初三数学矩形的判定练习题

合集下载

矩形的判定专项练习30题(有答案)ok

矩形的判定专项练习30题(有答案)ok1.在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△XXX。

证明：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD 是矩形。

2.平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M。

证明：（1）∠BGC=90°；（2）四边形GBMC是矩形。

3.O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E。

问：（1）四边形OCDE是矩形吗？说明理由；（2）将菱形改为另一种四边形，其它条件都不变，能得出什么结论？根据改编后的题目画出图形，并说明理由。

4.△ABC中，AD⊥BC于D，点E、F分别是△ABC中AB、AC中点，什么条件下四边形AEDF是矩形？说明理由。

5.菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O。

问：（1）用尺规作图的方法，作出△AOB平移后的△DEC，其中平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；（2）观察图形，判断四边形DOCE是什么特殊四边形，并证明。

6.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN。

证明四边形NDMB为矩形。

7.点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE相交于点E。

证明四边形OCED是矩形。

8.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD。

证明：（1）四边形DBEM是平行四边形；（2）若BD=DC，证明四边形ABCM为矩形。

9.在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN∥BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点。

证明四边形AECF是矩形。

九年级数学矩形的判定(基础)(含答案)

矩形的判定（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下列识别图形不正确的是( )A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形答案：C解题思路：1．解题要点：矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．解题过程：A，B选项都是正确的C选项是错误的D选项：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故对角线互相平分且相等的四边形是矩形；正确试题难度：三颗星知识点：略2.已知平行四边形ABCD，对角线交于点O，下列条件不一定能确定为矩形的是( )A.∠ABC=90°B.OA=OBC.AB=BCD.AC=BD答案：C解题思路：1．解题要点：矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．解题过程：A选项：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确B选项：对角线相等的平行四边形是矩形；正确D选项：对角线相等的平行四边形是矩形；正确C选项：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；错误试题难度：三颗星知识点：略3.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC．其中能说明平行四边形ABCD是矩形的有( )A.①④B.②④C.①②④D.①③④答案：A解题思路：1．解题要点：矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．解题过程：①对角线相等的平行四边形是矩形；正确②有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；错误③由∠1=∠2只能得到AD∥BC；错误④有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确故①④能说明平行四边形ABCD是矩形试题难度：三颗星知识点：略4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是( )A.菱形B.矩形C.正方形D.任意的平行四边形答案：B解题思路：1．解题要点：平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形2．解题过程：如图，∵DA=AB，EA=AC∴CE与BD相互平分∴四边形BCDE是平行四边形∵AB=AC∴DA=AB=EA=AC∴CE=BD∴平行四边形BCDE是矩形试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是( )A.∠BAC=∠ACBB.∠BAC=∠ACDC.∠BAC=∠DACD.∠BAC=∠ABD答案：D解题思路：1．解题要点：矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形2．解题过程：A选项：由∠BAC=∠ACB得到AB=BC；有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；错误B选项：由∠BAC=∠ACD只能得到AB∥CD；错误C选项：由∠BAC=∠DAC得到∠BAC=∠ACB，与A选项一致；错误D选项：由∠BAC=∠ABD得到AC=BD；对角线相等的平行四边形是矩形；正确故D选项能判断这个平行四边形是矩形试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC=BD，那么下列条件中不能判断四边形ABCD是矩形的是( )A.AD=BCB.AB=CDC.∠DAB=∠ABCD.∠DAB=∠DCB答案：B解题思路：1．解题要点：矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2．解题过程：A选项：由AD∥BC，AD=BC得到平行四边形ABCD，由AC=BD得到平行四边形ABCD是矩形；正确B选项：不能判断四边形ABCD是矩形；错误C选项：由AD∥BC，∠DAB=∠ABC得到∠DAB=∠ABC=90°，由AC=BD，AB=AB得到△ABC≌△BAD，进而得到AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，由AC=BD得到平行四边形ABCD是矩形；正确D选项：由AD∥BC，∠DAB=∠DCB得到∠ABC+∠DCB=180°，进而得到AB∥CD，四边形ABCD 是平行四边形，由AC=BD得到平行四边形ABCD是矩形；正确故B选项不能判断四边形ABCD是矩形试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND答案：A解题思路：1．解题要点：矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形2．解题过程：在□ABCD中OA=OC，OB=OD∵BM=DN∴OM=ON∴四边形AMCN是平行四边形∴平行四边形AMCN只需满足AC=MN或者四个顶角中有直角即可判断四边形AMCN是矩形A选项OM=AC可得到AC=MN，可判断四边形AMCN是矩形试题难度：三颗星知识点：略8.如图，在△ABC中，AB=AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．连接AE，DC，AD，则下列说法不正确的是( )A.平移至点O为AC中点时，四边形AECD为矩形B.平移至点E为BC中点时，四边形AECD为矩形C.平移过程中，ED=ABD.平移过程中，AD∥CE且AD=CE答案：D解题思路：1．解题要点：平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．解题过程：A选项：由平移可知，DE=AC，∠OCE=∠OEC，则点O为AC中点时，DE与AC相互平分，四边形AECD为矩形；正确B选项：点E为BC中点时，AD=CE且AD∥CE，又DE=AC，四边形AECD为矩形；正确C选项：由平移可知，ED=AB；正确D选项：由平移可知，平移过程中，AD∥CE且AD=BE，当点E为BC中点时，才有AD∥CE 且AD=CE；错误试题难度：三颗星知识点：略9.如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，CE．若∠A=50°，则当∠BOD=_______时，四边形BECD是矩形．( )A.50°B.80°C.90°D.100°答案：D解题思路：在平行四边形ABCD中，AB∥CD∴∠CBE=∠BCD=∠A=50°∵点O是BC的中点∴OB=OC∵∠BOE=∠COD∴△BOE≌△COD（ASA）∴BE=CD∴四边形BECD是平行四边形若四边形BECD是矩形，则∠DBE=90°，OB=OD∴∠OBD=∠ODB=40°∴∠BOD=100°试题难度：三颗星知识点：略10.如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，连接AD，BE．下列说法：①四边形AEBD 是平行四边形；②AB=BC时，四边形AEBD是矩形；③当∠C=90°时，四边形DBCE是矩形．正确说法的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：D解题思路：①∵DB∥AC，且，E是AC的中点∴DB=AE=CE∴四边形AEBD和四边形DBCE是平行四边形，①正确②∵四边形DBCE是平行四边形∴BC=DE∴当AB=BC时，AB=DE∴平行四边形AEBD是矩形，②正确③由①知，四边形DBCE是平行四边形∴当∠C=90°时，四边形DBCE是矩形，③正确故正确说法的个数是3个试题难度：三颗星知识点：略。

北师大版数学九年级上册：1.2.2 矩形的判定同步练习(含答案)

