二次函数图像与abc关系教案有课后作业

二次函数的图像
a ≠0) 一： y = ax2 (
二次函数 y = ax2 的图像是一条抛物线，它关于 y 轴对称，顶点是坐标原点。 当 a >0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当 a <0 时，抛物 线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
a 的几何意义
例 1：如图所示： y1 = a1 x 2 ， y2 = a2 x2 ，判断 a1 ， a2 的符号及它们的关系
例 2：如图所示： y1 = a1 x 2 ， y2 = a2 x2 ，判断 a1 ， a2 的符号及它们的关系
例 3：如图所示： y1 = a1 x 2 ， y2 = a2 x2 ，判断 a1 ， a2 的符号及它们的关系
那么你得出的结论是：
1

变式 1：若对于任意实数 x，二次函数 y = ( a + 1) x 2 的值总是非负数，则 a 的取值范围（ A. a 》—1 B. a 《—1 C. a >—1 D. a <—1
）
2 抛物线 y = ax2与y = 2 x 2 形状相同，则 a 的值为 3.二次函数的图像都是抛物线，若 y1 = ax2 + bx+ c 与 y 2 = —3x2 图像的形状一样，则 a =
若抛物线 y = ( 3+ m) xm A. 2 3
2
—10
的图像开口向下，则 m 的值为（ C.3 D.—3
）
B.— 2 3
已知一个二次函数的顶点为原点，其图形与抛物线 y = m2 + m xm 函数的解析式
(
)
2
—2m—1
的开口方向相反，形状相同，求这个二次
a ≠0)对称轴，顶点问题 y = ax2 ( a ≠0)过点（—2,2） 例：若抛物线 y = ax2 ( ，则 a 的值是
开口 ，顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 ，对称轴是 ，抛物线在 x 轴 （除顶点）
随堂练习：
1 在同一平面直角坐标系中，作 y = 2 x ， y = —2 x ， y = A.都是关于 x 轴对称，抛物线开口
2
2
1 2 x 的图像，它们的共同特点是（ 2
）
B.都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下
C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D.都是关于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 4.如下图平面直角坐标系中，函数图像的表达式是（ ）
A. y =
3 2 x 2
B. y =
2 2 x 3
2

C. y =
4 2 x 3
D. y =
3 2 x 4
）
若二次函数 y = ax2 的图像经过点 p（—2,4） ，则该图像必经过点（
A.（2，4）
B.（—2，—4）
C.（—4,2）
D.（4，—2）
6.抛物线 y = —3x 2 上一点到 x 轴的距离是 3，则该点的横坐标是（ A.—27 B.1 C.—1 D.1 或—1
）
10.在下图中，函数 y = —ax2 与 y = ax+ b 的图像可能是（
)
A．
B．
C．
D．
D．
11.已知点( a ，8 )在抛物线 y = ax 上，则 a 的值为 12.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 AB=1.6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m，在如图所 示的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的表达式是
2
2 2 二： y = a( x — h) 类图像， y = ax2 + c 类图像， y  a  x  h  k 类图像
例：用几何画板画出 y = 2 x 2 ， y = 2 x 2 + 1 ， y = 2x 2 —1图像，看看有什么联系？顶点 及对称轴呢
2 2 例：用几何画板画出 y = 2 x 2 ， y = 2( x + 1) ， y = 2( x —1) 图像，看看有什么联系？顶点
及对称轴呢
3

2 2 例：用几何画板画出 y = 2 x 2 ， y = 2( x + 1) + 1 ， y = 2( x —1) —1 的图像。顶点及对称轴
练习：说出下列抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴
函数 y=3x 2 y=3 （ x-1 ） 2 +2 y=-4x 2 y=-4 （ x+2 ） 2 -4 开口方向 顶点 对称轴
得出的结论是：任何二次函数（抛物线）的图像都可以由 y = ax2 型 平移得到；
并且任何二次函数的解析式都可以用 y  a  x  h  k 来表示，这也是二次函数的一般式 y  ax2  bx  c 的来源
2
从解析式上看， y  a  x  h  k 与 y  ax2  bx  c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得
2
b  4ac  b2 b 4ac  b2  到前者，即 y  a  x    ，其中 h   ， k 2a  4a 2a 4a 
2
三：平移的法则：左加右减，上加下减
例 ： 把 抛 物 线 y  x 向 左 平 移 1 个 单 位 ， 然 后 向 上 平 移 3 个 单 位 ， 则 平 移 后 抛 物 线 的 表 达 式
2
式为
.
把抛物线 y  2 x 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（
2
） D. y  2 x  1
2
A. y  2( x  1)
2
B. y  2( x 1)
2
C. y  2 x  1
2
变式：二次函数 y  ax2  bx  c 向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位，求出平移后的解析式
4

将抛物线 y = x 2 + 2 x + 6 向左平移 4 个单位，再向下平移 3 个单位，求平移后所得抛物线的解析式
变式：抛物线 y  x  bx  c 图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，所得图像的解析式为 y  x  2 x  3 ，
2 2
则 b、c 的值为
变式：若把函数 y=x 的图象用 E（x，x）记，函数 y=2x+1 的图象用 E（x，2x+1）记，……则 E（x， χ + 3χ + 可以由 E（x，
1 2
2
5 ） 2
1 2 x ）怎样平移得到？ 2
有一个抛物线型的拱形隧道，隧道的最大高度为 6m，跨度为 8m，把它放在如图所示的平面直角坐标 系中。 （1）求这条抛物线所对应的解析式 （2）若要在隧道上点 P 处安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5m，求灯与点 B 的距离
a ≠0)图像及性质 四：一般式 y  ax2  bx  c ( a ≠0)都可以由 我们开始学了 y = ax2 的图像是抛物线，而任意的二次函数 y  ax2  bx  c ( a ≠0)的图像是抛物线 y = ax2 平移得到，所以，二次函数 y  ax2  bx  c (
b  4ac  b2 b 4ac  b2 又因为 y  ax  bx  c y  a  ，其中 h   ， 。所以顶点坐标 k x   2a  4a 2a 4a 
2
2
(—
b 4ac — b2 b , ) ，对称轴为 x= — 。当 a >0 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点； 2a 2a 4a
当 a <0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点
5