高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案

课题：直线的倾斜角和斜率

教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学第3章第1节

一、教学目标：

1、知识与能力：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念.

(2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角.

(3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系.

2、过程与方法：

(1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系.

(2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想.

(3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路.

3、情感态度与价值观：

1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩证唯物主义世界观.

2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.

二、教学重点：

直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用.

三、教学难点：

倾斜角概念的形成，斜率公式的推导

四、教学方法与手段：

计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.

【教学过程】

一、知识导入

在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有

序实数对)

x来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中，

(y

,

问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗?

预案：不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么，

问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢?

短暂思考和讨论后，学生可以回答

预案：(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同.

那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？

〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何，对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手，便于激发学生学习热情，同时又能引入倾斜角的概念，起到承上启下的作用.

二、知识探索

(一)直线倾的斜角

1．定义：直线L与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角α叫做直线L的倾斜角.

教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向与直线L向上的方向所成的角.为了帮助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：

教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角α就是直线L的倾斜角.

〖设计意图〗学生开始对倾斜角概念还有些模糊，再此数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解.

【快速练习一】

1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

A B C D

2．请标出下列直线L的倾斜角α.

〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解.第一题比较简单，通过PPT 展示出来后，让学生集体回答即可.第二题稍难一些，在实际授课时，教师将四个图形画到黑板上，请一个同学到黑板上来画.这个题目看起来简单，而实际上，题目中设置了一些问题，图（4）情况的倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样就给学生的制造了一定的认知冲突，激发了学生学习探究的兴趣，同时加深了学生对图（4）这种特殊情况下倾斜角的记忆.

教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图（3）

是直角.那图（4）呢？

问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？那么它到底应该是多少呢？

学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现：

预案：定义中的倾斜角是要求直线L 与x 轴相交的，而图（4）中的直线L 却是与x 轴平行的. 教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直线，也就是当直线L 与x 轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为00.

所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L 倾斜角的范围为：00≤α＜1800.

〖设计意图〗至此，直线倾斜角的定义从引入到解读基本完成.由易到难，由旧到新，符合学生的认知过程.学生很自然的完成了知识的过渡，并通过动态演示、认知冲突加深了对倾斜角这个概念的理解，让学生明白了“直线的倾斜角通俗的讲就是直线对x 轴正方向的倾斜程度.”为了更加深直线和倾斜角之间的关系，我们继续提问：

问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？

预案：有且只有一个.

问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？

预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图.

所以仅有倾斜角是不能确定直线的！

问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？

预案：再加一个点.即一个点P 和倾斜角α可以唯一确定一条直线.

〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评.以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系.

（二）直线的斜率

问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量

呢？

学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导.

在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度

即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实际

就是倾斜角α的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度.

1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即αtan =k .

【快速练习二】

已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.

（1）030=α （2）060=α （3）090=α （4）0120=α

〖设计意图〗学生对于初中学过的特殊角的三角函数值已经有些陌生，在此既复习特殊角的