1.2.2 矩形的判定一、选择题1.下列所给的条件中,不能判定一个四边形是矩形的是()A.两条对角线相等B.有三个角是直角C.对角线互相平分且相等D.一组对边平行且相等,有一个角是直角2.如图K-5-1,要使▱ABCD成为矩形,需要添加的条件是()图K-5-1A.AB=BCB.AO=COC.∠ABC=90°D.∠1=∠23.如图K-5-2,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,若要使▱ABCD为矩形,则OB的长为()图K-5-2A.4B.3C.2D.14.如图K-5-3,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,则四边形ABCD是()图K-5-3A.菱形B.一般平行四边形C.矩形D.不能确定5.如图K-5-4,在△ABC中,D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于点E,F,下列说法正确的是()图K-5-4A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形二、填空题6.▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①∠ABC=90°;②AC⊥BD;③AB=BC;④AC 平分∠BAD;⑤AO=DO.其中能使四边形ABCD是矩形的条件有.(填序号)图K-5-57.如图K-5-5,为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直,工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC,BD的长度,若两者长度相等,则该书架的侧边与上、下边都垂直,其中的数学原理是.三、解答题8.如图K-5-6,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.求证:四边形ABCD是矩形.图K-5-69.如图K-5-7,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:四边形AODE是矩形.图K-5-710.如图K-5-8,在▱ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.(1)求证:四边形EFGH是矩形;(2)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.图K-5-811.已知:如图K-5-9,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.图K-5-913.如图K-5-10①,△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形.(1)四边形ABCD是菱形吗?为什么?(2)如图②,将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置,则四边形ABC1D1是平行四边形吗?为什么?(3)在△BDC的移动过程中,四边形ABC1D1有可能是矩形吗?如果有可能,请求出点B移动的距离(写出过程);如果不可能,请说明理由(图③供操作时使用).图K-5-10参考答案1.A2.C3.B[解析] 假如▱ABCD是矩形,则有OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OB=OA=3.故选B.4.C[解析] ∵EF∥MN,∴∠EAC+∠MCA=180°.∵AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,∠EAF=180°,∠MCN=180°, ∴∠BAC+∠BCA=90°,∠BAD=90°,∠BCD=90°,∴∠B=90°.∴四边形ABCD是矩形.故选C.5.D[解析] 若AD⊥BC,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是矩形,选项A错误;若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是菱形,不一定是矩形,选项B错误;若BD=CD,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是菱形,选项C错误;若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形,选项D正确.故选D.6.①⑤7.对角线相等的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角8.证明:∵AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠D=180°-∠BAD=90°.∵在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,∴AB2+BC2=AC2,即△ABC是直角三角形,且∠B=90°,∴∠BAD=∠D=∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形.9.证明:∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE为平行四边形.∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOD=90°,∴四边形AODE 是矩形.10.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AG 平分∠DAB ,BG 平分∠ABC , ∴∠GAB=12∠DAB ,∠GBA=12∠ABC ,∴∠GAB+∠GBA=12(∠DAB+∠ABC )=90°,即∠AGB=90°. 同理可得∠DEC=90°,∠AHD=90°=∠EHG , ∴四边形EFGH 是矩形.(2)依题意得AB=CD=6,∠ECD=∠BCF=∠BAG=12∠DAB=30°. ∵在Rt △ABG 中,AB=6,∠BAG=30°, ∴BG=12AB=3.∵在Rt △CDE 中,CD=6,∠ECD=30°, ∴DE=12CD=3,CE=√CD 2-DE 2=3√3.∵在Rt △BCF 中,BC=4,∠BCF=30°, ∴BF=12BC=2,CF=√BC 2-BF 2=2√3,∴EF=CE-CF=3√3-2√3=√3,GF=BG-BF=3-2=1, ∴四边形EFGH 的面积=EF×GF=√3. 11.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴BF ∥CD ,AB=CD , ∴∠AFG=∠DCG.∵G 是AD 的中点,∴AG=DG. 又∵∠AGF=∠DGC , ∴△AGF ≌△DGC , ∴AF=CD , ∴AB=AF .(2)四边形ACDF 是矩形.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠F AG=60°.∵AG=AB,AB=AF,∴AG=AF,∴△AGF是等边三角形,∴AG=GF.∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形,∴AD=2AG,CF=2GF,则AD=CF,∴四边形ACDF是矩形.13.解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:∵△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形,∴AB=AD=BD=CD=BC,∴四边形ABCD是菱形.(2)四边形ABC1D1是平行四边形.理由:∵∠ABD1=∠C1D1B=60°,∴AB∥C1D1.又∵AB=CD=C1D1,∴四边形ABC1D1是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).(3)四边形ABC1D1有可能是矩形,此时,∠D1BC1=30°,∠D1C1B=90°.∵C1D1=1,∴BD1=2.又∵B1D1=1,∴BB1=1,即点B移动的距离是1.。

矩形的判定试题及答案

矩形的判定试题及答案一、选择题1. 下列选项中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）。

A. AB∥CD，AD∥BCB. ∠A=∠B=∠C=∠D=90°C. 对角线AC=BD且互相平分D. AB=CD且AD=BC答案：D2. 如果一个平行四边形的对角线相等，那么这个平行四边形一定是（）。

A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 梯形答案：C二、填空题3. 在矩形ABCD中，若∠BAC=90°，AB=3cm，BC=4cm，则对角线AC的长度为_________。

答案：5cm（根据勾股定理）4. 若矩形的长为8cm，宽为6cm，则其周长为_________。

答案：28cm（周长=2*（长+宽））三、解答题5. 已知平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，∠B=90°，求证：ABCD是矩形。

证明：由于ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC。

又因为∠B=90°，根据平行四边形的性质，对应的角也相等，即∠A=∠C=∠D=90°。

因此，ABCD是一个矩形。

6. 如图所示，矩形EFGH中，EF=6cm，FH=8cm，求对角线EH的长度。

解：由于EFGH是矩形，所以EH是FH的对角线，并且EH=GF。

根据矩形的性质，对角线相等，所以EH=FH。

又因为FH=8cm，所以EH=8cm。

四、综合题7. 在矩形PQMN中，已知PQ=10cm，QM=4cm，求证：对角线PN的长度为√41cm。

证明：由于PQMN是矩形，所以PQ∥MN，PM∥QN，且∠PQM=∠QMN=90°。

根据勾股定理，PN² = PM² + QM²。

由于PM=QN=PQ=10cm，QM=4cm，所以PN² = 10² + 4² = 100 + 16 = 116。

因此，PN = √116 = √41cm。

答案：对角线PN的长度为√41cm。

北师大版九年级数学上册第1章 1.2 《矩形的判定》同步测试(含答案)

