三角形的三条线.1.2三角形的三线
三角形的三线
03
高线性质与应用
高线定义及性质
性质
直角三角形的高线就是两条直角 边。
定义：从三角形的一个顶点向它 的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的 高线，简称为三角形的高。
三角形三条高线交于一点，该点 称为三角形的垂心。
三角形的高线长与面积和底边长 度有关，满足面积公式$S = frac{1}{2} times text{底} times text{高}$。
中线在解题中应用
利用中线性质求三角形面积
01
通过中线将三角形分为两个面积相等的小三角形，可以简化计
算过程。
利用中线性质证明线段相等
02
根据中线性质，可以证明与中线相关的两条线段相等。
利用中线性质解决角度问题
03
中线与三角形的角度之间存在一定的关系，可以通过中线性质
解决与角度相关的问题。
典型例题分析
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180 度。这是三角形的一个基本性质 ，也是解决与三角形相关问题的 关键定理之一。
内角和定理的应用
通过内角和定理，我们可以推导 出三角形外角的性质、多边形的 内角和公式等，为解决复杂的几 何问题提供思路。
三角形外角性质
三角形外角定义
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三条内角平分线的交点，内心到三角形三边 距离相等。
三线长度关系
中线长度
任意三角形的三条中线交于一点 ，该点叫做三角形的重心。且任 意一条中线把原三角形分成两个 面积相等的小三角形，每个小三 角形的面积是原三角形面积的1/4 。
高线长度
从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线做垂线，顶点和垂足 间的线段叫做三角形的高线，简 称为高。
9.1.2三角形——三角形的三线
9.1.2三角形——三角形的三线在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的三线——中线、高线和角平分线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键。
先来说说三角形的中线。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
一个三角形有三条中线，并且这三条中线都相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
为什么中线如此重要呢？假如你把一个三角形用木板做出来，然后通过中线悬挂起来，你会发现它能够保持平衡。
这是因为中线把三角形的面积分成了相等的两部分。
举个例子，有一个三角形 ABC，其中 D 是 BC 的中点，那么 AD 就是三角形 ABC 的一条中线。
通过中线 AD，我们可以得出三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积是相等的。
而且，如果我们知道了三角形某一边的长度和对应的中线长度，还能计算出这个三角形的面积。
接下来是三角形的高线。
高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高线。
由于三角形有三个顶点，所以相应地有三条高线。
这三条高线也相交于一点，这个点被称为三角形的垂心。
比如在三角形 ABC 中，过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 E，那么线段 AE 就是三角形 ABC 以 BC 为底边的高线。
高线在计算三角形的面积时起着至关重要的作用，因为三角形的面积等于底乘以高除以 2。
同时，高线还能帮助我们判断三角形的类型，比如如果一个三角形的三条高线都在三角形内部，那么这个三角形就是锐角三角形；如果有一条高线在三角形的外部，那它就是钝角三角形。
最后，我们来谈谈三角形的角平分线。
角平分线是指三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
每个三角形同样有三条角平分线，并且这三条角平分线也相交于一点，这个点被称为三角形的内心。
比如说在三角形 ABC 中，角 A 的平分线与 BC 交于点 F，那么线段 AF 就是角 A 的角平分线。
角平分线有一个很重要的性质，就是角平分线上的点到角两边的距离相等。
上海初中三角形的三线及中位线课件-2024鲜版
底乘高的一半
已知三角形的底和高，可以计算出三角形的面积S = (底 × 高) / 2。
2024/3/27
28
THANKS。
2024/3/27
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中位线
连接三角形两边中点的线段，中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
2024/3/27
24
课程总结回顾
三角形三线与中位线 的应用举例
利用中位线的性质解 决三角形中的平行与 比例问题。
2024/3/27
利用中线、高线和角 平分线的性质解决三 角形中的计算与证明 问题。
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拓展延伸：三角形其他相关知识点介绍
利用中位线性质求周长 中位线长度等于其所截得的线段长度的一半，可以通过中 位线性质求出被截线段的长度，进而求出三角形的周长。
利用相似三角形性质求周长 当两个三角形相似时，它们的周长比等于对应边长的比例， 可以通过已知三角形的周长和边长比例求出未知三角形的 周长。
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利用三线和中位线解决三角形内角和问题
