二次函数图像与abc关系教案有课后作业
《二次函数的图象(第二课时)》参考教案
26.1.3 二次函数2()y a x h k=-+的图象第一课时教学目标1．知识与技能会作函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们的异同；理解a，c对二次函数图象的影响．能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．了解抛物线y=ax2上下平移规律．2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2＋c的图象的画法和性质的过程，增强对二次函数图象的理解，体会数形结合的思想与方法．.3．情感、态度与价值观进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，体会知识的转化、图象移动的理会，感受到数学数形之间转换的魅力．教学重点难点1．重点作出函数y=ax2和y=ax2＋c的图象，比较它们的异同，了解它们的性质．2．难点函数y=ax2＋c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆二次函数y=ax2的图象与性质．从而导人探求函数y=ax2＋c的图象导语二一个长方形的长为x（cm)，宽为12x（cm)，则这个长方形的面积s(cm2）与它的长x (cm）的关系如何？你能作出它的函数图象吗？这个图象与y=ax2的图象有哪些区别？【答案】y=12x2（x>0）它的图象只是抛物线的一部分，而y=x2的图象是一条抛物线.导语三比较函数y=x2与y=x2＋l中的系数有什么异同？猜想它们的图象有何关系？从而引人新课.（二）合作交流解读探究1．二次函数y=ax2+c的图象与性质【做一做】，在同一坐标系中，画出函数y=x2-1和函数y=x2+1的图象．教师在学生做完以后，可提供如下解答过程． 解：先列表x…-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x 2+1 …83-138…然后描点画图，如图26-1-5【想一想】抛物线y=x 2+1，y=x 2， y=x 2-1有哪些相同点和不同点 相同点：①开口方向相同，它们的开口都向上 ②对称轴相同，它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.不同点：顶点的位置不同，抛物线的位置也不同结合【议一议】三个函数的形状相同，从哪些方向可以看出？①用幻灯片展示，将抛物线y=x 2向上平移1个单位后抛物线y=x 2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置，在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况，从而可推断出抛物线y=x 2与y=x 2+1完全重合③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况，从而可以肯定抛物线y=x 2，y=x 2+1的形状、大小完全相同.【议一议】抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 有何联系？【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax 2的形状完全相同，只是位置不同.②抛物线y=ax 2c −−−−→向上平移个单位y=ax 2+c. y=ax 2c −−−−→向下平移个单位y=ax 2-c 【练一练】教科书P7练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表③抛物线2y=x 2向上平移k(k>0)个单位后抛物线2y=x 2+k 完全重合.（三）应用迁移巩固提高类型之一函数y=ax 2+c 的图象特征与性质的运用例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x 2+3 ，它是由抛物线y=-5x 2向上平移 3 个单位得到的.【分析】根据两抛物线的形状大小相同，开口方向相同，可确定a 的值，再根据顶点坐标（0，3），可确定c 的值，从而可判断平移方向.解：抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同，开口方向也相同，∴a=-5. 又∵其顶点坐标为（0，3）. ∴c=3.∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.【点评】①解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向，c 确定顶点的位置.②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位.（有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长）类型之二求二次函数的解析式例2若抛物线y=ax 2+c 经过点（-1，2），（0，4），求该抛物线的解析式【分析】抛物线经过点（-1，2），（0，4），那么这两点坐标满足函数关系式，故列方程组可求.解：由已知条件得22a (1)c 2a 0c 4⎧-+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得a 6c 4=⎧⎨=-⎩∴所求解析式为y=6x 2-4.【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ，故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标，列方程组可求出a 、c 的值例3 已知抛物线y=ax 2+c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2.试求a 、c 的值【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出.解：根据题意知，a 3c 22=-⎧⎨-=⎩，解得a 3c 4=-⎧⎨=⎩，【点评】可根据规律直接求出a 、c. （四）总结反思拓展升华【总结】本节所学知识是函数y=ax 2+c 的图象与性质以及抛物线y=ax 2上下平移规律. 所学的思想方法图象法、数形结合的思想.【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转1800，所得抛物线的解析式为y=-2x 2+3 【拓展】若抛物线y=ax 2+c 与y=-2x 2+5关于x 轴对称.求a 、c 的值. 【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6【点评】此类题通常画出草图，利用对称关系求出顶点坐标.进而求出a 、c 的值 （五）当堂检测反馈1.抛物线y=-2x 2-5的开口方向向下，对称轴是 y 轴，顶点坐标（0，-5）. 【分析】根据抛物线y=ax 2+c 的特征解答即可.2. 抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式 为 y=3x 2+1或y=-3x 2+1.解：∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同，故a=±3, 又∵其顶点坐标为（0，1），∴c=1. ∴所求抛物线y=3x 2+1或y=-3x 2+1【注意】两抛物线的形状相同时，它们的二次项系数的绝对值相等，故有两种情况3. 抛物线y=-212x +7向下平移 10 个单位后得到抛物线y=-212x -34. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ D ）A.y=2x 2与y=3x 2B. y=212x +2与y=2x 2+12C.y=2x 2与y=x 2+2D.y=x 2+2与y=-x 2-2， 【分析】根据a 的值相同判断即可5．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（B ）解：根据图象知，只有B中两个函数解析式中系数a 和c 的正、负情况保持一致.故选择B6．若抛物线y=ax 2+c 经过点A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式解：由已知得222(3)10a c a c ⎧=-+⎪⎨-=+⎪⎩，解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. ∴所求抛物线的解析式为y=13x 2-1ABD。
初中数学(人教版)九年级上册《系数a b c与二次函数图象的关系》优质教学设计
《系数a ，b ，c 与二次函数2y=ax bx c ++图象的关系》教学设计一、 教学内容分析通过前几节课的学习，学生对二次函数图象有了初步的认识，并且知道二次函数2y=ax bx c ++的图象是一条抛物线，抛物线的开口方向及大小由二次项系数a 的符号和大小决定，抛物线在直角坐标系中的位置由系数a ，b ，c 的值决定，a ，b 共同决定对称轴的位置，c 决定抛物线与y 轴的交点坐标位置，以及2b 4ac -，a+b+c ，a-b+c 的符号等.通过本节课的学习，让学生掌握：|a|相同的抛物线全等.a ，b 同号，抛物线的对称轴（或顶点）即直线x=2ab-在y 轴左侧；a ，b 异号，抛物线的对称轴（或顶点）即直线x=2ab-。
