现代工程数学第5章

n k
x
k，
令
x
1，
0
kO
E
n k
(1)
k
kO
n k
(1)
k
kE
n k
(1)
k
n n
kO
k
kE
k
证法2 设 S = {a1, a2,…, an}。考虑 S 的偶组合， a1 有两种选择， a1 选定后， a2 有两种选择，…， a1, a2,…, an1 都选定后， an 只有一种选择，若已选了偶 数个元素，则不选 an ，否则选 an 。所以， S 的偶组 合共有 2n1 个。 S 的奇组合数目为
2
k
k
若n为奇数
当k n 1时，n 1 2k, n k 1 2k k 1
2
k
k
当k n 1时，n 1 2k, n k 1 2k k 1
2
k
k
当k n 1时，n 1 2k, n k 1 2k k 1
2
k
k
推论5.4.2
n 0
,
n 1
,
,
n n
中最大者为
n
n 2
nn2 。
1
n
k
k
1
1
k n i n k 1 k1 n i
i0
i
k 1
i0
i
n, k 0
n
k k
1
n 0
n
k
k
k i0
n
i
i
n, k 0
证法2 考虑 n k 1元集 S {a1, a2 ,, ank1}的 k 组合。
a\ 1
不含
a1
的
k
组合有
n
k
k
个，
a1, a\ 2
含
a1
不含
a2
的
k
组合有
n
k
k
1
1
个
，
a1, a2 ,, ak , a\ k1
含
a1,
a2 ,,
ak
不含
ak 1
的
k
组合有
n 0
个。
r k 1 k r i
k i0 i
r为任意实数, k为任意整数
若 k 为非负整数，当 r 为非负整数时等式成立，所以 r 为任意实数时等式成立。
n k 1
k
n k
x k
n k 1
k
2
n k
x
k
1
n(1
x)n1
n(n
1) x(1
x)n2
n k 1
k
2
n k
x
k
1
令 x 1得
n
k 1
k
2
n k
n
2n1
n(n
1)
2n2
n(n
1) 2n2
求
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
解法1
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
的n
-
组合数
2nn
n k 0
n k
n
n
k
n k 0
n k
2
组合数定义域的扩充
r k
r (r 0
1)(r k!
k
1)
k 为非负整数 k 为负整数
其中r 是任意实数，k 是任意整数。
当k 0时， kr 是 k 次 r 多项式。 当r 和 k 都是非负整数时，这个定义与组合数 的定义相同，它扩大了组合数函数的定义域。
k 1
k
n k
n k 1
n
n k
11
n1
n
k 0
nk1
n 2n1
n
k 1
k
n k
n
2n1
其中n 1
证法2
(1
x)n
k
n 0
n k
x
k
两边对 x 求导数
n(1
x)n1
n k 1
k
n k
x
k
1
令 x 1得
n 2n1
n k 1
k
n k
证明
n
k 1
k
2
n k
n(n
1)
2n2
(1
x)n
解法2
(1
x)n
k
n 0
n k
x
k
x (1
x)n dx
(1
x)n1
x
(1
x)n1
1
0
n 1
n 1
0
x
x 0
k
n 0
n k
x
k
dx
n k 0
k
1
1
n k
x
k
1
0
n k 0
k
1
1
n k
x
k
1
(1
x)n1 n 1
1
k
n 0
k
1
1
n k
xk 1
1 (1 x)n1 1 dx
其中地板函数x x的最大整数，
天花板函数 x x的最小整数
例如，1.5 1，1.5 2，1 1 1
当n
为非负偶数时，n2
n 2
；
当n
为正奇数时，n2
1
n 2
。
设 C 是由集合 S 的组合组成的集合。若对于 C 中任
何两个不同组合 X 和 Y， X Y且/ Y X/，则称 C
为 S 的杂置。例如，
n
k1
n k
11
n k 1
n k
11
k
(n 1) ! ! (n k 1)
!
(k
(n 1) ! 1) ! (n
k)!