定义
连接三角形任意两边中点的线段叫做 三角形的中位线。
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等 于第三边的一半。
2024/3/27
12
中位线与三角形各边、各角的关系
与边的关系
中位线将三角形分为面积相等的两个小三角形，且两个小三角 形的周长之和等于原三角形的周长。
与角的关系
中位线与原三角形的对应边所成的角相等，即同位角相等。
• 例题2：在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证： AB/BD=AC/CD。
• 解析：根据角平分线的性质，角平分线将底边分成的两段与两腰成比例。 因此，我们可以直接应用这个性质来证明AB/BD=AC/CD。
三角形的三线指的是哪三线(二)
三角形的三线指的是哪三线（二）引言概述：在数学几何中，三角形的三线是指三角形内部经过某个特定点的三条线段。
这三条线段分别是三角形的垂心连线、重心连线和外心连线。
本文将详细介绍这三条线段的定义、特性和应用。
正文：一、垂心连线垂心连线是指从三角形的每个顶点垂直于对边所得的线段。
具体的小点包括：1. 垂心的定义和性质2. 垂心连线的长度和角度特性3. 垂心连线与三角形内角的关系4. 垂心连线的几何意义5. 垂心连线的应用案例二、重心连线重心连线是指由三角形的每个顶点与对边中点所连成的线段。
具体的小点包括：1. 重心的定义和性质2. 重心连线的长度和角度特性3. 重心连线与三角形内角的关系4. 重心连线的几何意义5. 重心连线的应用案例三、外心连线外心连线是指三角形顶点与外接圆圆心所连成的线段。
具体的小点包括：1. 外心的定义和性质2. 外心连线的长度和角度特性3. 外心连线与三角形内角的关系4. 外心连线的几何意义5. 外心连线的应用案例四、三线共点定理三线共点定理指的是三角形的垂心、重心和外心连线交于同一点。
具体的小点包括：1. 三线共点定理的证明和解释2. 三线共点定理的几何意义3. 三线共点的应用案例五、三线与其他几何属性的关系三线与其他几何属性存在着一定的关系，比如与旁心连线、内切圆圆心连线等。
具体的小点包括：1. 三线与旁心连线的关系2. 三线与内切圆圆心连线的关系3. 三线与其他特殊点的关系4. 三线与三角形面积、周长等属性的关系5. 三线与三角形相似性和共线性的关系总结：三角形的三线指的是垂心连线、重心连线和外心连线。
这三条线段具有特定的定义和性质，在几何学中有着重要的地位和应用。
通过研究三线的长度、角度和关系，我们可以深入了解三角形的特性以及与其他几何属性的关联，从而在数学问题的解决中有所应用。
三角形的三线四心及口诀(一)2024
三角形的三线四心及口诀（一）引言概述：三角形是几何学中研究最为深入的一个图形，其有三条特殊的线段以及四个特殊的点。
这篇文档将会详细介绍三角形的三线四心及相关的口诀。
正文内容：一、三线概述1. 三条特殊的线段包括：三角形的垂心线、中位线和角平分线。
2. 垂心线是三角形的三条高线的交汇线，在三角形的顶点上垂直于对应边。
3. 中位线连接三角形的各边的中点，互相平行且共同交汇于三角形的重心。
4. 角平分线将三角形的一个内角平分为两个等角，三条角平分线交汇于三角形的内心。
二、三心概述1. 三角形的三心指的是三角形的重心、外心和内心。
2. 重心是三角形三条中线的交点，重心到各顶点的距离相等。
3. 外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等，且外接圆半径等于外心到任意一个顶点的距离。
4. 内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形的各边的距离相等，且内切圆接触三角形的各边于三个切点。
三、垂心线相关口诀1. 口诀一：垂心线相交顶，三方高线会相送。
2. 口诀二：三个交点分明现，高线垂直发光。
3. 口诀三：垂线交点在，高线等分分。
四、中位线相关口诀1. 口诀一：中位线平衡秤，下跳到顶点会相等。
2. 口诀二：中位线下一跳，重心就等于落脚。
3. 口诀三：重心对顶点，中点两倍愿上升。
五、角平分线相关口诀1. 口诀一：角平分线相会，内角相等一样辉。
2. 口诀二：三位握手欢，角平分线齐。
3. 口诀三：四方交相庆，角平分线都等。
总结：本文通过引言概述、三线概述、三心概述以及垂心线、中位线、角平分线的详细解释，介绍了三角形的三线四心及相关的口诀。
对于学习和理解三角形的性质和特点，有一定的参考价值。
2024年度部编版八年级上册三角形的三线课件
在解决一些与三角形面积相关的问题时，可以通过引入中 线来简化计算过程。例如，已知三角形某一边上的中线和 这边所对的角，可以求出三角形的面积。
中线与面积关系的证明
可以通过作辅助线将三角形划分为两个等底等高的小三角 形，从而证明中线与面积之间的关系。
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03
三角形高线性质与应用
2024/3/24
求面积
利用角平分线与面积的关 系，可以求出三角形的面 积。
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角平分线与面积关系探讨
面积公式
三角形的面积可以通过底和高来计算，当底为角平分线时，高就是与角平分线垂直的线段 。
面积关系
角平分线将三角形分为两个小三角形，这两个小三角形的面积之比等于它们底边之比。
2024/3/24
应用
利用角平分线与面积的关系，可以解决一些与三角形面积相关的问题，如求三角形的面积 、证明两个三角形面积相等或比较两个三角形面积的大小等。
等边三角形的高线特点
等边三角形的三条高线长度相等，且 都交于一点（重心），同时每条高线 都是对应边的中线和对应角的平分线 。
