苏教版数学选修2-2 1.1.1平均变化率(共20张PPT)
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比值称为函数在某一区间上的平均变化率．
概念建构
y
y f (x)
A( x , f ( x ))
1
1
B( x , f ( x ))
2
2
斜率公式
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
o
x1
x2 x
一般地，函数 f (x) 在区间 [ x1, x2 ] 上的平均变化率为
f(x2)－f(x1) x2－x1
T (℃)
30
20
10 A (1, 3.5)
2 02
31天
10
20
C (34, 33.4)
温差14.8℃
33.4 18.6 7.4 34 32
B (32, 18.6)
2天
温差15.1℃
18.6 3.5 0.5 32 1
30
34 t(d)
问题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？
比值反映了在某一时间段内气温、股指变化的快慢程度．
日期 3月18日 3月19日 3月20日 3月21日 3月22日 3月23日 3月24日 3月25日 3月26日 3月27日 3月28日 3月29日 3月30日 3月31日 4月1日 4月2日 4月3日
最高温度 3.5 4.5 5 5.3 5.6 5.7 6 6.4 6.9 7 7.2 7.3 7.5 7.6 7.7 7.8 8
34 32
20 B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
k 0.5
18.6 3.5 0.5 32 1
2
02
10
20
30
34 x
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
数学应用 例 1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试比较从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 变化的快慢情况．
18
4月4日
19
4月5日
20
4月6日
21
4月7日
22
4月8日
23
4月9日
24
4月10日
25
4月11日
26
4月12日
27
4月13日
28
4月14日
29
4月15日
30
4月16日
31
4月17日
32
4月18日
33
4月19日
34
4月20日
8.8 9
9.3 9.5 10.1 11 11.5 12 12.7 13.2 14 14.6 15.9 17.1 18.6 24.4 33.4
解:函数 f (x)在[-3，-1]上的平均变化率为
f (1) f (3) 2 (1) (3)
函数 f (x)在[0，5]上的平均变化率为 f (5) f (0) 2
50
函数 g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为
g(1) g(3) 2
(1) (3)
函数 g(x)在[0，5]上的平均变化率为
情境1
甲乙两人投入相同资金经营同一种商品，甲挣到10万 元，乙挣到2万元，你能比较和评价甲、乙两人的经营成果 吗？为什么？
甲乙两人投入相同资金经营同一种商品，甲用5年时间 挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元．你能比较和评价 甲、乙两人的经营成果吗？为什么 ？
结论：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量 相对于另一个量改变了多少。
某市2004年3月18日至4 月20日每天最高气温数 据记录表
情境3
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度 问题：如何从数学角度刻画气温“陡升”？
温差 15.1 ℃
温差 14.8 ℃
3月18日
4月20日那天人们会惊呼 “天气热得太快了”！
Hale Waihona Puke Baidu4月18日 4月20日
某市2004年3月和4月某天日最高气温记载:
第6个月到第12个月体重增加的速度要快.
例 2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ，t秒钟后容 器甲中水的体积为V (t)=5e0.1t (单位cm3) ，计算第一个10 秒内 V 的平均变化率． e 2.718 , e1 0.368
解答： 在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为
V (10) V (0) 1.839 5 0.3161(cm3 / s)，
1.1.1 平均变化率
苏教版选修2-2 数学
苏教版选修2-2《导数及其应用》第1课时
只有微分学才能 使自然科学有可能 用数学来不仅仅表 明状态，而且也表 明过程：运动
——恩格斯
牛顿
莱布尼茨
微积分的创始人，本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一.
世界充满着变化， 有些变化几乎不被人们所察觉， 而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！
W/kg 11
解：从出生到第3个月，婴儿体 重的平均变化率为
8.6 6.5
6.5 3.5 1(kg /月)
30
3.5
从第6个月到第12个月，婴儿
O 3 6 9 12 t/月 体重的平均变化率为
这两种不同的变化率 的实际意义是什么？
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
1 0.4
该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比
10 0
10
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙
平均变化率为 0.3161cm3 / s
这种变化的实际意义是什么？
负号表示容器甲中的水在减少
平均变化率的绝对值较大，则变化较快
例 3 已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x ,分别计算函数 f (x) 及 g(x) 在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.
g(5) g(0) 2
50
[m , n] (m <n)
一次函数 y=kx+b在区间[m,n](m<n)上的平均变化率 与区间的长度和位置无关，恒为直线y=kx+b的斜率k.
y f(x2)
f(x1) O
y=f(x)
B
△y
A △x
x1
x2
x
f (x2 ) f (x1) y k
x2 x1
情境2
2019.5.10上证指数分时图
B(10:03,,2925)
A(9:30,2878)
D（13:00,2894） C(11:10,2884)
E（13：04,2838）
问题：如何从数学角度刻画股指“跳水”？
结论：股指差不能反映股指变化的快慢程度
情境3
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
y x
用平均变化率来近似地量化曲线在某区间上的陡峭程度
曲线越“陡峭”，说明变量变化越
快
曲线越“平缓”，说明变量变化越 慢
概念建构
平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上 两点(x1, f(x1))、(x2, f(x2))所在直线的斜率.
