2017年辽宁省沈阳市铁路实验中学高考数学模拟试卷(理科)
辽宁省沈阳市2017届高考数学二模试卷理科
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n ∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n 项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n ≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：=．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当m=时，满足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．【解答】解：输入a=1，b=2，m=，f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，a=1，b=，|1﹣|=＞，m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＞，m=，f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＜，退出循环，输出m=，故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）【考点】三角函数的化简求值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．【解答】解：函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，综上，实数m的取值范围（，5），故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，对于男性用户，各小组的频率分别为：，，，，，其相对应的小长方形的高为，，，，，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X123PX的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题．19．（12分）（2017•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2，求出a=，设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，则a=，设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，∴+=1，∴b=1，椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣＜﹣＜0，∴0＜2k2＜1，∴|AB|=•=•=•=（1+），∵＜＜12k2+1＜1，∴|AB|∈（，2），线段AB长的取值范围（，2）．【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．21．（12分）（2017•沈阳二模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x 1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
【全国市级联考】辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)
辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则集合( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以.故本题正确答案为C.2. 在复平面内复数（是虚数单位）对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】,复数对应点为:.点在第二象限,所以B选项是正确的.3. 向量，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若,则由向量的定义显然有,必有;若,则,得,不能推出,故选A.4. 如下的程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值，若，则这样的值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，当时，，令，解得，当时，，令，解得，当时，，方程在给定范围内无解，故一共有三个解，所以答案为C．考点：程序框图．5. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（）A. 9B. 21C. 25D. 34...【答案】B【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个三棱锥由正视图和俯视图可得底面底边长为2，由左视图可得底面底边上的高为2，故底面积由主视图和左视图可得棱锥的高故棱锥的体积.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．6. 已知,分别是双曲线：的两个焦点，若在双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点是双曲线左支上的点，由，化为（为双曲线的焦距），，容易证明，于是,．故选D．7. 已知函数的图象在轴左侧的第一个最高点为，第一最低点为，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题可得,,当时，，过点，可得，，当时（舍）.8. 若，则（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】，则.9. “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为，故第1行的第一个数为：，...第2行的第一个数为：，第3行的第一个数为：，…第行的第一个数为： (n+1)×2n−2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是.10. 直线与圆相切，则的最大值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知，即，因为（当且仅当取等号），所以，应选答案C。
辽宁省沈阳铁路实验中学高三数学上学期第一次月考试题理
沈阳铁路实验中学2016-2017学年度上学期第一次月考卷高 三 数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知i 为虚数单位，则复数21i-所对应的点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设全集U R =，集合{}|l g A x y x ==，}{1,1B =-,则下列结论正确的是（ ）A ．}{1AB =- B ．()(,0)A B =-∞R ðC ．(0,)AB =+∞ D ．}{()1A B =-R ð3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ）A ．2xy =B ．2xy =C ．22xxy -=- D ．22xxy -=+ 4. “1m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 5. 幂函数的图象经过点1(2,)4，则它的单调递增区间是（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．(),-∞+∞ D ．(),0-∞6. 若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为（ ）（A ）（ ） （B ）（） （C ）0,1（） （D ）1,+∞（）7. 设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b = （ ） （A ）1 （B ）78 （C ）34 （D ）128.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A．．0CD ．33369．若X 是离散型随机变量，1()3P X a ==，2()3P X b ==，且a b <，又已知2()3E X =，2()9D X =，则a b +的值为A ．1B ．2C ．3D ．410. 设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．6011.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ）A ．24种B ．28种C ．32种D ．36种12.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）A ．012x <<0 B ．012x <<1 C ．2220<<x D0x <<第8题图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） 13. 函数()log (2)a f x x =-必过定点 ．14. 已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(0)0.1P X ≤=，则(12)P X ≤≤=________15. 当(,1]x ∈-∞，不等式212401x x aa a ++⋅>-+恒成立，则实数a 的取值范围为________. 16. 已知实数,,,abcd 成等比数列,对于函数ln y x x =-,当x b =时取到极大值c ,则ad = ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题:q 实数x 满足302x x -≤-. （1）若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，2()2f x x x =-（1）求)2(),1(-f f 的值；（2）求()f x 的解析式；并画出简图；（3）利用图象．．．．讨论方程()f x k =的根的情况。
辽宁省沈阳铁路实验中学2016-2017学年高二下学期期未考试数学(理)试题
绝密★启用前辽宁省沈阳铁路实验中学2016-2017学年高二下学期期未考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、定义在R 上的可导函数f (x ),f ′(x )是其导函数.则下列结论中错误的是( )A ．若f (x )是偶函数,则f ′(x )必是奇函数B ．若f (x )是奇函数,则f ′(x )必是偶函数C ．若f ′(x )是偶函数,则f (x )必是奇函数D ．若f ′(x )是奇函数,则f (x )必是偶函数2、若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3、设函数在上存在导函数，，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4、来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 A ．种 B ．种 C ．种 D ．种5、下列说法： ①分类变量与的随机变量越大，说明“与有关系”的可信度越大.②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3.③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为中，，则.④如果两个变量与之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据不能写出一个线性方程正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、（2011•湖北）如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5767、已知某一随机变量x 的概率分布如下，且=5.9，则a 的值为（ ）2-8 9 p 0.5 b-0.1 bA. 5B. 6C. 7D. 88、如图，由曲线直线和轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．9、若，则的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－210、已知为实数,若复数为纯虚数,则的值为( )A ．1B ．0C ．D ．11、已知随机变量服从正态分布，，则（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.8412、已知复数在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．[-1,4]第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知随机变量ξ～B （36，p ），且E （ξ）=12，则D （4ξ+3）=_________.14、研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解法：由，令，则，所以不等式的解集为，类比上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为__________.15、将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是___________.16、函数 在处的切线方程为_______．三、解答题（题型注释）17、已知函数.(Ⅰ)当时，求的解集；(Ⅱ)若的解集包含集合，求实数的取值范围.18、已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.直线过点.