苏教版数学选修2-2 1.1.1平均变化率(共20张PPT)
苏教版高中数学选修2-2课件 1.1.1 平均变化率课件1
课 时 作 业
想方法的渗透．
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
资
究
源
菜单
教
学
教
●教学流程设计
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
SJ·数学 选修 2-2
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
易 误
分
辨
析
教 学
V1＝3Δ.1－S13＝0.300.15g＝3.05g(m/s)，
析
当 堂
方
双
案 设 计
同理 V2＝3.0Δ01S－2 3＝0.0003.000010 5g
基 达 标
课 前 自 主 导 学
＝3.000 5g(m/s)． 课 时
通过计算可以发现，随着时间间隔Δt 的变小，平均速 作 业
教 学
是多少？
当 堂
方
案 设 计
【提示】 平均膨胀率为r（V2V）2－ －rV（1 V1）.
双 基 达 标
课
前 自 主 导 学
一般地，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率 为_____________，其中Δy＝f(x2)－f(x1)是函数值的改变量．
课 时 作 业
课
教
堂
师
互
备
动
课
探
互
备
动 探
决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
课 资
究
苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.1.1平均变化率瞬时变化率导数
1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a.绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率.解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。
苏教版高中数学选修(2-2)课件选修2_2_ch1_01平均变化率
1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，
试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个
月该婴儿体重的平均变化率。
W(kg) 11
8.6 6.5
3.5
3
6
9 12 T(月)
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后
4 3 2.1 2.001
y
1
3
x
3、已知函数，f (分x)别计x算2 在下
f (x)
列区间上的平均变化率：
（1）[0.9，1]； 1.9 （1）[1，3]； （2）[0.99，1]； 1.99 （2）[1，2]； （3）[0.999，1]. 1.999 （3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
江苏省黄桥中学分校：殷峰
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可 思议的速度统治了赛场。这名21岁的中 国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示 的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥 运会记录,但经过验证他是以12.91秒平 了世界纪录，他的平均速度达到 8.52m/s。
的平均变化率。
2、已知函数，f (分x)别计3x算在1
f (x)
下列区间上的平均变化率：
（1）[-1，2]； （2）[-1，1]； （3）[-1，-0.9]；
例5、已知函数，f 分(x别) 计x算2 在下
f (x)
列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。
容器甲中水的体积（V单(t)位：5） 2，0.1t
苏教版高中数学选修2-2第1章1.1.1.docx
第1章 导数及其应用§1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用________代替x 2；类似地，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y ＝f(x)的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1的几何意义是：表示连接函数y ＝f(x)图象上两点(x 1，f(x 1))、(x 2，f(x 2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x 0，x 1]上的平均变化率；②在x 0处的变化率；③在x 1处的变化率； ④以上都不对．2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的增量Δy ＝____________________. 3．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f(1＋Δx ))，则Δy Δx ＝________.4．某物体做运动规律是s ＝s(t)，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．6．已知函数y ＝f(x)＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．能力提升11. 甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a 的值．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.答 案知识梳理1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 1＋Δx Δy Δx 2．斜率作业设计1．① 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt. 5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 6．0.417．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1. 9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6. 函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4. 10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3，∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝Δy Δx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. ∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31. 11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2a a ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2. ∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.。
苏教版高中数学选修(2-2)课件：1.1.1平均变化率
函数值增量 自变量增量
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
说明:(1)平均变化率的实质就是:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))
连线的斜率. （以直代曲思想）
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”
．
（数形结合思想）
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
普通高中课程标准实验教科书 数学（选修）2－2导数及其应用（江苏教育出版社）
盘湾中学高二数学备课组
问题情境1
想一想
(1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣 到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经 营成果？
(2)在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万 元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较 和评价甲，乙两人的经营成果？
变题:（5）[0.9，1]； 1.9
（6）[0.99，1]；1.99 （7）[0.999，1]. 1.999
p
1
3
x
课后思考:为什么趋近于2呢？2的几何意义是
什么？
小结回顾
这节课我的收获是什么？
y
1.平均变化率的定义：
f (x1)
f (x2 )
x
x1 x2ຫໍສະໝຸດ 2.平均变化率的意义: 大量生活中的实例 建立数学模型
数学应用
例1、已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算 在区间[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均变 化率.