在y 轴右侧；当b=0时，抛物线的对称轴为y 轴.当c>0时，抛物线与y 轴交于正半轴；当c<0时，抛物线与y 轴交于负半轴；当c=0时，抛物线与y 轴交点为原点；c 相同的抛物线均过点（0，c ）.a ，b 相同的抛物线是以顶点为动点且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系.另外，二次项系数a 相同的二次函数图象可通过平移互相转化；a 互为相反数的二次函数图象一定关于x 轴对称.理解这两点对于学生而言比较难，是学生的思维生长点.二、 学情分析学生前面已经学习过二次函数的图象与性质，理解了二次函数的一般式2y=ax bx c ++中的系数a ，b ，c 对抛物线有一定的影响，但只是零散的认知，所以本节课有必要帮助学生梳理一下这方面的知识，让学生更加清晰地掌握三个系数是怎样来影响抛物线的. 三、 教学目标1.理解系数a ，b ，c 与二次函数图象的关系.2.已知二次函数图象，能确定系数a ，b ，c 的取值范围.3.已知二次函数图象，能确定与系数a ，b ，c 有关的代数式取值范围.4.能从给定二次函数的图象中准确提取信息，体会数形结合思想.重点难点能从二次函数的图象中获取信息，得出相关结论，体会数形结合思想.四、评价设计学习评价量表五、教学活动设计（2）任何一条抛物线y=ax²+bx+c与y轴总有交点（0，c），那么与x轴的交点情况是怎样的？2.对于二次函数y=ax²+bx+c 图象上的特殊点，还有几个点需要了解，请大家计算当自变量x取1，-1，2，-2时，对应的纵坐标的值.例2 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax²+bx的图象可能为例3 已知二次函数y=mx²+2(m-1)x+m+2，根据下列条件求m的值：（1）图象经过原点；（2）图象关于y轴对称；（3）图象的顶点在x轴上例4 请观察以下二次函数解析式，你能根据解析式得出与图象有关的哪些结论？（1）y=ax²；（2）y=x²-4x+a；（3）y=ax²-4ax+3a；（4）y=mx²-2mx+m+1；（5）y=x²-ax+1；（6）y=x²-（a+1）x+a.1.已知下列各抛物线y=ax²+bx+c，根据图象判断系数a，b，c及b²-4ac的取值范围.2.如图是二次函数y=ax²+bx+c图象的一部分，给出下列结论：①a+b+c=0；②b>2a；③b²-4ac>0；④c>0.其中正确的是 . （填序号）3.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x²+a的图象可能是（）4.已知二次函数y=x²+mx+m-4m²，根据下列条件求m的值.（1）图象经过原点；（2）图象关于y轴对称；（3）图象的顶点在x轴上.六、板书设计系数a ，b ，c 与二次函数2y=ax bx c ++图象的关系一、a ，b ，c 与抛物线2y=ax bx c ++的关系 1.二次项系数a 决定抛物线的开口方向. a>0⇔台抛物线开口向上； a<0⇔台抛物线开口向下.2.常数项c 决定抛物线与y 轴的交点位置.c>0⇔台抛物线与y 轴交于正半轴； c<0⇔抛物线与y 轴交于负半轴； c=0⇔抛物线经过原点.3.二次项系数a 与一次项系数b 共同决定对称轴的位置. a ，b 同号台⇔2ab-<0⇔与对称轴在y 轴左侧; a ，b 异号台⇔2ab->0⇔对称轴在y 轴右侧; b=0⇔2ab-=0⇔台对称轴为y 轴. 4.一元二次方程2ax bx =0c ++根的判别式△=2b 4ac -的值决定抛物线y=2ax bx =0c ++与x 轴的交点情况.2b 4ac ->0⇔抛物线与x 轴有两个交点；2b 4ac -=0⇔抛物线与x 轴有一个交点（抛物线顶点在x 轴上）; 2b 4ac -<0⇔抛物线与x 轴没有交点. 二、记清抛物线上的几个特殊点（1， a+b+c ），（-1，a-b+c ），（2，4a+2b+c ），（-2，4a-2b+c ）.七、达标检测与作业A级1.抛物线y=ax²+bx+c与y=3-2x²的形状完全相同，只是位置不同，则a= .2.已知下列各抛物线y=ax²+bx+c，根据图象判断系数a，b，c及b²-4ac的取值范围.3.二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，根据图象得：a-b+c 0.（填“＞”“＜”或“＝”）4.已知抛物线y=ax²+bx+c在直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A.a>0B.b<0C.c<0D.a+b+c>o5.如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac<0；②a+b=0；③4ac-b²>0，④a+b+c<0，其中正确的是 .（填序号）6.二次函数y=ax ²+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c>0；④4ac-b ²>0中，其中正确的是 .（填序号）B 级7.已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=2ax bx c ++，它们在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）8.如图所示是二次函数y=2ax bx c ++图象的一部分，图象过点A （-3，0），对称轴为x=-1，给出四个结论：①2b >4ac ；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a<b ，其中正确的是 .（填序号）9.已知抛物线y=2ax bx c ++，根据下列条件判断a ，b ，c ，2b 4ac -的取值范围.（1）若抛物线的顶点是原点，则 ；（2）若抛物线经过原点，则 ；（3）若抛物线的顶点在y 轴上，则 ；（4）若抛物线的顶点在x 轴上，则 .10.二次函数y=2ax bx +（a>0，b>0）的图象经过第 象限.11.已知抛物线y=23x -3kx+k+42，根据下列条件求k 的值. （1）图象经过原点；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象的顶点在x 轴上.C 级12.已知二次函数y=2x ax+b +，若a+b=0，则它的图象必经过点（ ）A.（-1，-1）B.（-1，1）C.（1，1）D.（1，-1）13.在直角坐标系xO 中，抛物线y=21x -x+22与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称.（1）求直线BC 对应的函数解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4.将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （t>0）个单位长度后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围八、教学反思通过前几节课的学习，学生对于系数a ，b ，c 对二次函数2y=ax bx c ++图象的影响已经有了一些认识，本节课带领同学们进行了梳理，让学生进一步体会二次函数2++图象的位置及形状与系数a，b，c之间有很大的关系，以及y=ax bx c数形结合思想在函数研究中的决定性作用.著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，寥寥数语把数形结合之妙说得淋漓尽致.如给定一条抛物线，其顶点坐标、对称轴、开口方向、在y轴上的截距、与x轴的交点等，都可以从图象上大致读出，但是要具体知道交点坐标还得通过解方程计算出来.本节课关注学生知识结构的构建，从已有知识出发，循序渐进，逐步架构起完整的知识体系，使学生通过二次函数图象能够读出一些信息，得到一些结论，反之知道系数或有关系数的代数式的符号也能大概确定图象的位置，由此进一步体会数形结合的思想.在本节课的“环节4”中，给出了例4这样一个开放性的问题，让学生体会“变中有不变”的思想，抓住问题最本质的东西，从而快速地解决问题，而且在这个过程中学生会逐渐学会一些程序化的操作，也就拥有了解决问题的办法教师作为引导者，课堂上尽管给了学生充足的思考时间，但还没有完全放开比如，在“提出问题”环节，可以让学生给出各种问题形式，而不是由老师给出例题.在最后解答例4时，应引导学生进行充分的讨论交流等.。
人教版函数系数a、b、c与图像的关系优质教案共两篇
人教版函数系数a、b、c与图像的关系优质教案共两篇二次函数系数a、b、c与图像的关系一、首先就y=ax+bx+c（a≠0）中的a，b，c对图像的作用归纳如下：1、a的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a 决定张口的大小：∣a∣越大，抛物线的张口越小．2、b的作用：b和a与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b与a同号，说明，则对称轴在y轴的左边；b与a异号，说明，则对称轴在y轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y轴．3、c的作用：c决定了抛物线与y轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c）c > 0 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴；c 特别的，c = 0，抛物线过原点．4、a，b，c共同决定判别式的符号进而决定图象与x轴的交点5、几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y 当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y 扩展：x=2，y=4a+2b+c ；x= -2，y=4a-2b+c ；x=3， y=9a+3b+c ；x= -3，y=9a-3b+c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴; 判别式……等等）的符号二、经典例题讲解例1 已知二次函数的图像如图，则a、b、c满足（）A．a 0 ；B．a C． a 0，c > 0 ；D．a > 0，b 0 ；例2如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①②③④，则a， b， c， d的大小关系是．A．a > b > c > d B．a > b > d > cC．b > a > c > d D．b > a > d > c例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤练习1. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2- 4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2- 4ac＞0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2- 4ac＞03.已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0，②b2- 4ac＞0，③a-b+c=0，④a+b+c ＞0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．\其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A．ac＜0 B．x＞1时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0 D．方程ax2+bx+c=0的根是=-1，=3能力提升已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：① abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：① b2- 4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质（第6课时）用配方法求顶点式主备课：张云春【一】、学习目标:1、配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴，并画出图象。
