图的基本概念

G
G
K5
15
7.1.2 图的结点的度数及其计算 我们常常需要关心图中有多 少条边与某一结点关联，这就引 出了图的一个重要概念——结点 的度数。 定义7.1.3 图中结点v所关联的边 数(有自回路时计算两次)称为结 点v 的度数，记为deg(v)。 如图7.1.3中的deg（v1）＝2， deg（v2）＝3， deg（v3）＝5。
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一个图G可用一个图形来表示称为图解,但一个图 的图解不是唯一的。 【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中V(G)={a,b,c,d}， E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d), e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b)。 则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。
v2 v1 v2 v1
v3
v2 v1
v3
v2 v1
v3
v3
没 有 边 的 图 （ 零 图 ） 是 简 单 图 么 ？
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含有n个顶点的图称为 n 阶图。
即：设G V , E 为无向图， V n，则G为 n 阶图。
若E ，则称G为零图。 即：只有顶点没有边的 图。 有且仅有一个顶点的图 称为平凡图。 没有边关联的顶点称为 孤立点。
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练习 5：计算下列各图中各顶 点的度数。
v2 v1 v2 v1
v3
v2 v1
v3
v2 v1
v3
v3
与图 边中 的所 条有 数顶 有点 什的 么度 关数 系之 ？和
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v5
v4
握 手 定 理
设v1 , v2 ,, vn是图G V , E 的所有顶点，则:
de g(v ) 2 E
i 1 i
设G V , E 和G1 V1 , E1 是两个图。
若V1 V且E1 E，则称G1是G的子图，记作G1 G。
若G1 是G 的 子 图 ， 且 V1 V或E1 E， 则 称G1是G的 真 子 图 ， 记 作 G1 G。
若V1 V且E1 E，则称G1是G的生成子图。
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例1 ： （1）（3，3，2，3，4）能称为图的度数列 吗？为什么？ （2）已知图G中有11条边，1个4度顶点，4个 3度顶点，其余顶点的度数均不大于2，问G 中至少有几个顶点？ （3）（3，3，2，3，5）能称为图的度数列 吗？为什么？如果能够图化，能简单图化 吗？
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解 （1）（3，3，2，3，4）不能称为图的度 数序列，因为其中奇数度的顶点个数为奇数， 不满足握手定理。 （2）由握手引理，G中的各顶点度之和为22， 1个4度顶点，4个3度顶点共占去16度，还剩 6度，若其余顶点全是2度点，还需要3个顶 点，所以G至少有1+4+3=8个顶点。 （3）（3，3，2，3，5）满足握手定理，因此 能图化。在此图中，有5个顶点，并且顶点 的最大度为5，因此不是简单图，即该度数 列不能简单图化。
图 7.1.2
4
图及图论是计算机科学 的很多领域的核心。
例如，将许多计算机连 接在一起组成网络， 这样的网络的结构可以 表示为一个图。
再如，在高级程序设计中经常遇到的基础数据结构 二叉树结构，其实是图的一个特例。
从更广义的层面来讲， 图可以形成关系的可视 化表示。 下面，我们从解释到底 什么是图来开始本章的 学习。
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一个无向简单图称为是 完全的， 当且仅当每个顶点都与 其他顶点相邻。
例如右图就是完全的。
v2
v1
因为每个顶点都可以通 过 一条边与其它顶点相连 。
若从中去掉任何一条边 ， 剩下的图就不是完全图 了。 v3
v4
13
练习 4：下列各图哪些是完全 的？
v2
v1
v1
v3
v4
v2
v3
思 考
n( n 1) n阶无向完全图有多少条 边？ 2
23
• 【练习】 求解下列各题: （1）无向完全图Kn有28条边，则它的顶点数 n为多少？ n 8
（2）图G的度数列为2，2，3，5，6，则边数 m为多少? m 9 （ 3 ）图 G 有 12 条边，度数为 3 的顶点有 6 个， 余者度数均小于3，问G至少有几个顶点？
至少有9个顶点。
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结点v的入度与出度之和就是结点v的度数deg(v)。 • 如图: deg(a )＝1， deg(a )＝2。
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定理 7.1.2 在任何有向图 G ＝〈V ,E〉中， 有 deg(v ) deg(v ) E

