1.流体的流动考试重点和习题答案

第二章 流体的运动最重要的是掌握BBS 三个重要的公式及意义：1.掌握理想流体的稳定流动、连续性方程、伯努利方程及其一些应用实例；2.掌握牛顿粘滞定律、粘度的概念、泊肃叶公式、流阻、雷诺数；3.掌握斯托克斯公式2.理解实际流体的伯努利方程、层流、湍流；2-1 什么叫理想流体、流线、流管、稳定流动、流量、空吸作用? 理想流体作稳定流动时，流体速度与流管截面积有什么关系?答: ①理想流体: 绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体叫理想流体。

②流线: 设想在流体中画一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向与流体质点在该点的速度方向一致，这些曲线称为流线。

③流管: 在流场中任取某一垂直于流线的面积元S ，过S 周边各点的流线所围成的管状区域叫流管。

④稳定流动: 如果流体中各点的速度、压强和密度都不随时间变化，则这样的流动称为稳定流动。

⑤流量: 单位时间通过流管某一横截面的流体的体积称为该横截面的体积流量，简称为流量。

⑥空吸作用: 如本题附图所示，流管中B 处截面积小，流速大，由伯努利方程可知，B 处的压强小，当它小于大气压强时，容器D 中的液体因受大 气压强的作用上升到B 处而被水平管中的流体带走，这种作用叫空吸作用。

习题2-1附图⑦可压缩的流体作稳定流动时，在同一流管中流体的速度v 、该处流管的横截面积S 及其该处的流体密度ρ之积是一常量；即222111ρρv v S =S 。

不可压缩的流体作稳定流动时，在同一流管中流体速度v 、该处流管的横截面积S 之积是一常量，即2211v v S =S 。

2-2 水在粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知截面积S 1 处压强为110Pa ，流速为0.2m ·s -1，在截面积S 2 处的压强为5Pa ，求S 2 处的流速（摩擦不计）。

解: 已知Pa 1101=p ，11s m 20-⋅=.v ，Pa 52=p ，2h =1h ，由伯努利方程可得 2222112121v v ρρ+=+p p 222100021520100021110v ⨯+=⨯⨯+.12s m 50-⋅=.v 。

S 2 处的流速为0.5m ·s -1。

2-3 水在截面积不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为最细处的3倍。

若出口处的流速为2m ·s -1，问最细处的压强为多少？若在此最细处开一个小孔，水会不会流出来?解: 已知细出S 3=S ，-1s 2m ⋅=出v ，根据连续性方程 细细出出v v S =S 得-1s 6m 233⋅=⨯==出细v v又已知21h =h , Pa 101.01350⨯==p p 出，由伯努利方程得2202121细细出v v ρρ+=+p p 22061000212100021⨯⨯+=⨯⨯+细p pPa 100.85316000-10013155⨯=⨯=.p 细因为0p p <细，所以若在最细处开一小孔，水不会流出。

2-4 水在一水平管中流动，A 点的流速为1.0m ·s -1，B 点的流速为2.0m ·s -1，求这两点的压强差。

解: 已知-1A s 1.0m ⋅=v ，-1B s 2.0m ⋅=v ，B A h =h ，则伯努利方程为：2B B 2A A 2121v v ρρ+=+p pPa 1500010210002121222A 2B B A =-⨯⨯=-=-)..()(p p v v ρAB 这两点的压强差为1500Pa 。

2-5 在一水管的某一点，水的流速为2.0m ·s -1，计示压强为10 4Pa 。

设水管的另一点高度比第一点降低了1.0m ，如果第二点处的横截面积是第一点的1/2，求第二点的计示压强。

解: 已知-11s .0m 2⋅=v ，)Pa 104001+=+=p (p p p 计示，0.11=h ，112052S S ==S ，02=h ， 根据连续性方程 2211v v S =S 得1112112s m 045002-⋅=⨯==.S ..S S S v v 由伯努利方程得 习题2-5附图)h h (g )(p p p p p 2122211020221-+-++=+=ρρv v 计示计示)()(2121222112h h g p p -+-+=ρρv v 计示计示2, 2Pa 103810018910000402100021104224⨯=-⨯⨯+-⨯⨯+=.).(.)..(第二点的计示压强是1.38×104Pa 。

2-6 一粗细不均匀的水平圆管，粗处的半径为5.0cm ，流速为1.0m ·s -1，细处的半径为粗处的1/3，求细管处的流速和管的流量。

解: 已知2-4222m 1025πcm 5.0ππ⨯=⨯==粗粗r S ，-1s 1.0m ⋅=粗v ，24-222m 10π82cm 5.0)31π31π⨯=⨯⨯==.(r ）（粗细S 。

根据连续性方程细细出出v v S =S ，得：1-s 9.0m 1.09⋅=⨯==细粗粗细S S v v , 13-3-4sm 1.07.851.01.025π-⋅⨯=⨯⨯==粗粗v S Q细管处的流速为9m ·s -1，流量为7.85×10 -3m 3·s -1。

2-7 一流量为3000cm 3·s -1 的排水管水平放置，在截面积为40cm 2 和10cm 2两处接一U 形管，装水银，求：粗细两处的流速；粗细两处的压强差；U 形管中水银柱的高度差。

