浙教版八年级数学一次函数知识要点：《常量与变量》_知识点总结

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(完整word版)八年级数学一次函数知识点总结

新新教育1一次函数知识点总结一、函数1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

注：变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值向来不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，若是有两个变量 x 与 y，并且关于 x?的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，y 的值称为函数值．4.函数的三种表示法：〔1〕表达式法〔剖析式法〕；〔 2〕列表法；〔3〕图象法．a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法〔剖析式法〕。

b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

c、把这些对应值〔有序的〕看作点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．〔1〕要使函数的表达式有意义：a、整式〔多项式和单项式〕时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠ 0 。

〔 2〕对实责问题中的函数关系，要使实责问题有意义。

注意可能含有隐含非负或大于0 的条件。

6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．7.描点法画函数图象的一般步骤以下：Step1 ：列表〔表中给出一些自变量的值及其对应的函数值〕；Step2 ：描点〔在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点〕；Step3 ：连线〔依照横坐标由小到大的序次把所描出的各点用圆滑曲线连接起来〕．8.判断 y 是不是 x 的函数的题型A、给出剖析式让你判断：可给 x 值来求 y 的值，假设 y 的值唯一确定，那么 y 是 x 的函数；否那么不是。

B、给出图像让你判断：过 x 轴做垂线，垂线与图像交点节余一个〔≥ 2〕时， y 不是 x 的函数；否那么y 是 x 的函数。

二、正比率函数1.正比率函数的定义：一般地，形如 y=kx〔 k 是常数， k≠0〕的函数，叫做正比率函数， ?其中 k 叫做比率系数。

浙教版初中数学八年级上册一次函数全章复习与巩固(提高)知识讲解(1)

一次函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数. y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x 、y 的一元一次方程ax b +＝0（a ≠0）的解x 为何值时，函数y ax b =+的值为0？确定直线y ax b =+与x 轴（即直线y ＝0）交点的横坐标求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、（2014春•桃城区校级月考）在国内投寄平信应付邮资如下表：信件质量x （克） 0＜x≤20 0＜x≤40 0＜x≤60 邮资y （元） 0.80 1.60 2.40（1）y 是x 的函数吗？为什么？（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量可得y 是x 的函数；（2）根据表格可以直接得到答案．【答案与解析】解：（1）y 是x 的函数，当x 取定一个值时，y 都有唯一确定的值与其对应；（2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80；当x=30时，y=1.60；当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000800010000 15000 ……成本y （元） 28500 36000 41000 53500 ……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】=+，解：（1）设所求一次函数的解析式为y kx b则解得k＝，b＝16000．∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．（2）∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图象和性质【396533一次函数复习例2 】3、若直线y kx b =+（k ≠0）不经过第一象限，则k 、b 的取值范围是（） A. k ＞0, b ＜0 B. k ＞0,b ≤0 C. k ＜0, b ＜0 D. k ＜0, b ≤0 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k ＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限. 【答案】D ；【解析】当图象过原点时，k ＜0，b ＝0，当图象经过二、三、四象限时，k ＜0且b ＜0. 【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况. 举一反三：【396533一次函数复习例3 】【变式】一次函数()2y kx k =--与kxy =在同一坐标系内的图象可以为（）A. B. C. D.【答案】D ；提示：分为k ＜0；0＜k ＜2；k ＞2分别画出图象，只有D 答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式 4、（2016春•枣阳市期末）直线a ：y=x +2和直线b ：y=﹣x +4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ．（1）在同一坐标系中画出函数图象；（2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ADOC 的面积；（4）观察图象直接写出不等式x +2≤﹣x +4的解集和不等式﹣x +4≤0的解集．【思路点拨】（1）根据直线的画法画出图形即可；（2）根据直线a 、b 的解析式可得出点B 、C 的坐标，联立两直线的解析式成方程组，解方程组可得出点A 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据直线a 的解析式可求出点D 的坐标，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可得出结论；（4）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集．【解析】解：（1）依照题意画出图形，如图所示．（2）令y=x +2中y=0，则x +2=0，解得：x=﹣2， ∴点B （﹣2，0）；令y=﹣x +4中y=0，则﹣x +4=0，解得：x=4， ∴点C （4，0）；联立两直线解析式得：，解得：，∴点A（1，3）．S△ABC=BC•y A=×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x+2中x=0，则y=2，∴点D（0，2）．S四边形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x＜1时，直线a在直线b的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集为x≤1；当x＞4时，直线b在x轴的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集为x≥4．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）画出函数图象；（2）找出点A、B、C的坐标；（3）利用分割图形求面积法求出面积；（4）根据函数图象的上下位置关系解不等式．举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，∴．解得，∴点C （3，2）；（3）根据图象可得x ＞3．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h 后血液中的含药量最高，达每升6mg ，接着逐步衰减，10h 后血液中的含药量为每升3mg ，每升血液中的含药量y mg 随时间x h 的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4mg 或4mg 以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令y ≥4，分别求出x 的取值范围，便可得出这个药的有效时间．【答案与解析】解：(1)由图知，x ≤2时是正比例函数，x ≥2时是一次函数．设x ≤2时，y kx =，把(2，6)代入y kx =，解得k ＝3， ∴ 当0≤x ≤2时，3y x =．设x ≥2时，y k x b '=+，把(2，6)，(10，3)代入y k x b '=+中，得26103k b k b '+=⎧⎨'+=⎩，解得38274k b ⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即32784y x =-+．当y ＝0时，有327084x =-+，18x =． ∴ 当2≤x ≤18时，32784y x =-+．(2)由于y ≥4时在治疗疾病是有效的，∴ 34327484x x ≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得42233x ≤≤．即服药后43h 得到223h 为治病的有效时间，这段时间为224186()333h -==．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线1l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 关于y 轴对称，且与x 轴交于点C ．已知直线1l 的解析式为4y x =+．(1)求直线2l 的解析式；(2)D 为OC 的中点，P 是线段BC 上一动点，求使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标．【答案与解析】解： (1)由直线4y x =+可得：A(－4，0)，B(0，4)∵ 点A 和点C 关于y 轴对称，∴ C(4，0)．设直线BC 解析式为：y kx b =+，则4004b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩． ∴ 直线BC 解析式为：4y x =-+．(2)作点D 关于BC 对称点D ′，连结PD ′，OD ′．∴ PD DP '=，∴ OP ＋PD ＝PD ′＋OP ． ∴ 当O 、P 、D ′三点共线时OP ＋PD 最小．∵ OB ＝OC ，∴ ∠BCO ＝45°，∴ ∠D CO '＝90°，∴ (4,2)D '，∴ 12OD y x '=．由124y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 得8343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 当点P 坐标为84,33⎛⎫⎪⎝⎭时，OP ＋PD 的值最小．【总结升华】(1)由直线1l 的解析式得到A 、B 点的坐标，进一步得到C 点的坐标，然后利用B 、C 两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线8y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，过B 作BD ⊥AB 交y轴于D ．(1)求直线BD 的解析式；(2)若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ．请判断线段AC 与CE 的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线8y x =-+可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA ＝OB ＝8，∠ABO ＝45°． ∵ BD ⊥AB ，∴ ∠DBO ＝45°，△ABD 为等腰直角三角形．∴ OD ＝OA ＝8，D 点坐标为(0，－8)．设BD 的解析式为y kx b =+． ∵ 过B(8，0)，D(0，－8) ∴ 808k b b +=⎧⎨=-⎩，解得18k b =⎧⎨=-⎩．∴ BD 的解析式为8y x =-(2)AC ＝CE ；过点C 作CM ⊥AB 于M ，作CN ⊥BD 于点N ． ∵ BC 为∠ABD 的平分线， ∴ CM ＝CN ．∵ ∠ACE ＝90°，∠MCN=90° ∴ ∠ACM ＝∠ECN ．在△ACM 和△ECN 中90,AMC ENC CM CN ACM ECN ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩°, ∴ △ACM ≌△ECN(ASA)． ∴ AC ＝CE ．。