vV

vV
d (d1 , d 2 ,...,d n ), 定理 7.1.3 设非负整数列 n d i 为偶数时，d是可图化的。 当且仅当 i 1
G V, E
6
称一个顶点和另一个顶 点是相邻的， 当且仅当这两个顶点之 间有边
练习 1：指出下图中哪些顶点 对是相邻的？
v2
v1
v2
v1
v3
v3
v4
7
在上图中，我们可以给 顶点和边标上标记，即 ： v2
v1 e1 v4
e4
e2
e3 练习 2：指出上面右图中每条 边所关联的顶点。
v3
我们将结点a、b 的无序结点对记为(a，b）， 有序 结点对记为〈a，b〉。
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给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补 成一个具有同样结点的完全图,方法是把那些缺少的 边添上。 定义7.1.2 设G＝〈V, E〉是一个具有n个结点的简单 图。以V为结点集，以从完全图Kn中删去G的所有边 后得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完 全图的添加边组成的图）称为G的补图，记为 G 。 下图给出了一个图G和G的补图 G 。
v3
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设G V , E 和G1 V1 , E1 是两个图。
如果存在双射f : V V1，
f (u), f (v ) E1， 使得(u, v ) E当且仅当
则称图G与G1同构，记作G G1。
29
例如下面两个d1
c
d
b1
c1
30
下面这两个图也是同构 的。
5
考 v2 虑 右 图 e2 ：
e1
v 1 图中含有3个顶点: v , v , v 1 2 3
（或称作结点或点） 图中还有两条边: e1 , e2 （或称作线）
v3
第一条边e1连接顶点v1和v2，第二条边e2连接顶点v2和v3
每一条边都是从一个顶 点出发且终止于另一个 顶点
形式地讲，图可以看成 是顶点的集合（非空） 和 边的集合（可能为空集 ）
32
例如下面这两个图不同 构。
a
b
33
判别下面这三组图中两 两是否同构。
(a )
(b )
(c)
(d )
两两都不同构。
34
35
9
v2
v1
在一个图的一对顶点之 间， 可以有多条边，如左图 ：
顶点v2与v3 之间有两条平行的边，
v3 v2
这是完全合法的图。
v1
一个图可以包含环，也 就是说， 起点和终点都是同一个 顶点的边
如左图所示： 在顶点v1处包含一个环。
v3 称一个图是简单图，当 且仅当既不含环也不含 平行边。
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练习 3：下列各图中哪些是简 单图？
b
a
b1
a1
c
d
d1
c1
31
同构满足条件:
由定义可知，两个图 G1=<V1，E1>和 G2=<V2， E2>是同构的，必须满足以下条件： (1)节点数目相等； (2)边数相等； (3) 度数相同的节点数目相等。 以上3个条件是判断2个图是否同构的必要条 件，而不是充分条件。 判断2个图是否同构，到目前为止，只能根据定 义来判断，还没有充分判别法。
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图7.1.7给出了图G 以及它的真子图G1和生成子图G2。
图7.1.7
图G 以及其真子图G 1和生成子图G2
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例2: 在下图中，（b）是（a）的 子图、真子图、生成子图.
a
a e
b
e
b d
c
d
c
(a)
(b)
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练习 7：画出右图的 3个生成子图
v1
v1
v2
v2
v3
v1
v3
v1
v2
v3 v 2
n
即：所有顶点的度数之 和是边数的两倍。
在任何一个图中，度数 为奇数的顶点的数目是 偶数。
v2 v1
v3 v5
左图的度数序列为（ 3,4,4,2,3 ）
v4
18
练习 6： 画 一 个 四 阶 无 向 图使 ，其 度 数 序 列 为 （ 2,1,3,2 ）。
v2
v1
v3
v4
19
定义7.1.4 在有向图中,射入结点v的边数称为结 点v 的入度， 记为 deg(v ) ;由结点v射出的边数称为 结点v 的出度， 记为 deg(v ) 。
1
本讲内容：
1、图的基本概念
2、握手定理与度数序列
3、图的同构、子图、生 成子图等概念
2
图论起源于哥尼斯堡（彼德堡）普雷格尔河上的七 桥问题。1736年数学家欧拉发表论文解决这个问题。 从而奠定图论的基础。
b
a
d
c
图 7.1.1哥尼斯堡七桥问题
3
在许多数学家的努力下, 先后解决了周游世界问 题(哈密顿)、棋盘走马 问题、迷宫问题和四色 猜想问题，使图论得到 快速发展。 20世纪40年代，随着计 算机科学和管理科学的 发展，图论得到广泛的 应用。