(n 1) ! (n k) (n 1) ! k k !(n k) ! k !(n k) !
k
(n 1) ! !(n k)
(n !
k
k)
k
!
n! (n
k)
!
n k
证法2 设 S = {a1, a2,…, an}。S 的 k-组合由两部分组成。
n k
n
n
k
n k
nk1
n k
11
(1
x)n
k
n 0
n k
x
k
令
x
1，
得
k
n 0
n k
2n
令
x
1，得
k
n 0
(1)
k
n k
0
奇组合与偶组合各半
O={k | 0 k n , k是奇数}，
E={k | 0 k n , k是偶数}
kO
n k
kE
n k
2n1
证法1
(1
x)n
n k 0
n k 0
(n
1 1)(k
2)
n k
1 1
n k 0
(n
1 1)(n
2)
n k
2 2
(n
1 1)(n
2)
n2 k 0
n
k
2
n
0
2
n
1
2
2n2 1 (n 2) 2n2 n 3 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)
求
k
n 0
(k
1 1)(k
2)
n k
A
C C
{a1} {a1}
则 f ( A) C 。
若 a1 C 若 a1 C
k
n k
n
n k
11
其中1 k n
证明
k
n k
k n! k !(n k)!
n (n 1)! (k 1)!(n k)!
n
n k
11
n
k 1
k
n k
n
2n1
证法1
其中n 1
n1
k 0
n
k1
2n1
n
若 n 是偶数
n 0
n
n 2
n n
若 n 是奇数
n 0
n
n1 2
n
n1 2
n n
证明 设 1 k n
n k
k
n
1
(k
n! k!(n k)!
n! 1)! (n k 1)!
n
k k
1
若n为偶数
当k n 时，n 2k, n k 1 2k k 1 1
2
k
k
当k n 时，n 2k 2, n k 1 2k 2 k 1 1
所以r 为任意实数时上式成立。
若 k 0，左式两边均为1，右式两边均为0。
若 k 为负整数，上式两边均为0。
n
k k
1
n 0
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n
k
k
k i0
n
i
i
证法1 对 k 进行归纳。
当k
0
时， n
0
1
1
n 0
0 i0
n
i
i
。
设
n
k k
1
k i0
n
i
i
，则
n
k
k 1
2
n
k k
n k 0
n k
x
k
其中n 1
两边对 x 求导数
n(1
x)n1
n k 1
k
n k
x
k
1
两边乘 x
nx(1
x)n1
n k 1
k
n k
x
k
两边再对 x 求导数
[nx(1
x) n 1 ]
n k 1
k
n k
xk
[nx(1 x)n1]
(nx)(1 x)n1 nx[(1 x)n1]
n(1 x)n1 n(n 1)x(1 x)n2
即
n n2 2n k0 k n
n n 2 2n
k0 k n
证法2 设 A {a1,, an}，B {b1,,bn}，S A B S 的n - 组合由A的k - 组合与B的(n k) - 组合合并而成。
A有
n k
个k
-
组合，B有
n
n
k
个(n
k
)
-
组合，
S
多项式等式的证明法
若次数 n 的多项式 f (x)和 g(x) 在多于 n 个点的 值相等，则它们是相同的多项式。 因为次数 n 的多项式 f (x) g(x) 有多于 n 个根 ，所以是零多项式 0。
r k
r
k1
r k
11
k
r k
r
r k
11
设 k 为正整数，当r 为 k 的整数时，上式成立，
n
1 1
2n2 1 n2
1
2n2 1 (n 2) 2n2 n 3 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2)
n n 2 2n
k0 k n
证法1 [(1 x)n ]2 (1 x)2n
n
k 0
n k
x
k
2
2n k 0
2n k
x
k
两边的xn 的系数相等
n n n 2n k0 k n k n
n k
11
0 k
n k
n i0
i k
0k n
证法2 考虑 n 1元集{a1, a2 ,, an1}的 k 1组合。
a1
含
a1
的
k
1组合有
n k
个
，
a\1 , a2
含 a2 不含 a1 的 k 1组合有 nk1 个，
a\ 1 , a\2 ,, a\ n , an1
只含
an1
的
k
1组合
有
0 k
个。
1 0
x1
y0
11 x 0
y1
(x
y)n1
(x
y)(x
y)n
(x
y
)
k
n 0
