第18讲--角的存在性问题

第十八讲：角度的存在性（讲义）

一、知识点睛 角度存在性的处理思路

1. 和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过

三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解． 一般过定点构造直角三角形．

2. 当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来

处理． 二、精讲精练

1. 如图，抛物线2y x bx c =-++与直线1

22y x =

+交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，7

2

)．点P 是y 轴右侧

的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ． （1）求抛物线的解析式．

（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标．

2.如图，抛物线2

y ax bx c

=++的开口向下，与x轴交于点A(-3

0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．

（2）若△ACD的面积为3．

①求抛物线的解析式；

点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．

3.如图，抛物线(3)(1)

y x x

=-+与x轴交于A，B两点（点A B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求点B及点D的坐标．

（2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．

①若线段BD上有一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P

【参考答案】 二、精讲精练

1．（1）27

22

y x x =-++（2）1或23）1722⎛⎫ ⎪⎝⎭，，236⎛ ⎝2．（1）(14)a --，（2）①2

23y x x =--+②2

743y x ⎛

⎫=--+ ⎪⎝⎭或

2

1143y x ⎛⎫

=--+ ⎪⎝

⎭

3．（1）B (3，0)，D (1，-4)（2）①9

2477⎛⎫- ⎪⎝⎭②72039⎛⎫

- ⎪⎝⎭，

，(54．（1）D (1，4-)（2）45°（3）1

7

24

⎛⎫

-- ⎪⎝

⎭

，

，(23)-，

学生做题前请先回答以下问题

问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角

三角形中考虑，如何构造直角三角形？

问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？

问题3：角度的存在性问题的处理思路是什么？

角度的存在性（一）

1.如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线上一动

点，点A的坐标为（4，2），若∠AOP=45°，则点P的坐标为( )

A. B.（3，9） C.或（-3，9） D.（3，9）或

图1 2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点

B右侧），与y轴交于点C．D为抛物线上的一点，且，

连接BD，点P为抛物线上一点．若∠DBP=45°，则点P的坐标为

A. B. C.或 D.或

图2

3.如图3，已知二次函数的图象经过A（-3，0），B （1，0），C（0，6）三点，直线与y轴交于点D，点P 为二次函数图象上一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为( )

A. B.

C.或

D.或

4.如图4已知二次函数的图象经过

两点，点D的坐标为，点P为二次函数图象上一动点，若∠ADP=45°，则满足题意的点P的坐标为( )

A. B.或

C. D.或

5.如图5，抛物线与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点P是抛物线上一点，且∠DCP=30°，则符合题意的点P的坐标为( )

A.或

B.或

C. D.

图3 图4 图5

学生做题后建议通过以下问题总结反思

问题1：在分析特殊角的存在性问题，一般要将特殊角放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？

问题2：在处理特殊角的存在性问题时建等式的手段有哪些？

问题3：结合第1题考虑不变特征是什么？

问题4：角度的存在性问题的处理思路是什么？

学生做题前请先回答以下问题

问题1：角度的存在性问题的处理思路是什么？

问题2：当两个角相等时，常转化为_____问题来处理．

问题3：当两个角相等时，一般要放在直角三角形中考虑，如何构造直角三角形？

角度的存在性（二）

1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．若点P为抛物线上一动点，且满足∠ABP=∠ACH，则点P的坐标为( )

A. B. C. D.

2.如图2，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点E，连接BD，CD．P为对称轴右侧的抛物线上一点，若满足∠DCP=∠DBE，则点P的坐标为( )

A. B. C.（4，-6） D.或（0，-8）

3.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AC，AD．P是抛物线上一点，若∠ADP=∠ACO，则点P 的坐标为( )

A. B.

C. D.

图1

图2 图3