高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法
高考数学复习点拨：有关定积分问题的常见题型解析
有关定积分问题的常见题型解析定积分是高中课程中新增加的内容，对函数进行积分运算这类题目占有非常重要的地位，它能解决很多实际应用问题。
在解题时也会出现很多问题，下面研究一下有关定积分的问题的常见题型及注意的一些问题。
题型一 用定义求定积分例1、用定义求dx x 301⎰。
分析：利用定义求定积分可分为四步：分割，近似代替，求和，取极限，按步骤求解 。
解：（1）分割[0，1]：11210=<-<<<<nn n n n n Λ。
（2）作和 nn i n n n n n n n n i 11121131323⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=Λ。
（因为x 3连续，所以i ξ可随意取而不影响极限，故我们此处将i ξ取为[x i ，x 1+i ]的右端点也无妨。
）（3）取极限()41211112413413lim lim lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→=∞→=∞→∑∑n n n i nn n i n n i n n i n 。
（此处用到了求和公式 ()()22333212121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++=+++n n n n ΛΛ。
） 因此dx x 301⎰＝41。
评注：求定积分四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和。
体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积。
题型二 利用微积分基本定理求积分例2、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）41dx +⎰ 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2121x x =+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以41dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结导读：定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的'最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）。
4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a 定积分的应用1、求平面图形的面积（曲线围成的面积）●直角坐标系下（含参数与不含参数）●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）●功、水压力、引力●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx）【定积分的计算方法总结】1.定积分计算方法总结2.不定积分的方法总结3.定积分证明题方法总结六篇4.极限的计算方法总结5.不定积分知识点总结6.高中定积分的概念课件7.也谈计息天数的计算方法散文8.《小数加减法的计算方法》教学反思范文上文是关于定积分的计算方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的方法
求定积分的方法
定积分的运算是定积分的重要内容，解决这类问题不仅要掌握定积分的几何意义及微积分基本定理，而且还应掌握相应的方法技巧，从而达到事半功倍的效果。
本文举三例说说解决这类问题的常见方法技巧。
一、等价转化法
例1.求定积分dx的值
分析：直接求，很很困难，观察被积函数，可将其拆分，则易于求解。
解：dx=（-）dx = [1nx|21-1n（x+2）|21]
= （-1n2+1n3）= 1n
二、数形结合法
例2.求定积分（-x）dx的值
分析：由定积分的几何意义知（-x）dx 表示的是右图中阴影影的面。
解：（-x）dx 表示圆（x-1）2 + y2 =1
与直线方程y=x所围成的图形（如图示）的面积，
因此= （-x）dx =×12-×1×1=-
三、运用性质法
已知函数f（x）=sin5 x+1，根据函数的性质，定积分的性质和几何意义，探求f（x）dx 的值。
分析：观察题设特点，可利用性质：若函数f（x）是奇函数，即f（-x）=-f （x），则用f（x）dx =0求解
解：由于y=sin5x 为奇函数，所以sin5xdx=0
于是f（x）dx =sin5xdx+dx
=0+x|- = π
故f（x）dx = π。
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
高二数学 求定积分的四种方法知识点分析 大纲人教版
1 / 1求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求23x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n．（2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法 例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解． 解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323xx x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数． 三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出． 四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0．。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。
下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
第一种方法是基本函数法。
基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。
在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。
例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。
因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。
第二种方法是换元法。
换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。
在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。
例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。
将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。
最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。
第三种方法是分部积分法。
分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。
在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
例谈计算定积分的三种方法
例谈计算定积分的三种方法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新鲜血液，还给学生提供了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，它必将成为今后高考的新热点，本文通过三个例题谈谈定积分计算的三种方法。