二次函数图像与 a b c的关系学案及答案
二次函数图像及性质知识总结二次函数概念：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）的函数，叫做二次函数 定义域（x 的取值范围）：全体实数，图像是抛物线二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）与a,b,c 的关系1）a 决定抛物线的开口（1）a 的符号决定开口_________①a >0⇔②a<0⇔（2）a 决定开口_________a 越大，开口越______2）a,b 决定对称轴x=ab 2-的位置（ ） ⑴a b 同号⇔⑵a b 异号⇔（3）b=0⇔3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置当x=0时，y=0+0+c ，抛物线与y 轴交点（0，c ）（1）c>0⇔（2）c<0⇔（3）c=0⇔4）∆ 决定抛物线与x 轴交点的个数当y=0时，ax 2＋bx ＋c=0，抛物线与x 轴交点转化为一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0解的个数问题（1）∆>0⇔（2）∆<0⇔ （3）∆=0⇔⎪⎩⎪⎨⎧321若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点A 、B ，线段AB 的长是5） A(X 1,y 1 )，B （x 2，y 2）是抛物线上两点，且关于对称轴x=ab 2-对称 （1）纵坐标（2）横坐标6） y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）关于y 轴对称的二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）关于x 轴对称的二次函数：7） y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像必经过的特殊点：（1， ） （-1， ）（2， ） （-2， ）8）2a+b 、2a-b 的符号确定方法是观察函数图像中对称轴x=ab 2-与1和-1的大小 在同一个平面直角坐标系中求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y=kx+m 的交点个数的判断方法：①将两个函数解析式联立成方程组⎩⎨⎧+=++=m kx y c bx ax y 2 ②消去y ：m kx c bx ax +=++20)(2=-+-+m c x k b ax ③利用 判断⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆000二次函数图像及性质知识总结二次函数概念：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）的函数，叫做二次函数 定义域（x 的取值范围）：全体实数，图像是抛物线二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）与a,b,c 的关系1）a 决定抛物线的开口（2）a 的符号决定开口_方向___①a >0⇔ 开口向上②a<0⇔开口向下（2）a 决定开口____大小_____a 越大，开口越__小____2）a,b 决定对称轴x=ab 2-的位置（ 左同右异 ） ⑴a b 同号⇔对称轴在y 轴左侧⑵a b 异号⇔对称轴在y 轴右侧（3）b=0⇔对称轴是y 轴3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置当x=0时，y=0+0+c ，抛物线与y 轴交点（0，c ）（1）c>0⇔抛物线与y 轴交于正半轴（交于x 轴上方）（2）c<0⇔抛物线与y 轴交于负半轴（交于x 轴下方）（3）c=0⇔抛物线过原点（0，0）4）∆ 决定抛物线与x 轴交点的个数当y=0时，ax 2＋bx ＋c=0，抛物线与x 轴交点转化为一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0解的个数问题（1）∆>0⇔抛物线与x 轴两个交点（2）∆<0⇔抛物线与x 轴没有交点（3）∆=0⇔⎪⎩⎪⎨⎧03x 2x 1抛物线顶点的纵坐标为轴上抛物线的顶点在轴一个交点抛物线与若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点A 、B ，线段AB 的长是5） A(X 1,y 1 )，B （x 2，y 2）是抛物线上两点，且关于对称轴x=a b 2-对称 （1）纵坐标相等 y 1 =y 2（2）横坐标X 1+x 2=ab -8） y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）关于y 轴对称的二次函数：y ＝ax 2-bx ＋cy ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）关于x 轴对称的二次函数： y ＝-ax 2-bx-c9） y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像必经过的特殊点：（1，a+b+c ） （-1， a-b+c ）（2， 4a+2b+c ） （-2， 4a-2b+c ）8）2a+b 、2a-b 的符号确定方法是观察函数图像中对称轴x=ab 2-与1和-1的大小 在同一个平面直角坐标系中求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y=kx+m 的交点个数的判断方法：①将两个函数解析式联立成方程组⎩⎨⎧+=++=m kx y c bx ax y 2 ②消去y ：m kx c bx ax +=++20)(2=-+-+m c x k b ax ③利用 ∆ 判断⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆点两个函数的图像没有交交点两个函数图像只有一个点两个函数图像有两个交000。
二次函数的图象与系数a,b,c的关系(教案 教学设计)
设计一、复习导入复习提问：1.二次函数的图象是一条；2.二次函数的一般式；3.二次函数的对称轴。
一般式中的系数a,b,c与图象的联系？二、知识归纳（一）a,b,c 与图象的联系1.a的值与图象的联系a>0,开口向上；a<0,开口向下。
∴a的值决定抛物线的开口方向2.c的值与图象的联系C=0,经过原点；c>0,与y轴交于正半轴；C<0,与y轴交于负半轴。
∴c的值决定抛物线与y轴的交点情况3.a,b的值与图象的联系a,b出现在对称轴，二次函数的对称轴：直线x=ab2-对称轴为直线x=0（y轴），02=-ab，b=0；对称轴在y轴左侧，02<-ab，a，b同号；对称轴在y轴右侧，02>-ab，a，b异号.∴a,b的值决定了对称轴的位置。
练习（平板出题，平板上作答上传）（二）b²-4ac与图象的联系b²-4ac=0，函数图象与x轴有一个交点；b²-4ac>0，函数图象与x轴有两个交点；b²-4ac<0，函数图象与x轴无交点.练习（3min，平板推送选择题）三、练习设计突破练习：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，判断下列说法是否正确。
1.ac<0 （）2.b<0 （）3.b²-4ac<0 （）4.a+b+c<0 （）（2019 益阳）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0，②b-2a<0，③b²-4ac<0，④a-b+c<0，正确的是（）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④（2020 常德）二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b²-4ac>0；②abc<0；③4a+b=0；④4a-2b+c>0；其中结论正确的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1本节采用了多媒体平板辅助教学的方法进行，使本节课既有可视性又有可读性。
二次函数的图像与系数a、b、c的关系经典习题
A B CD yOx yO x yO x yO x yO x 一、二次函数图像与系数a 、b 、c 、关系1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0 B 、bc ＜0 C 、a +b +c ＞0 D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。
6、已知反比例函数xky =的图象如图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为( )7、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）8、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）9、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）10、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）11、在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）12、已知a ＜0，b ＞0，c ＞0，那么抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示，则a ，b ，c 满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫⎪⎝⎭，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15、已知二次函数2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、⊿的符号的判定例1、下图中⊿0<的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） （图3）练习：不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( )A.a>0,△>0;B.a>0, △<0;C.a<0, △<0;D.a<0, △<0 三、含a 、b 的代数式符号的判定例1、抛物线y=x 2+2x-4的对称轴是直线（ ）.A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=1Oy x Oy x y x O y x O ..C A y xOy–1 3 3O xP1 -1O x =1yxy–1 3 3O xP 1 练习：二次函数)1)(3(2-+-=x x y 的图象的对称轴是直线________________．