2024/3/24
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04
三角形角平分线性质与应用
2024/3/24
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角平分线定义及性质
2024/3/24
01 02 03 04
定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的 顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。 性质
2024/3/24
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提高训练：挑战难题，提升能力
2024/3/24
复杂图形中的三线问题
在复杂图形中找出并应用三角形的三线性质解决问题，如求面积 、证明线段相等或平行等。
构造法解题
几何法巧解三角形“三线”问题(两篇)2024
引言概述：三角形是初中数学中的重要内容，涉及到许多性质和定理。
其中一个重要的问题是三角形的“三线”问题。
通过几何方法解决三角形的“三线”问题可以帮助我们更深入地理解三角形的性质和关系。
本文将以几何方法巧解三角形“三线”问题为主题，通过分析和推导，介绍解决这一问题的具体方法和步骤。
正文内容:1. 角平分线1.1 定义角平分线就是从一个角的顶点出发，将角平分为两个相等角的直线。
1.2 性质三角形的内角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心，且与三个角的顶点连线相交于三边的中点。
1.3 求解方法通过给定的三角形，我们可以利用角平分线的性质简化求解。
首先，画出三角形的三边，然后利用直尺和圆规，将三个角的角平分线画出，并延长到三边上。
连接三个角平分线的交点，就是三角形的内心。
2. 中位线2.1 定义中位线是指连接一个三角形的两个非对顶顶点的中点的直线。
2.2 性质三角形的三条中位线交于一点，称为三角形的质心，且质心到三个顶点的距离相等，即三条中位线的交点是三角形重心。
2.3 求解方法同样地，通过给定的三角形，我们可以利用中位线的性质求解。
首先，根据给定的三角形，求出三个顶点的坐标，然后根据坐标计算出中位线的中点坐标，并连接这些中点。
通过求解三个中线的交点即可得到三角形的质心。
3. 垂心线3.1 定义垂心线是指从一个三角形的顶点作出垂直于对边的直线。
3.2 性质三角形的三条垂心线交于一点，称为三角形的垂心，且垂心到三边的距离相等。
3.3 求解方法在给定的三角形中，我们可以通过直尺和圆规画出垂心线的步骤。
首先，选取一个顶点，在对边上找一个点，使得与该顶点与对边上的点连线垂直。
然后，用圆规以该垂直线段为半径，画个弧与其他两条边交于两点，连接这两点与原始顶点，就得到了三条垂心线的交点。
4. 重心线4.1 定义重心线是指从一个三角形的顶点分别作出三角形的对边的中垂线，即垂直于对边的直线并且通过对边的中点。
4.2 性质三角形的三条重心线交于一点，称为三角形的重心，且重心到三边的距离与各边的长度成正比。
三角形的三线定义(二)2024
三角形的三线定义（二）引言概述：在三角形的几何学中，三线定义是指通过三角形的三顶点所引出的三条特殊线段或直线，它们分别是三角形的高线、中线和垂径。
这三条线在三角形的性质研究和应用中具有重要的地位，本文将对三角形的三线定义进行进一步阐述。
正文：一、高线1. 高线的基本概念：高线是指从三角形的顶点向所对边引出的垂直线段。
2. 高线与三角形的性质关系：高线相互垂直，且与所对边相交于垂足。
3. 高线的特点：高线可以相互延长交于一个点，称为垂心。
4. 高线的应用：高线在求三角形面积、解三角形问题中具有重要作用。
二、中线1. 中线的基本概念：中线是指连接三角形的任意两个顶点的线段的中点所构成的线段。
2. 中线的性质特点：中线相等，且与所对边平行。
3. 中线的特殊情况：三角形的三条中线交于一点，称为重心。
4. 中线的应用：中线的比例关系可用于解各种几何问题，如确定三角形的位置关系等。
三、垂径1. 垂径的基本概念：垂径是指从三角形的顶点向所对边引出的垂直线段或垂直于所对边的直线。
2. 垂径的性质特点：垂径与所对边垂直相交于垂足或延长到其外。
3. 垂径的特殊情况：当三角形的三条垂径相交于一点时，该点被称为垂心。
4. 垂径的应用：垂径的性质可用于解决与垂直关系有关的几何问题。
四、三线的关系1. 三线的交点：前文提到的垂心、重心实际上都是高线、中线和垂线的交点。
2. 三线的重要性：三线的交点是三角形的重要几何中心之一，其性质和位置关系对于三角形的证明和研究具有重要意义。
3. 三线与其他线段的关系：三线与三角形的边、角、对称轴等有密切的关系，通过研究这些关系能够深入理解三角形的构造和特性。
4. 三线的应用：三线的性质和关系可以应用于各种几何问题的解决，例如确定三角形的位置关系、寻找最优解等。
总结：三角形的三线定义包括高线、中线和垂径，它们分别由三角形的顶点所引出，具有重要的几何性质和应用。
高线与三角形的垂直关系密切，中线的比例关系可用于解决几何问题，垂径的性质与垂直关系有关。
上海初中 三角形的三线及中位线课件
例题： 例题： 求证三角形的一条中位线与第 三边上的中线互相平分． 三边上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF ＝FC． 求证： AE、DF互相平分． 连结DE、EF． 证明 连结 ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行 于第三边并且等于第三边的一 半）． 同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形 的对角线互相平分）．