浙教版数学八年级上71《常量和变量》ppt课件

04 常量与变量的实际意义
生活中的常量与变量
总结词
生活中的常量与变量无处不在，它们影响着我们的日常生活和决策。
详细描述
在日常生活中，有些事物是固定不变的，如地球的周长、光速等，这些被称为常量。而有些事物则随着时间、环境或其他因素的变化而变化，如温度、价格、距离等，这些被称为变量。了解和区分常量与变量有助于我们更好地理解和预测事物的发展趋势。
常量与变量的转换
在编程中，有时需要将常量转换为变量或将变量转换为常量。例如，在数学运算中，有时需要将常数作为变量参与运算，或者将变量表示的值赋给常量。
转换过程可以通过赋值语句或函数调用实现。例如，在Python中，可以使用赋值语句将常量值赋给变量，如 `x = 5`；同样地，也可以将变量的值赋给常量，如 `const_pi = 3.14159`。
常量和变量
contents
目录
• 常量和变量的定义 • 常量和变量的应用 • 常量和变量的关系 • 常量与变量的实际意义 • 常量与变量的总结与思考
01 常量和变量的定义
常量的定义和特性
定义
常量是在程序运行过程中其值不能被改变的量。
特性
常量的值是固定的，一旦被定义后就不能再被修改。常用于表示一些固定不变的数值，如数学常数、物理常数等。
的准确性和实用性至关重要。
05 常量与变量的总结与思考
常量与变量的意义和作用
常量
在程序运行过程中，其值不会改变的量。常量的作用是提供固定的值，以便在程序中进行计算和比较。
变量
在程序运行过程中，其值可以改变的量。变量的作用是存储数据，以便在程序中进行修改和引用。
常量与变量的关系和转换
要点一