例2、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图3所示，则①20a b +>②20a b +<③02ba-<④20a b -<⑤20a b ->中正确的有________________________.(请写出序号即可)图4 图5练习：1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，则下列说法不正确的是（ ） A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02ba-< 例1、如图5，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则cb a +-的值为 （ ）A. 0 B. －1 C. 1 D. 2练习：已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ）第一或第二象限； （B ）第三或第四象限；（C ）第一或第四象限； （D ）第二或第三象限例2已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）(A)abc ＞0 （B ）ac b 42-＞0(C)2a+b ＞0 （D ）c b a +-24＜0练习：1、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；其中正确的结论有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图6，OA=OC ，则（ ）（A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是图4 图5 图6图2y 0 1x-1 图1O xy-11作业：1、若二次函数c bx ax y ++=2中，a ＜0，b ＞0，c ＜0，042>-ac b ，则此二次函数图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+c 的是（ ）3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（ ）①0<++c b a ；②0>+-c b a ；③0>abc ；④a b 2= （A ）4（B ）3（C ）2 （D ）14、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，那么下列判断不正确的是（ ） (A)abc ＞0； （B ）ac b 42-＞0；(C)2a+b ＞0； （D ）c b a +-24＜05、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则 abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中， 值为正数的有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个6、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B ．bc ＜0 C ．a +b +c ＞0 D ．a -b +c ＜07、(2008年安徽省)如图为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中：① ac ＜0； ②方程ax 2＋bx ＋c=0的根是x 1= －1, x 2= 3 ② a ＋b ＋c ＞0 ④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
二次函数与字母系数的关系(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的问题，如“如何通过改变系数来得到特定的图像”。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。它在数学和物理学等多个领域都有广泛应用，如描述物体抛掷运动的轨迹。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析y=x^2和y=-2x^2+4x+1这两个函数的图像，了解系数a、b、c对图像的具体影响。
- b对图像对称轴的影响；
- c对图像与y轴交点的影响；
3.结合具体实例，通过调整系数，观察图像变化，总结规律；
4.解决实际问题，运用字母系数的关系解决二次函数相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的以下能力：
1.掌握二次函数图像的基本性质，提高学生的数形结合思维能力，强化几何直观；
最后，关于课堂总结部分，我觉得自己在引导学生们进行反思和总结时，还可以做得更好。在今后的教学中，我会更加注重这一点，让学生们在总结过程中，能够更好地梳理所学知识，提高他们的自主学习能力。
二次函数与字母系数的关系（教案）
一、教学内容
本节教学内容选自人教版《数学》八年级下册第11章“二次函数”，重点探讨二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）中字母系数a、b、c对函数图像的影响。具体内容包括：
1.二次函数图像的基本性质；
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学方案教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定：〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a ＞0；否那么a ＜0． 〔2〕b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，那么c ＞0；否那么c ＜0．〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 〔6〕由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、根底练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔 D 〕 A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出以下结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，那么正确的结论是〔 D 〕 A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号确实定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为〔21，1〕，以下结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是〔 C 〕1\2\3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，对称轴为直线x=1，那么以下结论正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 为常数，a ≠0〕的图象如下图，有以下结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是〔A4 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、〔如下图的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： 〔1〕b 2-4ac ＞0；〔2〕c ＞1；〔3〕2a-b ＜0；〔4〕a+b+c ＜0．你认为其中错误的有〔D2〕 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下说法正确的选项是〔C 〕 A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，现有以下结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，那么其中结论正确的个数是〔B 〕1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、二次函数y=ax 2的图象开口向上，那么直线y=ax-1经过的象限是〔D 〕 A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么a ，b ，c 满足〔A 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0 D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，有以下4个结论，其中正确的结论是〔B 〕 A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0〔a ≠0〕有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有〔C 〕 A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如下图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，在以下选项中错误的选项是〔C 〕 A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，以下结论错误的选项是〔B 〕 A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕 A 、a ＞0 B 、c ＜0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有〔 C 〕个．1/2/3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、能力练习c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，那么a 、b 、c 满足〔 〕 A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞02.二次函数c bx ax y ++=2(a≠0〕且a ＜0，a －b+c ＞0，那么一定有〔 〕A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，那么点〔b ，c a〕在〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ac_____0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕第4题图5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a 、b 、c 间的关系判断正确的选项是〔 〕 A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：例题．