（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值.19、已知函数，，其中（1）设函数，求函数的单调区间； （2）若存在，使得成立，求的取值范围.20、已知函数（1）若函数F(x)=+ax 2在上为减函数，求的取值范围；（2）当时，，当时，方程-=0有两个不等的实根，求实数的取值范围；21、已知某商品的价格（元）与需求量（件）之间的关系有如下一组数据：（1）求,;（2）求出回归直线方程（3）计算相关系数r 的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．306．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．18．（12分）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．20．（12分）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x|＜2}则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．5．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n ≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4] C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，利用图象分析目标函数的取值是解答本题的关键．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：=．故选D．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力，空间想象能力．8．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．【点评】本题考查概率的计算，考查对立事件概率公式的运用，比较基础．9．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2 值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，m的值，当m=时，满足条件|a﹣b|＜d，输出m的值为．【解答】解：输入a=1，b=2，m=，f（1）=﹣1＜0，f（m）=f（＞0，f（1）f（m）＜0，a=1，b=，|1﹣|=＞，m=，f（1）=﹣1，f（m）=f（）＜0，f（1）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＞，m=，f（a）=f（）＜0，f（m）=f（）＜0，f（a）f（m）＞0，a=，b=，|﹣|=＜0.2，退出循环，输出m=，故选：A．【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，准确执行循环得到a，b，S，k的值是解题的关键，属于基础题．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．12．对函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A．（，6）B．（，6）C．（，5）D．（，5）【考点】三角函数的化简求值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要2（1+）＞m﹣1即可，当m＜2时，只要1+＜2（m﹣1）即可，由此能求出结果，综合可得结论．【解答】解：函数f（x）=，若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立．当m＞2时，f（x）∈[1+，m﹣1]，只要2（1+）＞m﹣1即可，解得2＜m＜5．当m＜2时，f（x）∈[m﹣1，1+]，只要1+＜2（m﹣1）即可，解得＜m＜2，综上，实数m的取值范围（，5），故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，属于中档题．二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于基础题．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），（2分）f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x（4分）．故答案为：y=x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴y B=﹣2y A∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•沈阳二模）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（，1）•（﹣cosx，1﹣sinx）=﹣cosx﹣sinx+4=﹣2sin（x+）+4，f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵f（A）=4，∴A=，又∵BC=3，∴9=（b+c）2﹣bc．∵bc≤，∴，∴b+c≤2，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为3+2．【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的周期，基本不等式以及余弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）（2017•沈阳二模）某手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户，求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）画出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大；（Ⅱ）由分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，根据X的取值计算对应的概率，求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，且P（X=1）===，P（X=2）===，P（X=3）===；所以X的分布列为X的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了频率分布直方图以及概率的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的问题，是综合题．19．（12分）（2017•沈阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M （2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（12分）（2017•沈阳二模）已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A1，A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆Q的长轴长为2，求出a=，设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，﹣．化简求出b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知2a=2，则a=，设P（x0，y0），∵直线PA与OM的斜率之积恒为﹣，∴×=﹣，∴+=1，∴b=1，椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，则x1+x2=﹣，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：y﹣=﹣（x+）=﹣x﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣＜﹣＜0，∴0＜2k2＜1，∴|AB|=•=•=•=（1+），∵＜＜12k2+1＜1，∴|AB|∈（，2），线段AB长的取值范围（，2）．【点评】本题考查椭圆方程、线段长的取值范围的求法，考查椭圆、直线与椭圆的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，解题时要注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式的合理运用，属于中档题．21．（12分）（2017•沈阳二模）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1，f（x1）、B（x2，f （x2）），中点横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e ﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=，f（x）的定义域是（0，+∞），x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值．（2）要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证：，只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），，∴F（x）＞F（0）=0，故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），即f（e+x）＞f（e﹣x），（3）证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，∴，∴f'（x0）＜0．【点评】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f （x ）≥a +，当x=时取等号，即f （x ）的最小值为a +，∴a +=1，2a +b=2；法二：∵﹣a ＜，∴f （x ）=|x +a |+|2x ﹣b |=，显然f （x ）在（﹣∞，]上单调递减，f （x ）在[，+∞）上单调递增，∴f （x ）的最小值为f （）=a +，∴a +=1，2a +b=2．（2）方法一：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，=+=（+）（2a +b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t ，即实数t 的最大值为；方法二：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，t ≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t ，即实数t 的最大值为；方法三：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴a +2（2﹣a ）≥ta （2﹣a ）恒成立，∴2ta 2﹣（3+2t ）a +4≥0恒成立，∴（3+2t ）2﹣326≤0，∴≤t ≤，实数t 的最大值为．【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．。
辽宁省沈阳铁路实验中学2017届高三数学上学期假期作业验收测试试题 理
2016-2017学年度沈阳铁路实验中学高三暑假作业验收考试高三数学（理）一、选择题（每题5分）1．函数y =的定义域为（ ）A ．(],2-∞B ．(],1-∞C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞⋃ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦ D ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 4．5)21(-+xx 展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．－252 C ．160 D ．－160 5．已知*111()1()23f n n N n =++++∈， 35(2),(4)2,(8),(16)322f f f f >>>>，由此推算：当n≥2时，有（ ）A ．*21(2)()2n f n n N +>∈ B ．*21(2)()2n f n n N ->∈ C ．*21(2)()2n n f n N +>∈ D ．*2(2)()2n n f n N +>∈6．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.37．已知()f x =()|2|g x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =是奇函数C ．()()()2f x g x h x x=-是偶函数 D ．()()2()f x h x g x =-是奇函数8．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A.0.8B.0.75C.0.6D.0.459．2727227127..........1C C C ++++除以3所得余数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为（ ）A. 423π+B. 32π+C. 443π+D. 34π+11．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种A ．18B ．36C ．72D ．10812．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞二、填空题（每题5分） 13．函数12+=x xy 的值域为_____________. 14．将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数之和是3的倍数的概率是 . 15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．16．设点P 是曲线y ＝2x 2上的一个动点，曲线y ＝2x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝2x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为_____________三、解答题（17-19题10分，20-26题12分）请考生在17-19三体中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分17．选修4—1：几何证明选讲：如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.18．选修4−4：坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25. （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是错误！未找到引用源。