思考:一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率有什么特点？
数学应用
例2、已知函数f(x)=x2,分别计算f(x)在下列 区间上的平均变化率： y
2020-2021学年苏教版数学选修2-2课件：1.1.1 平均变化率
2.(1)求半径r关于体积V的函数r(V)⇒V= 4πr3.
3
(2)半径r(V)的平均变化率⇒ r⇒Δr,ΔV.
V
【解析】1.Δs=(10+0.1)+(10+0.1)2-10-102=2.11, 所以 s＝２１=. 2１1.1(m/s).
t 0.1
故10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为21.1 m/s.
2.已知气球的体积为V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)= 4 πr3.
3
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L时,半径r的平均变化率(精确到
0.01).
【思路导引】1.
v⇒
s ⇒Δs=s(10.1)-s(10),Δt=0.1.
D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)
=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是
s （t）2=(5Δtt+5)(m/s).
t
t
类型二 函数平均变化率的应用 【典例】1.在山地自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系 s(t)=t+t2(位移单位:m,时间单位:s).则10 s后的0.1 s内运动员的平均速度为 ____________.
t2 t1
【自我检测】
1.自变量x从2变到3时,函数f(x)=3x-1的函数值的增量与相应自变量的增量之
比等于 ( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.自变量x从2变到3时,函数f(x)=3x-1的函数值的增量为8-5=3,
高中数学-选修2-2-1.1-变化率与导数人教新课标.ppt
(2)导数的符号表示
用 f'(x0)或 y'|x=x 表示函数 f(x)在 x=x0 处的导数,即
0
y
f'(x0)= x =
x→0
x→0
f(0 +x)-f(0 )
.
x
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预习交流 2
(1)思考:能否认为函数在 x=x0 处的导数值越大,其函数值变化
就越大?
提示:不能.导数的正、负号确定函数值变化的趋势,其绝对值的
们把这一新函数叫做 f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作 f'(x)或 y',
y
即 f'(x)=y'= x =
x→0
x→0
f(x+x)-f(x)
.
x
(3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是导函数 f'(x)在点 x=x0
处的函数值 f'(x0)=f'(x)|x=x ,所以求函数在某一点处的导数,一般是
1.1
变化率与导数
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课前预习导学
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目标导航
学习目标
1.记住函数的平均变化率的概念,学会用
符号语言刻画函数的平均变化率;
2.知道函数的平均变化率的几何意义,会求函
数的平均变化率;
3.知道导数概念的实际背景,知道瞬时变化率
就是导数;
4.会通过函数图象直观地理解导数的几何意
义.
重点难点
重点:导数的概念
s(3+t)-s(3)
=Δt+5,于是物体在
t
s(3+Δt)-s(3)=(Δt)2+5Δt,故
平均变化率ppt1 苏教版
境2：
某市2004年3月和4月某天日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
3.5℃
18.6℃
33.4℃
根据上面的数据我们可以得到哪些信息?
T (℃ )
C (34, 33.4)
以 月 3 18 日 为 第 一 天
30 B (32, 18.6)
20
10 2 0
A (1, 3.5)
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
高中数学 1.1.1 平均变化率配套教学课件 苏教版选修22
并称该比值(bǐzhí)为位移在区间[32，34]上的平均变化率．
第六页，共24页。
S/m
30
虽然点A，B之间
的位移差与点B， 20
C之间的位移差
几乎相同(xiānɡ
tónɡ)，但它们的 平均变化率却相
10 A (1, 3.5)
差很大．
2
O2
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
20
第十二页，共24页。
例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器甲
中水的体积V(t)＝5×2－0.1t（单位：cm3），试计算(jì
suàn)第一个10s内V的平均变化率．
平均变化率可正
解 在第一个10s内，体积(tǐjī)V的平均变化率为 可负
V (10)－V (0)＝5× 10－0
21－5× 10－0
y=f(x)
你在解本题的过程(guòchéng)中有没有发现什么y？
f(x2)
f
(
x2 )－f ( x2－x1
x1
)
＝
y x
＝k
f(x1)
你能解释为什么会出现这一现象吗？
O
B
△y
A △x
x1
x2 x
一次函数y＝kx＋b在区间(qū jiān)[m，n]上的平均变 化率等于斜率k．
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cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率．
解 在第一个10s内，体积(tǐjī)V的平均变化率为
V (10)－V (0)＝5× 10－0
21－5× 10－0
20 ＝－0.25(cm3 / s)
问题3 乙容器中水的体积(tǐjī)平均 变化率为多少？
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
【教育课件】苏教版选修2-2高中数学1.1.1《平均变化率》课件ppt.ppt
做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数 s ＝s(t)描述，设 Δt 为时间改变量，在 t0＋Δt 这段时间内，物 体的位移(即位置)改变量是 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改 变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比就是这段时间内物体的平均速 度 v ，即 v ＝ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0.