八年级数学上册知识点归纳：常量与变量

八年级数学上册知识点归纳：常量与变量八年级数学上册知识点归纳：常量与变量自变量的取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体叫做函数的自变量的取值范围.对于一个确定的函数关系式，自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义.四、函数值函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，另外一个变量与之对应的一个值.五、函数的表示方法在表达变量之间关系时，图像法、列表法和解析法是表达变量之间关系的重要方式：1.图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法.优点：可以直观、形象地把函数关系表示出来，从图象中函数的性质一目了然地看出来.缺点：由图象只能观察出函数近似的数量关系. 2.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系，这种表示函数的方法叫做列表法.优点：能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值.缺点：它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映函数变化的全貌.3.解析法：用自变量x的各种运算构成的式子表示函数y的方法叫做解析法.优点：简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表和画图象，进而研究函数的性质；缺点：有些函数无法写出解析式，只能通过列表或画图象来表示.【变量间的关系考点分析】变量之间的关系与其它联系密切，应用广泛，因而成为中考热点之一，是历来中考数学的重点和热点，考查这部分以填空题、选择题、解答题等形式出现.既有对函数基本知识的考查，也有函数的综合题目.跨越了代数、几何、等多个知识点，囊括了整个初中数学知识和重要的思想方法.特别是近几年涌现出大量设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放探索题以及函数应用题.这就要求同学们要注重生活实际，善与思考和分析，活用数学知识，学会把实际问题转化为数学问题，注重数学思想方法来解决实际问题．复习本考点主要集中于基本概念、写变化关系式、观察图象获取信息的能力以及学生对自变量与因变量的概念的理解，来考查通过对表达变量之间关系的正确理解，来书写变量之间关系的表示方法；考查学生会阅读图象获取有用信息，弄请图象反映的是哪两个变量之间的关系，用数学语言加以合理地表达；考查学生通过对表达变量之间关系的正确理解，来书写变量之间关系的表示方法.考查学生会阅读图象获取有用信息，弄请图象反映的是哪两个变量之间的关系，用数学语言加以合理地表达.考查学生用表格分析数据关系的能力.能从中提炼信息，发现规律，归纳出一般性的结论，从而解决实际问题.【变量间的关系知识点误区】解题中出现错误是难免的，但必须弄清产生错误的原因，掌握正确的解题方法．1．概念混淆有些同学往往将自变量当成因变量，同时对变化趋势表述不准确．2．忽视书写要求有些同学在写出的变化关系式中往往出现以下错误：未分清自变量；写成方程的形式，没有把因变量单独放在等式的左边，自变量与常量放在等式的右边．3．忽视横、纵轴的意义在解关于坐标系的问题时，未弄清横、纵轴表示的意义，从而得出了与答案相反的结论.4．注意两种图象的区别公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5km，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．（1）在小明所走的路程与骑车用去的时间这两个变量中，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）设小明出发x小时后，离A站的路程为ykm，请写出y与x之间的关系式．（3）小明在上午9时是否已经经过了B站？（4）小明大约在什么时刻能够到达C站？ma满分网如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm．当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量是，因变量是．（2）梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式为．（3）当梯形的高由l0cm变化到1cm时，梯形的面积由cm2变化到cm2．已知等腰三角形的顶角为x度，底角为y度，那么底角度数y与顶角度数x之间的关系式是，其中自变量是，因变量是．在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：ma满分网（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值：ma满分网（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？（3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加______cm．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额（元）随橘子卖出质量（千克）的变化的有关数据：ma满分网（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当橘子卖出5千克时，销售额是多少？（3）估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：ma满分网（1）时间是8分钟时，水的温度为；（2）此表反映了变量和之间的关系，其中是自变量，是因变量；（3）在时间内，温度随时间增加而增加；时间内，水的温度不再变化．2012年1-12月某地大米的平均价格如下表所示，其中自变量是，因变量是；当自变量等于时，因变量的值最小．ma满分网在正方形的面积公式S=a2中，随a的增大，S也，其中自变量是，因变量是．公路上一辆汽车以50km/h的速度匀速行驶，它行驶的时间与路程这两个量中，是自变量，是因变量．。

5.1 常量与变量八年级上册数学浙教版

第5章一次函数
5.1 常量与变量
学习目标
1.通过实例体验在一个过程中有些量固定不变，有些量不断地变化.
2.了解常量、变量的概念，体验在一个过程中常量与变量相对地存在.
3.会在简单的过程中辨别常量与变量.
知识点常量、变量的概念重点
定义
举例
常量
在一个过程中，固定不变的量称为常量.
在圆周长的计算公式中，是常量，是变量.
典例已知的底边的长为，边上的高为，的面积为，则 .在下面三种情况下，试说出常量与变量：字母不等于变量，字母表示一固定值时，就是常量
变量
在一个过程中，可以取不同数值的量称为变量.
注意（1）在一个过程中，可以出现多个变量和常量；（2）变量与字母的指数无关，如中，，是变量，而不能说，是变量.
敲黑板变量与常量是相对而言的，判断变量与常量的前提是“在某一过程中”，因为同一个量在某一过程中是常量，而在另一过程中可能就是变量，所以变量与常量是由问题的条件决定的.如在中，当一定时, ，是变量, 是常量；当一定时， , 是变量，是常量.
（1）面积一定；
解：当面积一定时，，是常量，，是变量.
（2）底边长一定；
当底边长一定时，是常量，，是变量.
（3）高一定.
当高一定时，是常量，，是变量.
本节知识归纳