y
C (34, 33.4)
30
k =7.4 33.4 18.6 7.4
概念建构
y
y f (x)
A( x , f ( x ))
1
1
B( x , f ( x ))
2
2
斜率公式
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
o
x1
x2 x
一般地，函数 f (x) 在区间 [ x1, x2 ] 上的平均变化率为
f(x2)－f(x1) x2－x1
T (℃)
30
20
10 A (1, 3.5)
2 02
31天
10
20
C (34, 33.4)
温差14.8℃
33.4 18.6 7.4 34 32
B (32, 18.6)
2天
温差15.1℃
18.6 3.5 0.5 32 1
30
34 t(d)
问题：用怎样的数学模型刻画变量变化的快慢程度？
比值反映了在某一时间段内气温、股指变化的快慢程度．
日期 3月18日 3月19日 3月20日 3月21日 3月22日 3月23日 3月24日 3月25日 3月26日 3月27日 3月28日 3月29日 3月30日 3月31日 4月1日 4月2日 4月3日
最高温度 3.5 4.5 5 5.3 5.6 5.7 6 6.4 6.9 7 7.2 7.3 7.5 7.6 7.7 7.8 8
34 32
20 B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
k 0.5
18.6 3.5 0.5 32 1
2
02
10
20
30
34 x
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
数学应用 例 1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示， 试比较从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 变化的快慢情况．
18
4月4日
19
4月5日
20
4月6日
21
4月7日
22
4月8日
23
4月9日
24
4月10日
25
4月11日
26
4月12日
27
4月13日
28
4月14日
29
4月15日
30
4月16日
31
4月17日
32
4月18日
33
4月19日
34
4月20日
8.8 9
9.3 9.5 10.1 11 11.5 12 12.7 13.2 14 14.6 15.9 17.1 18.6 24.4 33.4
解:函数 f (x)在[-3，-1]上的平均变化率为
f (1) f (3) 2 (1) (3)
函数 f (x)在[0，5]上的平均变化率为 f (5) f (0) 2
50
函数 g(x)在[-3，-1]上的平均变化率为
g(1) g(3) 2
(1) (3)
函数 g(x)在[0，5]上的平均变化率为
情境1
甲乙两人投入相同资金经营同一种商品，甲挣到10万 元，乙挣到2万元，你能比较和评价甲、乙两人的经营成果 吗？为什么？
甲乙两人投入相同资金经营同一种商品，甲用5年时间 挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元．你能比较和评价 甲、乙两人的经营成果吗？为什么 ？
结论：仅考虑一个量的变化是不行的，要考虑一个量 相对于另一个量改变了多少。
某市2004年3月18日至4 月20日每天最高气温数 据记录表
情境3
结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度 问题：如何从数学角度刻画气温“陡升”？
温差 15.1 ℃
温差 14.8 ℃
3月18日
4月20日那天人们会惊呼 “天气热得太快了”！
Hale Waihona Puke Baidu4月18日 4月20日
某市2004年3月和4月某天日最高气温记载:
第6个月到第12个月体重增加的速度要快.
例 2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ，t秒钟后容 器甲中水的体积为V (t)=5e0.1t (单位cm3) ，计算第一个10 秒内 V 的平均变化率． e 2.718 , e1 0.368
解答： 在区间[0,10]上，体积V的平均变化率为
V (10) V (0) 1.839 5 0.3161(cm3 / s)，
1.1.1 平均变化率
苏教版选修2-2 数学
苏教版选修2-2《导数及其应用》第1课时
只有微分学才能 使自然科学有可能 用数学来不仅仅表 明状态，而且也表 明过程：运动
——恩格斯
牛顿
莱布尼茨
微积分的创始人，本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一.
世界充满着变化， 有些变化几乎不被人们所察觉， 而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！
W/kg 11
解：从出生到第3个月，婴儿体 重的平均变化率为
8.6 6.5
6.5 3.5 1(kg /月)
30
3.5
从第6个月到第12个月，婴儿
O 3 6 9 12 t/月 体重的平均变化率为
这两种不同的变化率 的实际意义是什么？
11 8.6 0.4(kg /月) 12 6
1 0.4
该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比
10 0
10
甲
即第一个10s内容器甲中水的体积的
乙
平均变化率为 0.3161cm3 / s
这种变化的实际意义是什么？
负号表示容器甲中的水在减少
平均变化率的绝对值较大，则变化较快
例 3 已知函数 f (x) 2x 1, g(x) 2x ,分别计算函数 f (x) 及 g(x) 在区间[-3，-1]，[0，5]上的平均变化率.
g(5) g(0) 2
50
[m , n] (m <n)
一次函数 y=kx+b在区间[m,n](m<n)上的平均变化率 与区间的长度和位置无关，恒为直线y=kx+b的斜率k.
y f(x2)
f(x1) O
y=f(x)
B
△y
A △x
x1
x2
x
f (x2 ) f (x1) y k
x2 x1
情境2
2019.5.10上证指数分时图
B(10:03,,2925)
A(9:30,2878)
D（13:00,2894） C(11:10,2884)
E（13：04,2838）
问题：如何从数学角度刻画股指“跳水”？
结论：股指差不能反映股指变化的快慢程度
情境3
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
y x
用平均变化率来近似地量化曲线在某区间上的陡峭程度
曲线越“陡峭”，说明变量变化越
快
曲线越“平缓”，说明变量变化越 慢
概念建构
平均变化率的几何意义就是函数f(x)图象上 两点(x1, f(x1))、(x2, f(x2))所在直线的斜率.
y
C (34, 33.4)
30
k =7.4 33.4 18.6 7.4