辽宁省沈阳市铁路实验中学2017届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）期中数学试卷（理科)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z=，为z的共扼复数,则•z的值为（）A．﹣2 B．0 C．D．22．已知集合A={x｜x2﹣3x+2≥0｝，B=｛x|≥0},则集合A∩B=（）A．{x｜x≤1｝B．{x|x≥2或x≤0｝ C．｛x｜1＜x≤2} D．｛x|1≤x≤2}3．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x;命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q4．函数f（x）=Asin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x)=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象(）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．某校高考数学成绩ξ近似地服从正态分布N,且p(ξ＜110）=0.98，则P（90＜ξ＜100）的值为（）A．0。
49 B．0.52 C．0。
51 D．0。
486．如图给出的是计算+++…++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（)A．i≤4030? B．i≥4030？C．i≤4032？D．i≥4032？7．设a=(cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（)A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．1608．已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x)=x+2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（)A．［﹣，+∞）B．[﹣,0]C．［﹣2，0] D．[2，4]9．已知锐角θ满足sin（+）=,则cos（θ+）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．10．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n，则函数y=mx3﹣nx+1在［1，+∞）上为增函数的概率是（）A．B．C．D．11．把座位编号为1,2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同分法种数为（)A．240 B．144 C．196 D．28812．设函数f（x）是定义在(﹣∞，0)上的可导函数，其导函数为f′（x)，且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2016)2f（x+2016）﹣4f（﹣2)＞0的解集为（)A．（﹣∞，﹣2016）B．（﹣∞，﹣2014) C．(﹣∞,﹣2018）D．（﹣2018，﹣2014) 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在答题纸上。
辽宁省沈阳市铁路实验中学2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高三（上）第一次月考数学试卷(理科）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设全集U=R，集合A={x|y=lgx｝，B=｛﹣1，1}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣1}B．（∁R A）∪B=（﹣∞,0） C．A∪B=（0，+∞）D．（∁R A）∩B={﹣1｝3．下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．y=2x B．y=2|x｜C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x4．“m＞1”是“函数f（x)=m+log2x（x≥1）不存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调增区间是（）A．(0，+∞) B．[0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0)6．若函数f(x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1）B．(﹣1，0）C．（0，1) D．（1，+∞）7．设函数f（x）=，若f（f（）)=4，则b=（）A．1 B．C．D．8．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．9．若X是离散型随机变量,P(X=a)=，P（X=b）=，且a＜b,又已知E（X）=，D（X）=，则a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．设a=（1﹣2x）dx，则二项式（x2+)6的常数项是（）A．240 B．﹣240 C．﹣60 D．6011．将3本相同的小说,2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有()A．24种B．28种C．32种D．36种12．已知函数y=x2的图象在点（x0,x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜D．＜x0二。
辽宁省沈阳市铁路试验中学2017届高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路试验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．（0，3） D．（1，3）2．若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．下列函数中是偶函数且值域为（0，+∞）的函数是（）A．y=|tanx|B．y=lg C．y=x D．y=x﹣24．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假5．若3cos（﹣θ）+cos（π+θ）=0，则cos2θ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣6．若n=2xdx，则（x﹣）n的展开式中常数项为（）A．B．﹣ C．D．﹣7．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．9．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A．3+3 B．3（+）C．3+3D．3（+）10．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．48011．若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．212．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3=8，S6=7，则a2=．14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3．15．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是．16．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m 恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共6题，17～21每题12分，选修10分，总计70分）17．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N+）．（1）求a n和b n；（2）若a n＜a n，求数列的前n项和T n．+118．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．19．如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（2）证明：BD∥平面PEC；（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．20．众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若甲至少获胜两场的概率大于，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X的分布列和数学期望．21．已知函数f（x）=a（x2﹣1）﹣lnx．（1）若y=f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当n≥2时，．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知射线C1：θ=（ρ≥0），动圆C2：ρ2﹣2x0ρcosθ+x02﹣4=0（x0∈R）．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+2|+|2x﹣3|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得不等式f（x）＜m成立，求m的取值范围；（Ⅱ）求使得等式f（x）≤|4x﹣1|成立的x的取值范围．2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路试验中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．∅B．[0，1）∪（3，+∞）C．（0，3） D．（1，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即A=（1，3），由B中y=x2≥0，得到B=[0，+∞），则A∩B=（1，3），故选：D．2．若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵z=（1+i）i═i+i2=﹣1+i，∴z的虚部为1．故选A．3．下列函数中是偶函数且值域为（0，+∞）的函数是（）A．y=|tanx|B．y=lg C．y=x D．y=x﹣2【考点】函数奇偶性的判断；函数的值域．【分析】根据y=|tanx|的图象便可得出该函数的值域为[0，+∞），从而选项A错误，而容易判断B，C函数都是奇函数，从而B，C错误，对于D，容易判断y=x﹣2为偶函数，并且值域为（0，+∞），从而便得出正确选项．【解答】解：A．y=|tanx|的值域为[0，+∞），∴该选项错误；B．解得，x＜﹣1，或x＞1；且；∴为奇函数，∴该选项错误；C.的定义域为R，且；∴该函数为奇函数，∴该选项错误；D．y=x﹣2的定义域为{x|x≠0}，且（﹣x）﹣2=x﹣2；∴该函数为偶函数；且x﹣2＞0，即该函数的值域为（0，+∞），∴该选项正确．故选：D．4．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β．对以上两个命题，下列结论中正确的是（）A．命题“p且q”为真B．命题“p或¬q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“¬p且¬q”为假【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】根据平面平行的判断方法，我们对已知中的两个命题p，q进行判断，根据判断结合和复合命题真值表，我们对四个答案逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：∵当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行与可能垂直故命题p为假命题又∵若α上不共线的三点到β的距离相等时α与β可能平行也可能相交，故命题q也为假命题故命题“p且q”为假，命题“p或¬q”为真，命题“p或q”为假，命题“¬p且¬q”为真故选C5．若3cos（﹣θ）+cos（π+θ）=0，则cos2θ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】先利用诱导公式化简，求得tanθ的值，再利用二倍角公式，即可求得结论．【解答】解：∵3cos（﹣θ）+cos（π+θ）=0，∴3cos（﹣θ）+cos（π+θ）=3sinθ﹣cosθ=0，则cosθ=3sinθ，∴tanθ=，∴cos2θ=cos2θ﹣sin2θ====．故选：A．6．若n=2xdx，则（x﹣）n的展开式中常数项为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】定积分．【分析】求定积分得n的值，写出二项式的通项，由x的指数为0求得r值，则常数项可求．【解答】解：∵n=2xdx=，∴（x﹣）n=．其通项为=．由4﹣2r=0，得r=2．∴展开式中常数项为．故选：C．7．