【变式2】 求下列函数在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． (1)f(x)＝ax＋b(a≠0)；(2)f(x)＝x3.
解 (1)平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝ax0＋Δx＋Δbx－ax0＋b＝a； (2)函数 f(x)＝x3 在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x03 ＝x30＋3x20Δx＋3x0ΔΔx x2＋Δx3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
题型二 求函数的平均变化率
【例2】 已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1,3]， [1,2]，[1,1.5]上的平均变化率． [思路探索] 利用求函数平均变化率的步骤求解．
解
函数
f(x)
在
区
间
[1,3]
上
的
平
均
变
化
率
为
f3－f1 3－1
＝
32＋3－212＋1＝5，
函数
题型一 求运动物体的平均变化率 【例 1】 已知自由落体的运动方程为 s＝12gt2，求：
(1)物体在 t＝3 s 到 t＝3.1 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在 到 t0＋Δt 这段时间内的平均速度． [思路探索] 物体在某一段时间内的平均速度 v 即为位移 s 对 于时间 t 的平均变化率．
题型三 平均变化率的实际应用
(教师用书)高中数学 1.1.1 平均变化率同步备课课件 苏教版选修2-2
1．本题主要依据平均变化率的意义代入公式直接计算， 解题的关键是弄清自变量与函数值的增量． 2． 求函数 y＝f(x)在区间[x1， x2]上的平均变化率的步骤： (1)作差：求Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)； Δy f（x2）－f（x1） (2)作商：求 ，即 的值． Δx x2－x1
1．1
导数的概念
1．1.1 平均变化率
教师用书独具演示
1．知识与技能 通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过 程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模 型．
2．过程与方法 理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义， 会计算函数在某个区间上的平均变化率． 3．情感、态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数 学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．
1 2 已知某物体运动位移与时间的关系为 s(t)＝ gt ， 试分别 2 计算 t 从 3 s 到 3.1 s，3.001 s 各段的平均速度，通过计算你 能发现平均速度有什么特点吗？ 【解】 设物体在区间[3，3.1]，[3，3.001]上的平均速
1．由Δ y＝f(x2)－f(x1)能否判断曲线在 A→B 段的陡峭 程度？
【提示】 不能．
f（x2）－f（x1） 2 ．平均变化率 能否近似刻画曲线在 x2－x1 A→B 段的陡峭程度？为什么？曲线段 AB 与曲线段 DE 哪 段更陡峭？ 【提示】 f（x2）－f（x1） 能．因为 kAB＝ 表示 A，B x2－x1
●教学建议 本节课是起始课，对导数概念的形成起着奠基作用．平 均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要 的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础． 在这个过程中，要注意特殊到一般、数形结合等数学思 想方法的渗透．
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g(5) g(0) 2
50
[m , n] (m <n)
一次函数 y=kx+b在区间[m,n](m<n)上的平均变化率 与区间的长度和位置无关，恒为直线y=kx+b的斜率k.
y f(x2)
f(x1) O
y=f(x)
B
△y
A △x
x1
x2
x
f (x2 ) f (x1) y k
x2 x1
T (℃)
30
20
10 A (1, 3.5)
2 02
31天
10
20
C (34, 33.4)
温差14.8℃
33.4 18.6 7.4 34 32
B (32, 18.6)
2天
温差15.1℃
18.6 3.5 0.5 32 1
30
34 t(d)
问题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？
比值反映了在某一时间段内气温、股指变化的快慢程度．
10 0
10
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙
平均变化率为 0.3161cm3 / s
这种变化的实际意义是什么？
负号表示容器甲中的水在减少
平均变化率的绝对值较大，则变化较快
例 3 已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x ,分别计算函数 f (x) 及 g(x) 在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.