浙教八上数学期末复习五一次函数概念、图象及性质

期末复习五一次函数概念、图象及性质必备知识与防范点一、必备知识1．设有两个变量，如果对于x 的的值，y 都有的值．那么就说y 是x 的函数，x 叫做．表示函数的三种方法：、、．2．函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）叫做．当b ＝0时，函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）叫做，常数k 叫做比例系数．3．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条．（1）k>0，b>0，图象经过、、象限；（2）k>0，b<0，图象经过、、象限；（3）k<0，b>0，图象经过、、象限；（4）k<0，b<0，图象经过、、象限；4．一次函数y ＝kx ＋b ，当k>0时，y 随着x 的增大而；当k<0时，y 随着x 的增大而．二、防范点1．同一题求解析式时有两个一次函数，要区别k 1，k 2.2．求自变量取值范围时，注意题中隐含的条件；画出实际问题的图象时注意自变量的取值范围．3．函数增减性问题遇到k 不确定，应分类讨论．例题精析知识点一函数及一次函数概念例1 （1）（云南中考）函数y ＝21 x 的自变量x 的取值范围为（） A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ≤2 D ．x ≠2（2）已知y ＝（m －3）xm －2＋1是一次函数，则m 的值是．【反思】对于（1）（2）求自变量取值范围主要考虑分母不为零，根号内为非负数等，但在求解过程中也应注意题中的隐含条件．（3）（重庆中考）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A 地到B 地，乙驾车从B 地到A 地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y （千米）与甲出发的时间x （分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A 时，甲还需分钟到达终点B ．（4）（阜新中考）如图1．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，动点P 从点B 出发，沿B →C →D →A 的方向运动，到达点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 与x 的函数图象如图2所示，那么AB 边的长度为．【反思】对于（3），利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．对于（4），通过读图、分析，能根据图形求得BC ，CD ，DA 的值是解题的关键．知识点二求一次函数解析式例2 （1）已知直线y=kx （k ≠0）经过点（-2，4），那么该直线的表达式为；若该直线向右平移3个单位，则得到的直线表达式为．【反思】对于（1），根据待定系数法得出正比例函数解析式，再根据“左加右减”的原则解答．（2）已知y －4与x 成正比例，且当x ＝6时，y ＝－4.①求y 与x 的函数关系式；②设点P 在y 轴上，若（1）中函数的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且以A 、B 、P 为顶点的三角形面积为9，试求点P 的坐标．【反思】对于（2）,△ABP 的面积以BP 为底，OA 为高较为简便，注意P 有两解．知识点三一次函数的图象例3 （1）点P 是直线y=-x+4上一动点，O 为原点，则线段OP 的最小值为 .（2）已知函数y=（2m+1）x+m-3，若这个函数的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是 .（3）已知一次函数y=-21x+2，当1≤x ≤4时，y 的最大值是 .（4）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y=21x+b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是 .【反思】对于（1），利用点到直线之间，垂直线段最短找出点P 的位置是解题的关键，面积法求长度是常用方法．对于（2），当k ＞0，b ＜0时，函数的图象经过一三四象限是解答此题的关键，注意不经过第二象限，这时b ≤0. 对于（3），k ＜0，y 随x 的增大而减小是解题的关键，故x=1时y 取最大值．对于（4），用动态观点来分析图形，直线y=21x+b 平移，过C （2，2）时b 最大，过B （3，1）时b 最小.知识点四一次函数的性质例4 点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x ＋3图象上的两点，且x 1<x 2，则y 1，y 2的大小关系是（）A ．y 1>y 2B ．y 1>y 2>0C ．y 1<y 2D ．y 1＝y 2【反思】函数y ＝－4x ＋3中，由于k<0，所以y 随x 的增大而减小，x 1<x 2，所以y 1>y 2.他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A 品牌手表x 块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y 元．（1）试写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？【反思】用一次函数的性质可以解决实际问题中的最值问题，往往根据题意把利润y 表示成x 的一次函数，再根据比例系数k 的取值及自变量x 的取值范围，确定利润y 的最小值或最大值．校内练习1．两个一次函数y1＝mx ＋n ，y2＝nx ＋m ，它们在同一坐标系中的图象可能是（）2. 已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜03. 如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．（1）点C的坐标是；（2）将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段AC扫过的面积为．4．已知一次函数y＝（4m＋1）x－（m＋1），（1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）m为何值时，直线位于第二，三，四象限？（3）m为何值时，直线不经过第一象限？5．已知y1与x成正比例，y2与x＋2成正比例，且y＝y1＋y2，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝7，求y与x之间的函数关系式．6．如图，直线y＝kx＋4与y轴交于点A.（1）直线y＝－2x＋1与y轴交于点C，与直线y＝kx＋4交于点B，且点B的横坐标为－1.①求点B的坐标及k的值；②求△ABC的面积；（2）若直线y＝kx＋4与x轴交于点E（a，0），且－2＜a＜－1，求k的取值范围．答案期末复习五一次函数概念、图象及性质【必备知识与防范点】一、1. 每一个确定唯一确定自变量解析法列表法图象法2. 一次函数正比例函数3. 直线（1）一二三（2）一三四（3）一二四（4）二三四4. 增大减小【例题精析】例1 （1）D （2）－3 （3）78 （4）6例2 （1）y=-2x y=-2x+6 （2）①y ＝－34x ＋4； ②（0，10）或（0，－2）．例3 （1）22 （2）-21＜m ≤3 （3）23 （4）-21≤b ≤1 例4 A例5 （1）y ＝（900－700）x ＋（160－100）×（100－x ）＝140x ＋6000. 由700x ＋100（100－x ）≤40000，得x ≤50. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝140x ＋6000（0＜x ≤50）；（2）令y ≥12600，即140x ＋6000≥12600，解得x ≥47.1.又∵x ≤50，∴经销商有以下三种进货方案：50＋6000＝13000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．【校内练习】1—2. BA3. （1）（1，4）（2）164. （1）m<－41；（2）－1＜m ＜－41；（3）－1≤m ＜－41. 5. 设y 1＝kx ，y 2＝m （x ＋2），∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝kx ＋m （x ＋2），当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝7，可得方程组：4＝2k ＋4m ，7＝－k ＋m ，解得：k ＝－4，m ＝3，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝－x ＋6.6. （1）①当x ＝－1时，y ＝－2x ＋1＝2＋1＝3，则点B 的坐标为（－1，3）；把B （－1，3）代入y ＝kx ＋4得－k ＋4＝3，解得k ＝1；②当x ＝0时，y ＝x ＋4＝4，则A （0，4）；当x ＝0时，y ＝－2x ＋1＝1，则C （0，1），所以三角形ABC 的面积＝21×（4－1）×1＝23. （2）2＜k ＜4。

2021-2022 浙教版八上一次函数 5.1、常量与变量同步梳理

1．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
声速/m/s
318
324
330
336
342
348
下列说法错误的是（）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为 20℃时，声音 5s 可以传播 1740m
C．V、R 是变量，、π为常量
D．以上都不对
6．一本笔记本 5 元，买 x 本共付 y 元，则 5 和 y 分别是（）
A．常量，常量
B．变量，变量
C．常量，变量
D．变量，常量
7．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度 y（cm）最长为 20cm，与所挂物体重量 x（kg）间有
下面的关系．
x
0
1
2
3
4
…
y
C．π，R
D．S，R
【考点】常量与变量．菁优网版权所有
【分析】在圆的面积计算公式 S＝πR2 中，π是圆周率，是常数，变量为 S，R．【解答】解：在圆的面积计算公式 S＝πR2 中，变量为 S，R．
D．速度 v、时间 t、路程 s 都是常量
14．半径是 r 的圆的周长为 C＝2πr，下列说法正确的是（）
A．C，r 是变量，2π是常量
B．C 是变量，2，r 是常量
C．C 是变量，π，r 是常量
D．C，π是变量，2 是常量
15．在进行路程 s、速度 v 和时间 t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正
B．所挂物体为 6kg，弹簧长度为 11cm

