第十章第二节排列与组合

【思路点拨】(1)采用插空法求解.(2)采取“捆绑法”求 解.(3)8一定在第三位，前面有几位数，顺序数就为几，6的位 置需要根据7的位置而确定，因为前面除了8和7以外所有数都 比它小，需要分类求解.6在7前面和6在7后面，根据分类和分 步得到结果.
【规范解答】(1)选A．8名学生共有 A88种排法，把两位老师插 入到9个空中，有 A92种排法，因此共有 A88种gA排92 法． (2)选C．分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全 排列，共有 A＝33 3!(种)坐法；然后每家3口人，再各自全排 列，则有 A33 A33＝A(333!)3(种)坐法； 据分步乘法计数原理，共有 A33 A33 A＝33 (A333!)4(种)坐法. (3)选D.左边有几个数，顺序数就为几，故8一定在从左面起第 三个位置；而且对其他数的顺序数没有影响，因为8最大.6可能
【提醒】区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于 是否与顺序有关.
【变式训练】(2012·广州模拟)如图，∠MON的边OM上有四点 A1,A2,A3,A4，ON上有三点B1,B2,B3,则以O，A1,A2,A3,A4，B1,B2, B3为顶点的三角形个数为( )
(A)30 (B)42 (C)54 (D)56
第二节 排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 排列 组合
从n个不同元素 中取出m(m≤n) 个元素
定义 按照一定顺序排成一列
合成一组
2.排列数与组合数的概念
名称
定义
排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个
组合数 元素
排列的个数 组合的个数
3．排列数与组合数公式
(1)排列数公式
① Amn n_(_n__1_)_(n___2_)__ (_n___m__1_)___=
【拓展提升】 1.解决排列问题的主要方法
直接法 无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体
捆绑法 参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排
插空法 列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 定序问题除法处理的方法，可先不考虑顺序限制，排
【典例3】(1)在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名
女医生到三所医院工作，每所医院至少安排一名医生，且女医
生不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为( )
(A)78
(B)114
(C)108
(D)120
(2)(2013·九江模拟)2012伦敦奥运会组委会从A，B，C，D，E 五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项 不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从 事这四项工作，则不同的选派方案共有( ) (A)48种 (B)36种 (C)18种 (D)12种 (3)(2012·北京高考)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两 个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) (A)24 (B)18 (C)12 (D)6
相除法 列后再除以定序元素的全排列
2.解决排列类应用题的策略 (1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊 位置. (2)有条件限制的排列问题，可用直接法，逐一满足其限制条 件；或用间接法，全排后减去不符合限制条件的排列种数.
【变式备选】有3张都标着字母A，6张分别标着数字1,2,3,4, 5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成汽车牌号，则可以组成不 同牌号的总数等于_________(用数字作答) . 【解析】若无字母A，则有A56种；若含有一个字母A，则有 C64A种54；若含有两个字母A，则有 C种36A；35 若含有三个字母 A，则有 C62A种52 .综上所述，共有 A56 C64A54 C36A35 C62A52 =4 020(种). 答案：4 020
【解析】选B.方法一：用间接法．先从这8个点中任取3个点，
最多构成三角形 C个83 ，再减去三点共线的情形即可. C83 C53=4C234 .
方法二：直接法.将点O归到直线ON上，分在ON上取1个点，2
个
C24 C13 C32 C14 C14 C13 42.
点去解，共有
考向 3 排列、组合问题的综合应用
4．C82 C83 C92 ＝___________. 【解析】 C82 C83 C92＝C93 C92＝C130＝120. 答案：120
5．若
C2x7 20
C2x0 ,
则x=___________.
【解析】由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9.
答案：7或9
考向 1 排列问题的应用
考向 2 组合问题的应用 【典例2】(1)将1,2,3，…，9这9个数字填入如图所示的9个空 格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大， 当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为( )
(A)6种 (B)12种 (C)18种 (D)24种
(2)(2013·合肥模拟)从10名大学生村官中选3个人担任乡长助
【解析】(1)错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列 顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误.(2)错误.因为相同 的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说 法错误.(3)正确.当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个 组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全 相同.(4)正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的 不能再取了. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
在第五个位置，因为左边除了8以外，所有的数都比它小时满 足它的顺序数为3，6可能排在第六个位置，7排在6的左边时， 满足它的顺序数为3，∴要分两种情况进行讨论.当6在第五个 位置时，需要在其右边三个位置上排列7，余下的数字在5个位 置上全排列，共有 C13A=55 360(种)结果；当6排在第六个位置 时，需要把7在其左边四个位置上选一个排列，余下的5个数字 全排列，共有 C14A=55480(种)结果，根据分类加法计数原理 知，共有360+480=840(种).故选D.