一、用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰103xdx 的值. 解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[ni n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）.（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，△S i =f （ni 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i n n i n i ，（i=1，2，…，n ）. （3）求和：n n n n i n S ni n i i 123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑== . （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn n i n . ∴⎰103xdx 23=.点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。
二、用微积分基本定理计算定积分例2. 求定积分⎰+21221dx x x 的值. 解析：⎰+21221dx x x =)2ln 3(ln 21]12)2ln(12[ln 21)211(2121-=+-=+-⎰x x dx x x .点评：本题由⎰+21221dx xx 想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只是需要把x x 212+拆成x 1与21+x 的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数。
三、用定积分的几何意义计算定积分例3. 求定积分⎰---102))1(1(dx x x 的值. 解析：⎰---102))1(1(dx x x 表示圆(x-1)2+y 2=1（y≥0） 的一部分与直线y=x 所围成的图形（如图所示）的面积， 因此⎰---102))1(1(dx x x =2141121412-=⨯⨯-⨯ππ. 点评：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由⎰---102))1(1(dx x x 联想到圆(x-1)2+y 2=1（y≥0）的一部分与直线y=x ，再联想到定积分的几何意义，从而简化了运算.这也是数学结合思想的又一体现。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
高中数学定积分解题技巧
高中数学定积分解题技巧在高中数学中，定积分是一个重要的概念和工具，它有着广泛的应用领域，涉及到面积、体积、平均值等问题的求解。
定积分的解题技巧对于学生来说是非常重要的，下面我将通过具体的题目举例，分析和说明一些常见的定积分解题技巧，希望能够帮助到高中学生和他们的家长。
1. 求定积分的基本步骤首先，我们来看一个简单的例子：求函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分。
解题步骤如下：（1）求不定积分：$\int 2x \, dx=x^2+C$（2）计算上限和下限的值：$F(3)-F(1)=3^2+C-(1^2+C)=8$所以，函数$f(x)=2x$在区间$[1,3]$上的定积分为$8$。
通过这个例子，我们可以看出求定积分的基本步骤是：先求不定积分，然后计算上限和下限的值，最后相减得到定积分的值。
2. 利用函数的对称性简化计算有些函数具有对称性，利用对称性可以简化定积分的计算。
例如，对于偶函数来说，如果函数在对称轴两侧的取值相等，那么函数在该区间上的定积分就等于两侧的定积分的和的一半。
例如，我们要求函数$f(x)=x^2$在区间$[-2,2]$上的定积分。
解题步骤如下：（1）求不定积分：$\int x^2 \, dx=\frac{1}{3}x^3+C$（2）计算上限和下限的值：$F(2)-F(-2)=\frac{1}{3}(2^3+C)-\frac{1}{3}(-2^3+C)=\frac{16}{3}$所以，函数$f(x)=x^2$在区间$[-2,2]$上的定积分为$\frac{16}{3}$。
通过这个例子，我们可以看出利用函数的对称性可以简化定积分的计算，减少计算量。
3. 利用定积分的性质简化计算定积分具有一些性质，利用这些性质可以简化定积分的计算。
例如，定积分的线性性质和积分中值定理。
（1）线性性质：对于任意常数$a$和$b$，有$\int (af(x)+bg(x)) \, dx=a\int f(x) \, dx+b\int g(x) \, dx$。
高中数学积分题解题方法
高中数学积分题解题方法在高中数学中，积分是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，而且在物理、经济等领域也有广泛的应用。
因此，掌握积分的解题方法对于高中学生来说是非常重要的。
一、定积分的计算定积分是积分的一种形式，它可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积。
对于给定的函数f(x)，我们可以通过积分来计算函数在一个区间[a, b]上的定积分。
定积分的计算方法有很多种，下面我将介绍两种常用的方法。
1. 几何解释法几何解释法是一种直观的方法，它通过将定积分转化为曲线下面的面积来计算。
具体步骤如下：（1）首先，画出函数f(x)在[a, b]上的图像。
（2）然后，根据图像，找出曲线与x轴之间的面积。
（3）最后，根据面积的几何意义，计算出定积分的值。
例如，对于函数f(x) = x^2，在区间[0, 1]上计算定积分的值。
根据几何解释法，我们可以画出函数的图像，并计算出曲线与x轴之间的面积为1/3。
因此，定积分的值为1/3。
2. 分割求和法分割求和法是一种数值计算的方法，它通过将区间[a, b]分割成若干小区间，然后对每个小区间内的函数值进行求和来逼近定积分的值。
具体步骤如下：（1）首先，将区间[a, b]分割成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b -a)/n。
（2）然后，计算每个小区间内的函数值f(xi)，其中xi为小区间的中点。
（3）最后，将每个小区间内的函数值进行求和，并乘以Δx，得到定积分的近似值。
例如，对于函数f(x) = x^2，在区间[0, 1]上计算定积分的值。
将区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，计算每个小区间内的函数值f(xi)，其中xi为小区间的中点。
最后，将每个小区间内的函数值进行求和，并乘以Δx，得到定积分的近似值。
二、不定积分的计算不定积分是积分的另一种形式，它可以用来求函数的原函数。
对于给定的函数f(x)，我们可以通过积分来求出它的原函数F(x)。
高考数学复习解题方法与解题模板专题讲解14---定积分求值问题
0
2
=
9π 2 2
+
1 sin 2t 2
π 2 0
=
9π 4
考点：定积分及运算．
【变式演练 10】 ∫1( 1− x2 + x + x3)dx = ______. 0
【答案】 π + 3 【解析】 4
试题分析：因为 ， ， ∫ ∫ ∫ ∫ 1 (
1− x2 + x + x3)dx =
1
1− x2 dx +
B． π + 3 2
D． π + 3 4
试题分析： ,故选 A． ∫ ∫ ∫ 2 f (x)dx = −1
1 −1
1− x2 dx +
2 1
(x2
−1)dx
=
1 2
π
×12
+
(1 3
x3
−
x)
|12
=
π 2
+
4 3
考点：定积分．
【变式演练 9】定积分 ∫3 9 − x2dx 的值为（ ） 0
A． 9π
B． ln 2 − 7 2
C． ln 2 − 5 8
D． ln 2 − 17 8
考点：定积分的应用.