浙教版数学八年级上册《5.1常量与变量》说课稿1

浙教版数学八年级上册《5.1 常量与变量》说课稿1一. 教材分析浙教版数学八年级上册《5.1 常量与变量》这一节主要介绍常量和变量的概念。

教材通过生活中的实例，让学生感受常量和变量的存在，进而引导学生探究常量和变量的数学定义。

本节课的内容是学生学习函数的基础，对于学生理解函数的实质，以及后续学习一次函数、二次函数等函数知识具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式等基础知识，对于生活中的变化和规律有一定的认识。

但是，对于数学中的常量和变量概念，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将以生活中的实例为导入，引导学生感受常量和变量的存在，再逐步引入数学定义，帮助学生理解和掌握常量和变量的概念。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解常量和变量的概念，能够正确地识别常量和变量。

2.过程与方法目标：通过生活中的实例，培养学生从实际问题中抽象出常量和变量的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解常量和变量的概念，能够正确地识别常量和变量。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出常量和变量的概念。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、问题教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的一些实例，如气温变化、商品价格变动等，让学生感受常量和变量的存在。

2.新课导入：引导学生从实例中抽象出常量和变量的概念，给出常量和变量的数学定义。

3.实例分析：通过一系列的实例，让学生进一步理解和掌握常量和变量的概念。

4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生理解常量和变量在数学中的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：常量：数值不变的量变量：数值可变的量八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行。

第5章一次函数基础讲义-浙教版八年级数学上册

一次函数基础责编：审核：辅导科目数学学生姓名授课老师上课课次授课日期班型教学目标1.了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法.2.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象.3.能结合图象讨论一次函数的基本性质，能利用这些性质分析和解决问题.知识梳理一、函数的相关概念1.变量与常量：在某一变化中，数值发生变化的量是变量，数值始终不变的量是常量.【注】（1）“变量”是可以变化的，而“常量”是已知数；（2）常量与变量不是绝对的，而是对“某一变化过程”而言的，同一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中可能是变量.2.变量与函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数.【注】函数体现的是一个变化过程，在这一变化过程中，要着重把握以下两点：（1）只能有两个变量；（2）对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一的函数值（y值）与之对应；（3）对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应.1.在圆的面积计算公式S=πr²中，变量是__S、r______，常量是__π______.2.下列式子中，y 是x 的函数的有__1、2、4、6、7、8________.3.下列函数中与表示同一函数的是（D ）A. B. C. D.二、函数的表示1.函数的表示方法一共有如下三种：（1）列表法：把自变量x 的一系列值与函数y 的对应值列成一个表的方法.（2）解析法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的方法，是描述函数的常用方法，这个式子叫做函数解析式. 【注】①函数关系式是等式.②通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数.③函数关系式在书写时有顺序性.求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含有x 的代数式.（3）图像法：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么平面内由这些点组成的图像，就是这个函数的图像. 2.描点法画函数图像的一般步骤：x y =x y =xx y 2=2)(x y =33x y =3.三种表示方法的特点表示方法优点缺点总结解析式法简单明了，能准确反映整个过程中自变量与函数的关系不直观，有些函数关系不一定能用解析式法表示出来表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为解决问题，需要同时使用几种方法列表法一目了然，使用方便对应值有限，不易看出自变量与函数的对应规律图像法形象直观，能明显表示变化趋势不易看出自变量与函数的对应值4.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（A ）.A.弹簧不挂重物时的长度为0cmB.B.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量C.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cmD.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm5.下表是暑假旅游期间小南往家打长途电话的几次收费记录∶（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?（2）用x表示通话时间，用y表示电话费，请写出y与x的关系式;随着x的变化，y的变化趋势是什么?（3）你能帮小南预测一下，如果她打电话付了6元，则她大约打了多少分钟的电话?【答案】（1）反映了时间与电话费之间的关系；时间是自变量，话费是因变量.（2）y=0.6x，y随x增大而增大（3）10分钟6.从地面到高空11千米之间，气温随高度的升高而下降，每升高1千米，气温下降6℃，已知某处地面气温为23℃，设该处离地面x千米（0<x<11）处的温度y℃，则y与x的函数关系式为_y=23-6x_.7.下列曲线中不能表示y是x的函数的有（C）个.A.1B. 2C. 3D. 4三、自变量的取值范围函数自变量的取值范围是使函数有意义的自变量的取值全体.【注】（1）要使函数解析式有意义；（2）符合问题实际意义.8.判断下列式子中y 是否是x 的函数，如果是，请写出自变量x 的取值范围.（1）y=3x -5 是（2）2-x 1-x y =是（3）y ²=x 不是（4）y=|-3x| 是（5）|y|=-3x 不是（6）1x xy +=是（7）3-x 2-x y =是（8）3x y = 是四、一次函数1.正比例函数与一次函数的概念正比例函数：一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.一次函数：一般地，形如y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.当b=0时，y=kx+b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.【注】（1）一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）是一个等式，其左边是因变量y ，右边是关于自变量x 的整式.（2）一次函数中自变量的次数是1，且系数不等于0. （3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数. 2.待定系数法求一次函数解析式（1）待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法.（2）用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤【注】对于实际问题，在求出函数解析式后，在解析式的后面需根据要求标注自变量的取值范围（未要求标注可以不标注）.9.下列函数中，哪些是一次函数__1、3______. （1）51x -y += （2）x ²-y=1 （3）y=-2x -1 （4）x5-3y = （5）y=x ²-x+1 10.下列说法不正确的是（C ）.A.正比例函数是一次函数的特殊形式B.一次函数不一定是正比例函数C.y =kx ＋b 是一次函数D.2x-y=0是正比例函数11.已知1x 3-m y 2|-m |+=）（是一次函数，则m=___-3_____.12.一次函数y=-2x+b 的图像经过点（-2,3），则b=__-1____.13.已知∶y -4与x+1成正比例，并且当x=2时，y=1. （1）试求出y 与x 的函数解析式. （2）当y=-5时，求x 的值. 【答案】（1）y=3-x （2）x=8五、一次函数的图像与性质 1.正比例函数的图像与性质用描点法画函数图像（1）y=x ，y=2x ，x 21y =（2）y=-x ，y=-2x ，x 21-y =观察上面的图像，总结正比例函数图像特点.【总结】（1）图像：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图像是过原点（0,0）的一条直线.我们通常过点（0,0）和点（1，k ）（k 是常数，k ≠0）来画正比例函数图像.（2）性质：当k ＞0时，图像经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图像经过二、四象限，y 随x 的增大而减小. 2.一次函数的图像与性质在坐标系中画出y=x ，y=x+1，y=x -1的图像.【总结】（1）图像：一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图像也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.我们通常过点（0，b ）和点（kb-，0）来画一次函数图像. （2）性质：14.正比例函数y=kx 的图象经过二、四象限，则比例系数k 的值可以为（A ）. A.-3 B.0 C.1 D.3 15.下列各点中，在直线y=2x-3上的是（ C ）.A.（0,3）B.（1,1）C.（2,1）D.（-1,5）16.如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的解析式是（D ）.A.y=-2x+3B.y=x-3C.y=2x-3D.y=-x+317.对于函数x k1y 2（k 是常数，k ≠0）的图像，下列说法不正确的是（ C ）. A.图像是一条直线 B.图像经过点），（k1k C.经过一、三象限或二、四象限 D.y 随x 的增大而增大18.已知一次函数y=kx+b ，若k+b=0，则该函数的图像可能是（ A ）.。

浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题9 常量、变量、函数、一次函数》

浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题9常量、变量、函数、一次函数【知识梳理】函数是“数与代数”最重要的内容之一，也是初中数学的核心内容．它在实际问题及数学综合性问题中都有着极为广泛的应用．函数知识可以分为三个方面：1．函数的意义和表示法；2．函数关系式的建立；3．函数的性质及其运用．本专题知识点主要是常量与变量、函数的概念及函数表示方法、一次函数的概念及表达式．1．常量与变量在一个过程中，______________称为常量；可以取不同数值的量称为变量．注意：常量和变量是相对的．2．函数的概念及表示方法(1)函数的概念：在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的_________的值，y都有_________的值，那么就说y是x的_________，x叫做_________．(2)函数的表示方法：①_________；②_________；③_________．3．一次函数的概念(1)一般地，形如_________(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数．(2)当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做_________，常数k叫做_________．4．求一次函数表达式的方法可以_________法，按以下步骤进行：(1)设出一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.(2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．(3)解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．(4)把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．5．函数自变量的取值范围考虑自变量的取值范围必须使表达式有意义，当表达式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当表达式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当表达式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当表达式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义．【例题探究】【例1】函数y ＝2－x ＋1x －3中自变量x 的取值范围是()A ．x ≤2B ．x ＝3C ．x ＜2且x ≠3D ．x ≤2且x ≠3【思路点拨】要使函数y ＝2－x ＋1x －3有意义，应满足－x ≥0，－3≠0，解不等式组即可得出x 的取值范围．【例2】解决下列问题：(1)下列关系，不是函数关系的是()A ．y ＝x －1(x ≥1)B ．y ＝－x －1(x ≥1)C ．y ＝1－x (x ≤1)D ．y ＝±x －1(x ≥1)(2)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是()【思路点拨】本题的两个小题是从表达式和图象来判别y 是否是x 的函数．可以紧扣函数的概念来进行判断．【例3】已知函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)．(1)当m 取什么值时，y 是x 的正比例函数？(2)当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？【思路点拨】解：(1)根据正比例函数的定义可知，m ＋1≠0且m 2－1＝0，从而可求得m 的值；(2)根据一次函数的定义可知，m ＋1≠0，即可得出m 的取值范围．【例4】根据如图的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是7，则输出y 的值是－2．若输入x 的值是－8，则输出y 的值是()A ．5B ．10C ．19D ．21【思路点拨】把x ＝7代入y ＝－x ＋b 2，根据输出y 的值是－2可求得b 的值，再把x ＝－8代入y ＝－2x ＋b ，即可得出y 的值．【例5】大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x ，水位高度变量为y ，下列图象最符合故事情景的大致是()【思路点拨】由于原来水位较低，乌鸦沉思一会儿后才想出办法，说明在沉思的这段时间内水位没有变化，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，乌鸦喝水后的水位又逐渐降低，但不低于开始时的水位，由此即可作出判断．【例6】甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系，部分数据如下表所示．(1)求y与x(2)甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱．【思路点拨】(1)根据y与x为一次函数关系，可设y＝kx＋b，再将表格中的两组数据代入，用待定系数法即可求得函数关系式；(2)设经过t小时恰好装满第1箱，根据甲组生产的零件＋乙组生产的零件＝340列出方程，解方程即可求得t的值．【例7】《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：(1)(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，且6500<x≤14000，当月应缴纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少元？【思路点拨】(1)根据表格提供的所得税的计算方法分段计算即可；(2)分6500<x≤9500，9500<x≤14000两种情况分别求出y关于x的函数表达式；(3)先根据李先生应缴纳的个人所得税额，判断出x的取值范围，再代入相应的函数表达式，解方程即可得出答案．【答案解析】【知识梳理】函数是“数与代数”最重要的内容之一，也是初中数学的核心内容．它在实际问题及数学综合性问题中都有着极为广泛的应用．函数知识可以分为三个方面：1．函数的意义和表示法；2．函数关系式的建立；3．函数的性质及其运用．本讲知识点主要是常量与变量、函数的概念及函数表示方法、一次函数的概念及表达式．1．常量与变量在一个过程中，固定不变的量称为常量；可以取不同数值的量称为变量．注意：常量和变量是相对的．2．函数的概念及表示方法(1)函数的概念：在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．(2)函数的表示方法：①表达式法；②列表法；③图象法．3．一次函数的概念(1)一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数．(2)当b＝0时，一次函数y＝kx＋b就成为y＝kx(k为常数，k≠0)，叫做正比例函数，常数k叫做比例系数．4．求一次函数表达式的方法可以用待定系数法，按以下步骤进行：(1)设出一次函数表达式为y＝kx＋b，其中k，b是待确定的常数，k≠0.(2)把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y＝kx＋b，得到关于k，b的二元一次方程组．(3)解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值．