北师版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的判定同步测试题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AC＝BD D．AB＝BC2．如图所示，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是其边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形EFGH是矩形，则下列说法正确的是( )A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD一定是平行四边形C．AC⊥BDD．AC＝BD3．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )A．AB＝BEB．DE⊥DCC．∠ADB＝90°D．CE⊥DE4．下列四边形不是矩形的是( )A．有三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．一组对边平行，且对角相等的四边形D．对角线相等且互相平分的四边形5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是()A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为()A．4 B．3 C．2 D．17.对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有() A．1组B．2组C．3组D．4组8. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是()A．∠BAC＝90° B．BC＝2AEC．ED平分∠AEB D．AE⊥BC9．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，若使四边形EFGH是矩形．则需要再满足的条件是()A．AC＝BD B．BC∥ADC．AB=BC D．AC⊥BD10. 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝ 3.则四边形ABCD的周长是()A．3-1B．1＋3C．2（3-1）D．2(1＋3)第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件：______________________________________，使四边形ABCD为矩形．12. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(2，0)，B点坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则C 点的坐标为____________．13．在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC，BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B＝∠C＝90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有____．(填序号)14. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是_________.15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为.16．如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC 满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．18. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在▱ABCD中，M是边AB的中点，且∠AMD＝∠BMC，求证：四边形ABCD是矩形．20. (6分) 如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．21. (6分)如图，已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB，CB和AD，CD分别相交于点B，D，连接BD，试写出线段AC和BD之间的数量关系，并说明理由.22．(6分) 如图，DB ∥AC ，且DB ＝12AC ，E 是AC 的中点．(1)求证：BC ＝DE ；(2)连接AD ，BE ，若要使四边形DBEA 是矩形，则需给△ABC 添加什么条件，为什么？23．(6分) 如图,在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC. (1)试猜想AE 与BF 有何关系,说明理由;(2)当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由.24．(8分) 如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF ∥BC 分别交∠ACB ，外角∠ACD 的平分线于点E ，F. (1)若CE ＝8，CF ＝6，求OC 的长；(2)连接AE ，AF ，问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．25．(8分) 如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝_________时，四边形BECD是矩形．参考答案 1-5 CCBCB 6-10 BBDDD11. B ＝90°或∠BAC ＋∠BCA ＝90° 12. (2，1) 13. ①② 14. 23 15. 12 16. 等于17. 答案不唯一，如∠BAC ＝90° 18. EB=DC19. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠A ＋∠B ＝180°，∠AMD ＝∠CDM ，∠BMC ＝∠DCM. 又∵∠AMD ＝∠BMC ，∴∠CDM ＝∠DCM ，∴MD ＝MC.又∵M 是AB 的中点，∴MA ＝MB ，∴△AMD ≌△BMC(SAS)，∴∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠B ＝90°，∴▱ABCD 是矩形20. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝12∠DAB ，∠ADF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝12(∠DAB ＋∠ADC)＝90°.∴∠AFD ＝90°.同理可得∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形 21. 解：AC ＝BD ，理由如下：∵AB 平分∠MAC ，CB 平分∠PCA ，∴∠BAC ＝12∠MAC ，∠ACB ＝12∠ACP.又∵MN ∥PQ ，∴∠MAC ＋∠ACP ＝180°，∴∠BAC ＋∠ACB ＝12(∠MAC ＋∠ACP)＝12×180°＝90°，∴∠ABC ＝90°.同理可得∠ADC ＝90°.∵AB 平分∠MAC ，AD 平分∠NAC ，∴∠BAD ＝12(∠MAC ＋∠NAC)＝90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD22. 证明：(1)连接AD ，BE ，∵E 是AC 中点，∴EC ＝12AC.∵DB ＝12AC ，∴DB ＝EC. 又∵DB ∥EC ，∴四边形DBCE 是平行四边形．∴BC ＝DE(2)添加AB ＝BC.理由：∵DB AE ，∴四边形DBEA 是平行四边形．∵BC ＝DE ，AB ＝BC ，∴AB ＝DE.∴平行四边形DBEA 是矩形 23. 解: (1)AE ∥BF,AE=BF.理由:∵△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC, ∴△ABC ≌△FEC, ∴AB=FE ∠ABC=∠FEC ∴AB ∥FE∴四边形ABFE 为平行四边形 ∴AE ∥BF,AE=BF(2)当∠ACB=60°时,四边形ABFE 为矩形. 理由:∵∠ACB=60°,AB=AC, ∴△ABC 是等边三角形,∴AC=BC, 结合旋转的性质,可得AC=BC=CE=CF, ∴AF=BE,∴四边形ABFE 是矩形.24. 解：(1)证明：∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠DCF.又∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF ，∴∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ， ∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF.∵∠OCE ＋∠BCE ＋∠OCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠ECF ＝90°， ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5(2)当点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由：连接AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ， ∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形25. (1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，AB ＝CD ，∴∠OEB ＝∠ODC ，又∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ，在△BOE 和△COD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴△BOE ≌△COD(AAS)，∴OE ＝OD ，∴四边形BECD 是平行四边形 (2)解：若∠A ＝50°，则当∠BOD ＝100°时，四边形BECD 是矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BCD ＝∠A ＝50°，∵∠BOD ＝∠BCD ＋∠ODC ，∴∠ODC ＝100°－50°＝50°＝∠BCD ，∴OC ＝OD ，∵BO ＝CO ，OD ＝OE ，∴DE ＝BC ，∵四边形BECD 是平行四边形，∴四边形BECD 是矩形。

初中矩形考试题型及答案

初中矩形考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 矩形的对角线相等且互相平分，下列哪个选项不是矩形的性质？A. 对角线相等B. 对角线互相平分C. 四个角都是直角D. 相邻两边垂直答案：D2. 若矩形的长为8cm，宽为6cm，则其周长为多少？A. 28cmB. 22cmC. 14cmD. 40cm答案：A3. 矩形的面积计算公式是？A. 长×宽B. 长+宽C. 长÷宽D. 长-宽答案：A4. 矩形的对边平行且相等，下列哪个选项不是矩形的对边关系？A. 平行B. 相等C. 垂直D. 重合答案：C5. 矩形的四个角都是直角，下列哪个选项不是矩形的角的性质？A. 每个角都是90度B. 相邻角的和为180度C. 对角相等D. 每个角都是45度答案：D6. 若矩形的对角线长度为10cm，长为6cm，则其宽为多少？A. 4cmB. 8cmC. 6cmD. 10cm答案：A7. 矩形的对角线互相平分，下列哪个选项不是对角线的性质？A. 相等B. 平行C. 互相平分D. 垂直答案：B8. 矩形的长和宽可以互换，下列哪个选项不是矩形的长宽关系？A. 可以互换B. 长宽相等时为正方形C. 长宽不等时为长方形D. 长宽相等时为矩形答案：D9. 矩形的对边平行，下列哪个选项不是矩形的边的性质？A. 对边平行B. 相邻边垂直C. 对边相等D. 相邻边平行答案：D10. 矩形的面积可以通过对角线和一边长计算得出，下列哪个选项是错误的？A. 面积=对角线×边长÷2B. 面积=长×宽C. 面积=对角线²÷2D. 面积=对角线×边长答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 矩形的对角线相等且互相________。

答案：平分2. 矩形的周长计算公式为：周长=2×（长+________）。

答案：宽3. 矩形的面积计算公式为：面积=________×宽。

九年级数学矩形的判定练习题

M Q P CB A 矩形的判定练习题1.判定一个四边形是矩形，可以先判定它是__________，再判定这个四边形有一个__________或再判定这个四边形的两条对角线__________.2.下列说法错误的是（）A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形3.如图，过矩形ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线交CD 的延长线于E ，则△AEC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等腰直角三角形4.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案，则∠FAC= ，∠FCA= 。

5.如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点0，点M 、N 、P 、Q 分别为OA 、OB 、OC 、OD 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并证明。

6.如图，平行四边形ABCD 中，点M 为AD 的中点，BM=CM求证：四边形ABCD 是矩形.7.如图，平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连接BM 、AN 交于点P ，连接CM 、DN 交于点Q 。

求证：四边形PNQM 是矩形.8.如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，且AD=BD=CD ，DE 、DF 分别平分∠ADC 、∠BDC 求证：四边形DECF 是矩形.E B C D A GF 4题图3题图9.已知：如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．10.如图，四边形ABCD中，BE=DF，AC、EF互相平分于点O，∠B=90°求证：四边形ABCD是矩形．11.如图，P为平行四边形ABCD外一点，且PA=PB，PC=PD求证：四边形ABCD是矩形．12.已知点E为平行四边形ABCD的边AB的中点，且ED=EC，求证：四边形ABCD为矩形。

矩形的性质与判定练习(含答案)

交于点 G ，四边形 ABGD 的面积是
．
26．如图，在长方形 ABCD 中， AB 4cm ，BC 8cm ．E 、F 分别是 AB 、BC 的中点．则
E 到 DF 的距离是
cm ．
27．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形OABC 中， A(10, 0) ，C(0, 4) ， D 为
（1） BCD 的形状为
；
（2）随着点 E 位置的变化， DBF 的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点 F 落在边 AC 上时，若 AC 6 ，请直接写出 DE 的长．
43．如图，在平行四边形 ABCD 中，AC AD ，延长 DA 于点 E ，使得 DA AE ，连接 BE ．（1）求证：四边形 AEBC 是矩形；（2）过点 E 作 AB 的垂线分别交 AB ，AC 于点 F ，G ，连接 CE 交 AB 于点 O ，连接 OG ，若 AB 6 ， CAB 30 ，求 OGC 的面积．
且 OE 2DE ，则 DE 的长为
．
19．如图， ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC 、 AB 于点 D 、 F ， BE DF 交 DF 延
长线于 E ，已知 A 30 ， BC 2 ， AF BF ，则四边形 BCDE 的面积是
．
20．如图，在 ABC 中， AD BC 于 D ， BE AC 于 E ， M 为 AB 边的中点，连结 ME 、
A． 3 1
B． 3 1
C． 6 1
D． 6 1
15．如图，在矩形 ABCD 中， AB 4 ， BC 6 ，点 E 为 BC 的中点，将 ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF ，则 CF 的长为 ( )