已知平面向量，的夹角为，且||=，||=2，在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC中点，则||=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知中平面向量，的夹角为，且||=，||=2，=3，再由D为边BC的中点，==2，利用平方法可求出2=4，进而得到答案．【解答】解：∵平面向量，的夹角为，且||=，||=2，∴=||||cos=3，∵由D为边BC的中点，∴==2，∴2=（2）2=4，∴=2；故选：A．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据题意得ED∥BF，进而得到直线DE与平面BB1C1C所成的角等于直线BF与平面BB1C1C所成的角．利用几何体的结构特征得到∠FBG=．即可得到答案．【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以∠FBG=∠BCA=．故选A．9．已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是（）A．3+3 B．3（+）C．3+3D．3（+）【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，则R=2，由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3．则AB=3，AB=2，PA=3，则该正三棱锥的表面积是： +3×××=3+3．故选：B．10．有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为（）A．120 B．240 C．360 D．480【考点】计数原理的应用．【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53•C42•A33=360，故答案为：360．11．若为单位向量，且=0，，则的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．【解答】解：∵，即﹣+≤0，又∵为单位向量，且=0，∴，而==3﹣2≤3﹣2=1．∴的最大值为1．故选B．12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性将不等式恒成立进行转化，结合一元二次不等式恒成立的性质进行求解即可．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，∴f（0）=0，且f′（x）=1﹣cosx≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，∵f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（﹣∞，0]上也是增函数，即函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）等价为﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，若m=0，则不等式等价为4t＜0，即t＜0，不满足条件．，若m≠0，则要使mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，则，即，得m＜﹣，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3=8，S6=7，则a2=﹣．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的求和公式即可求出答案．【解答】解：由题意可得，公比q≠1，∴=8，=7相除可得1+q3=，∴q=﹣，∴a1=．故a2=a1q=×（﹣）=﹣．故答案为﹣14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和三棱柱的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥和三棱柱的组合体，它们的底面面积为：×2×2=2cm2，它们的高为：2cm，故体积V=2×2+×2×2=cm3，故答案为：15．如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是12．【考点】程序框图．【分析】从程序框图中得到实验数的定义，找出区间中被3整除的数；找出被12整除的数；找出不能被6整除的数得到答案．【解答】解：由程序框图知实验数是满足：能被3整除不能被6整除或能被12整除的数，在[30，80]内的所有整数中，所有的能被3整除数有：30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78共有17个数，在这17个数中能被12 整除的有36，48，60，72，共4个数，在这17个数中不能被6 整除的有33，39，45，51，57，63，69，75，共计8个数，所以在[30，80]内的所有整数中“试验数”的个数是12个．故答案为：12．16．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出f（x）的周期，问题转化为f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出f（x）的图象，结合图象求出m的范围即可．【解答】解：∵f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+4），f（x）是以4为周期的函数，若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰有三个不同的零点，则f（x）和y=m（x﹣1）在[﹣5，3]上有3个不同的交点，画出函数函数f（x）在[﹣5，3]上的图象，如图示：，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故答案为：．三、解答题（共6题，17～21每题12分，选修10分，总计70分）17．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N+）．（1）求a n和b n；，求数列的前n项和T n．（2）若a n＜a n+1【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意，a1=b1=1，利用通项公式可得解出即可；（2）由a n＜a n，可知d＞0．由（1）可知：a n=2n﹣1．可得=+1=，利用裂项求和即可得到T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由题意，a1=b1=1，得解得或．所以，a n=2n﹣1，或，．，所以d＞0，故a n=2n﹣1．（2）因为a n＜a n+1所以，==，故T n==．18．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2+sinAsinB=．（1）求角C的大小；（2）若b=4，△ABC的面积为6，求边c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用降幂公式，两角和与差的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，可求cosC的值，结合C的范围可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求a的值，结合余弦定理即可求得c的值．【解答】解：（1）sin2+sinAsinB=．⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，⇒，（2）∵，，∴，∵c2=a2+b2﹣2abcosC=10，∴．19．如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；（2）证明：BD∥平面PEC；（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，推导出PD⊥AF，CD⊥AF．由此能证明AF⊥平面PCD．（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD∥平面PEC．（3）求出平面PCD的法向量和平面PEC的法向量，利用向量法能求出二面角E ﹣PC﹣D的大小．【解答】证明：（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF．又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF．∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．（2）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，0，0），D（4，4，0），C（4，0，0），E（0，0，2），P（0，4，4），=（4，4，0），=（4，0，﹣2），=（0，4，2），设平面PEC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），∵=4﹣4+0=0，BD⊄平面PEC，∴BD∥平面PEC．（3）=（﹣4，4，4），=（0，4，0），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角E﹣PC﹣D的大小为θ，则cosθ===，∴θ=30°，∴二面角E﹣PC﹣D的大小为30°．20．众所周知，乒乓球是中国的国球，乒乓球队内部也有着很严格的竞争机制，为了参加国际大赛，种子选手甲与三位非种子选手乙、丙、丁分别进行一场内部对抗赛，按以往多次比赛的统计，甲获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若甲至少获胜两场的概率大于，则甲入选参加国际大赛参赛名单，否则不予入选，问甲是否会入选最终的大名单？（2）求甲获胜场次X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，，．由于事件A，B，C相互独立，可得，比较即可得出．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，，．由于事件A，B，C相互独立，∴=，由于，∴M会入选最终的大名单．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则，，．所以M获胜场数X的分布列为：数学期望为．21．已知函数f（x）=a（x2﹣1）﹣lnx．（1）若y=f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当n≥2时，．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（2）=0，求出a的值，检验即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，结合题意确定a的范围即可；（3）令a=，∴当x=1时，，分别取x=2，3，4，…，n，累加即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），，∵f（x）在x=2处取得极小值，∴f'（2）=0，即，此时，经验证x=2是f（x）的极小值点，故．（2）∵，①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴当x＞1时，f（x）＜f（1）=0矛盾．②当a＞0时，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得．（i）当，即时，时，f'（x）＜0，即f（x）递减，∴f（x）＜f（1）=0矛盾．（ii）当，即时，x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，∴f（x）≥f（1）=0满足题意．综上，．（3）证明：由（2）知令，当x∈[1，+∞）时，，（当且仅当x=1时取“=”）∴当x=1时，．即当x=2，3，4，…，n，有：===．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知射线C1：θ=（ρ≥0），动圆C2：ρ2﹣2x0ρcosθ+x02﹣4=0（x0∈R）．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）若射线C1与动圆C2相交于M与N两个不同点，求x0的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用tan θ=，θ=（ρ≥0），即可得出C1的直角坐标方程．利用，即可得出C2的直角坐标方程．（2）联立，由于关于ρ的一元二次方程ρ2﹣x0ρ+x02﹣4=0（x0∈R）在[0，+∞）内有两个实根．可得，解出即可得出．【解答】解：（1）∵tan θ=，θ=（ρ≥0），∴y=x（x≥0）．∴C1的直角坐标方程为y=x（x≥0）．∵，∴C2的直角坐标方程x2+y2﹣2x0x+x02﹣4=0．（2）联立关于ρ的一元二次方程ρ2﹣x0ρ+x02﹣4=0（x0∈R）在[0，+∞）内有两个实根．即，得，解得2≤x0＜4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+2|+|2x﹣3|．（Ⅰ）若∃x∈R，使得不等式f（x）＜m成立，求m的取值范围；（Ⅱ）求使得等式f（x）≤|4x﹣1|成立的x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）=|2x+2|+|2x﹣3|=≥5，从而求得得不等式f（x）＜m成立的m的取值范围．（Ⅱ）由f（x）=|2x+2|+|2x﹣3|≥|4x﹣1|，可得不等式即|2x+2|+|2x﹣3|=|4x ﹣1|，此时（2x+2）（2x﹣3）≥0，由此求得x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+2|+|2x﹣3|=≥2|（x+1）﹣（x﹣）|=5，∴使得不等式f（x）＜m成立的m的取值范围是（5，+∞）．（Ⅱ）由f（x）=|2x+2|+|2x﹣3|≥|2x+2+2x﹣3|=|4x﹣1|，∴不等式f（x）≤|4x﹣1|即|2x+2|+|2x﹣3|=|4x﹣1|，当且仅当（2x+2）（2x﹣3）≥0时取等号，即当x≤﹣1，或x≥时，|2x+2|+|2x﹣3|=|4x﹣1|，∴x的取值范围是．2017年1月20日。
辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试-数学(理).doc
2017．．．．年沈阳市高中三年级教学质量监测〔三〕．．．．．．．．．．．．．．．．．．数． 学．(．理科．．)．第Ⅰ卷．．．(．共．60．．分．)．选择题．．．:．〔本大题共．．．．．12．．小题，每题．．．．．5．分，共．．．60．．分．在每题给出的四个选项中，只有一项是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．符合题目要求的〕．．．．．．．． 假设集合．．．．{}|0A x x =≥，且．．A B B =，则集合．．．．B 可能是〔．．．．〕．A. ．．{}1,2 B. ．．{}|1x x ≤ C. ．．{}1,0,1- D. ．．R设．为虚数单位，则满足．．．．．．．．．|12|z i i -=+的复数．．．在复平面内所对应的点位于〔．．．．．．．．．．．．． 〕．A. ．．第一象限．．．．B. ．．第二象限．．．．C. ．．第三象限．．．．D. ．．第四象限．．．．已知双曲线．．．．．22194x y -=，则其焦距为〔．．．．．．． 〕．A. ．．5B. ．．25C. ．．13D. ．．213 已知向量．．．．a 与．b 不共线，．．．．AB a mb =+，．(,)AC na b m n R =+∈，则．．AB 与．AC 共线的充．．．．要条件是〔．．．．． 〕．A. ．．0m n +=B. ．．0m n -=C. ．．10mn +=D. ．．10mn -= 假设．．sin 3sin()02παα++=，则．．cos2α的值为〔．．．．〕．A.．．35- B.．．35 C.．．45-D.．．45按右图所示的程序框图，假设输入．．．．．．．．．．．．．．．81a =，则输出的．．．．．i =．〔． 〕．A.14B.17C.19D.21．．．．．．．．．．．．．．．．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“刍甍”的五面体〔如图〕：面．．．．．．．．．．．．．．ABCD 为矩形，棱．．．．．EF AB .．假设此几何．．．．．体中，．．．4,2AB EF ==，．ADE ∆和．BCF ∆都是边长为．．．．．2的等边三角形，．．．．．．．则此几何体的外表积为〔．．．．．．．．．．． 〕．i z 开始．． 输入．．是． 输出．． 结束．．否．A.．．83B.．．883+C.．．6223+D.．．86223++在如下图的矩形中随机投掷．．．．．．．．．．．．30000．．．．．个点，则落在曲线．．．．．．．．C 下方〔曲线．．．．．C 为．正态分布．．．．(1,1)N 的正态曲线〕的点的个数的估计值为〔．．．．．．．．．．．．．．．．． 〕．A.4985B. 8185 ．．．．．．．．．．．．C. 9970D.24555 ．．．．．．．．．．．．．附：正态变量在区间．．．．．．．．．(,),(2,2),(3,3)μσμσμσμσμσμσ-+-+-+内取值的概率分别．．．．．．．．是．0.683,0.954,0.997.．已知直线．．．．330x y --=与抛物线．．．．24y x =交于．．A B ，两点〔．．．A 在．x 轴上方〕，与．．．．．．x 轴交．．于．F 点，．．OF OA OB λμ=+，则．．λμ-=〔． 〕．A. ．．12B. ．．12-C. ．．13D. ．．13-已知某三棱锥的三视图如下图，图中的．．．．．．．．．．．．．．．．．3个直角三角形的直角边长度已经标．．．．．．．．．．．．．．．出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为〔．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 〕．A.．．13B.．．55C.．．12 D.．．23数列．．{}n a 的前．．n 项和为．．．n S ，．11a =，．1132n n n a a -++=⨯，则．．2017S =．〔． 〕．A.．．201821- B.．．201821+ C.．．201721- D.．．201721+ 已知函数．．．．()ln(1)ln(1)f x x x =+--，给出以下四个命题：．．．．．．．．．．①．()1,1x ∀∈-，有．．()()f x f x -=-；．②．()12,1,1x x ∀∈-且．12x x ≠，有．．1212()()f x f x x x ->-；．③．()12,0,1x x ∀∈，有．．1212()()()22x x f x f x f ++≤；．④．()1,1x ∀∈-，．|()|2||f x x ≥. ．其中所有真命题的序号是〔．．．．．．．．．．．． 〕．A. ．．①②．． B ．．．③④．． C ．．．①②③．．． D ．．．①②③④．．．．第Ⅱ卷．．． (．共．90．．分．)．本卷包括必考题和选考题两部分，第．．．．．．．．．．．．．．．．13．．题～第．．．21．．题为必考题，每个试题考生．．．．．．．．．．．．都必须做答．第．．．．．．．22．．题～第．．．23．．题为选考题，考生根据要求做答．．．．．．．．．．．．．．．． 填空题：．．．．(．本大题共．．．．4．小题，每题．．．．．5．分，共．．．20．．分．把答案填在答题纸上．．．．．．．．．．．)．已知函数．．．．2log ,0()1(),03xx x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，则．．1[()]4f f =___________.．．．．．．．．．．．．． 34(12)(1)x x +-展开式中．．．．2x 的系数为．．．．___________.．．．．．．．．．．．．某班共．．．46．．人，从．．．A ．，．B ．，．C ．，．D ．，．E ．五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一人。
辽宁省沈阳市省示范协作校2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案
2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的•1•设P =｛x|x ：：4｝，Q 二｛x|x2 :: 4｝，则（）A . P QB . Q』PC .P C R QD . Q ±C R P2复数2 -mi二A Bi （m、A、B R），且 A B =0,则m的值是（1 2i2 2 仁A . -—B . C. .2 D . 23 33•设样本数据为公2，…,X10的均值和方差分别为1和4,若％=为a （a为非零常数，i =1,2，…，10 ），则为必，…,X10的均值和方差分别为（）A. 1+a , 4B. 1+a , 4+a c. 1,4 D. 1, 4 + a4•公差不为零的等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a4是比与a?的等比中项，2=32，则弘等于（）A. 18B. 24C.60D. 902 25•设F1和F2为双曲线务-当=1（a 0,b 0）的两个焦点，若F1, F2（0,2b）是正三角形的a b三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A. .y =—x B .y -二3x丄厉C. y x^42D . y x3 7 3 6. 设a = log23, 2 ,3c =log3 4，则a,b, c的大小关系为（)A. .b ：： a :: cB. c :: a ■ bC. a :: b c D . c ：： b ：： a2 27•圆x y -4x -4y -10 =0上的点到直线x • y - 8 = 0的最大距离与最小距离的差是( )A. 18B. 6、、2C.5-2D. 4、28•已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（。
沈阳铁路实验中学2017-2018学年度上学期阶段考试(12月)试题高三数学(理)
第6题图沈阳铁路实验中学2017-2018学年度上学期阶段考试（12月）试题高三数学(理）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．设集合A={x|≤2x ≤}，B={x|lnx ＜0}，则A ∩B=（ ）A ．（﹣，）B ．（0，）C ．[，1）D ．（0，] 2．复数z=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．给出下列三个命题：①“若x 2+2x ﹣3≠0则x ≠1”为假命题； ②若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题； ③命题p ：∀x ∈R ，2x ＞0，则¬p：∃x ∈R ，2x ≤0， 其中正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．已知α，β是三个不同平面，α⊥，则“α∥β”是“β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在如图所示的程序框图中，若函数f （x ）=，则输出的结果是（ ）A ．﹣2B ．0.0625C ．0.25D ．4 6.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( ) A ． B ．C ．D ．7.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．8．若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．19.已知为内一点，且，，若三点共线，则的值为（）A． B． C. D．10．偶函数满足,且在时,, 则关于的方程在上解的个数是（）A． B． C． D．11.已知函数的部分图像如下图所示，若，则的值为（）A．B．C．D．12.已知曲线:上一点，曲线:上一点，当时，对于任意，都有恒成立，则的最小值为（）A．B．C．1 D．第II卷二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=4，则公差d= ．14.．15. 若非零向量满足，，则向量夹角的大小为___.16．表面积为的球面上有四点，，，，且为等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________.三、解答题（共6题，总计70分）17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且2n+1，S n，a成等差数列（n∈N*）．（1）求a的值及数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）log2（a n a n+1），求数列{}的前n项和T n．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）若c=2，求sinC；（2）求△ABC面积的最大值．19.在如图所示的多面体中，四边形为正方形，底面为直角梯形，为直角，平面平面.（1）求证：；（2）若求二面角的余弦值.20．已知椭圆右顶点、上顶点分别为A、B，且圆O：x2+y2=1的圆心到直线AB 的距离为．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l与圆O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．21.已知函数.（1）若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；（2）设，若有极大值点，求证：.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（是参数，）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出直线与曲线的极坐标方程；（2）若直线，直线与曲线的交点为，直线与的交点为，求.23． [选修：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明:.沈阳铁路实验中学2017-2018学年度上学期阶段考试（12月）高三数学（理）答案1.D．2.A．3.B4.A5.C．6.D7.B8.C9.B10.C11.A12.A13．2 14.15.；16.617.（1）利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得b n=（2n+1）log2（a n a n+1）=（2n+1）（2n﹣1），可得= =，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵2n+1，S n，a成等差数列（n∈N*）．∴2S n=2n+1+a，当n=1时，2a1=4+a，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1．∵数列{a n}是等比数列，∴a1=1，则4+a=2，解得a=﹣2，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（1）得b n=（2n+1）log2（a n a n+1）=（2n+1）（2n﹣1），∴==，∴数列{}的前n项和T n=+…+==．18解：（1）∵2sinA=acosB，，b=，∴2sinB=cosB，xyz即tanB=，∴sinB=，∵c=2，∴sinC==．（2）由（1）得cosB=，∴5=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即有ac≤，可得：△ABC面积的最大值为： =．19.解：（1）设，…………………6分(2),,即二面角……………12分20．解：（1）据题意：椭圆焦点在x轴上，则A（a，0），B（0，1），故直线AB的方程为：，即：x+ay﹣a=0．∴点O到直线AB的距离为：，解得，故椭圆的方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，代入，得，此时．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵直线l与圆O相切，所以，即m2=1+k2，由，消去y，整理得（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）=0，△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣1）=12（1+3k2﹣m2）=24k2，由△＞0，得k≠0，则，∴，则=，当且仅当1+k2=2k2，即k=±1时，|PQ|取得最大值．综上所述，|PQ|最大值为．21解析：（1）因为………………………………………………………1分因为函数存在与直线平行的切线，所以在上有解……………………………………………………………2分即在上有解，也即在上有解，所以，得故所求实数的取值范围是………………………………………………………4分（2）因为因为……………………………………………………5分①当时，单调递增无极值点，不符合题意………………………………6分②当或时，令，设的两根为和，因为为函数的极大值点，所以，又，所以，所以，则………………………………………8分要证明，只需要证明因为，，令，……………………………………………9分所以，记，，则当时，，当时，，所以，所以……………………………11分所以在上单调递减，所以，原题得证 (12)分22．（1）直线的极坐标方程为…………………………………………………2分曲线的普通方程为，又，所以曲线的极坐标方程为…………………………5分（2）设，则有，解得………………7分设，则有，解得…………………9分所以……………………………………………………………………10分23解：(1)当时,,原不等式等价于或或解得:或或,所以不等式的解集为或．．．．5分(2)．．．．10。