A２
C１ B２ C
分析：填表 分析：
次序 1 2 3 ……
B
n
B１
所得三角 形周长 所得三角 形面积
1 2 1 4
a s
1 4 1 16
a s
1 8 1 64
a s
……
……
1 n 2 1 n 4
a s
• 12. 如图，在△ABC中，D是BC中点，N是 AD中点，M是BN中点，P是MC的中点。 • 求证：S△MNP＝ 1/8 S△ABC
A D O B F C E A A D O B F C O B D C
E
E
F
已知：如图， 的角平分线BM、 练习： 已知：如图，△ABC的角平分线 、CN 的角平分线 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边 证明：过点 作 分别垂直于AB、 、 ， 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 、BC、CA， 、 分别垂直于 垂足为D、 、 垂足为 、E、F 的角平分线， ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 是 的角平分线 在 上 ∴PD=PE 在角平分线上的点到角的两边的距离相等） （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） A 同理 PE=PF. D ∴ PD=PE=PF. F 即点P到边 到边AB、 、 即点 到边 、BC、 N PM CA的距离相等 的距离相等
9.1.2三角形的三线
B F 1 2 3 D 图2 E 4 C
拓展练习
4.填空：如图，在ΔABC中，AE是中线， AD是角平分线，AF是高。 1 BC ； （1）BE= CE = 2 1 （2）∠BAD= ∠CAD = 2 ∠BAC ；
A
（3）∠AFB= ∠AFC = 90°
C
E D F
B
今天我们学了什么？
符号语言：
A
2 3
4
3
2
1
0
D
C
∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°
1
2
3
4
5
0 1 4 5 6 7 8
9
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
B
A
F E O C
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?
相关知识回顾
1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个
角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 把一条线段分成两条相等的线段的点。 2.线段中点的定义：
3.角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
42 5 3 4 5
过三角形的一个顶 点，你能画出它的 对边的垂线吗?
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
三角形的三线是什么(一)2024
三角形的三线是什么（一）引言：在几何学中，三角形是一个基本的图形，其具有许多特征和性质。
而三角形的三线是指三角形内部特殊的三条线，即垂心、重心和外心连线。
本文将对三角形的三线进行详细的解释和阐述。
正文：一、垂心连线1. 垂心的定义：垂心是指三角形三条高的交点，即垂心是三角形三条高的共同垂足。
2. 垂心连线的特征：a. 垂心连线以垂心为中心，分别向三角形三个顶点作垂直，与三边相交于不同点。
b. 垂心连线交于一点，该点为三角形的垂心。
c. 垂心连线分成三个部分，分别与三角形三个顶点连线，构成三个小三角形。
d. 垂心连线与三边的交点分别是三个高的垂足。
二、重心连线1. 重心的定义：重心是指三角形三条中线的交点，即重心是三角形三条中线的共同交点。
2. 重心连线的特征：a. 重心连线以重心为中心，分别向三角形三个顶点作中线，与三边相交于不同点。
b. 重心连线交于一点，该点为三角形的重心。
c. 重心连线分为三段，每段的长度为相应中线的两倍。
d. 重心连线与三边的交点分别是三个中线的中点。
三、外心连线1. 外心的定义：外心是指可以同时与三角形三个顶点相切的圆心。
2. 外心连线的特征：a. 外心连线以外心为中心，分别向三角形的三个顶点作射线，与三边相交于不同点。
b. 外心连线交于一点，该点为三角形的外心。
c. 外心连线对称于三边的中垂线。
d. 外心连线与三边的交点分别是三个边的中点。
总结：三角形的三线，即垂心连线、重心连线和外心连线，是三角形内部特殊的连线，在几何学中具有重要的意义。
垂心连线以垂心为中心分别连接三个顶点的垂线，重心连线以重心为中心分别连接三个顶点的中线，外心连线以外心为中心分别连接三个顶点的射线。
通过研究三线的性质和特征，我们可以更好地理解和应用三角形的几何性质。
三角形定理
2.1按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2.2按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
【注意】（1）任何一个三角形最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形；（3）顶点是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形。