【变式演练 4】若 ∫a (2x + 1)dx = 3+ ln 2(a >1) ，则a 的值是___________．
1
x
【答案】a = 2
【解析】
试题分析：由 ，得 ，所以 ． ∫a 1
(2x
+
1 x
第二步 求方程 f '(x) = 0 的根； 第三步 判断 f '(x)在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例 1 ∫π sin xdx 的值为（ ）
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法在微积分中，确定定积分的值是一个重要的问题。
定积分是一个实函数在给定区间上的积分，表示该函数在该区间上的总体积。
在本文中，我将介绍四种常见的方法来确定定积分的值。
这些方法分别是：几何解释法、Riemann和法、换元积分法和分部积分法。
一、几何解释法例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成无限个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后将所有小矩形的面积相加，即可得到定积分的值。
对于该例子，我们可以将区间[0,1]分成无限个宽度为dx的小矩形，其高度为f(x)=x^2、因此，定积分的值为∫[0,1]x^2dx=1/3二、Riemann和法Riemann和法是一种将定积分转化为求和的方法。
它使用一个区间分割，把整个区间分成无限个小区间。
然后，通过对每个小区间让其长度趋近于零，计算每个小区间的函数值和相加，从而求得定积分的近似值。
当小区间的数量无限增加时，所得的近似值将趋近于定积分的真正值。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成n个小区间，每个区间的宽度为Δx=(1-0)/n，其中n为正整数。
然后，我们可以计算每个小区间的函数值并相加，即可得到定积分的近似值。
当使用Riemann和法时，分割区间的选择对于确定近似值的精确性非常重要。
如果区间分割得足够细，近似值将趋近于定积分的真正值。
三、换元积分法换元积分法是一种通过进行变量替换来简化定积分的方法。
它利用函数的链式法则，将原函数中的自变量替换为新的变量，然后计算新函数的微分。
通过进行适当的变量替换，我们可以将原本复杂的定积分转化为更简单的形式，从而易于计算。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以进行变量替换，令u=x^2，则du=2xdx。
通过将原函数中的自变量替换为新变量，我们可以将原本的定积分转化为∫[0,1]u(1/2√u)du。
人教版2023高中数学定积分题型总结及解题方法
(每日一练)人教版2023高中数学定积分题型总结及解题方法单选题1、曲线y =x 2与直线y =3x 围成图形的面积为（ ）A ．274B ．272C ．92D ．9答案：C解析：先求出两个曲线的交点坐标，进而确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数，最后依据微积分基本定理求解即可得到答案.由直线y =3x 与曲线y =x 2，解得{x =0y =0 或{x =3y =3， 所以直线y =3x 与曲线y =x 2的交点为O (0,0)和A (3,3)，因此，直线y =3x 与曲线y =x 2所围成的封闭图形的面积是S =∫(3x −x 2)dx 30=(32x 2−13x 3)|30 =92. 故选：C.小提示：本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、∫2x+3x+22−1dx =（ ）A ．2+ln2B ．3−ln2C ．6−ln2D ．6−ln4答案：D解析：先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.由题，∫2x+3x+2d x 2−1=∫(2−1x+2)d x 2−1 =[2x −ln(x +2)]|−12 =(4−ln4)−(−2−ln1)=6−ln4.故选：D小提示：本题考查定积分的运算，属于基础题.3、函数y =−x 3，y =√x 与y =1图象围成区域面积为S ，则（ ）A ．S >1B ．S <1C ．S =1D ．无法确定答案：A解析：在同一平面直角坐标系中作出三个函数的图象，求出交点坐标，再由定积分的几何意义可得S =∫[1−0−1(−x 3)]d x +∫(1−√x)d x 10，再由微积分基本定理计算S 的值即可求解. 分别作出函数y =−x 3，y =√x 与y =1图象如图所示：y =−x 3，y =√x 都过点O (0,0)，由{y =−x 3y =1得x =−1，所以A (−1,1)， 由{y =√x y =1得x =1，所以B (1,1)， 所以区域面积为S =∫[1−(−x 3)]d x +0−1∫(1−√x)d x 10 =∫(1+x 3)d x +0−1∫(1−√x)d x 10=(x +14x 4)|−10+(x −23x 32)|01 =0−(−1+14)+(1−23)−0=34+13=1312>1， 故选：A.填空题4、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是______．答案：43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点P (x,0,z )，则0≤x ≤2，0≤z ≤2，求出点P 的轨迹方程，再利用定积分可求得结果.以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设点P (x,0,z )，则0≤x ≤2，0≤z ≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2−z ，因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ，所以，BC ⊥BP ，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x −2)2+z 2， 由已知可得√(x −2)2+z 2=2−z ，化简可得z =x −x 24，当x =2时，z =1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2,0,1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是∫(x −x 24)dx 20=(12x 2−x 312)|02 =43.