(4)把求得的k，b的值代入y＝kx＋b，就得到所求的一次函数表达式．5．函数自变量的取值范围考虑自变量的取值范围必须使表达式有意义，当表达式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当表达式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当表达式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当表达式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义．【例题探究】【例1】函数y＝2－x＋1x－3中自变量x的取值范围是()A．x≤2B．x＝3C．x＜2且x≠3D．x≤2且x≠3【解题过程】由题意，－x≥0，－3≠0.解得x≤2．故选A.【方法归纳】函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数非负．【例2】解决下列问题：(1)下列关系，不是函数关系的是()A．y＝x－1(x≥1)B．y＝－x－1(x≥1)C．y＝1－x(x≤1)D．y＝±x－1(x≥1)(2)下列四个图象中，不表示某一函数图象的是()【解题过程】(1)在选项A中，对于自变量x在它的取值范围内每取一个确定的值(如x ＝5)，变量y都有唯一一个确定的值(如y＝2)与之对应，所以选项A中的关系式表示函数关系．用同样的方法可以确定选项B，C中的关系式也表示函数关系．而在选项D中，因为对于自变量x在它的取值范围内每取一个确定的值(如x＝5)，变量y都有两个确定的值(如y＝±2)与之对应，根据函数的概念，y不是x的函数．故选D.(2)自变量x在它的取值范围内取一个确定的值，过这个数对应的点作x轴的垂线，只有选项D与这条垂线有两个交点，即变量y有两个确定的值与之对应，根据函数的概念，y不是x的函数．故选D.【方法归纳】用关系式给出两个变量x，y之间的关系，关键是看变量x每取一个值时，变量y是否有唯一的值与其对应，若有，则y是x的函数；否则，y不是x的函数．【例3】已知函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)．(1)当m 取什么值时，y 是x 的正比例函数？(2)当m 取什么值时，y 是x 的一次函数？【解题过程】(1)∵函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)是正比例函数，∴m ＋1≠0且m 2－1＝0．解得m ＝1.(2)∵函数y ＝(m ＋1)x ＋(m 2－1)是一次函数，∴m ＋1≠0．解得m ≠－1.【方法归纳】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念．一次函数y ＝kx ＋b 要满足k ，b 为常数，k ≠0，自变量x 的次数为1，其中当b ＝0时是正比例函数．【例4】根据如图的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是7，则输出y 的值是－2．若输入x 的值是－8，则输出y 的值是()A ．5B ．10C ．19D ．21【解题过程】当x ＝7时，y ＝－7＋b 2＝－2，解得b ＝3.当x ＝－8时，y ＝－2×(－8)＋3＝19.故选C.【方法归纳】求函数值时，先要判断选用哪个表达式，再代入自变量x 的值求出y 的值．【例5】大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会儿后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x ，水位高度变量为y ，下列图象最符合故事情景的大致是()【解题过程】∵乌鸦在沉思的这段时间内水位没有变化，∴排除C；∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，∴排除A；∵乌鸦喝水后的水位应不低于开始时的水位，∴排除B；∴D正确．故选D.【方法归纳】本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求函数表达式来解决．【例6】甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系，部分数据如下表所示．x(小时)246y(件)50150250(1)求y与x之间的函数关系式．(2)甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱．【解题过程】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由表格中的数据知，当x＝2时，y＝50；x＝4时，y＝150.50＝2k＋b，150＝4k＋b.k＝50，b＝－50.∴y与x之间的函数关系式为y＝50x－50.(2)设经过t小时恰好装满第1箱，根据题意，得80t＋50t－50＝340，∴t＝3.答：经过3小时恰好装满第1箱．【方法归纳】本题考查一次函数的应用，运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是解题的关键．【例7】《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为全月纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：(1)(2)设王先生的月工资、薪金所得为x元，且6500<x≤14000，当月应缴纳个人所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．(3)已知李先生一月份应缴纳个人所得税为303元，那么他当月的工资、薪金所得为多少元？【解题过程】解：(1)张先生当月应缴纳个人所得税为1500×3%＋3000×10%＋500×20%＝445(元)．(2)当6500<x≤9500时，y＝1500×3%＋(x－5000－1500)×10%＝0.1x－605.当9500<x≤14000时，y＝1500×3%＋3000×10%＋(x－5000－4500)×20%＝0.2x－1 555.∴y x－615（6500<x≤9500），x－1555（9500<x≤14000）.(3)李先生一月份缴纳个人所得税为303元，故必有6500＜x≤9500，∴303＝0.1x－605，解得x＝9080.∴李先生当月的工资、薪金所得为9080元．【方法归纳】本题考查分段函数的求法及其应用，正确理解个人所得税的计算方法是解题的关键．。

浙教版数学八年级上册5.1《常量和变量》说课稿

浙教版数学八年级上册5.1《常量和变量》说课稿一. 教材分析《常量和变量》是浙教版数学八年级上册第五章第一节的内容。

本节课的主要内容是让学生理解常量和变量的概念，并掌握它们在数学表达式中的运用。

教材通过生活中的实例，引导学生认识常量和变量，并运用它们解决实际问题。

本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生形成数学概念，培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经初步掌握了代数的基本知识，对数学表达式有一定的认识。

但是，他们对常量和变量的概念可能还比较模糊，需要通过具体的实例来加深理解。

同时，学生可能对生活中的一些实际问题如何用数学来表示和解决还不太了解，需要教师的引导和启发。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解常量和变量的概念，掌握它们在数学表达式中的运用。