3.1三条重要的线（1）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 叫做三角形的角平分线；（2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；（3）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
【注意】（1）三角形的角平分线、中线和高都有三条； （2）三角形的三条角平分的交点是三角形的“内心”。
五、三角形1 定义2 分类3 相关概念1.1三角形：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形。
1.2边：组成三角形的线段叫作三角形的边．组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，三角形的边可以用一个小写字母或两个大写字母表示，如：a 、b 、c 或AC 、AB 、BC 。
1.3顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
1.4角：相邻两条边所组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角。
1.5记法：三角形用符号“△”来表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作△ABC ，读作“三角形ABC”。
Aabc BC3.2三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3.3三角形的内角：三角形的内角和等于180°，∠1+∠2+∠3=180°。
3.4三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角； （2）性质：①三角形的一个外角与相邻的内角互补，∠1+∠4=180°；②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠2+∠3=∠4； ③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，∠4＞∠3或∠3＜∠4。
解三角形中的“三线”问题
解三角形中的“三线”问题在解三角形的过程中，我们常常会遇到“三线”问题，即中线、角平分线和高线。
这些线段在三角形中具有特殊的意义和作用，了解它们的性质和特点是解决三角形问题的关键。
一、中线中线是指连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。
中线的性质主要有：1、三角形中线的三条中线线段相等，且相互平行。
2、三角形中线的交点称为三角形的重心，重心分每条中线线段为两段，且这两段长度相等。
3、三角形三边中线的长度分别等于对应边长的一半。
在解三角形时，可以利用中线的性质进行证明和计算。
例如，可以利用中线的平行性质证明某个线段平行于三角形的某一边；利用中线的长度性质解决一些等量关系的问题。
二、角平分线角平分线是指将三角形的两个相等的角平分的线段。
角平分线的性质主要有：1、三角形的一个角平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段称为三角形的角平分线。
2、三角形任意两角平分线的夹角为90度，这个夹角的平分线称为三角形的内切线。
3、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
4、三角形三条角平分线交于一点，这个交点称为三角形的内心，内心到三角形的三边的距离相等。
在解三角形时，可以利用角平分线的性质进行证明和计算。
例如，可以利用角平分线的性质证明某个线段平行于三角形的某一边；利用角平分线的长度性质解决一些等量关系的问题。
三、高线高线是指从三角形的顶点向底边垂下的线段。
高线的性质主要有：1、三角形的高线所在的直线是三角形的对称轴。
2、三角形的高线与对应边的夹角为90度。
3、三角形任意两高线的夹角为钝角。
4、三角形三条高线交于一点，这个交点称为三角形的垂心，垂心到三角形的三边的距离相等。
在解三角形时，可以利用高线的性质进行证明和计算。
例如，可以利用高线的对称性质证明某个图形是轴对称的；利用高线的长度性质解决一些等量关系的问题。
“三线”问题在解三角形中具有重要的意义和作用。
掌握它们的性质和特点是解决三角形问题的关键之一。
三角形的三线
三角形的三线三角形是我们数学世界里常见的图形，而三角形的三线——高线、中线和角平分线，那可是相当有趣和重要的！先来说说三角形的高线吧。
这高线啊，就像是三角形的“身高线”，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线。
想象一下，有一天我在课堂上给孩子们讲三角形的高线，我拿出一个三角形的模型，问他们：“谁能猜猜这条线有什么用？”有个调皮的小男孩立刻举手说：“老师，这是不是用来量三角形有多高的呀？”全班哄堂大笑。
我笑着说：“你呀，想法很有趣，但这高线可不是用来直接量高度的，它能帮助我们计算三角形的面积呢！”三角形的中线，那可是三角形的“平衡线”。
连接三角形顶点和它对边中点的线段就是中线。
有一次，我带着学生们做实验，用一张纸剪出一个三角形，然后让他们找出每条边的中点，连接起来。
有个小女孩惊讶地发现：“老师，这三条中线好像都在往中间聚拢呢！”我点点头说：“没错，宝贝，而且这三条中线还相交于一点，是不是很神奇？”再讲讲角平分线，这就像是三角形的“公平线”。
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段就是角平分线。
记得有一次，我在黑板上画了一个大大的三角形，然后让同学们自己动手画角平分线。
有个小男生画得特别认真，可就是画歪了。
他着急地挠挠头说：“老师，我怎么画不好呢？”我走过去，耐心地握住他的手，一点点引导他：“别着急，慢慢来，你看，先找准角的顶点，然后……”最后，他终于画出了漂亮的角平分线，脸上洋溢着开心的笑容。
