 400 元，为了促销，打九折销售，而甲型号手机仍按今年的售价销售，则在（2）的各种进货方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

3.小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”，他准备购

置80 只相同规格的网箱，养殖 A，B 两种淡水鱼（两种鱼不能混养）．计划用于养鱼的总投资多于 6.7 万元，但不超过

6.91 万元，其中购置网箱等基础建设需要 1.2 万元．设他用x 只

网箱养殖 A 种淡水鱼，目前平均每只网箱养殖 A，B 两种淡水鱼所需投入及产出情况如下表：

（2）哪种养殖方案获得的利润最大？

（3）根据市场调查分析，当他的鱼上市时，两种鱼的价格会有所变化，A 种鱼价格上涨 40%，B 种鱼价格下降 20%，考虑市场变化，哪种方案获得的利润最大？（利润=收入-支出．收入指成品鱼收益，支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出）

思考小结

1.应用题的处理框架是什么？

①理解题意：分，找

借助等梳理信息；

②建立：方程模型、不等式（组）模型、函数模

型等

③ 求解验证，回归实际

2.目前我们已经学习了几种数学模型，在什么情况下考虑对应的

模型？

【参考答案】

巩固练习

1．（1）1 辆 A 型车载满货物时一次可运货 3 吨，1 辆 B 型车载满货物时一次可运货 4 吨．

（2）该物流公司共有 3 种租车方案．

方案一，租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆；方

案二，租用 A 型车 5 辆，B 型车 4 辆；方案

三，租用 A 型车 9 辆，B 型车 1 辆．

（3）最省钱的租车方案为，租用 A 型车 1 辆，B 型车 7 辆．最

少的租车费为 940 元．

2．（1）今年甲型号手机每台售价为 1 500 元．

（2）该店共有 5 种进货方案．

方案一，购进甲型号手机 8 台，乙型号手机 12 台；方

案二，购进甲型号手机 9 台，乙型号手机 11 台；方案

三，购进甲型号手机 10 台，乙型号手机 10 台；方案

四，购进甲型号手机 11 台，乙型号手机 9 台；方案五

，购进甲型号手机 12 台，乙型号手机 8 台．

（3）购进甲型号手机 12 台，乙型号手机 8 台，所获利润最大，最大利润为 9 680 元．

3．（1）小王共有 5 种养殖方案．

方案一，养殖 A 种淡水鱼 45 箱，B 种淡水鱼 35 箱；方

案二，养殖 A 种淡水鱼 46 箱，B 种淡水鱼 34 箱；方案

三，养殖 A 种淡水鱼 47 箱，B 种淡水鱼 33 箱；方案四

，养殖 A 种淡水鱼 48 箱，B 种淡水鱼 32 箱方案五，养

殖 A 种淡水鱼 49 箱，B 种淡水鱼 31 箱．

（2）养殖 A 种淡水鱼 45 箱，B 种淡水鱼 35 箱，所获利润最大

．

（3）价格变化后，养殖 A 种淡水鱼 49 箱，B 种淡水鱼 31 箱，所获利润最大．

思考小结

1.①层次，结构，表格

②数学模型