n k
x
nk
yk
k
n 0
n k
x
n1k
yk
k
n 0
n k
x
nk
y k 1
n 0
x
n1
n k 1
n k
x
n1k
yk
n1 j0
n j
x
n
j
y
j 1
n n
y
n
1
x n 1
n k 1
n k
x
n1k
yk
n k 1
k
n
1
1. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 2. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 3. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 4. a1 A，a1 B，f ( A) A {a1} B {a1} f (B) 任取 S 的偶组合C，令
1
1(1 x)n1dx
1
1dx
0 n 1
n 1 0
0
1 n 1
(1 n
x)n2 2
1 0
1
n
1 1
2n2 1 n2
1
1 0
n k 0
k
1 1
n k
x k 1dx
1
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
x
k
2
0
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
n k 0
(k
1 1)(k
2)
n k
5.4 二项式系数的单峰性
若 s0 s1 … st st+1 … sn ，则称 s0, s1,…,sn 是单峰的。 例如，1, 1；1, 2, 1；1, 3, 3, 1 ；1, 4, 6, 4, 1 都是单 峰的。 1, 2, 1, 2, 1 不是单峰的。
定理5.4.1 n0, 1n, , nn 是单峰序列。
2n 2n1 = 2n1
证法3 设 S = {a1, a2,…, an}。在 S 的奇组合集合与 S 的偶组合集合之间建立一一对应 f 。任取 S 的奇 组合 A，令
f
(
A)
A A
{a1} {a1}
若a1 A 若a1 A
设 A和 B 是 S 的不同奇组合，可以证明 f ( A) f (B)
n
k
k 01234
n
01
111
2 121
3 1331
4 14641
5.2 二项式定理
定理5.2.1 设 n 是正整数，则
(x
y)n
n k 0
n k
xnk
yk
证法1 (x y)n (x y)(xy)
n个
取 k 个 y，n k 个 x 相乘得出 xnk y k。
证法2
对
n归纳。
(x
y)1
x
n1k
yk
y n1
x n 1
n k 1
n
k
1
x
n
1k
yk
y n1
n1 k 0
n
k
1
x
n1k
yk
定理5.2.2 设 n为非负整数，
(1
x)n
k
n 0
n k
x
k
k
n 0
n
n
k
x
k
证明 在
(x
y)n
k
n 0
n k
x
n
k
y
k
中取 x
1,
y
x 得到(1
x)n
k
n 0
n k
x
k
5.3 一些恒等式
若 k 为负整数，等式两边均为 0。
n k
11
0 k
n k
n i0
i k
证法1 对 n 进行归纳。
0k n
当n
0时， k
1 1
k
0
1
0 k
0 k
0 i0
i k
设
n k
11
n i0
i k
，则
n k
2 1
n k
11
n
k 1
n i n 1 n1 i
i0 k k i0 k
1. 不包含 an 的 k-组合，即{a1, a2,…, an1}的 k-组合
2.
，有 包含
an
的 nkk-1个组 。合，由{a1,
a2,…,
an1}的
k1-组合
增加 an 得到，有 所以，
n k
个11。
kn
n
k1
n k
11
Pascal（杨辉）三角形
n0 1
n n
1
n k
nk1
n k
11
kn
n
n k
11
0 k
n k
n i0
i k
0k n
若 k > n，等式两边均为 0。所以，当 k 和 n 为任意 非负整数时，等式成立。
证明组合恒等式的方法
1. 用组合数公式直接验证。 2. 用数学归纳法。 3. 分析恒等式的组合意义。 4. 利用二项式定理，对公式进行微分或者积分运算。 5. 利用二项式定理，比较多项式的系数。
C ={{a, b}, {b, c, d},{a, d}, {a, c}} 是 S ={a, b, c, d} 的杂置。
第 5 章 二项式系数
5.1 Pascal 公式 5.2 二项式定理 5.3 一些恒等式 5.4 二项式系数的单峰性 5.5 多项式定理 5.6 牛顿二项式定理 5.7 再论偏序集 作业
5.1 Pascal公式
定理5.1.1（ Pascal公式）若1 k n 1，则
证法1
n k