在实际生活中，三角形的三线也有很多用处呢。
比如说，建筑工人在搭建房屋的时候，会用到三角形的稳定性，而这稳定性就和三角形的三线有关。
设计师在设计桥梁的时候，也会考虑三角形的结构，从而保证桥梁的坚固和安全。
同学们，当你们深入了解三角形的三线，就会发现数学其实并不枯燥，它就在我们的生活中，无处不在，等待着我们去发现它的奥秘！希望大家以后看到三角形，就能想到它的三线，能运用所学的知识去解决更多的问题。
数学华东师大版七年级下册三角形的三线教学设计
三角形的三线教学设计学习目标：1.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质2.会画三角形的高、中线、角平分线。
重点：了解三角形的高概念，会用工具画出三角形的高。
难点：钝角三角形高的画法。
温故互查：（同桌定义）1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2.线段中点的定义把一条线段分成两条相等的线段的点3.角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
探究新知：大家还记得过一点画已知直线的垂线” 吗?动手做一做1. 过一点画已知直线的垂线” 吗?（各自完成，组长查看）2. 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?给出定义。
根据定义都是一步一步板演3. 学生动手画一个三角形，再做一边上的高。
4. 学生动手画锐角三角形：你能画出这个三角形的三条高吗?（自主完成）你能用折纸的办法得到它们吗?这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 交流式小结教师板演5.学生动手画直角三角形：画直角三角形的高你能用折纸的办法得到它们吗?这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流. 交流式小结老师板演6.学生画出一个钝角三角形。
画钝角三角形的高（教师要指导）钝角三角形的三条高交于一点吗？讨论交流发现小结教师板演7.三角形高的表示方法：板演小结：三角形的高填PPT8.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形这边的中线。
（1）根据定义画图，分为三个组，分别是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的中线。
（2）出示PPT理解三角形的中线（3）三角形的三条中线发现了什么？(交流得出结论)9.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
（1）根据定义画图，分为三个组，分别是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的角平分线。
三角形的三线
三角形的三线在数学的广袤世界里，三角形是一个基础而重要的存在。
而三角形的三线——高线、中线和角平分线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键要素。
咱们先来说说三角形的高线。
高线，简单来讲，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
每个三角形都有三条高线，而且这三条高线所在的直线会相交于一点。
锐角三角形的三条高线都在三角形的内部；直角三角形有两条高线就是它的两条直角边，另一条高线在三角形的内部；钝角三角形有两条高线在三角形的外部，一条高线在三角形的内部。
为什么要研究三角形的高线呢？这可太有用啦！通过高线，我们能够计算三角形的面积。
三角形的面积就等于底乘以这条底上的高再除以 2。
比如一个底为 5 厘米，对应的高为 4 厘米的三角形，它的面积就是 5×4÷2 ＝ 10 平方厘米。
再讲讲三角形的中线。
中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。
每个三角形同样有三条中线，而且这三条中线相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心有一个很有趣的特点，就是如果我们把三角形看成一块质地均匀的薄板，那么用一个点支起薄板，使其平衡，这个点就是重心。
中线在解决一些几何问题时也发挥着重要作用。
比如，如果知道了三角形一边的中线长度，以及这条边的长度，就可以利用中线定理来计算其他相关的边长或者角度。
接下来是三角形的角平分线。
角平分线就是三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
三角形的三条角平分线也相交于一点，这个点叫做内心。
内心到三角形三边的距离相等。
角平分线在很多几何证明和计算中都能派上用场。
比如说，如果知道了一个角的大小以及它的角平分线，就能求出被平分后的两个角的大小。
在实际生活中，三角形的三线也有不少应用呢。
比如在建筑设计中，工程师们需要考虑三角形结构的稳定性，就会用到三角形三线的知识。
在地图绘制中，为了准确表示地形的高低起伏，也会用到三角形的高线。
三角形三线课件(多场合)
三角形三线课件一、引言三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和应用。
在三角形中，三条边和三个角的关系密切相关，构成了三角形的基本要素。
本课件将重点介绍三角形的三条重要线段：中线、角平分线和垂线，以及它们在三角形中的应用和作用。
二、三角形的中线1.定义三角形的中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。