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

矩形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)完美打印版

矩形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．127．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S28．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S29．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA 为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．510．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．513．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=．20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有（将正确结论的序号填在横线上）27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是．矩形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABD D．∠BAC=∠ADB【分析】由矩形和菱形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选：C．3．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（）A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故选：B．5．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等腰三角形的定义，即可一一判断．【解答】解：如图图1中，∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图3中，同法可证∠1=∠2，∴BA=BC，∴△ABC是等腰三角形．图4中，△ABC是等腰直角三角形，故选C．6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于点E、F已知AB=3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．3 B．4 C．6 D．12【分析】由全等三角形的判定得到△OFB≌△OED，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．【解答】解：在矩形ABCD中，OB=OD，∠FBO=∠EDO，∴在△OFB与△OED中，∴△FBO≌△EDO，∴S阴影部分=S△ABO=S矩形=×3×4=3．故选A．7．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP 的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．S1=2S2【分析】根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积=△CDB的面积﹣△QKB的面积=△NDK的面积，∴S1=S2．故选：B．8．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S2【分析】由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．【解答】解：矩形ABCD的面积S=2S△ABC，而S△ABC=S矩形AEFC，即S1=S2，故选B．9．如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（）A．3 B．4 C．D．5【分析】连接DF，在Rt△CDF中，求出CF，再求出CE即可解决问题．【解答】解：连接DF．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=BE=12，DA=BC=DF=13，∠C=90°，∴CF===5，∵EC=BC﹣BE=13﹣12=1，∴EF=CF﹣CE=4．故选B．10．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等求出∠MCP，然后求出∠BCP，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=BC，MP=MC，∵∠PMC=110°，∴∠MCP=（180°﹣∠PMC）=（180°﹣110°）=35°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCP=90°﹣∠MCP=90°﹣35°=55°，∴∠BCP=∠BPC=55°．故选C．11．已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【分析】先由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断甲的作业正确；先由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断乙的作业也正确．【解答】解：由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD是矩形．所以乙的作业正确；故选A．12．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．5【分析】设FC′=x，则FD=9﹣x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设FC′=x，则FD=9﹣x，∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故选D．13．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，当P从A向D运动（P与A，D不重合），则PE+PF的值（）A．增大B．减小C．不变D．先增大再减小【分析】首先过A作AG⊥BD于G．利用面积法证明PE+PF=AG即可．【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，则S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴PE+PF=AG，∴PE+PF的值是定值，故选C．14．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3 C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选D．15．如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．5cm2D．cm2【分析】根据矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分可得下一个图形的面积是上一个图形的面积的，然后求解即可．【解答】方法一：解：设矩形ABCD的面积为S=20cm2，∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于BC的，∴平行四边形AOC1B的面积=S，∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的，∴平行四边形AO1C2B的面积=×S=，…，依此类推，平行四边形AO4C5B的面积===（cm2）．故选：B．二．填空题（共12小题）16．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是9．【分析】连接EO，延长EO交AB于H．只要证明四边形ADEO是平行四边形，推出OE=AD，再证明OH 是△ADB的中位线，可得OE=AD，延长即可求出EH解决问题．【解答】解：连接EO，延长EO交AB于H．∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OD=OC，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，∵AB∥CD，AD⊥CD，∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，∴四边形ADEO是平行四边形，∴AD=OE=6，∵OH∥AD，OB=OD，∴BH=AH，∴OH=AD=3，∴EH=OH+OE=3+6=9，故答案为9．18．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．19．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=5．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为520．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是6．【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4．S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ=AB•CB﹣BC•MB AD•AM=4×3﹣4×BM﹣×4×AM=12﹣2MB﹣2AM=12﹣2（MB+AM）=12﹣2×3=6．故答案为：6．21．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．22．如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为10cm2．【分析】本题主要考查矩形的性质，找出题里面的等量关系求解即可．【解答】解：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，∴CE=4，CF=3．∴四边形DBFE的面积=8×4﹣8×4÷2﹣4×3÷2=10cm2．23．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF 的最小值是 2.4．【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：×4×3=×5×CP，∴CP=2.4，即EF=2.4，故答案为：2.4．24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），点D是OA的中点，点P在边BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．【分析】分为三种情况：①OP=OD时，②DO=DP时，③OP=PD时，根据点B的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【解答】解：∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形，∴OC=AB=4，∵D为OA中点，∴OD=AD=5，∵P在BC上，∴P点的纵坐标是4，以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，如图1所示：此时OP=OD=5，由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；由勾股定理得：CP=3，即P的坐标是（3，4）；以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，如图2所示：此时DP=OD=DP′=5，由勾股定理得：DM=DN=3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）；③作OD的垂直平分线交BC于P，如图3所示：此时OP=DP，P的坐标是（2.5，4）；故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（2.5，4）．25．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是16．【分析】由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故答案为：16．26．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中一定成立的结论有①③④（将正确结论的序号填在横线上）【分析】①正确．只要证明BO=BC，OF=FO即可解决问题；②错误．可以证明△EOB≌△FCB，由此即可判断；③正确．只要证明△DEF是等边三角形即可．④正确．只要证明S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S即可；△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，OA=OC，∴OB=OA=OB，∵∠COB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠DCA=30°，∵FO=FC，BO=BC，∴BF垂直平分OC，故①正确，∴∠FBC=∠OBE=30°，∴∠FOC=∠FCO=30°，∴∠FOB=90°，∵CD∥AB，∴∠FCO=∠EAO，∵∠FOC=∠AOE，OA=OC，∴△FOC≌△EOA，∴OE=OF，∴BF=BE，∵∠BOE=∠BCF=90°，∠EBO=∠CBF，∴△EBO≌△FBC，故②错误，∵DF∥EB，DF=BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴∠EDF=∠FBE=60°，∵∠DFE=180°﹣∠CFO=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF，故③正确，易知CM=AC，AE=CF=BF=BE，∴S△BCM=S△ACB，S△AOE=S△AOB=S△ABC，∴S△AOE：S△BCM=2：3．故④正确，故答案为①③④27．如图，矩形ABCD中，AD=，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=120°﹣90°=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=2，由勾股定理，AB===．故答案为：．三．解答题（共7小题）28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE=60°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【分析】（1）根据四边形ABDE是平行四边形和AB=AC，推出AD和DE相等且互相平分，即可推出四边形ADCE是矩形．（2）根据∠AOE=60°和矩形的对角线相等且互相平分，得出△AOE为等边三角形，即可求出AO的长，从而得到矩形ADCE对角线的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=AC．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∵∠AOE=60°∴△AOE为等边三角形，∴AO=AE=2，∴AC=2OA=4．29．如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；（2）由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵DE∥AC，∴四边形ADEC是平行四边形．又∵AC⊥BC，∴∠ACE=90°．∴四边形ADEC是矩形；（2）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．∵M是AB的中点，∴AB=2CM=10．∵AC=8，∴BC==6．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD．又∵四边形ADEC是矩形，∴EC=AD．∴EC=BC=6．∴矩形ADEC的面积=6×8=48．30．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．【分析】（1）可用三角形中位线定理求解，易知DG、EF分别是△ABC和△BOC的中位线，那么DG、EF 都平行且相等于BC，即DG与EF平行且相等，由此可证得四边形DEFG是平行四边形．（2）连接OA，则DE∥OA∥GF；若四边形DEFG是矩形，则DG和DE互相垂直；因此OA和BC也互相垂直，由此可判断出O点所处的位置．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG=BC；同理可证：EF∥BC，且EF=BC；∴DG∥EF，且DG=EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上（且不与点A和垂足重合）理由如下：连接OA；∵把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．∴DE∥OA∥GF，EF∥BC，∵O点在BC边的高上，∴AO⊥BC，∴AO⊥EF，∵DE∥OA，∴DE⊥EF，∴四边形DEFG是矩形．31．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF；（2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO；（2）解：∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，∴∠2+∠4=90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．（1）若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；（2）在（1）的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．【分析】（1）证出∠A=90°即可；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6﹣x在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2 ∴x2+22=（6﹣x）2，解得：x=∴AQ的长是．33．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC 的长及四边形AOFE的面积．【分析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可；（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质），∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°，∴∠ACE=30°，AE=2，CE=2，∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2，∵CF=CO，∴CF=2，过O作OH⊥CE于H，∴OH=OC=1，∴S四边形AOFE=S△AEC﹣S△COF=×2×2﹣×2×1=2﹣1．34．已知：如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四条边上的点（且不与各边顶点重合），设m=EF+FG+GH+HE，探索m的取值范围．（1）如图2，当E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点时，m=20．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m的取值范围．①请在图3中补全小贝同学翻折后的图形；②m的取值范围是20≤m＜28．【分析】（1）利用勾股定理求出矩形对角线的长度，再利用三角形中位线的性质得出EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，进而求出即可；（2）①利用轴对称图形的性质得出答案即可；②利用两点之间线段最短以及三角形三边关系得出m的取值范围即可．【解答】解：（1）如图2，连接AC，BD，∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=BD==10，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA四边中点，∴EH，EF，FG，HG，分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EH=BD，EF=AC，FG=BD，HG=AC，∴m=EF+FG+GH+HE=AC+BD=10+10=20；（2）①如图3所示（虚线可以不画），②由图形可知，四边形的周长即折线HM的长，由两点之间线段最短可知，折线HM≥20，即周长不小于20；又由题可知，四边形周长小于矩形ABCD的周长，即周长小于28，故20≤m＜28．故答案为：20；20≤m＜28．。