抛物线c bx ax y ++=2过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l 〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式； 〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回忆：〔09佛山〕19．〔1〕请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；〔2〕在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； 〔3〕直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1.〔1〕画图〔略〕注：根本反映图形的特征〔如顶点、对称性、变化趋势、平滑〕给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； 〔2〕画图、写解析式〔略〕注：画图总分值2分，同〔1〕的标准；写解析式2分〔无过程不扣分〕．〔11·佛山〕21.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A 〔－1，－1〕、B 〔0，2〕、C 〔1，3〕； 〔1〕求二次函数的解析式； 〔2〕画出二次函数的图像；【答案】解：〔1〕根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分〔2〕二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑〔各1分〕〔12佛山〕xyO第19题图xyoABC1xyoABC122.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的局部数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③函数c bx ax y ++=2的图象的一局部〔如图〕． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：〔1〕方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y 〔三种选其一即可〕〔2〕1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点 4、交 y 轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像〔2021•佛山〕24．如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，C 〔4，3〕．x -1 0 1 2 3 y343〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S〔图②中阴影局部〕．分析：〔1〕把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；〔2〕把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；〔3〕根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影局部的面积等于平行四边形的面积，列式进展计算即可得解．解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔0，3〕，B〔3，0〕，C〔4，3〕，∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，对称轴为直线x=2；〔3〕如图，∵抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，∴PP′=1，阴影局部的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影局部的面积=2．点评：此题考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，〔3〕根据平移的性质，把阴影局部的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
二次函数的图像与性质教案
二次函数的图像与性质教案教案标题：二次函数的图像与性质教案教案目标：1. 理解二次函数的基本概念和性质；2. 掌握二次函数图像的绘制方法；3. 能够分析二次函数的图像特征和性质。
教案步骤：步骤一：引入二次函数的概念和性质（10分钟）1. 引导学生回顾一次函数的概念和性质，然后引入二次函数的概念，解释二次函数与一次函数的区别。
2. 介绍二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c，并解释各项的含义。
3. 解释二次函数的性质：对称性、开口方向、顶点、轴等。
步骤二：绘制二次函数的图像（20分钟）1. 通过给定不同的a、b、c值，绘制不同形态的二次函数图像。
2. 详细解释如何确定二次函数的顶点、轴和开口方向。
3. 引导学生观察图像的变化规律，总结二次函数图像与a、b、c值的关系。
步骤三：分析二次函数的图像特征和性质（15分钟）1. 引导学生观察不同形态的二次函数图像，分析其对称性、最值、零点等特征。
2. 引导学生发现二次函数图像的对称轴与一次函数图像的x轴有何关系。
3. 引导学生讨论二次函数图像的开口方向与a值的关系，并总结规律。
步骤四：应用二次函数的图像与性质（15分钟）1. 给定实际问题，引导学生建立与之对应的二次函数模型。
2. 利用二次函数图像的性质，解决实际问题，如求最值、零点等。
3. 引导学生讨论二次函数图像在不同场景中的应用，如抛物线的运动轨迹、物体的抛射问题等。
步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 让学生总结二次函数的图像特征和性质，包括对称性、开口方向、顶点、轴等。
2. 引导学生思考二次函数的应用领域，并拓展到其他数学知识的应用，如函数的复合、函数的逆运算等。
教学资源：1. 教材：包含二次函数相关知识的教材或教学参考书。
2. 白板、彩色笔等教学工具。
3. 实际问题的案例素材。
评估方式：1. 课堂练习：通过绘制二次函数图像、分析图像特征等练习，检查学生对二次函数的理解和应用能力。
九年级数学下册 26《二次函数》二次函数系数abc与图像的关系导学案
二、课堂导学为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m 处挑射，正好射中了2.4m 高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线2+y ax bx c =+如图，则下列结论：①601-<a ，②0601<<-a ，③0a b c -+>，④12a b a <<-其中正确的结论是（ ） A ．①③ B ． ①④ C ． ②③ D ． ②④三、展示点评1.下面就()2+0y ax bx c a =+≠中的a 、b 、c 的作用归纳如下．2.若抛物线与x 轴交于()1,0，则=0a b c ++； 若抛物线与x 轴交于()1,0-，则=0a b c -+．当1x =时， ①若0y >，则0a b c ++>；②若0y <，则0a b c ++< 当1x =-时，①若0y >，则0a b c -+>；②若0y <，则0a b c -+>． 四、当堂训练已知二次函数()2+0y ax bx c a =+≠图象与x 轴交于()2,0-、()1,0x 且112x <<，与y 轴正半轴交点在()0,2下方，下列结论，①0a c <<，②0a b c ++>，③0a b c -+>④240b ac -<⑤420a b c ++>⑥0c >其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个拓展延伸：1．满足0,0,0a b c <>=的函数2+y ax bx c =+的图象是图中的（ ）2．在二次函数2+y x bx c =+中，若0b c +=，则它的图象一定经过点（ ） A ．（-1，-1） B ．（1，-1） C ．（-1，1） D ．（1，1）3．若0ac <，则二次函数2+y ax bx c =+的图象与x 轴交点个数为（ ） A ．2个 B ．l 个 C ．0个 D ．无法确定4．已知二次函数2+y ax bx c =+的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．已知抛物线2+y a x b x c =+的图象如图所示，则关于x 的方程2+30a x b x c +-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根6．已知二次函数2+y ax bx c =+的图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②2b a =；③0a b c ++<；④0a b c -+>．正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．l 个7．已知一次函数y ax c =+与二次函数2+y ax bx c =+，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）第4题图第5题图第6题图8．已知反比例函数kyx=的图象左图所示，则二次函数222y kx x k=-+的图象大致为图中的（）。
二次函数系数abc与图像的关系导学案
