高考数学知识要点复习教案 二项式定理(1)

二项式定理（1）

一．复习目标： 1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近

似计算等相关问题．

2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条件的项

或系数．

二．知识要点：

1

．二项式定理

：

． 2．二项展开式的性质：

（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系

数 ．

（2）若n 是偶数，则 的二项式系数最大；若n 是奇数，则

的二项式系数最大．

（3）所有二项式系数的和等于 ．

（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的

和 ．

三．课前预习：

1．设二项式n x x )13(3+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系

数的和为S ，若272=+S P ，则=n （ A ）

()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 8

2．当+∈N n 且2≥n 时，q p n +=++++-52221142 （其中N q p ∈,,且50<≤q ），

则q 的值为 （ A ）

()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 与n 有关

3．在62)12(x

x -的展开式中常数项是605=T ；中间项是34160x T -=． 4．在1033)3

(x x -的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．

5．求62)321(x x -+展开式里5x 的系数为-168．

6．在7)1(+ax 的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1>a ，

那么=a 5

101+． 四．例题分析：

例1．求9

)23(x -展开式中系数绝对值最大的项． 解：9)23(x -展开式的通项为r r r r r r r r x C x C T ⋅⋅⋅-=-⋅⋅=--+999913)2()2(3，

设第1+r 项系数绝对值最大，即⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅≥⋅⋅⋅⋅≥⋅⋅-----++-r r r r r r r r r r r r C C C C 10191998191993

2323232， 所以⎩

⎨⎧≥--≥+r r r r 322021833，∴43≤≤r 且N r ∈，∴3=r 或4=r ， 故系数绝对值最大项为3448988x T -=或45489888x T =．

例2．已知n x x )12(2lg lg ++展开式中最后三项的系数的和是方程0)7272lg(2=--y y 的正数解，它的中间项是2lg 2410+，求x 的值．

解：由0)7272lg(2=--y y 得073722

=--y y ，∴1-=y （舍去）或73=y ， 由题意知，732412=+⋅+⋅--n n n n n n C C C ，∴6=n

已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即

20001016022lg 24)2lg (lg 3)2lg (lg 3336==⋅=⋅⋅+++x x x x C ，

∴012lg lg 2lg lg 2

=-+⋅+x x ，∴1lg -=x 或5lg 2lg 1lg =-=x ，∴101=x 或5=x ． 经检验知，它们都符合题意。

例3．证明98322--+n n 能被64整除(+∈N n )．

证明：

)

88(88889

8188898)18(989983112111221111111111122-+-+--+++++++++++⋅+=⋅++⋅+=--+⋅++⋅+=--+=--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C n C C n n n ∵11211188-+-+-++⋅+n n n n n C C 是整数，∴983

22--+n n 能被64整除．

五．课后作业： 班级 学号 姓名

1．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的

值为 （ A ）

()A 1 ()B -1 ()C 0 ()D 2

2．由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 （ B ）

()A 50项 ()B 17项 ()C 16项 ()D 15项

3．)1()2(210-+x x 的展开式中，10x 的系数为179．(用数字作答)

4．9)2(x x a

-的展开式中，3x 的系数为4

9，常数a 的值为4． 5．求111999除以8的余数．

解：

∵)

(7)1250(88720001

)200020002000(20001

2000200020002000)12000(1999101182119111101011921110111110111111Z k k k C C C C C C C ∈+-=-+=-+-+-=-⋅+-⋅+⋅-⋅=-= 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．

6．（1）求7)21(x +展开式中系数最大项．（2）求7)21(x -展开式中系数最大项．

解：(1)设第1+r 项系数最大，则有

⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--++117711772222r r r r r r r r C C C C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥-⋅-+⋅≥-)!

8()!1(!7)!7(!!72)!6()!1(!72)!7(!!7r r r r r r r r ，即⎩⎨⎧≥--≥+r r r r )8(2)7(21， ∴3

16313≤≤r 且Z r r ∈≤≤,70，∴5=r ． 所以系数最大项为5555766722x x C T =⋅⋅=

(2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较5T 和7T 两项系数大小即可．又因为

444475560)2(x x C T =-=，666677448)2(x x C T =-=，所以系数最大的项是第五项为

444475560)2(x x C T =-=．

7．设),()1()1()(+∈+++=N n m x x x f n m ，若展开式中关于x 的一次项系数和为11，试问n m ,为何值时，含2x 项的系数取得最小值．

解：由题意知1111=+n m

C C ，即11=+n m ，