初三数学矩形的判定练习题(可编辑修改word版)

ＰＱ1.2 矩形的判定同步练习矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角。

基础与巩固1. 下列条件中，不能判定四边形 A B C D 为矩形的是（）． A ．A B ∥C D ，A B =C D ，A C =B D B ．∠A =∠B =∠D =90°C ．A B =B C ，AD =C D ，且∠C =90° D ．A B =C D ，A D =B C ，∠A =90° 2. 已知点A 、B 、C 、D 在同一平面内，有6 个条件：①A B ∥C D ，②A B =C D ，③B C ∥A D ， ④B C =A D ，⑤A C =B D ，⑥∠A =90°．从这 6 个条件中选出（直接填写序号） 3个，能使四边形 ABCD 是矩形．3. 已知：如图，在 A B C D 中，O 为边 A B 的中点，且∠A O D =∠B O C ．求证： ABCD 是矩形．4. 已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M 、N分别为 BC 、AD 的中点．求证：四边形 BMDN 是矩形．5. 已知：如图，A B =A C ，A E =A F ，且∠E A B =∠F A C ，E F =B C ．求证：四边形 E B C F 是矩形．DCAOBAEFBC6. 已知：如图， M ， N 分别是 ABCD 的对边 AD ， BC 的中点，且 AD 2 A B ，求证：四边形 PMQN 为矩形．ＡＭＤＢＮＣO2 ＰＮ 1ＭＱ拓展与延伸AD7. 已知：如图，在A B C D 中，以 A C 为斜边作 R t △A C E ，且∠B E D 为直角．求证：四边形 ABCD 是矩形．BCE8.如图，以△A B C 的三边为边，在 B C 的同侧分别作 3 个等边三角形，即△A B D 、△B C E 、△ ACF ．请回答问题并说明理由：D （1）四边形 ADEF 是什么四边形？（2）当△A B C 满足什么条件时，四边形 A D E F 是矩形？BC9. 如图，△A B C 中，C E 、C F 分别平分∠A C B 和它的邻补角∠A C D ，A E ⊥C E 于点 E ，A F ⊥C F于点 F ，直线 EF 分别交 AB 、AC 于点 M 、点 N ．（1）猜想四边形 AECF 的形状，并证明你的猜想; （2）判断 MN 与 BC 有何种位置关系，证明你的结论．10. 如图所示，口ABCD 中， AQ 、BN ，CN 、DQ 分别是∠DAB ，∠ABC ， ∠BCD ， ∠CDA 的平分线， AQ 与 BN 交于 P ，CN 与 DQ 交于 M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．ＡＤＢＣEFA。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

矩形中考试题及答案

矩形中考试题及答案
考试题一：计算矩形面积
给定一个矩形的长为a，宽为b，请计算该矩形的面积。

考试题二：计算矩形周长
给定一个矩形的长为a，宽为b，请计算该矩形的周长。

考试题三：判断矩形是否为正方形
给定一个矩形的长为a，宽为b，请判断该矩形是否为正方形。

考试题四：判断两个矩形是否相等
给定两个矩形的长和宽分别为a1、b1和a2、b2，请判断这两个矩形是否相等。

答案及解析：
考试题一：计算矩形面积
答案：矩形的面积可以用公式S = a * b来计算，其中a和b分别代表矩形的长和宽。

将a和b代入公式，即可得到矩形的面积。

注意单位要一致。

考试题二：计算矩形周长
答案：矩形的周长可以用公式C = 2 * (a + b)来计算，其中a和b分别代表矩形的长和宽。

将a和b代入公式，即可得到矩形的周长。

注意单位要一致。

考试题三：判断矩形是否为正方形
答案：矩形如果长和宽相等，则该矩形为正方形；反之，则该矩形不是正方形。

考试题四：判断两个矩形是否相等
答案：两个矩形是否相等可以通过比较它们的长和宽是否相等来判断。

如果两个矩形的长和宽均相等，则它们相等；反之，则它们不相等。

以上是矩形中的考试题及答案，通过这些题目可以帮助学生巩固对矩形面积、周长以及判断矩形是否为正方形的概念。

希望同学们能认真思考并在解答问题时灵活应用所学的知识。

九年级数学矩形练习题(性质)(含答案)

7题E D C B A 8题E D C B A pF E 9题D C B A F E 10题D C B A 矩形练习题1、矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质之外，还具有其自身特有的性质 ○1 ○2 2、的四边形是矩形。

的平行四边形是矩形。

3、如图，O 为矩形ABCD 中AC 、BD 的交点，AE ⊥BD 于点E 。

○1若OE ∶OB=1∶2，AE= 3 cm ,则∠ABO 的度数为 BD 的长度为○2若AE 分∠DAB 为∠BAE ∶∠DAE=1∶5两部分，则∠OAE 的度数为 4、Rt △ABC 中，斜边AB 上的中线CD=5，∠A=30°，则斜边AB 上的高为5、矩形的一个内角平分线将矩形的一边分成3cm 和4cm 两部分，则该矩形的面积为6、矩形的两条对角线的夹角为60°，且矩形的短边长为4cm,则它的面积为7、如图，矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 为CD 上一点，且AE=AB ，则∠EBC 的度数为8、如图，矩形ABCD 中，E 为AB 中点，∠CED=90°，若矩形的周长为36，则AB= S 矩形=9、如图，矩形ABCD 中，AP ⊥BD 于点P ，E 、F 分别为AB 、AD 的中点，若矩形的周长为18，则四边形AEPF 的周长为10、如图，矩形ABCD 中，E 为AB 中点，DF ⊥CE 于点E ，若AB=6，BC=4，则DF=11、如图，矩形ABCD 的长为4，宽为3，O 为对角线的交点，直线l 经过点O ，将矩形分为两部分，则S 阴影= 。

12、如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，AB=4，BC=3，N 为CD 上一点， NE ⊥OD 于点E ，N F ⊥OC 于点F ，则NE+NF 的值为。