解: ①已知1336s m 1003103000---⋅⨯=⨯=.Q ，24m 1040-⨯=1S ，24m 1010-⨯=2S 。

根据连续性方程：Q S ==2211v v S1461s m 7501040103000---⋅=⨯⨯==.S Q 1v 1462sm 0310********---⋅=⨯⨯==.S Q 2v粗细两处的流速分别为1s m 750-⋅., 1s m 03-⋅. ②已知2h =1h ，伯努利方程为：2221212121v v ρρ+=+p p , 习题2-7附图 Pa 10224750031000212121322212221⨯=-⨯⨯=-=-.)..(p p v v ρρ 粗细两处的压强差Pa 102243⨯.p 1 -p 2 >0，说明粗处压强高于细处的压强。

③如果忽略水银上方水柱的压强，则U 形管中水银柱的高度差:0.0317m 9.81013.6104.223321=⨯⨯⨯=-=g p p h 水银ρ hS 1=40S 2=10如果考虑水银上方水柱的压强，则U 形管中水银柱的高度差:m 034209.8101)-(13.6104.223321.g )(p p h ≈⨯⨯⨯=--=水水银ρρ2-8设两管中的水柱高度分别为5.0×10 -3m 和5.4×10 -2m ，求水流速度。

解: 已知m 10053-⨯=.A h ，m 10452-⨯=.B h ，v v A =，0=B v , 由伯努利方程得：)h -2g(h v A B =1s m 980-⋅=⨯⨯⨯=.-2100.5)-(5.49.822-9 有一截面为5.0cm 2的虹吸管把截面极大的容器中的水吸出，虹吸管最高点B 比容器液面A 高1.2m ，出水口D 比容器液面A 低0.6m ，求在稳定流动的条件下，虹吸管的流量和管最高点B 的压强。

解: ①以D 为参考面，则60A .=h m ，0D =h ,0A p p D ==p ，24m 1005-⨯=.S因S A ＞＞S ，有v A ≈0，A 与D 的伯努利方程为2D A 21v gh ρρ=-1A D s m ⋅≈⨯⨯==3.430.69.822gh v虹吸管的流量为13-3-4D s m 1.0721.433105-⋅⨯=⨯⨯==.S Q v②容器液面A 与最高点B 的伯努利方程： 习题2-9附图 B 2B B A 2A A 2121gh p gh p ρρρρ++=++v v 以液面A 为参考面，则0A =h ，S A ＞＞S ，有v A ≈0，Pa 10013150A ⨯==.p p ，m 21B .=h ，1D B s m 433-⋅==.v v ，则上式简化得最高点B 的压强为B 2B 0B 21gh p p ρρ--=v Pa 1037821891000433100021100131425⨯=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.....BAh A h Bv2-10 在一粗细均匀的水平管上等距离地任选三点，竖直接上三个支管，分析下述情况三竖直支管中的液面高度: ①理想液体在管中流动; ②实际液体在管中流动; ③液体在管中不流动。

解: ①理想液体在管中流动时，由于该管粗细均匀且水平放置，故三处的高度321h h h ==，流速321v v v ==。

由伯努利方程可知，这三处的压强都相等，即321p p ==p ，故这三竖直支管中的液面高度相同。

②实际液体在管中流动时，由于液体的粘滞性作用，使得液体在流动的过程中，需要克服摩擦力作功消耗能量，故这三竖直支管的液面高度将依水流的方向，以相同的高差依次降低，竖直支管的液面高度和出水口连成一条斜线。

③如果液体在管中不流动，0321===v v v ，且321h h h ==，则根据伯努利方程可知，三处的压强相等，gh p p ρ===321p ，这三支竖直管的液面高度将保持一致，只是高度比流动时大2gv 2=∆h 。

2-11 设橄榄油的粘滞系数为1.8P ，流过长度为50cm ，半径为1.0cm 的管子，管两端的压强差为100mmHg ，求其流量。

解: 已知s Pa 180⋅=.η，m 50.L =，m 010.r =，Pa 10313m m Hg 1003⨯==.p ∆。

根据泊肃叶公式得流量134342s m 10855018081031310143π---⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==....)(.p Q L 8r 4η∆2-12 狗的一根大动脉，半径为4mm ，长度为10cm ，血流粘度为2.084×10 -3Pa ·s ，流过这段血管的血液流量为1.0cm 3·s -1。

求: ①血流的平均速度和最大速度; ②这段动脉管的流阻; ③这段血管的血压降落。

解: ①已知m 1043-⨯=r ，136s m 1001--⋅⨯=.Q ，s Pa 1008423⋅⨯=-.η，0.10m =L由v S Q =可得血流的平均速度为122362s m 10021041431001π----⋅⨯=⨯⨯⨯===.)(..r Q S Q v 122362s m 10021041431001π----⋅⨯=⨯⨯⨯===.)(..r Q S Q v 最大速度为122s m 1004102---⋅⨯=⨯⨯==.2.02v v max②由流阻公式得这段动脉管的流阻为56433m s N 100721041431001008428π---⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==.)(...R 4r L 8η ③由泊肃叶公式RPQ ∆=，可得这段血管的血压降落为 0.0155m m Hg Pa 0721007210166==⨯⨯⨯==-..QR p ∆可见，这段大动脉的血压降落是很小的。