理，则甲、丙至少有1人入选且乙没有入选的不同选法的种数
为( )
(A)85
(B)56
(C)49
(D)28
(3)(2012·浙江高考)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4
个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
(A)60种 (B)63种 (C)65种 (D)66种
【思路点拨】(1)先确定数字1，2，9的排列位置，再确定其他 元素的位置. (2)按题意要求分甲、丙有一人入选、两人都入选分类解答或 用间接法解答. (3)分全是偶数、全是奇数、两奇两偶三种情况进行分类讨论.
1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女
生的选法有( )
(A)36种
(B)30种
(C)42种
(D)60种
【解析】选A.3人中至少有1名女生包括1女2男及2女1男两种情
况，因此不同的选法种数为 C62 gC12 ＝C163gC022+6＝36.
2.某电视台在直播2012年伦敦奥运会时要连续插播5个广告， 其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后 播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播，则不 同的播放方式有( ) (A)120种 (B)48种 (C)36种 (D)18种
(C)(3！)4
(D) 9！
(3)设a1,a2,…，an是1，2，…，n的一个排列，把排在ai的左 边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数(i=1,2,…,n)如在排列 6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，2的顺序数为0.则在1至8这八 个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，6的顺序数 为3的不同排列的种数为( ) (A)480 (B)690 (C)720 (D)840
(3)选D.均为奇数时，有 C＝54 5(种)；均为偶数时，有 ＝C144 (种)； 两奇两偶时，有 ＝60(C种24 C)，52 由分类加法计数原理 可知，共有66种.
【拓展提升】 1.解决组合应用题的一般思路 首先整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法 计数原理；然后局部分步，用到分步乘法计数原理. 2.组合问题的常见题型及解题思路 常见题型有选派问题，抽样问题，图形问题，集合问题，分组 问题.
【思路点拨】(1)可按人数分类讨论，再注意是排列问题还是 组合问题. (2)先分类讨论，再看是否与顺序有关，确定是排列还是组合， 从而解决问题. (3)考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十 位.个位必须是奇数.
【规范解答】(1)选B．依题设可知，必定有一所医院安排一名
【解析】选C.分步完成这件事.第一步排最后位置一个奥运宣 传广告有2种不同的方法；第二步排另一个奥运宣传广告，有3 个位置可选，共有3种方法；第三步排3个商业广告，共有 A33 种不同的方法.由分步乘法计数原理可知：共有2×3× A＝33 36(种) 不同的播放方式.
3.某班级有一个7人小组，现任选3人相互交换座位，其余4人座 位不变，则不同的调整方式有( ) (A)12种 (B)70种 (C)210种 (D)105种 【解析】选B.分两步完成此事.第一步任选3人共有 C种37 不同的 方法；第二步这3个人相互交换座位共有2种方法.由分步乘法计 数原理可知：共有 C×37 2＝70(种)不同的调整方式.
解答组合应用题时，要在仔细审题的基础上，分清问题是否为 组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分 步”去解决，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题. 3.含有附加条件的组合问题的常用方法 通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等 词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题， 既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解.
n! (n m)!
;
② Ann=_n_!_.
(2)组合数公式
①
Cmn
Amn Amm
=
n!
= n(n 1)(n 2) (n m 1)
m!
.
m!(n m)!
②规定：C0n 1
4．组合数的性质
(1) Cmn =
Cnm n
.
(2)
Cm n1
=
Cmn
Cm1 n
.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出， 则这个元素就不再取了.( )
【典例1】(1)8名学生和2位老师排成一排合影，2位老师不相
邻的排法Fra Baidu bibliotek数为( )
(A) A88 gA92 (C) A88 gA72
(B) A88 gC92 (D) A88 gC72
(2)(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家
人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
(A)3×3！
(B)3×(3！)3
【规范解答】(1)选A.第一行从左到右前面两个格子只能安排 1,2，最右下角的格子只能是9，这样只能在剩余的四个数字中 选两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大)，剩余 两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中(由小到大)，故 总的方法数为 C=24 6.
(2)选C.方法一：直接法 若甲、丙中有一人入选，乙没有入选，则有 C12C种72 不同选 法，若甲、丙都入选，乙没有入选，则有 C22C种17 不同选法.由 分类加法计数原理得，共有 C12C+72 C=22C4179(种). 方法二：间接法 不管甲、丙，只考虑乙没有入选，则共有 C种39 不同选法，甲、 丙、乙都没有入选，则有 C种37 不同选法，故满足题意的选法 共有 C39- =C437 9(种).
【互动探究】本例题(2)中“每家人坐在一起”改为“某一家 人不相邻，其余两家每家人坐在一起”，则不同的坐法种数是 多少？ 【解析】先让每家人坐在一起的两家坐，共有(3！)2 A种22 方 法，再排一家人都不相邻的，采用插空法，有 A种33 方法，由 分步乘法计数原理可知有(3！)2 A22 A=33432(种)方法.