13、如图，将长AD=10㎝，AB=8㎝的矩形沿AE 对折，D 点落在BC 边上的F 点，则DE= 。

14、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为原面积的一半，则该平行四边形的一个最小内角的度数为。

《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习满分100分80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．下列关于矩形的说法，正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE 的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．故选：C．2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；故选：C．3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故②正确；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，∴正确的有4个，故选：D．二．填空题（共4小题）5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为AC＝BD．6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．【解答】解：①②⑥或③④⑥，理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：①②⑥，③④⑥．7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得3x＝20﹣2x．解得x＝4，故答案为：4．8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝∴AM＝，故答案为：．三．解答题（共2小题）9．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，……………………………………………………………………1分∵E是AC中点，∴AE＝EC，…………………………………………………………………………2分在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，………………………………………………………………3分∴EF＝DE，………………………………………………………………………4分∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，…………………………………………………5分∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．…………………………………………………………6分（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，…………7分∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，………………………………………………………8分∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．…………………………………………………………………………………10分10．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积＝AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积＝AB?AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，……………………………………………………………………1分∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠OCE，……………………………………………………………………2分∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO，……………………………………………………………………………3分同理：FO＝CO，∴EO＝FO；……………………………………………………………………………4分（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：……5分由（1）得：EO＝FO，又∵O是AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形CEAF是平行四边形，……………………………………………………6分∵EO＝FO＝CO，∴EO＝FO＝AO＝CO，∴EF＝AC，……………………………………………………………………………7分∴四边形CEAF是矩形；……………………………………………………………8分（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝＝5，△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，∵122+52＝132，即AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝AB?AC＝×12×5＝30，∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；故答案为：24．……………………………………………………………………10分。

九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题及答案(北师大版)