辽宁省沈阳铁路实验中学2017届高三高考模拟测试数学(理)试题含答案
沈阳铁路实验中学2017年高考模拟测试数 学（理）命题人:殷裕民 校对人：张璐 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间150分钟.注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.单项选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。
其它试题答在答题卡上. 3。
考试结束后,考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}2|320,{|2,}A x x x B x x a a A =-+===∈，则集合()C U A B ⋃的子集个数为（ )A 。
1 B. 3 C 。
8 D. 4 2．已知复数2z i =-+，则复数32z z ++的模为( ） A. 1 B 。
2 C.3 D 。
23．已知点()()2,0,3,2A B ,向量()2,a λ=，若a AB ⊥，则a 为（ ） A 。
5 B. 3 C. 26 D. 44．执行如图的程序框图()*N N ∈,那么输出的p 是（ )A. 33A N N ++ B 。
22N N A ++ C 。
11N N A ++ D 。
N N A5．下列说法中，正确的个数是( )①若()121xf x a =++为奇函数，则12a =； ②“在ABC ∆中，若sin sin A B >,则A B >”的逆命题是假命题；③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b ac =”的既不充分也不必要条件；④命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”A. 0 B 。
1 C 。
2 D 。
36．若()()()()2012111.........1nnn x a a x a x a x +=+-+-++-，由01.......243n a a a +++=,则()nn x -展开式的二项式系数和为（ ）A 。
【辽宁省实验中学分校】2017届高三高考仿真模拟理科数学试卷-答案
17．解：（Ⅰ）ABC △的内角和πA B C ++=∵π3A =∴2π03B <<．即2π03x << ∵AC BC =∴sin 4sin BC AC B x ==sinAB AC A =2πππ7π6sin cos )2)6666x x x x x =+=-+-<-< 当ππ2x -=即πx =时，y 取得最大值 18．解：（Ⅰ）1100(0.00040.00080.00210.00250.00060.00040.0002)2100m -⨯++++++=⨯， ∴0.0015m =．设中位数是x 度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以400500x <<，0.50.484001000.25x --=⨯， 故408x =，即居民月均用电量的中位数为408度． （Ⅱ）200户居民月均用电量在[700,800)度的户数是8，月均用电量在[800,900]度的户数是4．故随机变量X 的取值为0，1，2，3，4，且4841270(0)495C P X C ===，1348412224(1)495C C P X C ===，2248412168(2)495C C P X C ===，314841232(3)495C C P X C ===，40484121(3)495C C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为：19．解：（Ⅰ）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O =，连接FO ，因为1AD BC ==，60ADC ∠=，所以2DC =，又1AB =，因为AOB CDO ∽△△，因此:2:1CO AO =，所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形，所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM⊄平面BDF ，所以AM ∥平面BDF ；（Ⅱ）在平面ABCD 内过点C 作GC CD ⊥，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，则CF ⊥平面ABCD ，即CF GC ⊥，CF DC ⊥，以点C 为原点，分别以CD ，CG ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2B ，(2,0,0)D ，3(2E ，(0,0,1)F ， 所以(1,0,1)BE =，1(,2BF =-，1(,2DE =-，(2,0,1)DF =-， 设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m BE m BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴0102x z x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取(1,1)m =--， 同理可得平面DEF 的法向量(1,3,2)n =-，所以10cos ,||||522m n m n m n <>===，椭圆C 的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c 又点2F 在线段1PF 的中垂线上∴12|2|||F F PF =，∴222(2)(2)c c =+-解得1c =，22a =，21b =，（Ⅱ）由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y kx m =＋由221,2x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+ 且2111F M kx m k x +=-，2221F N kx m k x +=- 由已知παβ+=，得220F M F N k k +=，即1212011kx m kx m x x +++=-- 化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k k m k k ----=++．整理得2m k =-． ∴直线MN 的方程为(2)y k x -=因此直线MN 过定点，该定点的坐标为(2,0)． 21．解：（Ⅰ）∵233()a x ax a f x x a x x--+-'=-+=，∴(1)42f a '=- 由题意1422a -=-，解得94a =； （Ⅱ）由题意，1x ，2x 为()0f x '=的两根，∴24(3)0030a a a a ⎧-->⎪>⎨⎪->⎩，∴23a <<又12x x a +=，123x x a =-∴22121212121()()()()(3)ln 2f x f x x x a x x a x x +=+-++- 213(3)ln(3)2a a a a =-+-+--设21()3(3)ln(3),(2,3)2h a a a a a a =-+-+--∈ 则()ln(3)h a a a '=---12()1033a h a a a-''=-+=>--，故()h a '在(2,3)递增，又(2)20h '=-< 3a →时，()h a '→+∞，∴0(2,3)a ∃∈，当0(2,)a a ∈时，()h a 递减，当0(,3)a a ∈时，()h a 递增 ∴22min 000000011()()3(3)()23522h a h a a a a a a a ==-+-+--=-->- ∴(2,3)a ∀∈，()5h a >-综上，5)()(21->+x f x f ．22．解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为55cos 4sin x t y t t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， 则曲线1C 的普通方程为22(5)(4)25x y -+-=，曲线1C 的极坐标方程为210cos 8sin 160ρρθρθ--+=．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程210cos 8sin 160ρρθρθ--+=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立得πsin(2)θ+=，又[0,2π)θ∈，则0θ=或πθ=， 23．解：（Ⅰ）∵1m =时，()|2||2|1f x x x =+--+．∴当2x ≤-时，()3f x =-，不可能非负；当22x -<<时，()21f x x =+，由()0f x ≥可解得12x ≥-，于是122x -≤<； 当2x ≥时，()50f x =>恒成立． （Ⅱ）由方程()f x x =可变形为|2||2|m x x x =+--+．令4,2,()|2||2|,22,4, 2.x x h x x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩作出图象如图所示．于是由题意可得22m -<<．。
2017年辽宁省沈阳市省示范协作校高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年辽宁省沈阳市省示范协作校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．（5分）复数，且A+B＝0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．23．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i+a （a为非零常数，i＝1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a4．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于（）A．18B．24C．60D．905．（5分）设F1和F2为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点F1，F2，若P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 6．（5分）设a＝log23，，c＝log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a 7．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣8＝0的最大距离与最小距离的差是（）A．18B．C．D．8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π9．（5分）（x+y+z）4的展开式共（）项．A．10B．15C．20D．2110．（5分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米11．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y＝﹣2x+3B．y＝x C．y＝3x﹣2D．y＝2x﹣1 12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2＝1，a n+2+a n+1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝．14．（5分）如图所示，输出的x的值为．15．（5分）已知四面体ABCD，AB＝4，AC＝AD＝6，∠BAC＝∠BAD＝60°，∠CAD＝90°，则该四面体外接球半径为．16．（5分）设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y＝f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝4在区间[0，]上所有根之和．18．（12分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB ＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．（1）求证：BC1⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．20．