每个三角形有三条中线，分别连接三个顶点和对边的中点。
2.性质（1）中线将对边平分：三角形的中线将对边平分成两个相等的线段。
（2）中线等于对边的一半：三角形的中线的长度等于其对边长度的一半。
3.应用（1）求三角形的中线长度：利用中线等于对边一半的性质，可以通过已知的对边长度求出中线的长度。
（2）证明三角形全等：通过证明两个三角形的中线相等，可以得出这两个三角形全等。
三、三角形的角平分线1.定义三角形的角平分线是从三角形的一个顶点出发，将顶点的角平分成两个相等的角的线段。
每个三角形有三条角平分线，分别从三个顶点出发。
2.性质（1）角平分线将角平分：三角形的角平分线将顶点的角平分成两个相等的角。
（2）角平分线相交于一点：三角形的三个角平分线相交于三角形内部的一点，称为内心。
3.应用（1）求三角形的角平分线长度：利用角平分线的性质，可以通过已知的角的大小求出角平分线的长度。
（2）证明三角形相似：通过证明两个三角形的角平分线相等，可以得出这两个三角形相似。
四、三角形的垂线1.定义三角形的垂线是从三角形的一个顶点向对边所作的垂直线段。
每个三角形有三条垂线，分别从三个顶点向对边作垂线。
2.性质（1）垂线垂直于对边：三角形的垂线与对边垂直相交。
（2）垂线相交于一点：三角形的三个垂线相交于三角形外部的一点，称为外心。
3.应用（1）求三角形的垂线长度：利用垂线的性质，可以通过已知的对边长度求出垂线的长度。
（2）证明三角形直角：通过证明三角形的两条垂线相等，可以得出这个三角形是直角三角形。
五、总结三角形的三线：中线、角平分线和垂线，在三角形中起着重要的作用。
直角三角形的三线定理
直角三角形的三线定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度为90度，另外两个角度的和为90度。
在直角三角形中，存在一些特殊的线段，它们之间存在一定的关系，这就是直角三角形的三线定理。
三线定理规定了直角三角形中的三条线段：高、斜边和直角边，它们之间的关系如下：1. 高与斜边的关系：在直角三角形中，以直角边为底，斜边为斜边的高，记作h。
根据三线定理，高h与斜边c之间的关系为h = a*b / c，其中a和b分别为直角边的长度。
2. 高与直角边的关系：在直角三角形中，以直角边为底，斜边为斜边的高，记作h。
根据三线定理，高h与直角边a之间的关系为h = a*tanB，其中B为直角三角形的另一个角度。
3. 斜边与直角边的关系：在直角三角形中，直角边a和斜边c之间的关系为a^2 + b^2 = c^2，这就是著名的勾股定理，也是直角三角形的基本性质之一。
直角三角形的三线定理可以用于计算直角三角形的各条边长和角度，帮助解决与直角三角形相关的数学题目。
同时，三线定理也在实际生活中有广泛的应用，例如测量建筑物的高度、导航和航海定位等领域。
总结：直角三角形的三线定理是描述直角三角形中三条线段之间关系的定理。
它包括了高与斜边的关系、高与直角边的关系以及斜边与直角边的关系。
通过利用三线定理，我们可以计算直角三角形的各边长和角度，解决与直角三角形相关的问题。
直角三角形的三线定理不仅仅在数学中有着重要的作用，也在实际生活中应用广泛。
注：本文所述的直角三角形的三线定理是基于几何学中的传统定义，不涉及特殊的情况或非欧几何学的扩展。
人教版八年级上册11.1.2 三角形的三线
巩固练习
如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则：
A
∠1 = ∠2 ；
12
F
E
∠3 =
1 2
∠ABC
B； 3
D
4
C
∠ACB = 2 ∠4 .
典例分析
如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AB，
DF//AC，EF交AD于点O.DO是△DEF的角平分
线吗？请说明理由.
C
E O
A
F
D B
提高练习(1) 如图1，来自D是BC的中点，点E是AD的中点，
若S△CDE=2cm2，则S△ABC=_8_cm2 (2)如图2，在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,
AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S△BEF=_1__cm2.
A
A
E
B
D
C
图1
E
F
B
D 图2
C
提高练习
等腰△ABC中，AB=AC,一腰上的中线将这个三
①任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点.
②三角形的中线是一条线段.
③三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三
角形.
典例分析
如图，根据图形填空：
①若AD是△ABC的中线，
则BD=_C__D_=
1 2
__B_C__.
②若AE=DE，则BE是 △_A__B_D__的中线，CE B 是△_A_C__D__的中线.
角形的角平分线.
A
符号语言：
AD 是AB的 C 角平分线
BAD CAD
B
C
1 BAC
D
2
三角形的角平分线
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如图所示,已知,AH是△ABC中BC边上的高,除此 之外,它还是那些三角形的那些边上的高?
A
B
D
H
C
4.下列各阴影部分的面积有何关系？
Ｓ乙>Ｓ甲＝Ｓ丙
等底等高
三角形的中线的定义：
在三角形中，连接一个顶点与它对边 中 点的线段,叫做这个三角形的中线.
BD
∵AD是△ ABC的 中线
A
=CD =
课堂达标
3. 试把一块三角形煎饼分成大小相同 的4块，有多少种分法？
如图所示,CM是△ABC的中线, △BCM的周长比 △ACM的周长大3cm,BC=8cm,求AC.