学科:数学年级九课题二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质备课教师：审批人:时间：2017年10月学习目标：1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；2．知道二次函数中a，b，c对图象的影响．并会根据图像判断相关代数式与0的关系预习案1、二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．当x____时，y随x的增大而减小2、二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．探究案一，图像与坐标轴的交点坐标1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（当函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（当x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）．求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．二、图像与系数的关系A组：如图，由图象可看出，抛物线开口______，因此a_______0；对称轴x＝－b2a在y轴____侧，因此，－b2a____0，又由于a_____0，所以b____0；与y轴交点在____________，因此，c____0；与x轴有____个交点，所以b2－4ac_______0结论：（1）a：（2）b（3）c（4）△＝b2－4ac跟踪评价：已知二次函数y＝x2＋kx＋9．当k为何值时，对称轴为y轴；三、根据图像判断相关代数式的取值A组：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,请在下列横线上填写“<”,“>”或“=”.a___0, b____0, c_____0, abc____0b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0b2-4ac_____0a+b+c_____0, a-b+c____04a-2b+c_____0跟踪评价：A组：如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个组：．1.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则B点M （ bc ，a ）在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限C 组：如图是二次函数y=ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （﹣，y 1）、C （﹣，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2；③2a ﹣b=0；④＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1 B ．2C ．3D ．4检测案已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，那么下列判断不正确的有( )A.abc ＞0B. b2-4ac ＞0C.2a+b ＞0D.4a-2b+c ＜0观课检测已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个学习园地1、（2014四川南充中考）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③ B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤2、（2016泰安中考）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．103、（2016宁波中考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个。
6.3.2二次函数的图象与abc符号的关系
6.3.3二次函数的图象与c b a 、、的符号设计：孙 祥 审核：孙良付 班级： 姓名： 备课时间：2011年 月 日 上课时间：2011年 月 日【学习目标】1.经历根据二次函数的图象确定c b a 、、和ac b 42-的符号的过程，体会函数图象与关系式之间的联系；2.渗透数形结合的数学思想。
【课前自学】222. 抛物线()312-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大. 3. 抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ；把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 .【课堂学习】一、自主探索：1.观察c bx ax y ++=2的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？ 2.归纳：⑴a 的符号由 决定：①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0⑵b 的符号由 决定； ① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ；② 在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ； ③ 是y 轴 ⇔b 0.⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0； ②点（0，c ）在原点 ⇔c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.⑷ac b 42-的符号由 决定：①抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0 ⇔方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0 ⇔方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0 ⇔方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： .【课堂练习】二次函数的图象与性质具体如下图所示：【典型例题】例1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列4个结论中：①abc>0；②b<a+c ；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是 （填序号）【拓展提升】如图抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交与点(-3,0)、(1,0),与y 轴交与点（0,-3）.结合图象回答：⑴当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0<x 时，y 的取值范围是 . ⑵当0<y 时，x 的取值范围是 ； 当0>y 时，x 的取值范围是 . ⑶>++c bx ax 20的解集是 ；c bx ax++2≤0的解集是 .归纳观察图像的方法：①当0>x 时⇔观察 的函数图象；当0<x 时⇔观察 的函数图象. ②当0>y 时⇔观察 的函数图象；当0<y 时⇔观察 的函数图象.【课后作业】1.根据图象填空，并说明理由：⑴a 0 ⇔ ；b 0 ⇔；c0 ⇔ ；abc 0.⑵b 2-4ac 0 ⇔ .⑶c b a ++ 0；c b a +- 0；⑷当0>x 时，y 的取值范围是 ； 当0>y 时，x 的取值范围是 .2.（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个3.（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是A ．a ＜0B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞04.若直线y=ax+b 不经过一、三象限，则抛物线c bx ax y ++=2（ ）. (A)开口向上，对称轴是y 轴; (B) 开口向下，对称轴是y 轴; (C)开口向上, 对称轴是直线x=1;(D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;5. 抛物线()()312-+=x x y 的顶点坐标是( ).(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);6. 若二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴; 则点⎪⎭⎫⎝⎛b c a P ,在（ ）. (A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;7. 关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个8．已知直线y=x+m 与抛物线2x y =相交于两点，则实数m 的取值范围是( ). (A)m ﹥41-; (B)m ﹤41-; (C)m ﹥41; (D) m ﹤41.9.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.(A)a ﹥0,bc ﹥0; (B)a ﹤0,bc ﹤0; (C) a ﹤0, bc ﹥0; (D) a ﹥0, bc ﹤0 10. 抛物线232+-=x x y 不经过（ ）.（A ）第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限11. 在同一直角坐标系中，抛物线542-+=x x y 与直线y=2x-6的交点个数是( ). (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 12．已知反比例函数xk y =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．。
【2019年人教版】21.3二次函数图象与系数a,b,c等的关系【教案】