2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

四. 说教学重难点1.重点：理解常量和变量的概念，掌握它们在数学表达式中的运用。

2.难点：如何从实际问题中抽象出数学模型，运用常量和变量来表示和解决问题。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法。

同时，利用多媒体课件辅助教学，通过生动的实例和动画，帮助学生理解和掌握常量和变量的概念。

六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实际问题，引导学生思考如何用数学来表示和解决问题。

2.新课导入：介绍常量和变量的概念，并通过实例让学生理解它们在数学表达式中的运用。

3.案例分析：分析几个生活中的实例，让学生从中抽象出数学模型，并用常量和变量来表示。

4.小组讨论：让学生分组讨论，分享自己解决实际问题的方法和过程。

5.总结提升：对常量和变量的概念进行总结，引导学生理解它们在数学中的重要性。

6.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。

七. 说板书设计板书设计主要包括常量和变量的概念，以及它们在数学表达式中的运用。

八年级数学上册第七章一次函数：7.1常量与变量课件浙教版

2. AB∥MN,在直线 AB上有一动点C，在直线MN上有两定点M、N，在整个C 点的运动过程中，哪些是常量？哪些是变量？
A
C

B
M
N
在这个过程中，常量是：△CMN的面积和高，线段MN的长；变量是：线段CM、CN的长度。在上面两个问题的探索过程中，我们得特别注意全面地找到研究过程所存在的不变量和发生变化的量。
4.某山脚下的温度是15Ｃ0，向山上海拔升高100米，温度降低0.96C0,一批登山队员从山脚往上登山活动，他们上升的高度h米,在这一高度的温度TC0。这一问题中T与h的关系式 T=15-0.0096h 常量是________, T,h 为_____________. 15,0.0096变量是_________.
随着人们生活水平的提高，现在许多人生病住院为了享受一对一的服务，特别请用护工，小明为住院的爷爷请了护工，小明家付给护工的工资如下表：护工的工资是第一个小时15 元，以后每小时12元。
工作时间工资
1 15
2 27
3 39
4 51
… …

t
12t+3
（1）请回答护工的工资是怎样计算的？同时完成上表的空格。（2）护工的工资用w表示，请用t表示w, (3)请说出这个问题的不变量和变化的量。 (2)W=12t+3
（3）这个问题中12和3是不变量，w,t是变量。
上面我们讨论的三个问题中我们分别得到了：
(1)y=2x+8 (2)s=40t (3)w=12t+3
我们把在某个研究过程中保持不变的量叫常量，在发生变化的量叫变量。我们一起来试一试，相信你一定能正确地解决下面问题。 1.水果店橘子的单价为２.５元／千克，买m千克橘子的总 W=2.5m 价为w元，其中w与m的关系式为________________, 这个问题中常量是2.5 ____________;变量是 ____________. W, m ⒉圆周长Ｃ与圆的半径r之间的关系式是____________, C 2r 2和常量是__________, 变量是____________. C和r 3.小明与小林在相距10千米的A，B两地背向而行，小明的速度是12千米/时，小林的速度是15千米/时，他们的运动时间为t小时，两人之间的距离为s,那么在这个问题中S与 S=27t+10 常量是_______, 27和10 变量是________ t的关系式为_________, s和t

(完整版)八年级数学一次函数知识点总结

一次函数知识点总结一、函数1.变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

注：变量还分为自变量和因变量。

2.常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值．4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法．a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5.求函数的自变量取值范围的方法．（1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠0 。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6.求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值．7.描点法画函数图象的一般步骤如下：Step1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；Step2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；Step3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）．8.判断y是不是x的函数的题型A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y是x的函数；否则不是。

B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。

二、正比例函数1.正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，•其中k叫做比例系数。

初二数学一次函数知识点总结

初二数学一次函数知识点总结初二数学一次函数知识点总结数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等.下面是店铺整理的关于数学一次函数知识点总结，欢迎大家参考!一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的'是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

数学浙教版八年级上《一次函数》复习课件29页PPT

解析式。（3）求满足条件（2）的直线与直线y=﹣3x+1的交点坐标并求这两条直线与y轴所围成的三角形面积
例12、已知一次函数 y=（6+3m）x+n-4，求: （1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）n为何值时，函数图象与y轴交点在x轴的下方？
（3）m, n 分别为何值时，函数图象经过 (0，0). （4）若m=1，n=9时，当x为何值时，y≥0；
⑴当k>0时，图象过_一__、__三_象限；y随x 的增大而_增__大_。
⑵当k<0时，图象过_二__、__四_象限；y随x 的增大而_减__小_。
一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的增减性： ⑴当k>0时，y随x的增大而__增__大_____。 ⑵当k<0时，y随x的增大而__减__小_____。
函数的三种表达形式： 1、列表法 2、解析法
3、图象法
查一查
代一代
画一画
一次函数的概念：函数y=_k__x_＋__b_(k、b为常数，k__≠_０___)叫
做一次函数。当b_=__０__时，函数y=__k_x_(k_≠_０__) 叫做正比例函数。
★理解一次函数概念应注意下面两点：
⑴、解析式中自变量x的次数是__1_次，
Y（元） 250
150
50
乙
D
甲
B
甲
你从图象中可以得出哪些信息？
0 A C 40
80 X（千克）
例16、相同规格的饭碗整齐地叠放在桌上
（1）设整齐摆放在桌面上饭碗的高度为y (cm), 饭碗数为x (个),求 y与x之间的一次函数
解析式. （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞
饭碗的高度是多少？

《一次函数》知识总结

《一次函数》知识总结一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量；二、函数的概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．三、函数中自变量取值范围的求法：（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描点法画函数的图象的一般步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

）注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比例函数与一次函数的概念：一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.当b =0 时,y=kx+b 即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比例函数的图象与性质：（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。