解: ∵CM为△ABC的中线, ∴BM=AM 又∵ △BCM的周长比 △ACM的周长大3cm ∴ (BC+BM+MC)-(AC+MC+AM)=3 即BC-AC=3cm,又BC=8cm M ∴AC=5cm
B
C
;
E AB边上的高是 CE
BC边上的高是 AD
CA边上的高是 BF
;
;
拓展练习 拓展练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A) C B C A (C) D D (D) A
D
A (B)
B
B
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一 个顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ） A. 三角形的内部 B.三角形的外部 C.三角形的边上 D. 不能确定
0 0
C
∠ CAE=_____ 37.50
E
B
97.50 ∠ AEB=_____
A
如图，在△ABC中，AD是△ABC的 高，AE是△ABC的角平分线。已知 ∠BAC＝88°，∠B＝55°，求∠DAE 的大小。 A
55°
B
DE
C
课堂达标
下列关于三角形的高线的说法正确的是（ D ） A.直角三角形只有一条高线 B.钝角三角形 的高线都在三角形的外部 C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝 角三角形 D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内 部
A
∵BE是△ABC的角平分线
1 ∠ABC ∠ ABE ∠CBE ∴ ____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线
F
O
E
∠ACF ∠BCFB ∴∠ACB=2______=2______
D
C
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别与联 系？
思 考
练习 如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知 ∠B=45 , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
1 2
BC
B
三角形的一条中线把三角形 分成两个面积相等小三角形
做一做:观察图中三角形的面积，看看有何发现？BC中，AE，AD分别是BC边上 的中线和高。说明△ABE的面积与 △AEC的面积相等。
解： ∵ AE是BC边上的中线
∴ BE = EC
∵
A
1 SABE BE AD B 2 1 SAEC EC AD 2
三角形的角平分线的定义：
• 在三角形中，一个内角的角平分线与它的 对边相交，这个角的顶点与交点之间的线 段叫做三角形的角平分线。 A ∵AD是 △ ABC的 角平分线 C
1 ∠ BAD = ∠ CAD = 2 ∠BAC B
D
画出三角形的三条角平分线，看看你会有什么 发现？
三角形的三条角平分线线交于一点
锐角三角形的三条高相交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
做一做
直角三角形的三条高
A
画出直角三角形的三条高线, 它们有怎样的位置关系呢？
直角三角形的三条 高线相交于直角顶点
D B ; C
口答：
直角边BC边上的高是 AB
直角边AB边上的高是 CB ; 斜边AC边上的高是 BD ;
议一议
钝角三角形的三条高
E D
C
∴
SABE SAEC
三角形的三条中线交于一点
CF 其中,AB边上的中线是______ AD BC边上的中线是______ BE AC边上的中线是______
∵BE是中线
1 AC ∴____=_____= AE CE 2 _____
A
F
O
B D
E
∵CF是中线
C 那些三角形的面积相等？ AF BF ∴AB=2______=2_______ 思考:任意三角形的三条中线的交点都在三角形的内部吗?
B
A
C
• 在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.
A D
B C
２：已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把
△ABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周
长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
A
A
B
D
AB > AC
C
B
D AB < AC
C
• 如果现在你手上有一张三角 形的纸，你能想几种办法画 出它的一个内角的平分线吗？
A
钝角三角形的三条高线 也相交于一点吗？试通过 画图来验证。
F
D B E O
C
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
A
F D B E C
高
锐角三角形
直角三角形 3
直角边上的高分别 与另一条直角边重 合，还有一条高在 三角形内部
①是直角的顶点 ②在斜边上
钝角三角形 3
夹钝角两边上的高 在三角形外部，另 一条高在内部
条数
位置
3
都在三角 形内部
在相应顶点 的对边上
垂足
①在相应顶点的对 边的延长线上 ②在钝角的对边上
交点在三角形内部 图形
B A
在直角顶点 在三角形外部
D P F Q R
C
E
练一练
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。 A A D C B 直角边BC边上的 高是 AB边 ; 直角边AB边上的 高是 CB边 ; 斜边AC边上的 高是 BD ; D F
三角形的高、 角平分线、中线
回顾
思考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
过三角形 的一个顶点，你能画出 它的对边的垂线吗?
42 5 3 4 5
A
B
C
0
1
2 0 3 1 4 205 31
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足之间的线段 叫做三角形的高线， (height) 简称三角形的高。 B A
0 1 2 3 4 5
D 图5−12 注意 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
!
请分别画出锐角、直角、钝角 三角形的高.
0
1
2
3
4
5
C
锐角三角形的三条高 做一做
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗?
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流. O
思考：
锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?