所以答案是：43.5、设a =∫sinxdx π0，则二项式(a √x √x )6的展开式中含x 2项的系数为__________.答案：−192解析：根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． ∵a =∫sinxdx π0=(−cosx)|x=0x=π=2，∴(a √x √x )6=(2√x √x )6的展开式通项为：T =C 6r (2√x)6−r √x )r =(−1)r 26−r C 6r x 3−r ，令3−r =2，得r =1，故含x 2项的系数为−26−1C 61=−192所以答案是：−192小提示：本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于容易题．。
高中定积分的计算方法
在高中阶段，定积分是比较重要的一类知识，在学习时要注意对定积分的理解，并能够灵活运用。
高中定积分的计算方法及常见问题对于定积分的计算大家应该都比较熟悉，我们在做题目时经常会用到，但其实对于函数而言，我们可以把它看作是一个特殊点或者是一个特殊的类问题来进行分析。
因为是特殊的类问题所以它也有一些常规型题目可以解。
那么首先我们来看一下，如果我们要想得到一个函数的定积分值需要满足哪些条件。
首先，我们要了解一个函数的基本情况，然后再去进行计算，就会比较简单了。
对于函数的定义式，一定要理解清楚，特别是关于y=f （x）的定义公式一定要掌握好；其次就是求值的公式，这个要特别注意，因为在求解定积分时，关于求值公式只有两个：定积分的表达式、定积分的求值公式。
这两个计算公式一定要熟记于心。
在这个基础上才可以去进行计算。
对于求值公式：a (x)+b 是函数式中最简单也是最常用的一个公式。
一般情况下，我们会把a看成是常数项a>0或者b=0。
对于定积分来说a>0意味着这个函数是一个无穷级函数，它是有一个最大值的；当它等于零也就意味着对于这个点来说他的所有取整值都等于零。
其次就是求值项，一般情况下函数定义域范围也是由定积分决定的。
定积分域范围可以用定积分表或者直接使用定义公式来确定；取整值要注意这个问题；然后就是求取值了：我们需要把两个式子写出来：求积计算式（x）=x+b (x）-a+b这里面如果a>0或者b>0时我们就可以直接用求积计算式（x）=x+b来进行计算，如果a<0时就要先对变量进行取整处理，然后再使用求积计算式（x）=x-p进行计算。
接下来我们看一下定积分中比较重要的几个概念：1、定容比：在确定一个函数时一定要保证这个函数与它所研究问题之间满足一定条件才可以进行计算。
2、积分区域：当一个给定函数被求出后需要确定是否要在这个区域内进行积分（注意要把它作为定容比来看待）。
定积分的计算与题型总结
定积分的计算与题型总结本文内容是高等数学中积分相关内容的一个大总结，包括凌乱知识点的总结和一些附带的例子，以及一些常用的和容易出错的细节和结论。
内容主要涉及定积分的计算技巧、结论的运用、定积分的几何和物理应用；多重积分的计算技巧(包括排列和旋转等。
)及其在定积分中的应用；曲线和曲面积分的计算公式和定理总结，各种积分之间的关系，物理和几何的应用。
您现在浏览的内容是此系列的第一篇：定积分的计算与题型总结。
1.定积分的计算(1)直接先计算不定积分，然后使用牛顿-莱布尼茨公式。
这个非常简单，也是最基本的一种方法，不多赘述。
（注意：只适用于所有能简单积分出原函数的题，所以想做好定积分，不定积分首先要过关。
）牛顿-莱布尼茨公式：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且存在原函数 F(x) ，则 \int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg|_{a} ^{b}(2)利用定义计算。
若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可积，将区间分为 n 等分:\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x =\lim _{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^{n}f\left[a+\frac{i}{n}(b-a)\right] \frac{b-a}{n}特别注意，根据上述表达式有，当 [a, b] 区间恰好为 [0,1] 区间时，则 [0,1] 区间积分表达式为:\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)例1:用定义计算 \int_{0}^{1}x^2\mathrm{d}x解: \int_{0}^{1} x^2 \mathrm{d} x=\lim _{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^2=\lim _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2=\lim _{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}(3)利用奇偶性计算根据定积分的几何意义(图像和横轴围成的有向面积)，奇函数在正负对称区间的积分为0。
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高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法
【知识要点】 一、曲边梯形的定义
我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法
分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：1
1
()()n
n