（12分）已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2017年辽宁省沈阳市省示范协作校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【解答】解：P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．（5分）复数，且A+B＝0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【解答】解：因为，所以2﹣mi＝（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B＝2，2A+B＝﹣m解得5（A+B）＝﹣3m﹣2＝0所以m＝故选：C．3．（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i＝x i+a （a为非零常数，i＝1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a【解答】解：方法1：∵y i＝x i+a，∴E（y i）＝E（x i）+E（a）＝1+a，方差D（y i）＝D（x i）+E（a）＝4．方法2：由题意知y i＝x i+a，则＝（x1+x2+…+x10+10×a）＝（x1+x2+…+x10）＝+a＝1+a，方差s2＝[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]＝s2＝4．故选：A．4．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于（）A．18B．24C．60D．90【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42＝a3a7，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d＝0，①又∵，整理得2a1+7d＝8，②由①②联立，解得d＝2，a1＝﹣3，∴，故选：C．5．（5分）设F1和F2为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点F1，F2，若P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|＝，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴＝2c，∴c2+4b2＝4c2，∴c2+4（c2﹣a2）＝4c2，∴c2＝4a2，即c＝2a，b＝＝a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．6．（5分）设a＝log23，，c＝log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵a＝log23＞＝＝b，＝＞log34＝c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．7．（5分）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣8＝0的最大距离与最小距离的差是（）A．18B．C．D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18，∴圆半径r＝3．圆心（2，2）到直线的距离d＝2，圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣8＝0的最大距离与最小距离分别是：5，0故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上的点到直线x+y﹣8＝0的最大距离与最小距离的差是5，故选：C．8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：＝3π．故选：B．9．（5分）（x+y+z）4的展开式共（）项．A．10B．15C．20D．21【解答】解：（x+y+z）4＝（x+y）4+4（x+y）3z+6（x+y）2z2+4（x+y）z3+z4，根据二项式定理：（x+y）n展示式中共有n+1项，所以上式中：共有5+4+3+2+1＝15项．故选：B．10．（5分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB，即（y﹣0.5）2＝y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）＝x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y＝，y＝（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1＝时，取“＝”号，即x＝1+时，y有最小值2+．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y＝﹣2x+3B．y＝x C．y＝3x﹣2D．y＝2x﹣1【解答】解：∵f（x）＝2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（2﹣x）＝2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．∴f（2﹣x）＝2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．将f（2﹣x）代入f（x）＝2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8得f（x）＝4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．∴f（x）＝x2，f′（x）＝2x，∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′＝2．∴函数y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．故选：D．12．（5分）已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：（1）球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2（a﹣c）；（2 ）球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到F1路程是2（a+c）；（3）球从F1沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点A，反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，经F1反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的最大路程是4a最小路程是2（a﹣c）．∴由题意可得4a＝10（a﹣c），即6a＝10c，得．∴椭圆的离心率为．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2＝1，a n+2+a n+1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1＝6a n可化为a1q n+1+a1q n＝6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6＝0．∵q＞0，∴q＝2．a2＝a1q＝1，∴a1＝．∴S4＝＝＝．故答案为14．（5分）如图所示，输出的x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝51，b＝221不满足条件a＝b，满足b＞a，b＝221﹣51＝170，不满足条件a＝b，满足b＞a，b＝170﹣51＝119，不满足条件a＝b，满足b＞a，b＝119﹣51＝68，不满足条件a＝b，满足b＞a，b＝68﹣51＝17，不满足条件a＝b，满足a＞b，a＝51﹣17＝34，不满足条件a＝b，满足a＞b，a＝34﹣17＝17，满足条件a＝b，x＝17，输出x的值为17．故答案为：17．15．（5分）已知四面体ABCD，AB＝4，AC＝AD＝6，∠BAC＝∠BAD＝60°，∠CAD＝90°，则该四面体外接球半径为2．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF＝2，AE＝2，BE＝＝2．设该四面体外接球半径为R，OO′＝d，则2+（2+d）2＝d2+（3）2，∴d＝，CD＝6，∴R＝＝2，故答案为：2．16．（5分）设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．【解答】解：∵函数y＝e x与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称函数y＝e x上的点P（x，e x）到直线y＝x的距离为d＝设g（x）＝e x﹣x，（x＞0）则g′（x）＝e x﹣1由g′（x）＝e x﹣1≥0可得x≥ln2，由g′（x）＝e x﹣1＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，d min＝由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为2d min＝．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y＝f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求方程g（x）＝4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（1）化简可得f（x）＝2cos2x+2sin x cos x+a＝cos2x+1+sin2x+a＝2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1＝2，解得a＝2，∴f（x）＝2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）＝2sin（4x﹣）+3，由g（x）＝4可得sin（4x﹣）＝，∴4x﹣＝2kπ+或4x﹣＝2kπ+，解得x＝+或x＝+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x＝或x＝，∴所有根之和为+＝．18．（12分）某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为P，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜．（Ⅰ）若高三获得冠军概率为，求P．（Ⅱ）记高三的得分为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场．高三胜两场的概率为，三个队各胜一场的概率为，∴．解得：；（Ⅱ）高三的得分X的所有可能取值有0、1、2，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝．∴X的分布列为：故X的期望E（X）＝．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB ＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．（1）求证：BC1⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB ⊥BC1，…（1分）在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得：BC12＝BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，所以B1C＝，…（3分）故BC2+BC12＝CC12，所以BC⊥BC1，…（5分）又BC∩AB＝B，∴C1B⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分），，令，∴，，设平面AB 1E的一个法向量为．，令z＝，则x＝，y＝，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|＝，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3＝0，所以λ＝1或．∴CE＝CC1＝2或CE＝CC1＝3．20．（12分）已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝kx+2代入y＝2x2得2x2﹣kx﹣2＝0，得x1+x2＝．∵x N＝x M＝＝，∴N点的坐标为（，）．∵y′＝4x，∴y′|＝k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．∵直线l：y＝kx+2的斜率为k，∴l∥AB；（2）解：假设存在实数k，使AB为直径的圆M经过点N．由于M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|．由（Ⅰ）知y M＝（y1+y2）＝（kx1+2+kx2+2）＝[k（x1+x2）+4]＝（4+）＝2+，由MN⊥x轴，则|MN|＝|y M﹣y N|＝2+﹣＝，∵|AB|＝•＝•＝•由＝•∴k＝±2，则存在实数k＝±2，使AB为直径的圆M经过点N．21．（12分）已知函数f（x）＝x2++alnx．（Ⅰ）若f（x）在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设f（x）的导函数f′（x）的图象为曲线C，曲线C上的不同两点A（x1，y1）、B（x2，y2）所在直线的斜率为k，求证：当a≤4时，|k|＞1．【解答】解：（1）由，得．因为f（x）在区间[2，3]上单调递增，所以≥0在[2，3]上恒成立，即在[2，3]上恒成立，设，则，所以g（x）在[2，3]上单调递减，故g（x）max＝g（2）＝﹣7，所以a≥﹣7；（2）对于任意两个不相等的正数x1、x2有＞＝＝，∴，而，∴＝＝＞，故：＞，即＞1，∴当a≤4时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t＝|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52][选修4-5：不等式选讲]23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。
