三角形的三条线.1.2三角形的三线
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D 图5−12 注意 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
!
请分别画出锐角、直角、钝角 三角形的高.
0
1
2
3
4
5
C
锐角三角形的三条高 做一做
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流. O
思考：
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
A
钝角三角形的三条高线 也相交于一点吗？试通过 画图来验证。
F
D B E O
C
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
A
F D B E C
高
锐角三角形
直角三角形 3
直角边上的高分别 与另一条直角边重 合，还有一条高在 三角形内部
①是直角的顶点 ②在斜边上
钝角三角形 3
锐角三角形的三条高相交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
做一做
直角三角形的三条高
ALeabharlann Baidu
画出直角三角形的三条高线, 它们有怎样的位置关系呢？
直角三角形的三条 高线相交于直角顶点
D B ; C
口答：
直角边BC边上的高是 AB
直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
钝角三角形的三条高
0 0
C
∠ CAE=_____ 37.50
E
B
97.50 ∠ AEB=_____
A
如图，在△ABC中，AD是△ABC的 高，AE是△ABC的角平分线。已知 ∠BAC＝88°，∠B＝55°，求∠DAE 的大小。 A
55°
B
DE
C
课堂达标
下列关于三角形的高线的说法正确的是（ D ） A.直角三角形只有一条高线 B.钝角三角形 的高线都在三角形的外部 C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝 角三角形 D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内 部
B
A
C
• 在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
A D
B C
２：已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把
△ABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周
长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
A
A
B
D
AB > AC
C
B
D AB < AC
C
• 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗？
A
∵BE是△ABC的角平分线
1 ∠ABC ∠ ABE ∠CBE ∴ ____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线
F
O
E
∠ACF ∠BCFB ∴∠ACB=2______=2______
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联 系？
思 考
练习 如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知 ∠B=45 , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
夹钝角两边上的高 在三角形外部，另 一条高在内部
条数
位置
3
都在三角 形内部
在相应顶点 的对边上
垂足
①在相应顶点的对 边的延长线上 ②在钝角的对边上
交点在三角形内部 图形
B A
在直角顶点 在三角形外部
D P F Q R
C
E
练一练
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。 A A D C B 直角边BC边上的 高是 AB边 ; 直角边AB边上的 高是 CB边 ; 斜边AC边上的 高是 BD ; D F
如图所示,已知,AH是△ABC中BC边上的高,除此 之外,它还是那些三角形的那些边上的高?
A
B
D
H
C
4.下列各阴影部分的面积有何关系？
Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙
等底等高
三角形的中线的定义：
在三角形中，连接一个顶点与它对边 中 点的线段,叫做这个三角形的中线.
BD
∵AD是△ ABC的 中线
A
=CD =
B
C
;
E AB边上的高是 CE
BC边上的高是 AD
CA边上的高是 BF
;
;
拓展练习 拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A) C B C A (C) D D (D) A
D
A (B)
B
B
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一 个顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ） A. 三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的边上 D. 不能确定
E D
C
∴
SABE SAEC
三角形的三条中线交于一点
CF 其中,AB边上的中线是______ AD BC边上的中线是______ BE AC边上的中线是______
∵BE是中线
1 AC ∴____=_____= AE CE 2 _____
A
F
O
B D
E
∵CF是中线
C 那些三角形的面积相等？ AF BF ∴AB=2______=2_______ 思考:任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗?
课堂达标
3. 试把一块三角形煎饼分成大小相同 的4块，有多少种分法？
如图所示,CM是△ABC的中线, △BCM的周长比 △ACM的周长大3cm,BC=8cm,求AC.
解: ∵CM为△ABC的中线, ∴BM=AM 又∵ △BCM的周长比 △ACM的周长大3cm ∴ (BC+BM+MC)-(AC+MC+AM)=3 即BC-AC=3cm,又BC=8cm M ∴AC=5cm
三角形的高、 角平分线、中线
回顾
思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
42 5 3 4 5
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形的高线， (height) 简称三角形的高。 B A
1 2
BC
B
三角形的一条中线把三角形 分成两个面积相等小三角形
做一做:观察图中三角形的面积，看看有何发现？
等底同高
E D
C
在△ABC中，AE，AD分别是BC边上 的中线和高。说明△ABE的面积与 △AEC的面积相等。
解： ∵ AE是BC边上的中线
∴ BE = EC
∵
A
1 SABE BE AD B 2 1 SAEC EC AD 2
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线。 A ∵AD是 △ ABC的 角平分线 C
1 ∠ BAD = ∠ CAD = 2 ∠BAC B
D
画出三角形的三条角平分线，看看你会有什么 发现？
三角形的三条角平分线线交于一点
D 图5−12 注意 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
!
