第六章格与布尔代数

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定义6.2.9
设<L, , >为有界格，1和0分别为它的全上界和全
下界，a∈L。如果存在b∈L，使得
ab = 0，ab = 1，
则称b为a的补元，记为a'。若有界格<L, , >中的
所有元素都存在补元，则称<L, , >为有补格。
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例6.2.9
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性质6.2.2
（1）四个元素以下的格 e 都是分配格； （2）五个元素的格仅有 c 两个格是非分配格(图 6.2.8(a)和(b))，其余 b 三个格(右图 (a), (b) a 和(c))都是分配格。
(a) d e e
d b a (b) c
c
d
b
a (c)
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a b = [a, b]，其中[a, b]表示a, b的最小公倍数
ab = (a, b)，其中(a, b)表示a, b的最大公因数
则, 是Z+上的二元运算，且满足交换律、结合律、 吸收律和等幂律，于是<Z+, , >是一个格。S = {3k | k∈Z+} ，试证明<S, , >是<Z+, , >的 子格。
b∧(c∨d)=b∧e=b，而
(b∧c)∨(b∧d)=a∨a = a。 在图 (b)中， c∧(b∨d)=c∧e= c，而 (c∧b)∨(c∧d)=a∨d=d。 因此，在图 (a)和(b)中都有， b∧(c∨d)≠(b∧c)∨(b∧d) 故它们都不是分配格。
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定理6.2.5
一个格是分配格的充分必要条件是该格中没有任何 子格与6例15.2.86中的两个五元素格中的任何一个 同构。
（2）因命题公式的析取、合取运算满足分配律， 所以，格<P, ∧, ∨>是分配格。
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定理6.2.4
所有链都是分配格。
证明 设<L, ≤ >是链，因此<L, ≤ >是格，任取 a, b, c∈L，只有以下两种情况：
（1）a是三者中最大的，即b ≤ a，c ≤ a；
（2）a不是三者中最大的，即a ≤ b或a ≤ c。
推论6.2.1 在有补分配格(既是有补格又是分配格， 简称为有补分配格)<L, , >中，每个元素都存 在惟一的补元。
如下图有界格，求其所有元素的补元(如果有的话)。
1 1
a
b d 0 (a)
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c
e
a c 0 (b)
b d
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例6.2.9（续）
解 对于图a中, a,d都是e的补元,c和e都是d的补 元, b无补元。 对于图b: 0' = 1，1' = 0，
a' = b，a' = d， b' = a，b' = c， c' = d，c' = b， d' = a，d' = c
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有限格与有界格
若<L, ≤ >是有限格，设L = {a1, a2, „, an}， 由于运算“”和“”满足结合律，所以有 ((a1a2)„an) = a1a2„an ((a1a2)„an) = a1a2„an 此时， a1a2„an和a1a2„an分别是格L的全 下界和全上界，即有
定理6.2.6
设<L, , >是分配格，对于任何a, x, y∈L，如 果ax = ay且ax = ay，则x = y。 证明 x = x (ax) = x (ay) = (xa) (xy) = (ay) (xy) = y (ax) = y (ay) (吸收律) (已知ax = ay) (分配律) (已知ax = ay) (交换律，分配律) (已知ax = ay)
（1）S≠Φ；
（2）对任意a, b∈S， <L, ≤ >的保交和保联运 算都有 ab = GLB{a, b}∈S， ab = LUB{a, b}∈S， 则称<S, ≤ >是<L, ≤ >的一个子格，简称S是L的 子格。
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例6.2.5
设<L, ≤ >是一个格，a∈L，令S = {x|x∈L, x ≤ a}，则S是L的子格。 证明 因为a ≤ a，所以a∈S，即S是非空子集。 对任意x, y∈S，由x ≤ a，y ≤ a，可知 xy = GLB{x, y} ≤ a，即xy = GLB{x, y}∈S xy = LUB{x, y} ≤ a，即xy = LUB{x, y}∈S 故S是L的子格。
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例6.2.1（续）
分析 判断一个偏序集<L, ≤ >是否是格，要对L的 所有2元素子集看它是否都有最大下界和最小上界 解 （1）对a, b∈Z＋，有 a*b = GLB{a, b} = GCD{a, b}∈Z＋ GCD表示{a, b}的最大公因子。 ab = LUB{a, b} = LCM{a, b}∈Z＋ LCM表示{a, b}的最小公倍数。 所以，<Z+, D>是一个格。
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定义6.2.5
设<L, ∧, ∨>和<S, *, >是两个格，f是L到S的 映射。如果对任意x, y∈L，都有 f(x∧y) = f(x)* f(y)，f(x∨y) = f(x) f(y)
则称f为从格<L, ∧, ∨>到格<S, *, >的格同态 映射，简称格同态。 如果f是格同态，当f分别是单射、满射和双射时， f分别称为单一格同态、满格同态和格同构。
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例6.2.8
右图所示的两个格都不 是分配格。 分析 由于链是分配格， 因此在同一条链上的元 b 素都满足分配等式，最 有可能不满足分配等式 的元素不在同一条链上。 选取b, c, d来验证即可。
e
e
c
c
d
b
d
a (a) a (b)
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例6.2.8（续）
解 取图中b, c, d三个元素验证。在图 (a)中，
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定义6.2.6
设<L, , >是一个格，如果对任意a, b, c∈L，都 有 a(bc) = (ab) (ac) ， a(bc) = (ab) (ac)， 即运算满足分配律，则称<L, , >是一个分配格。
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例6.2.7
（1）设A为任意一个集合，格<P (A), ∩, ∪>是 否是分配格？ （2）设P为命题公式集合，∧与∨分别是命题公式 的合取与析取运算，格<P, ∧, ∨>是否是分配格？ 解 （1）因集合的交、并运算满足分配律，所以， 格<P(A), ∩, ∪>是一个分配格。