九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题及答案（北师大版）1．如图，点E为矩形ABCD内一点，且EA＝EB．求证：∠ECD＝∠EDC．2．如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM＝AB，BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝3，MN＝1，求AB的长．3．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB＝8，BC＝16，求CF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．（1）求证：四边形DEBF是矩形；（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．6．如图，在▱ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABF≌△DCE；（2）求证：四边形ABCD是矩形．7．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．9．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．10．如图，在矩形ABCD中，E为DC边的中点，连接AB，AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）连接AC，与BE相交于点G，若△GEC的面积为2，求矩形ABCD的面积．11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O作直线分别与矩形的边AB，CD交于E，F 两点，连接BF，DE．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若AD＝1，AB＝3，且EF⊥BD，求AE的长．12．已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）当△ABC的边AC、BC满足什么数量关系时，四边形AMCN是矩形，请说明理由．13．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：OC＝BC．（2）四边形ABCD是矩形．14．已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC的中点，连接AC，DE交于点F，AB＝AC，AF＝CF．（1）如图1，求证：四边形AECD是矩形；（2）如图2，连接BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与△BEF面积相等的三角形．15．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1（1）判断△BEC的形状，并说明理由；（2）求证：四边形EFPH是矩形．17．如图△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝4，CF＝3，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．18．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向点O运动．（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是否是平行四边形？请说明理由；（2）若AC＝16cm，BD＝12cm，点E，F在运动过程中，四边形DEBF能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P 作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，MD⊥MP，求AQ的长．20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．21．如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA 方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点的运动停止？（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？22．如图，AC为矩形ABCD的对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF．（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线D→C→B→A→D方向以2cm/s 的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？24．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A﹣B﹣C﹣D回到点A，设点P运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求△ABP的面积；（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．参考答案1．证明：∵EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA在矩形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，AD＝BC ∴∠DAB﹣∠EAB＝∠CBA﹣∠EBA即∠EAD＝∠EBC在△ADE和△BCE中{AD=BC∠DAE=∠CBE EA=EB∴△ADE≌△BCE（SAS）．∴ED＝EC∴∠ECD＝∠EDC．2．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB ∴∠BAN＝∠AMD∵BN⊥AM∴∠BNA＝90°在△ABN和△MAD中{∠BAN=∠AMD ∠BNA=∠D=90°AB=AM∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD∴BN＝AD＝3∵AB2＝AN2+BN2∴AB2＝（AB﹣1）2+9∴AB＝53．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAC＝∠BCA∵点O是AC的中点∴AO＝CO在△AEO和△CFO中{∠DAC=∠ACB AO=CO∠AOE=∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）；（2）解：如图，连接AF∵AO＝CO，EF⊥AC∴AF＝FC∵AF2＝AB2+BF2∴CF2＝（16﹣CF）2+64∴CF＝10．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB，DC＝AB∵FC＝AE∴CD﹣FC＝AB﹣AE即DF＝BE∴四边形DEBF是平行四边形又∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∴平行四边形DEBF是矩形；（2）解：∵AF平分∠DAB∴∠DAF＝∠BAF∵DC∥AB∴∠DF A＝∠BAF∴∠DF A＝∠DAF∴AD＝DF＝5在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=√AD2−AE2=√52−32=4由（1）得：四边形DEBF是矩形∴BF＝DE＝4．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∵EF＝DA∴EF＝BC，EF∥BC∴四边形BCEF是平行四边形又∵CE⊥AD∴∠CEF＝90°∴平行四边形BCEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝3∵CF＝4，DF＝5∴CD2+CF2＝DF2∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°∴△CDF的面积=12DF×CE=12CF×CD∴CE=CF×CDDF=4×35=125由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形∴∠FBC＝90°，BF＝CE=12 5∴BC=√CF2−BF2=√42−(125)2=165∴EF=16 5．6．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝FD∴AE+EF＝FD+EF即AF＝DE在△ABF和△DCE中{AB=CD BF=CE AF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）；（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE∴∠A＝∠D∵AB∥CD∴∠A+∠D＝180°∴2∠A＝180°∴∠A＝90°∴▱ABCD为矩形．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BC∵CE∥BD∴四边形BCED是平行四边形∴CE＝BD．∵CE＝AC∴AC＝BD．∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°∴BD=√AB2+AD2=√42+32=5．∵四边形BCED是平行四边形∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16．8．（1）证明：∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°∵∠ABC＝90°∴∠BAD＝90°∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC∴∠CDE＝∠CED＝45°∴EC＝DC又∵∠BDE＝15°∴∠CDO＝60°又∵矩形的对角线互相平分且相等∴OD＝OC∴△OCD是等边三角形∴∠DOC＝∠OCD＝60°∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°∵CO＝CE∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；（3）解：作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD ∴AO＝BO＝CO＝DO∴BF＝FC∴OF=12CD＝1∵∠OCB＝30°，AB＝2∴BC＝2√3∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°∴∠EDC＝45°在Rt△EDC中，EC＝CD＝2∴△BOE的面积=12•EB•OF=12×（2√3−2）×1=√3−1．9．证明：（1）∵AD∥BC∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°∵∠ABC ＝∠ADC∴∠BAD ＝∠BCD∴四边形ABCD 是平行四边形∴OA ＝OC =12AC ，OB ＝OD =12BD∵OA ＝OB∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形；（2）如图，连接OP∵AD ＝12，AB ＝5∴BD =√AB 2+AD 2=√144+25=13∴BO ＝OD ＝AO ＝CO =132 ∵S △AOD =14S 矩形ABCD =14×12×5＝15∴S △AOP +S △POD ＝15∴12×132×FP +12×132×EP ＝15 ∴PE +PF =6013．10．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥CB ，AD ＝BC∴∠D ＝∠FCE ；∵E 为DC 中点∴ED ＝EC在△ADE 与△FCE 中{∠D =∠FCE DE =CE ∠AED =∠FEC∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD ，AB ＝DC∴AB EC =BG EG ，S △ABGS △CEG =（AB EC ）2∵DE ＝CE∴AB ＝2CE∴BG EG =2，S △ABGS △CEG =（AB EC ）2＝4∵△GEC 的面积为2∴S △BGC ＝2S △CEG ＝4，S △ABG ＝4S △CEG ＝8∴S △ABC ＝S △BGC +S △ABG ＝4+8＝12∴矩形ABCD 的面积＝2S △ABC ＝24．11．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥CD∴∠OBE ＝∠ODF∵O 为对角线BD 的中点∴OB ＝OD在△OBE 和△ODF 中{∠OBE =∠ODF OB =OD ∠BOE =∠DOF∴△OBE ≌△ODF （ASA ）∴BE ＝DF又∵BE ∥DF∴四边形BEDF 为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A ＝90°由（1）得：四边形BEDF 为平行四边形∵EF ⊥BD∴平行四边形BEDF 为菱形∴BE ＝DE设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝3﹣x在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AD 2+AE 2＝DE 2即12+x 2＝（3﹣x ）2解得：x =43即AE 的长为43． 12．（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB ＝CD ，AB ∥CD∵M ，N 分别为AB 和CD 的中点∴AM =12AB ，CN =12CD∴AM ＝CN∵AB ∥CD∴四边形AMCN 是平行四边形；（2）解：AC ＝BC 时，四边形AMCN 是矩形证明∵AC ＝BC ，且M 是BC 的中点∴CM ⊥AB即∠AMC ＝90°∴四边形AMCN 是矩形．13．证明：（1）∵CE 平分∠ACB∴∠OCE ＝∠BCE∵BO ⊥CE∴∠CFO ＝∠CFB ＝90°在△OCF 与△BCF 中{∠OCE =∠BCE CF =CF ∠CFO =∠CFB△OCF ≌△BCF （ASA ）∴OC ＝BC ；（2）∵点O 是AC 的中点∴OA ＝OC∵AD ∥BC∴∠DAO ＝∠BCO ，∠ADO ＝∠CBO在△OAD 与△OCB 中{∠DAO =∠BCO OA =OC ∠ADO =∠CBO∴△OAD ≌△OCB （ASA ）∴AD ＝BC∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形∵OE ⊥AC∴∠EOC ＝90°在△OCE 与△BCE 中{CE =CE ∠OCE =∠BEC OC =BC∴△OCE ≌△BCE （SAS ）∴∠EBC ＝∠EOC ＝90°∴四边形ABCD 是矩形．14．（1）证明：∵AD ∥BC∴∠F AD ＝∠FCE ，∠FDA ＝∠FEC在△ADF 和△CEF 中{∠FAD =∠FCE ∠FDA =∠FEC AF =CF∴△ADF ≌△CEF （AAS ）∴AD ＝CE∵AD ∥CE∴四边形AECD 为平行四边形∵AB ＝AC ，点E 为BC 的中点∴AE ⊥BC∴∠AEC ＝90°∴平行四边形AECD 为矩形；（2）解：图2中与△BEF 面积相等的三角形为△AEF ，△ADF ，△CDF ，△CEF ．理由如下：∵点E为BC的中点∴S△CEF＝S△BEF∵AF＝CF∴S△AEF＝S△CEF，S△ADF＝S△CDF由（1）可知，四边形AECD是矩形∴EF＝DF∴S△AEF＝S△ADF∴S△CEF＝S△BEF＝S△AEF＝S△ADF＝S△CDF即与△BEF面积相等的三角形为△AEF，△ADF，△CDF，△CEF．15．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形∴AB∥DE，AB＝ED∵DC＝ED∴DC＝AB，DC∥AB∴四边形ABCD是平行四边形∵DE⊥AD∴∠ADC＝90°∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO ∴OD＝OC∵OF⊥CD∴DF＝CF=12CD=12×2=1∴OF=12BC=12×4=2，EF＝DE+DF＝2+1＝3∴OE=√EF2+OF2=√32+22=√13．16．解：（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2由勾股定理得：CE=√CD2+DE2=√22+12=√5同理BE＝2√5∴CE2+BE2＝5+20＝25∵BC2＝52＝25∴BE2+CE2＝BC2∴∠BEC＝90°∴△BEC是直角三角形．（2）∵矩形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∵DE＝BP∴四边形DEBP是平行四边形∴BE∥DP∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP∴AE＝CP∴四边形AECP是平行四边形∴AP∥CE∴四边形EFPH是平行四边形∵∠BEC＝90°∴平行四边形EFPH是矩形．17．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F ∴∠2＝∠5，∠4＝∠6∵MN∥BC∴∠1＝∠5，∠3＝∠6∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴EO＝CO，FO＝CO∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°∵CE＝4，CF＝3∴EF=√42+32=5∴OC=12EF=52；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO∵EO＝FO∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF＝90°∴平行四边形AECF是矩形．18．解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD；∵E、F两动点，分别从A、C两点以相同的速度向点O运动∴AE＝CF；∴OE＝OF；∴BD、EF互相平分；∴四边形DEBF是平行四边形；（2）四边形DEBF能是矩形．理由：∵四边形DEBF是平行四边形∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；∵BD＝12cm∴EF＝12cm；∴OE＝OF＝6cm；∵AC＝16cm；∴OA＝OC＝8cm；∴AE＝2cm由于动点的速度都是1cm/s所以t＝2（s）故当运动时间t＝2s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．19．解：（1）∵△CDQ≌△CPQ∴DQ＝PQ，PC＝DC∵AB＝DC＝5，AD＝BC＝3∴PC＝5在Rt△PBC中，PB=√PC2−BC2=4∴P A＝AB﹣PB＝5﹣4＝1设AQ＝x，则DQ＝PQ＝3﹣x在Rt△P AQ中，（3﹣x）2＝x2+12解得x=4 3∴AQ=4 3．（2）方法1，如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB ∵MD⊥MP∴∠PMD＝90°∴∠PME+∠DMF＝90°∵∠FDM+∠DMF＝90°∴∠MDF＝∠PME∵M是QC的中点∴DM=12QC，PM=12QC∴DM＝PM在△MDF和△PME中{∠MDF=∠PME ∠DFM=∠MEP DM=PM∴△MDF≌△PME（AAS）∴ME＝DF，PE＝MF∵EF⊥CD，AD⊥CD∴EF∥AD∵QM＝MC∴DF＝CF=12DC=52∴ME=5 2∵ME是梯形ABCQ的中位线∴2ME＝AQ+BC，即5＝AQ+3∴AQ＝2．方法2、∵点M是Rt△CDQ的斜边CQ中点∴DM＝CM∴∠DMQ＝2∠DCQ∵点M是Rt△CPQ的斜边的中点∴MP＝CM∴∠PMQ＝2∠PCQ∵∠DMP＝90°∴2∠DCQ+2∠PCQ＝90°∴∠PCD＝45°，°∠BCP＝90°﹣45°＝45°∴∠BPC＝45°＝∠BCP，∴BP＝BC＝3∵∠CPQ＝90°∴∠APQ＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠AQP＝90°﹣45°＝45°＝∠APQ∴AQ＝AP＝2．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC∴∠ABE＝∠CDF∵点E，F分别为OB，OD的中点∴BE=12OB，DF=12OD∴BE＝DF在△ABE和△CDF中{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB∴AB＝OA∵E是OB的中点∴AG⊥OB∴∠OEG＝90°同理：CF⊥OD∴AG∥CF∴EG∥CF由（1）得：△ABE≌△CDF∴AE＝CF∵EG＝AE∴EG＝CF∴四边形EGCF是平行四边形∵∠OEG＝90°∴四边形EGCF是矩形．21．解：（1）由题意得x2＝20∴x＝2√5∴当x为2√5时，点的运动停止；（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20解得x＝2√21−1或﹣1﹣2√21（舍去）当点Q与点M相遇时，x+3x＝20解得x＝5当x＝5时，x2＝25＞20∴点Q与点M不能相遇；（3）∵当点N到达A点时，x2＝20∴x＝2√5∴BQ＝2√5cm，CM＝6√5cm∵BQ+CM＝8√5＜20∴此时M点与Q点还未相遇∴点Q只能在点M的左侧①如图，当点P在点N的左侧时20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2）解得x＝0（舍去）或x＝2∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；②如图，当点P在点N的右侧时20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20解得x＝4或﹣10（舍去）∴当x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．22．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠BAE＝∠DCF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AEB＝∠CFD＝90°在△ABE和△CDF中{∠AEB=∠CFD ∠BAE=∠DCF AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）由（1）得：△ABE≌△CDF∴BE＝DF又∵BE⊥AC，DF⊥AC∴BE∥DF∴四边形BFDE是平行四边形．23．解：（1）设t秒时两点相遇根据题意得，t+2t＝2（4+8）解得t＝8答：经过8秒两点相遇；（2）观察图象可知，点M不可能在AB或DC上．①如图1，点M在E点右侧时，当AN＝ME时，四边形AEMN为平行四边形得：8﹣t＝9﹣2t解得t＝1∵t ＝1时，点M 还在DC 上∴t ＝1舍去；②如图2，点M 在E 点左侧时，当AN ＝ME 时，四边形AEMN 为平行四边形得：8﹣t ＝2t ﹣9解得t =173．所以，经过173秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形．24．解：（1）当t ＝3时，点P 的路程为2×3＝6cm∵AB ＝4cm ，BC ＝6cm∴点P 在BC 上∴S △ABP =12AB ⋅BP =4（cm 2）．（2）（Ⅰ）若点P 在BC 上∵在Rt △ABP 中，AP ＝5，AB ＝4∴BP ＝2t ﹣4＝3∴t =72；（Ⅱ）若点P 在DC 上则在Rt △ADP 中，AP 是斜边∵AD ＝6∴AP ＞6∴AP ≠5；（Ⅲ）若点P 在AD 上AP ＝5则点P 的路程为20﹣5＝15∴t=15 2综上，当t=72秒或t=152时，AP＝5cm．（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上∵BP＝2t﹣4，CP＝10﹣2t∴AP2＝AB2+BP2＝42+（2t﹣4）2由题意，有AD2+CP2＝AP2∴62+（10﹣2t）2＝42+（2t﹣4）2∴t=133＜5即t=13 3．。