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2017年辽宁省沈阳市铁路实验中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a ∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．42．（5分）已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．44．（5分）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．5．（5分）下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．10247．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B．C．D．9．（5分）函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A．B．C．D．10．（5分）设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]12．（5分）过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．14．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为16．（5分）已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=．三、解答题（共6题，总计70分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．18．（12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M 位置，不存在，说明理由．20．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．2017年辽宁省沈阳市铁路实验中学高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．（5分）（2017•和平区校级模拟）全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．4【解答】解：根据题意，A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，则A∪B={1，2，4}，∁U（A∪B）={3，5，6}，有3个元素，其子集个数为23=8，故选C．2．（5分）（2017•和平区校级模拟）已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵z=﹣2+i，∴，则复数的模，故选：B．3．（5分）（2017•和平区校级模拟）已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．4【解答】解：，，故选A．4．（5分）（2016•赣州一模）执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；N+1，不满足继续循环的条件，第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，故输出的p值为A N+1故选：C5．（5分）（2017•和平区校级模拟）下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，若f（x）=+a为奇函数，则f（0）=0，解得a=﹣，所以①不正确；对于②，“在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，则A＞B”，的逆命题是真命题；所以②不正确；对于③，“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=±，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，所以③正确．对于④，命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．满足命题的否定形式，所以④正确．故选：C．6．（5分）（2017•和平区校级模拟）若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n （x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．1024【解答】解：∵（x+1）n =[2+（x﹣1）]n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x ﹣1）n，令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n =243，可得3n=243，求得n=5，故（n﹣x）n=（5﹣x）5展的开式的二次项系数和为2n=25=32，故选：B．7．（5分）（2017•佛山一模）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，故选：C．8．（5分）（2017•和平区校级模拟）已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B．C．D．【解答】解：由在抛物线y2=2px上，∴2pm=8，∴，∴抛物线的焦点，即，准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知，即圆A的半径．∵A到y轴的距离d=m，∴，即，解得，故选D．9．（5分）（2016•长春二模）函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a 的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．10．（5分）（2017•和平区校级模拟）设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，且f（0）•f（1）=﹣1×2=﹣2＜0，即a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象，得1＜b＜c，即c＞b＞a；故选：C．11．（5分）（2015•鹰潭校级模拟）已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．12．（5分）（2017•泉州模拟）过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）（2017•和平区校级模拟）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．【解答】解：由等差数列的前n项和，可知：，可得：．同理：，可得：．那么：则=．故答案为：．14．（5分）（2014•江西一模）函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．【解答】解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积又S△AOBS=x2dx==，﹣S=4﹣=．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB故答案为：．15．（5分）（2017•和平区校级模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为【解答】解：由已知三视图得到几何体是两个底面边长为1的正方形的四棱锥对底放置的几何体，所以其几何体体积为，其外接球的半径为，所以体积为，因此体积之比为；故答案为：．16．（5分）（2017•和平区校级模拟）已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC 外接圆半径为2，若，则边长AB=3．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，因为，所以，则16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，解得：cos∠AOB=﹣．由2∠ACB=∠AOB，2cos2∠ACB﹣1=cos∠AOB=﹣，则cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3故答案为：3三、解答题（共6题，总计70分）17．（12分）（2017•和平区校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：，∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，∴sinA+2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴，∵0＜C＜π．∴．（Ⅱ）∵，又∵，∴，∴，即．故得sin2A+sin2B的取值范围是[，）．18．（12分）（2017•和平区校级模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．【解答】解：（Ⅰ）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P（ξ=k）=，其中k=0，1，2，3；…（8分）（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B（360，）；∴Eη=360×=120（天），∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．19．（12分）（2017•和平区校级模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M 位置，不存在，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∴﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点．（Ⅱ）=（0，﹣1，2），设面BDC的法向量=（x，y，z），则，设x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，∴，∵B1M⊥面BDC，∴，∴，解得，∵x＞1，∴在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．20．（12分）（2016•赣州一模）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…（5分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）21．（12分）（2017•和平区校级模拟）已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，要使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f'（x）≥0，即在（1，+∞）上恒成立即可，易知在（1，+∞）上单调递增，所以只需a≤y min即可，易知当x=1时，y取最小值，，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）不等式f（x0）＜0即（x0﹣2）lnx0＜ax0﹣1，令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，则，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，而g'（1）=﹣1＜0，g'（2）=ln2＞0，∴存在实数m∈（1，2），使得g'（m）=0，当x∈（1，m）时，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上单调递减；当x∈（m，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（m）．g（1）=g（2）=0，画出函数g（x）和h（x）的大致图象如下，h（x）的图象是过定点C（0，﹣1）的直线，由图可知若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，则需k BC＜a≤min{k AC，k DC}，而，∴k AC＞k DC．∵，∴．于是实数a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•徐水县模拟）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•湖北二模）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c 的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．【解答】解：（1）f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（4分）（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，即（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥（7分）当且仅当（a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a=，b=，c=时等号成立．（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：danbo7801；sxs123；whgcn；豫汝王世崇；qiss；caoqz；刘老师；双曲线；沂蒙松；maths；左杰；wfy814；zcq；陈高数；742048；zlzhan；lcb001（排名不分先后）菁优网2017年7月11日。