21.3 二次函数图象与系数a，b，c等的关系【教案】一．知识要点：（如图①，图②）1．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），a决定图象的开口方向与大小．当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下．2．c决定图象与y轴的交点的纵坐标．若c＝0，则抛物线过原点．若c＞0，交点在原点上方；c＜0，交点在原点下方．3．a、b共同决定对称轴，当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧；当b＝0时，对称为y轴．4．当a＋b＋c及a－b＋c的值为0时，抛物线与x轴交点的坐标为（1，0）、（－1，0）．5．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＝b2－4ac．当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实根．当△＝0时，抛物线与x轴有一个交点．这时方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的根．当△＜0时，抛物线与x轴无交点．这时方程ax2＋bx＋c ＝0根的情况无实根．6．探究题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图③所示，二．重难点分析：本讲重点是讨论抛物线的位置取决于系数a、b、c及由其构成的代数式的符号．难点是综合应用a、b、c系列的符号规律，研究相应的抛物线特征，充分体现了数形结合的数学思想．如a＋b＋c＝0或a－b＋c＝0，则相应的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标则为（1，0）或（－1，0）等等．三．精选例题：1．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．【解】y＝2(x－1)2－22．若抛物线y ＝x 2－2(b －1)x ＋4的顶点在坐标轴上，求b 的值．【解】分类讨论3．按右图所示的流程，输入一个数据 x ，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y ，这样可以将一组数据变 换成另一组新的数据，要使任意一组都在 20 ～ 100 （含 20 和 100 ）之间的数据，变换成一组新数据 后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60 ～ 100 （含 60 和 100 ）之间；（Ⅱ）新数据之间的大 小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．（ 1 ）若 y 与 x 的关系是 y ＝ x ＋ p （ 100 － x ），请说明：当p ＝21 时，这种变换满足上述两个要求； （2 ）若按关系式 y ＝ a ( x ＋ h ) 2 ＋ k （ a ＞ 0 ）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）y ＝x ＋21(100－x )＝x 21＋50 若x ＝20，y ＝60；若x ＝100，y ＝100∴ 能满足．（2）设顶点（20，60），∴ y ＝a (x －20)2＋60把x ＝100 y ＝100 代入得a ＝1601 ∴ y ＝2201601）（-x ＋60 ．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点A 在点（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc ＜ 0（填“＞”或“＜”）；（2）求a 的取值范围．【解】由题意得：D （1，3）、F （3，2）：分类讨论（1）y ＝a (x －3)2＋2过点（－2，0） ∴ a 1＝－252 （2）y ＝a (x －1)2＋3过点（－1，0） ∴ a 2＝ －43 ∴ 25243--≤≤a 5．抛物线y ＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)的对称轴是直线（ A ）A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝－3D ．x ＝36．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则abc ，b 2－4ac ，2a ＋b ，a ＋b ＋c 这四顶点在y 轴上 b ＝1 顶点在x 轴上 b 1＝3 b 2＝－1开口大，顶点（3，2） 开口小，顶点（1，3）个式子中，值为正数的有（ B ）A．4个B．3个C．2个D．1个7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0 ②方程ax2 ＋bx＋c＝0的两根之和大于0 ③y随x的增大而增大④a－b＋c＜0，其中正确的个数（ C ）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，给出下列四个判断：①a＞0 ②2a＋b＝0 ③b2－4ac＞0 ④a＋b＋c＜0．以其中三个判断作为条件，余下一个判断作为结论，可得到四个命题，其中，真命题的个数有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个?（ A ）A． 6 B． 7C． 8 D． 9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：（1）c＜0（2）b＞0（3）4a＋2b＋c＞0（4）(a＋c)2＜b2其中正确的有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个。
二次函数的图像与字母abc的关系
课次教学计划一、知识要点二次函数y=ａx２+bx+c系数符号得确定:ﻫ(１)ａ由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>０;否则ａ<0。
ﻫ(２)ｂ由对称轴与a得符号确定:由对称轴公式x＝判断符号、ﻫ(３)c由抛物线与y轴得交点确定:交点在y轴正半轴,则c〉0;否则ｃ＜０、ﻫ(4)b2－４ac得符号由抛物线与ｘ轴交点得个数确定:2个交点,b2—４ac>0;1个交点,b ２—4ａｃ=0;没有交点,b２—4ac<0。
ﻫ(5)当ｘ＝1时,可确定a+b+c得符号,当x=-1时,可确定ａ-ｂ+c得符号。
ﻫ(6)由对称轴公式x=,可确定2a+b得符号.二、基础练习１、已知抛物线y＝ax２+bｘ+c(a≠0)在平面直角坐标系中得位置如图所示,则下列结论中,正确得就是( D )A、ａ>0B、b〈0Ｃ、c〈0 Ｄ、ａ+ｂ+ｃ〉02、已知二次函数ｙ=ax2+bｘ+ｃ得图象如图,其对称轴ｘ=-1,给出下列结果①b2>4ac;②ａｂc〉0;③2a+b=0; ④a+b+c〉0;⑤a—b+c＜０,则正确得结论就是( D)A、①②③④Ｂ、②④⑤Ｃ、②③④D、①④⑤３、如图,二次函数ｙ＝ax2+bx+c得图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为( ,1),下列结论:①ac〈０;②a＋b=0;③4ａc—b2=４a;④a+b+ｃ<0。
其中正确结论得个数就是( C )1\2\3A、1B、2Ｃ、3Ｄ、4４、已知二次函数ｙ=ax2＋bｘ+c得图象如图所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确得就是(B)Ａ、ac＞0 B、方程ａｘ２+ｂx＋ｃ=0得两根就是x1＝-1,x2=3C、２ａ-ｂ=0D、当ｘ＞0时,y随ｘ得增大而减小5、已知二次函数y=ax２+bx+c(a,b,c为常数,ａ≠0)得图象如图所示,有下列结论:①abc>0,②-4ac＜0,③a—b+c〉0,④4ａ－2b+c〈０,其中正确结论得个数就是(Ａ4)A、1B、2C、3 Ｄ、４6、(如图所示得二次函数y=ax2+bx+c得图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2—4ａc>0;(2)c＞１;(3)2a—b<0;(4)a+b＋c＜０。
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标 掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回顾： （09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； （2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ， 解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。
二次函数图像教案5篇
二次函数图像教案5篇
二次函数图像教案篇一
二次函数的图像
略阳天津高级中学杨娜
课型：新授课课时安排： 1课时教学目标：
1、理解二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响。
2、领悟二次函数图像平移的讨论方法，并能迁移到其他函数图像的讨论，而提高识图和用图力量。
3、培育学生数形结合的思想意识。
重点难点: 1．教学重点:二次函数图像平移变换规律及应用
2．教学难点:理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数．教学过程：
一、导入新课
在初中我们已经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向，对称轴，顶点等特征，本节课将进一步讨论一般的二次函数的性质。
二、讲授新课
提出问题1 二次函数y ax(a0)的图像与二次函数y x的图像之间有什么关系？ 1.我们先画出y x 的图像，并在此根底上画出y
2x的图像。
学生阅读课本41页并在练习本上作图（教师用几何画板演示）2.学生阅读课本41页，并动手实践。
3、概括：二次函数y ax(a0)的图像可以由y x的图像个点的纵坐标变为原来的a倍得到。
4.用几何画板演示a对开口大小得影响。
5.抽象概括
二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到。
a打算了图像的开口方向:a>o开口向上，a0 交点在y轴上半轴，c0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。
当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
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二次函数的图像a ≠0) 一： y = ax2 (二次函数 y = ax2 的图像是一条抛物线，它关于 y 轴对称，顶点是坐标原点。
当 a >0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当 a <0 时，抛物 线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