也可用∩和∪、·和＋、∧和∨分别表示保交和保 联
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例6.2.1
（1）考虑偏序集<Z+, D>，其中Z+是正整数，D是 一个整除关系，问此偏序集<Z+, D>是否是一个格？ （2）设A是一个集合，P(A)是A的幂集，是集合上 的包含关系，问此偏序集<P(A), >是否是一个格？ （3）所有的全序集<L, ≤ >都是格？
设<L, ≤ >是一个偏序集，如果对任意a, b∈L， {a, b}都有最大下界和最小上界存在，则称<L, ≤ >是格，简称L是格。若L为有限集，则称格<L, ≤ >为有限格。 暂且把由偏序关系定义的格称为偏序格
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保交与保联
在格<L, ≤ >中，任取a, b∈G，则{a, b}的最大 下界和最小上界都是惟一存在的，且均属于L。 用a*b表示{a, b}的最大下界，称为a与b的保交， 用ab表示{a, b}的最小上界，称为a与b的保联， 即 a*b = GLB{a, b}，ab = LUB{a, b}
故<L, ≤ >是一个格。
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定义6.2.2
设<L, ∧, ∨>是具有两个二元运算的代数系统， 如果运算∧和∨满足交换律、结合律和吸收律，则 称<L, ∧, ∨>为格。 把由代数系统定义的格称为代数格。
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例6.2.3
设A是一个集合，P(A)是A的幂集，∩和∪分别是集 合的交和并运算，试证明代数系统<P(A), ∩, ∪> 是一个格。 证明 由集合的运算性质知，交和并运算都满足交 换律、结合律和吸收律，因此由定义知，<P(A), ∩, ∪>是一个格。
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例6.2.1 解（续）
（2）对S1，S2∈P(S)，有
S1*S2 = GLB{S1, S2} = S1∩S2∈P(S)
S1S2 = LUB{S1, S2} = S1∪S2∈P(S)
所以，<P(S), ∩， ∪ >是一个格。
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例6.2.1 解（续）
（3）因为在全序集<L, ≤ >中，对任意a, b∈L， 都有a ≤ b或b ≤ a成立。 若a ≤ b成立，则{a, b}有最大下界为a，最小上 界为b； 若b ≤ a成立，则{a, b}有最大下界为b，最小上 界为a；
a (bc) = (ab)(ac) = b(ac) 故是<L, , >模格。
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性质6.2.3
（1)每一个链格<L, , >都是模格；
（2）四个元素以下的格都是模格；
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定义6.2.8
设<L, ≤ >是一个格，若存在元素a∈L，使得对任 意x∈L，都有： a ≤ x(或x ≤ a)， 则称a为格<L, ≤ >的全下界(或全上界)，分别记 为0(或1)，具有全上界和全下界的格称为有界格。 显然，对任意x∈L，有 1x = x1 = Biblioteka Baidu，1x = x1 = 1 0x = x0 = 0，0x = x0 = x
a1a2„an = 0
a1a2„an = 1 所以，有限格一定是有界格。
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定理6.2.8
在格<L, ≤ >中，全下界和全上界分别是集合L的 最小元和最大元，由于最大元和最小元的惟一性， 有下面的定理： 定理6.2.8 设<L, ≤ >是一个格，若格<L, ≤ > 的全上界和全下界存在，则必惟一。
离散数学
中北大学电子与计算机科学技术学院
2012年6月1日星期五
第6章 格与布尔代数
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偏序格与代数格
集合的表示方法 格的性质 子格与格同态
特殊格
布尔代数
2
偏序格
比较右边两个哈 斯图的不同？
e
f d
d
b
c a (a) b a (b)
c
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定义6.2.1
= y
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(吸收律)
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定义6.2.7
设<L, , >是格，如果对任意a, b, c∈L，有
a≤b
a≥b
a(bc)=b(ac)或
(模律) a(bc)=b(ac)
则称<L, , >为模格，也称为戴德金格
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定理6.2.7
分配格是模格。
证明 设<L, , >是分配格，对任意a, b, c∈L， 如果a ≤ b，那么ab = b，由分配律得
则图a不是有补格，图b是有补格。
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定理6.2.9
在有界分配格(既是有界格又是分配格，简称为有 界分配格)<L, , >中，如元素a∈L有补元存在， 则此元素的补元必惟一。 证明 设a有两个补元b和c，由补元的定义知
ab = 0 = ac，ab = 1 = ac
由定理知，b = c。
在情况(1)中，b∨c≤ a，故a∧(b∨c) = b∨c。 显然，a∧b = b，a∧c = c。所以 a∧(b∨c) = b∨c =(a∧b)∨(a∧c)。 ,
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定理6.2.4（续）
在情况(2)中，a≤b∨c，而a∧b=a或a∧c=a，从而 (a∧b)∨(a∧c) = a，所以 (a∧b)∨(a∧c)= a = a∧(b∨c) 所以<L, ≤ >是分配格。
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例6.2.4 证明
显然S≠Φ。因为对任意3m, 3n∈S，都有
3m3n = [3m, 3n] = 3[m, n]∈S，
3m3n = (3m, 3n) = 3(m, n)∈S
所以，<S, , >是<Z+, , >的子格。
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子格
定义6.2.4 设<L,≤>是一个格，S L，若S满足：
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定义6.2.3
设代数系统<L, , >是一个格，S L，若S满足：
（1）S≠Φ；
（2）运算和对子集S都是封闭的；
则称<S, , >是<L, , >的子格，简称S是L的 子格。
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例6.2.4
在正整数集合Z+中规定、为：对任意a, b∈P，