请分别画出锐角、直角、钝角 三角形的高.
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C
锐角三角形的三条高 做一做
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流. O
思考：
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
A
钝角三角形的三条高线 也相交于一点吗？试通过 画图来验证。
F
D B E O
C
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
A
F D B E C
高
锐角三角形
直角三角形 3
直角边上的高分别 与另一条直角边重 合，还有一条高在 三角形内部
①是直角的顶点 ②在斜边上
钝角三角形 3
锐角三角形的三条高相交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
做一做
直角三角形的三条高
ALeabharlann Baidu
画出直角三角形的三条高线, 它们有怎样的位置关系呢？
直角三角形的三条 高线相交于直角顶点
D B ; C
口答：
直角边BC边上的高是 AB
直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
钝角三角形的三条高
0 0
C
∠ CAE=_____ 37.50
E
B
97.50 ∠ AEB=_____
A
如图，在△ABC中，AD是△ABC的 高，AE是△ABC的角平分线。已知 ∠BAC＝88°，∠B＝55°，求∠DAE 的大小。 A
55°
B
DE
C
课堂达标
下列关于三角形的高线的说法正确的是（ D ） A.直角三角形只有一条高线 B.钝角三角形 的高线都在三角形的外部 C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝 角三角形 D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内 部
B
A
C
• 在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
A D
B C
２：已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把
△ABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周
长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
A
A
B
D
AB > AC
C
B
D AB < AC
C
• 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗？
A
∵BE是△ABC的角平分线
1 ∠ABC ∠ ABE ∠CBE ∴ ____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线
F
O
E
∠ACF ∠BCFB ∴∠ACB=2______=2______
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联 系？
思 考
练习 如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知 ∠B=45 , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
夹钝角两边上的高 在三角形外部，另 一条高在内部
条数
位置
3
都在三角 形内部
在相应顶点 的对边上
垂足
①在相应顶点的对 边的延长线上 ②在钝角的对边上
交点在三角形内部 图形
B A
在直角顶点 在三角形外部
D P F Q R
C
E
练一练
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。 A A D C B 直角边BC边上的 高是 AB边 ; 直角边AB边上的 高是 CB边 ; 斜边AC边上的 高是 BD ; D F
如图所示,已知,AH是△ABC中BC边上的高,除此 之外,它还是那些三角形的那些边上的高?
A
B
D
H
C
4.下列各阴影部分的面积有何关系？
Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙
等底等高
三角形的中线的定义：
在三角形中，连接一个顶点与它对边 中 点的线段,叫做这个三角形的中线.
BD
∵AD是△ ABC的 中线
A
=CD =
B
C
;
E AB边上的高是 CE
BC边上的高是 AD
CA边上的高是 BF
;
;
拓展练习 拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A) C B C A (C) D D (D) A
D
A (B)
B
B
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一 个顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ） A. 三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的边上 D. 不能确定
E D
C
∴
SABE SAEC
三角形的三条中线交于一点
CF 其中,AB边上的中线是______ AD BC边上的中线是______ BE AC边上的中线是______
∵BE是中线
1 AC ∴____=_____= AE CE 2 _____
A
F
O
B D
E
∵CF是中线
C 那些三角形的面积相等？ AF BF ∴AB=2______=2_______ 思考:任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗?
课堂达标
3. 试把一块三角形煎饼分成大小相同 的4块，有多少种分法？
如图所示,CM是△ABC的中线, △BCM的周长比 △ACM的周长大3cm,BC=8cm,求AC.
解: ∵CM为△ABC的中线, ∴BM=AM 又∵ △BCM的周长比 △ACM的周长大3cm ∴ (BC+BM+MC)-(AC+MC+AM)=3 即BC-AC=3cm,又BC=8cm M ∴AC=5cm
三角形的高、 角平分线、中线
回顾
思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
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三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形的高线， (height) 简称三角形的高。 B A
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BC
B
三角形的一条中线把三角形 分成两个面积相等小三角形
做一做:观察图中三角形的面积，看看有何发现？
等底同高
E D
C
在△ABC中，AE，AD分别是BC边上 的中线和高。说明△ABE的面积与 △AEC的面积相等。
解： ∵ AE是BC边上的中线
∴ BE = EC
∵
A
1 SABE BE AD B 2 1 SAEC EC AD 2
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线。 A ∵AD是 △ ABC的 角平分线 C
1 ∠ BAD = ∠ CAD = 2 ∠BAC B
D
画出三角形的三条角平分线，看看你会有什么 发现？
三角形的三条角平分线线交于一点