a 的几何意义例 1：如图所示： y1 = a1 x 2 ， y2 = a2 x2 ，判断 a1 ， a2 的符号及它们的关系例 2：如图所示： y1 = a1 x 2 ， y2 = a2 x2 ，判断 a1 ， a2 的符号及它们的关系例 3：如图所示： y1 = a1 x 2 ， y2 = a2 x2 ，判断 a1 ， a2 的符号及它们的关系那么你得出的结论是：1变式 1：若对于任意实数 x，二次函数 y = ( a + 1) x 2 的值总是非负数，则 a 的取值范围（ A. a 》—1 B. a 《—1 C. a >—1 D. a <—1）2 抛物线 y = ax2与y = 2 x 2 形状相同，则 a 的值为 3.二次函数的图像都是抛物线，若 y1 = ax2 + bx+ c 与 y 2 = —3x2 图像的形状一样，则 a =若抛物线 y = ( 3+ m) xm A. 2 32—10的图像开口向下，则 m 的值为（ C.3 D.—3）B.— 2 3已知一个二次函数的顶点为原点，其图形与抛物线 y = m2 + m xm 函数的解析式()2—2m—1的开口方向相反，形状相同，求这个二次a ≠0)对称轴，顶点问题 y = ax2 ( a ≠0)过点（—2,2） 例：若抛物线 y = ax2 ( ，则 a 的值是开口 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 ，对称轴是 ，抛物线在 x 轴 （除顶点）随堂练习：1 在同一平面直角坐标系中，作 y = 2 x ， y = —2 x ， y = A.都是关于 x 轴对称，抛物线开口221 2 x 的图像，它们的共同特点是（ 2）B.都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D.都是关于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 4.如下图平面直角坐标系中，函数图像的表达式是（ ）A. y =3 2 x 2B. y =2 2 x 32C. y =4 2 x 3D. y =3 2 x 4）若二次函数 y = ax2 的图像经过点 p（—2,4） ，则该图像必经过点（A.（2，4）B.（—2，—4）C.（—4,2）D.（4，—2）6.抛物线 y = —3x 2 上一点到 x 轴的距离是 3，则该点的横坐标是（ A.—27 B.1 C.—1 D.1 或—1）10.在下图中，函数 y = —ax2 与 y = ax+ b 的图像可能是（)A．B．C．D．D．11.已知点( a ，8 )在抛物线 y = ax 上，则 a 的值为 12.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 AB=1.6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m，在如图所 示的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的表达式是22 2 二： y = a( x — h) 类图像， y = ax2 + c 类图像， y a x h k 类图像例：用几何画板画出 y = 2 x 2 ， y = 2 x 2 + 1 ， y = 2x 2 —1图像，看看有什么联系？顶点 及对称轴呢2 2 例：用几何画板画出 y = 2 x 2 ， y = 2( x + 1) ， y = 2( x —1) 图像，看看有什么联系？顶点及对称轴呢32 2 例：用几何画板画出 y = 2 x 2 ， y = 2( x + 1) + 1 ， y = 2( x —1) —1 的图像。
顶点及对称轴练习：说出下列抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴函数 y=3x 2 y=3 （ x-1 ） 2 +2 y=-4x 2 y=-4 （ x+2 ） 2 -4 开口方向 顶点 对称轴得出的结论是：任何二次函数（抛物线）的图像都可以由 y = ax2 型 平移得到；并且任何二次函数的解析式都可以用 y a x h k 来表示，这也是二次函数的一般式 y ax2 bx c 的来源2从解析式上看， y a x h k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得2b 4ac b2 b 4ac b2 到前者，即 y a x ，其中 h ， k 2a 4a 2a 4a 2三：平移的法则：左加右减，上加下减例 ： 把 抛 物 线 y x 向 左 平 移 1 个 单 位 ， 然 后 向 上 平 移 3 个 单 位 ， 则 平 移 后 抛 物 线 的 表 达 式2式为.把抛物线 y 2 x 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（2） D. y 2 x 12A. y 2( x 1)2B. y 2( x 1)2C. y 2 x 12变式：二次函数 y ax2 bx c 向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位，求出平移后的解析式4将抛物线 y = x 2 + 2 x + 6 向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，求平移后所得抛物线的解析式变式：抛物线 y x bx c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解析式为 y x 2 x 3 ，2 2则 b、c 的值为变式：若把函数 y=x 的图象用 E（x，x）记，函数 y=2x+1 的图象用 E（x，2x+1）记，……则 E（x， χ + 3χ + 可以由 E（x，1 225 ） 21 2 x ）怎样平移得到？ 2有一个抛物线型的拱形隧道，隧道的最大高度为 6m，跨度为 8m，把它放在如图所示的平面直角坐标 系中。
（1）求这条抛物线所对应的解析式 （2）若要在隧道上点 P 处安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5m，求灯与点 B 的距离a ≠0)图像及性质 四：一般式 y ax2 bx c ( a ≠0)都可以由 我们开始学了 y = ax2 的图像是抛物线，而任意的二次函数 y ax2 bx c ( a ≠0)的图像是抛物线 y = ax2 平移得到，所以，二次函数 y ax2 bx c (b 4ac b2 b 4ac b2 又因为 y ax bx c y a ，其中 h ， 。
所以顶点坐标 k x 2a 4a 2a 4a 22(—b 4ac — b2 b , ) ，对称轴为 x= — 。
当 a >0 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点； 2a 2a 4a当 a <0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点5题型一：求顶点坐标及对称轴 例：写出下列函数的顶点坐标及对称轴 （1） y = — x 2 + 3x —4 3 1 4（2 ） y = — x 2 — x +5 45 23 4（3） y = 2x2 — 2 2x — 3(x + 2) （4） y = 2(x —1)不论 k 为何实数，抛物线 y = — A.直线 y = — x 上2 2 (x — k ) + k 的顶点都在（ 3C.y 轴上） D.直线 y = x 上B.x 轴上题型二：求抛物线的三种设法2 1. 一般式： y ax bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ） ； （ 知道三个点坐标）2 2. 顶点式： y a( x h) k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ） ； （知道一个顶点坐标及另外一点坐标）3. 两根式： y a( x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标，再加另外一点坐 标，特殊三点）.6练习：根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，-4） ， （-1，0） ， （-2，5） 2．图象顶点是（-2，3） ，且过（-1，5）9 3．图像与 x 轴交于（-2，0） ， （4，0）两点，且过（1，- ） 213.根据下列条件求 y 关于 x 的二次函数解析式 （1）抛物线的顶点为（—1,2） ，且过点（1,10） （2）图像过点（0，—2） ， （1,2） ，且对称轴为直线 x=1.52 例 1、已知二次函数 y ax bx c 的图像如图所示，求其解析式。
（运用三种设法）例 2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB 是 12 米，当水位是 2 米时，测得水面7宽度 AC 是 8 米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式； （2）当水位是 2.5 米时，高 1.4 米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。
船的高度指船 在水面上的高度） 。
已知二次函数的图像过原点，当 x=1 时，y 有最小值为-1，求其解析式。
如图； 有一个抛物线形的隧道桥拱， 这个桥拱的最大高度为 3.6m，跨度为 7.2m．一辆卡车车高 3 米， 宽 1.6 米，它能否通过隧道？已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 y 轴 交 于 点 （ 0 ， 3a ） ， 对 称 轴 为 x=1 ． （ 1） 试 用 含 a 的 代 数 式 表 示 b、 c． （ 2 ） 当 抛 物 线 与 直 线 y=x-1 交 于 点 （ 2 ， 1 ） 时 ， 求 此 抛 物 线 的 解 析 式 ． （ 3 ） 求 当 b （ c+6 ） 取 得 最 大 值 时 的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 ．课后作业2 1 把 y = —x 2 — 4 x + 2 化成 y = a( x — h) + k 的形式是（）A.y= — ( x — 2) — 22 C. y = —( x + 2) — 222 B. y = —( x — 2) + 62 D. y = —（x + 2） +62.在同一坐标平面内，图像不可能由函数 y = 2 x 2 + 1 的图像通过平移变换轴对称变换得到的函数式8（） B. y = 2 x 2 + 3 D. y =1 2 x —1 2A. y = 2( x + 1)2 —1 C. y = —2 x 2 —13 在平面直角坐标系中，函数 y = —3x 与 y = x 2 —1的图像大致是（）AB．C．D．k ≠0)与反比例函数 y = —kx ，它们在同一直角坐标系中的图像大致 4 如图，已知二次函数 y = kx2 + k (是（）B．C．D．5 在平面直角坐标系中，抛物线 y = 部分面积为（ A.2 ） B. 4 C. 81 2 1 x 经过平移得到抛物线 y = x 2 — 2 x ，其对称轴与两段抛物线所围成的 2 2D.166 对于函数 y = 2x 2 — 4x + 5 的图像 （1）怎样平移得到抛物线 y = 2 x 2 + 4 （2）绕其顶点在平面内旋转 180 得到抛物线 y ' ，求抛物线 y ' 所对应的函数关系 （3）沿 x 轴翻折得抛物线 y ' ' ，求 y ' ' 所对应的函数关系式97 把抛物线 y1= —x 2 + 2 向右平移一个单位得到 y2，则图中阴影部分面积为8 如图，抛物线 y1 = —x 2 + 2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2 ，回答下列问题 （1）抛物线 y2 的顶点坐标 （2）阴影部分面积 （3）若再将抛物线 y2 绕原点 O 旋转 180 得到抛物线 y3 ，求其解析式10。