1.1.1 平均变化率
苏教版选修2-2 数学
苏教版选修2-2《导数及其应用》第1课时
只有微分学才能 使自然科学有可能 用数学来不仅仅表 明状态，而且也表 明过程：运动
——恩格斯
牛顿
莱布尼茨
微积分的创始人，本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一.
Байду номын сангаас
世界充满着变化， 有些变化几乎不被人们所察觉， 而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！
情境2
2019.5.10上证指数分时图
B(10:03,,2925)
A(9:30,2878)
D（13:00,2894） C(11:10,2884)
E（13：04,2838）
问题：如何从数学角度刻画股指“跳水”？
结论：股指差不能反映股指变化的快慢程度
情境3
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
情境1
甲乙两人投入相同资金经营同一种商品，甲挣到10万 元，乙挣到2万元，你能比较和评价甲、乙两人的经营成果 吗？为什么？
甲乙两人投入相同资金经营同一种商品，甲用5年时间 挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元．你能比较和评价 甲、乙两人的经营成果吗？为什么 ？
结论：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量 相对于另一个量改变了多少。
某市2004年3月18日至4 月20日每天最高气温数 据记录表
情境3
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度 问题：如何从数学角度刻画气温“陡升”？
温差 15.1 ℃
温差 14.8 ℃
3月18日
4月20日那天人们会惊呼 “天气热得太快了”！
4月18日 4月20日
某市2004年3月和4月某天日最高气温记载:
18
4月4日
19
4月5日
20
4月6日
21
4月7日
22
4月8日
23
4月9日
24
4月10日
25
4月11日
26
4月12日
27
4月13日
28
4月14日
29
4月15日
30
4月16日
31
4月17日
32
4月18日
33
4月19日
34
4月20日
8.8 9
9.3 9.5 10.1 11 11.5 12 12.7 13.2 14 14.6 15.9 17.1 18.6 24.4 33.4
解:函数 f (x)在[-3，-1]上的平均变化率为
f (1) f (3) 2 (1) (3)
函数 f (x)在[0，5]上的平均变化率为 f (5) f (0) 2
50
函数 g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为
g(1) g(3) 2
(1) (3)
函数 g(x)在[0，5]上的平均变化率为
日期 3月18日 3月19日 3月20日 3月21日 3月22日 3月23日 3月24日 3月25日 3月26日 3月27日 3月28日 3月29日 3月30日 3月31日 4月1日 4月2日 4月3日
最高温度 3.5 4.5 5 5.3 5.6 5.7 6 6.4 6.9 7 7.2 7.3 7.5 7.6 7.7 7.8 8
比值称为函数在某一区间上的平均变化率．
概念建构
y
y f (x)
A( x , f ( x ))
1
1
B( x , f ( x ))
2
2
斜率公式
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
o
x1
x2 x
一般地，函数 f (x) 在区间 [ x1, x2 ] 上的平均变化率为
f(x2)－f(x1) x2－x1
第6个月到第12个月体重增加的速度要快.
例 2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ，t秒钟后容 器甲中水的体积为V (t)=5e0.1t (单位cm3) ，计算第一个10 秒内 V 的平均变化率． e 2.718 , e1 0.368
解答： 在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为
V (10) V (0) 1.839 5 0.3161(cm3 / s)，
34 32
20 B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
k 0.5
18.6 3.5 0.5 32 1
2
02
10
20
30
34 x
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
数学应用 例 1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试比较从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 变化的快慢情况．
W/kg 11
解：从出生到第3个月，婴儿体 重的平均变化率为
8.6 6.5
6.5 3.5 1(kg /月)
30
3.5
从第6个月到第12个月，婴儿
O 3 6 9 12 t/月 体重的平均变化率为
这两种不同的变化率 的实际意义是什么？
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
1 0.4
该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比
y x
用平均变化率来近似地量化曲线在某区间上的陡峭程度
曲线越“陡峭”，说明变量变化越
快
曲线越“平缓”，说明变量变化越 慢
概念建构
平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上 两点(x1, f(x1))、(x2, f(x2))所在直线的斜率.
y
C (34, 33.4)
30
k =7.4 33.4 18.6 7.4