n i
i i i b a
S f x x f n ξ==-=
∆=∑∑
如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数
()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b
a
S f x dx =⎰，
其中
⎰
是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx
是被积式.
说明：（1）定积分
()b
a
f x dx ⎰
是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋
近的常数S （n →+∞时）记为
()b
a
f x dx ⎰
，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③
求和：1
()n
i i b a
f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()b
b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；
性质2
1212[()()]()()b
b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰
⎰⎰（定积分的线性性质）；
性质3()()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰
⎰⎰其中（定积分对积分区间的
可加性）
五、定积分的几何意义
（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由
直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.
（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()b
a
f x dx ⎰表示由
直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分
()b
a
f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.
（4）图中阴影部分的面积S=
1
2
[()()]b
a
f x f x dx -⎰
六、微积分基本定理
一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰，
这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()b
a
F x ，
即
()()()()b
b a a
f x dx F x F b F a ==-⎰
.
计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式
（1） 1
()cx c = （2）1
(sin )cos x x = （3）1
(cos )sin x x -=
( 4)11
(
)(1)1
n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(
（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1
x ¢+=+
八、求定积分的方法
(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.
【方法讲评】
【例1】 定积分
1
1
(||1)x dx --ò
的值为____________.
【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220
sin 2
x dx π
=⎰ ．
【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2
++=x f x x f ,则
3
()f x dx =⎰
( )
A ．16
B ．18-
C ．24-
D ．54
【例2】计算
10
(1dx +⎰
的结果为（ ）.
A ．1
B ．4
π C ．14π+ D ．12π+
【解析】先利用定积分的几何意义求
dx x ⎰
-1
21：令)10(12≤≤-=x x y ，即
)0,10(12
2
≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图）
，dx x ⎰-102
1即是4
1圆面积，即4π；所以 1
(1dx +⎰
=4
1111
21
π
+
=-+
⎰
⎰
dx x dx .
【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的
4
1
（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.
【反馈检测3】3
1
3)___________
dx =⎰
参考答案
【反馈检测1答案】
14
2
π
-
【反馈检测1详细解析】
⎰
⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20
2020202
2cos 212cos 212sin π
πππ
dx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22
020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-
【反馈检测3答案】263
π 【反馈检测3详细解析】
由于3
13)dx =ò1
⎰
+3
1
3dx ⎰．
其中
1
⎰
值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形
的面积的大小，即图中阴影部分的面积．
故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =
21112
1212623
ππ⨯⨯⨯+⨯=+
又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò2
63π+ ．
故答案为：2
63
π．。