(完整版)矩形的判定和性质练习题

O FE DCBAODC B AONM DCBA OEDCBA矩形的判定和性质(基础练习)1. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.2. 一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.3. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.4. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, EF 经过O 点, 那么图中全等三角形共有_____________________对.5. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.6. 在矩形ABCD 内有一点Q, 满足QA=1, QB=2, QC=3, 那么QD 的长为____________________.7. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若那么∠BDC 的大小为________________.8. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMD ONC S S =V V . 其中正确的是______________.9. 一个平行四边形的四个内角的角平分线相交围成的四边形的形状是________________.10. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.二. 解题技巧11. 在矩形ABCD 中，∠A 和∠B 的平分线交边CD 于点M 和N ，若M 、N 是CD 的三等分点，那么AB ：BC 的值为___________________.PHDCBAE DCBAFE D C BAFED CB A12. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么BE=_______________________.13. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH.14. 如图, 矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm, 若△CEF 是等腰直角三角形, 那么这个三角形的面积为______________.15. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, (1)求EF 长; (2)在平面上是否存在点Q, 使得QA=QD=QE=QF? 若存在, 求出QA 的长; 若不存在, 说明理由.16. 一个四边形满足: 它的每个顶点到其它三个顶点的距离之和相等, 试判断这个四边形的形状.17. 已知矩形ABCD ，试问：当边AB 和BC 满足什么条件时, 在边CD 上一定存在点P, 使得PA ⊥PB?矩形的判定和性质（巩固练习）1.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.2.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.3.若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .4.如图，E为矩形ABCD对角线AC上一点，DE⊥AC于E，∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE为_________.5.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为㎝，矩形面积为 cm2.6.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是___________.7.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等8.矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线相等9.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分10.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD•的中点，那么MN⊥BD 成立吗？试说明理由．11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，求图中阴影部分的面积.CEDAB12.如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．13. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，求证：四边形PQMN 是矩形．14. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．15. 如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F ，求证：CF BD =．HG OFEDCB ANMQPDCBAABCE FDDABCEF。

矩形的性质与判定经典例题练习

矩形第一课时1、矩形的定义2、矩形的性质 1)边 2）角 3）对角线4）对称性3.已知矩形ABCD 中，S 矩形ABCD =24 cm 2，若BC =6 cm ，则对角线AC 的长是________ cm.练一练： 1、矩形的两条对角线把矩形分成个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （）A.21B.41C.51D.61 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°【探究三】直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（） A ．5B ．6C ．7D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是度．精讲精练例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。

变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.例题2、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。

请证明。

例题3.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A.98B.196C.280D.284三、用中学习： 1．（2013•老河口市模拟）由10块相同的长方形地砖拼成面积为1.6m 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为多少？2.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或263.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.O N M D CBA 4.矩形ABCD 的周长是56 cm ，它的两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长少 4 cm ，则AB =_______，BC =_______.5、矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．7、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．（1） (2)8、在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______9、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.10.在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.11.在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为______12.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMD ONC S S =. 其中正确的是______________.13、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点．（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．14、如图，在矩形ABCD 中，已知AB=8cm ，BC=10cm ，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的中点F 处，折痕为AE ，求CE 的长．矩形的判定典型例题及练习归纳矩形的三种判定方法：精讲精练例1、已知：如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

AQ 与 BN 交于 P，CN 与 DQ 交于 M ，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给
出证明过程．（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．
Ａ
Ｄ
2 ＰＮ
1 Ｂ
ＭＱ
Ｃ
E，AF⊥CF 于点 F，直线 EF 分别交 AB、AC 于点 M、点 N．
（1）猜想四பைடு நூலகம்形 AECF 的形状，并证明你的猜想;
（2）判断 MN 与 BC 有何种位置关系，证明你的结论．
10.
A 如图所示，口ABCD 中， AQ、B，N、 CN DQ 分别是 DAB，ABC ， BCD ， CDA 的平分线，
D
C
N
M
A
B

5．已知：如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形 EBCF 是矩 E
形．
A F
B
C
6.
A 已知：如图， M ， N 分别是 ABCD 的对边 AD ， BC 的中点，且 AD 2 AB ，求证：四边形
PMQN 为矩形．
A．AB∥CD，AB=CD，AC=BD
B．∠A=∠B=∠D=90°
C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90° D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°
2．已知点 A、B、C、D 在同一平面内，有 6 个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，
④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°．从这 6 个条件中选出（直接填写序号）_______3
hing at a time and All things in their being are good for somethin
1.2 矩形的判定同步练习
矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
（3）有三个角是直角。
基础与巩固
1．下列条件中，不能判定四边形 ABCD 为矩形的是（）．
个，能使四边形 ABCD 是矩形．
A 3．已知：如图，在 ABCD 中，O 为边 AB 的中点，且∠AOD=∠BOC． A 求证： ABCD 是矩形．
D
C
A
O
B
4．已知：如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的， M、N分别为 BC、AD 的中点．求证：四边形 BMDN 是矩形．
E
8.
如图，以△ABC 的三边为边，在 BC的同侧分别作 3个等边三角形，即△ABD、△
BCE、△ACF．请回答问题并说明理由：
（1）四边形 ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？
E F
D A
B
C

9.
如图，△ABC 中，CE、CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于点
Ａ
Ｍ
Ｄ
ＰＱ
Ｂ
Ｎ
Ｃ
hing at a time and All things in their being are good for somethin
拓展与延伸
A 7．已知：如图，在 ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt△ACE，且∠BED 为直角．
求证：四边形 ABCD 是矩形．
A
D
O
B
C