三角形重心性质的向量表示及其推广

三角形重心的性质的向量表示与推广及其应用

吴家华（四川省遂宁中学校 629000）

摘 要 本文给出了三角形重心性质的一个向量表示并进行了推广，同时介绍了它们的简单应用.

关键词 三角形、重心、向量、推广

我们知道，三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与到对边中点的距离的比为1:2，即重心到顶点的距离等于该中线长的三分之二. 重心的这一性质如果我们用向量来表示的话，则有下列结论：

定理1 设G 为ABC ∆的重心，则)(3

1

AC AB AG +=；反之也成立. 证明：设BC 的中点为D ，则)(2

1

AC AB AD +=. ∵G 为ABC ∆的重心，∴AD AG 3

2

=

. ∴)(31

)(213232AC AB AC AB AD AG +=+⋅==.

故)(3

1

AC AB AG +=.

反之，若)(3

1

AC AB AG +=，则AC AB AG +=3，即

0)()(=-+-+AC AG AB AG AG ，0=++CG BG AG ，

∴0=++GC GB GA ,故G 为ABC ∆的重心.

定理1 得证.

笔者在解题研究中，尝试把重心G 改为ABC ∆所在平面内的任意一点，发现定理1可以推广为下列一般形式：

定理 2 设分别过ABC ∆的两个顶点C B ,的直线相交于一点P ，且分别交对边所在直线于点M N ,. 若AB AM λ=，AC AN μ=，则

AC AB AP λμ

λμλμμλ--+--=

1)

1(1)1(.

证明：如图1所示，设MC t MP =，NB s NP =，则

M

p N

B

C

A

AC

t AM t AM AC t AM MC t AM MP AM AP +-=-+=+=+=)1()(AC t AB t +-=)1(λ.

AB

s AN s AN AB s AN NB s AN NP AN AP +-=-+=+=+=)1()(AB s AC s +-=)1(μ.

∵AB 与AC 不共线，

∴⎩⎨⎧=-=-t s s t )1()1(μλ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧--=--=⇒λμμλλμλμ1)1(1)1(s t . 故AC AB AP λμ

λμλμμλ--+--=

1)1(1)1(.

定理2得证.

显然，定理2的结论是建立在ABC ∆的基础上的，那么，我们在应用定理2解决问题 时就需要一个三角形作依托，也就是说，我们解决问题的关键在于这个三角形的选择. 因此，我们不妨把定理中的这个ABC ∆叫做基底三角形（注意，顶点C B A ,,按逆时针顺序），简称为“基三角”.

笔者在教学和解题实践中发现，上述三角形重心性质的向量表示及其推广在解决平面 向量和平面几何问题中具有较广泛的应用.下面举例说明之.

例1.如图2所示，在ABC ∆中，E D ,分别为AC AB ,的中点，CD 与BE 交于点F ， 设a AB =，b AC =，b n a m AF +=，若向量),(n m s =，则=||s （ ）

.

A 32 .

B 32 .

C 65 .

D 3

4

图2

解：由已知可知，F 为ABC ∆的重心， 则由定理1可得：b a b a AF 3

131)(31+=+=

.

∵b n a m AF +=，且a ，b 不共线， ∴31=

=n m ，则)3

1,31(=s . ∴3

2)31()31(||22=+=

s ,故选B . 例2.P 是ABC ∆内一点，)(3

1

AC AB AP +=，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比 值为（ ）

.A 2 .B 3 .

C 2

3

.D 6 解：∵)(3

1

AC AB AP +=，∴由定理1知，P 是ABC ∆的重心. ∴

3

1

=∆∆ABC ABP S S ,即ABC ∆的面积与ABP ∆的面积的比值为3. 故选B .

例3.如图3所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，N M ,分别是边OB OA ,上的点， 且a OM 31=

，b ON 2

1

=.设AN 与BM 交于点P ，用向量a ，b 表示OP .

图3

解：取OAB ∆为基底三角形，因为N M ,分别是边OB OA ,上的点，且a OM 3

1

=

，b ON 2

1=.

∴31=λ，2

1

=μ,则由定理2，得：

b a b a OP 5

2

511)1(1)1(+=--+--=

λμλμλμμλ，

即

b a OP 5

251+=. 例4.如图4所示，在OAB ∆中，a OA =，b OB =，设点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA 所成的比为1:3，而OM 和BN 交于点P ，试用a 和b 表示OP .

解：取ABO ∆为基底三角形，连接AP ，因为点M 分AB 所成的比为1:2，点N 分OA

所成的比为1:3，

∴AB AM 32=

，AO AN 41=，则32=λ，4

1=μ. 由定理2得：AO AB AO AB AP 10

1

531)1(1)1(+=--+--=

λμλμλμμλ.

图4

∴OA OA OB OA AO AB OA AP OA OP 10

1

)(5310153--+=++

=+= b a OB OA 53

10353103+=+=，

即b a OP 5

3

103+=.

例5.如图5所示，在ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且NC AN 2=，

AM 与BN 相交于点P ，求PM AP :的值.

图5

解：取CAB ∆为基底三角形，连接PC ，则由已知得：CA CN 31=，CB CM 2

1

=， ∴31=

λ，2

1

=μ. 由定理2得：CB CA CB CA CP 52

511)1(1)1(+=--+--=

λμλμλμμλ,

∴)(5251AC AB AC AC AP -+-

=-,即AB AC AP 5

2

52+=.