2021年高一下学期第一次段考题数学理
广东省东莞市第五高级中学2020-2021学年高一下学期3月段考数学试题
东莞市第五高级中学2020—2021学年度第二学期第一阶段考试高一年级数学试卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足12z i =-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是 ( )A ．()53，B ．()43，C ．()83，D ．()01-，3．在ABC 中，点M 满足2BM MC =，则（ ）A ．1233AM AB AC =+ B ．2313AM AB AC =+ C ．1233AM AB AC =-D ．2313AM AB AC =-4．在ABC 中，若105A =︒，45B =︒，22b =，则c 等于（ ） A ．1B ．2C ．2D ．35．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数为（ ）A ．17i -B ．17i --C ．17i +D ．17i -+6．在△ABC 中，sin :sin :sin 6:7:8A B C =，则cos C （ ）A ．12-B ．12C ．14- D ．147．如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A ，B 两点的距离是( )A ．202米B ．206米C ．402米D ．203米8．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ） A ．12B ．23C ．13D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z =B ．22z i =C ．z 是方程0222=++x x 的一个根D ．z 的虚部为i -10．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 11．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．在ABC 中，若4Cπ，22a c bc -=，则ABC 为等腰直角三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为312．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ） A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b ==，那么()3b a b ⋅+的值为______. 14．向量()1,0a =，()21,b m =，若()a mab ⊥-，则m =_________. 15．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，已知, 33B b π==，则a c +的取值范围为_____.16．在ABC 中，6AB =，4AC =，120A ∠=︒，AG mAB AC =+，则AG 的最小值为______，若AG BC ⊥，则m =______．(对一空得3分，全对得5分)四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题10分)已知向量,a b 满足2a =，1b =.(1)若,a b 的夹角θ为4π，求a b+；(2)若()a b b +⊥，求a 与b 的夹角θ.18．(本题12分)已知m 为实数，设复数22(56)(215)z m m m m i =+++--.（1）当z 为虚数时，求m 的值；（2）当z 对应的点在直线70x y ++=上，求m 的值.19．(本题12分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2sin 3a B b =． （1）求角A 的大小；（2）若8a =，10b c +=，求ABC ∆的面积．20．(本题12分)如图在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，H 为线段BE 上靠近点E 的四等分点，记AB a =，AD b =. （1）用a ，b 表示AE ，AH ； （2）求线段AH 的长.21．(本题12分)已知半圆圆心为O ，直径4AB =，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动点，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若3144PA CA CB =-，求PA 与CB 夹角的大小；(3)试确定点P 的位置，使PO PA ⋅取得最小值，并求此最小值.22.（本题满分12分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m 高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20（2大，可以提高测量精确度。
山东省威海市文登一中2014-2021学年高一下学期段考数学试卷 Word版含解析
2022-2021学年山东省威海市文登一中高一（下）段考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．角α的终边上有一点P（a，﹣2a）（a＞0），则sinα等于( )A ．B ．C ．D ．2．以下各式中错误的是( )A．arcsin1=B．arccos（﹣1）=πC．arctan0=0 D．arccos1=2π3．已知α为其次象限角，则的值是( )A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣14．已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A ．B ．C ．D ．5．已知，且，则cosα﹣sinα的值是( )A ．B ．C ．D ．6．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是( )A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x ﹣）C．y=sin （﹣）D．y=sin （+）7．与函数y=tan（2x+）的图象不相交的一条直线是( )A．x=B．x=C．x=D．x=﹣8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，则的值为( ) A ．B ．C ．D．19．为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin（2x ﹣）的图象( )A ．向右平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向左平移10．为了使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少消灭50次最大值，则ω的最小值是( )A．98πB ．C ．D．100π二、填空题：（每题4分共16分）11．函数的定义域是__________．12．假如函数y=sin（2x+ϕ）的图象关于直线x=﹣对称，那么ϕ=__________．13．函数y=sin （﹣2x+）的单调增区间是__________．14．函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________．15．给出下列命题①存在，使；②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；③y=tanx在其定义域内为增函数；④既有最大值和最小值，又是偶函数；⑤的最小正周期为π．其中错误的命题为__________（把全部符合要求的命题序号都填上）三、解答题：16．（Ⅰ）已知α为第三象限角，f（α）=．①化简f（α）；②若cos（α﹣）=，求f（α）的值．（Ⅱ）已知角α满足=2；①求tanα的值；②求sin2α+2cos2α﹣sinαcosα的值．17．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的最大值为2，最小值为，周期为，且图象过点（0，﹣），（1）这个函数的解析式；（2）写出函数的对称轴和对称中心．18．画出函数y=2sin （x ﹣）的一个周期的图象（要求具有数量特征），并且写出由函数y=sinx变化到函数y=2sin （x ﹣）的变化流程图；列表：x变化流程图：（在箭头上方写出变化程序）Sinx→→→．19．求下列函数的值域（1），；（2）．20．已知：函数的最小正周期是π，且当时f（x）取得最大值3．（1）求f（x）的解析式及单调增区间．（2）若x0∈[0，2π），且，求x0．（3）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．21．已知函数f（x）=﹣2sin2x﹣2acosx﹣2a+1（x∈R），设其最小值为g（a）（x∈R）．（Ⅰ）求g（a）；（Ⅱ）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．2022-2021学年山东省威海市文登一中高一（下）段考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．角α的终边上有一点P（a，﹣2a）（a＞0），则sinα等于( )A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：依据任意角的三角函数定义，sinα=，求出|OP|代入计算可得．解答：解：r=|OP|=，依据任意角的三角函数定义．sinα==．故选B点评：本题考查任意角的三角函数求值，依据定义直接计算即可．本题须对a的正负争辩，否则简洁误选B．2．以下各式中错误的是( )A．arcsin1=B．arccos（﹣1）=πC．arctan0=0 D．arccos1=2π考点：反三角函数的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用反三角函数的定义，逐一推断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：依据反正弦函数的定义，arccos1表示[﹣，]上正弦值等于1的一个角，再依据sin=1，可得arcsin1=，故A正确；由于arccos（﹣1）=π﹣arccos1=π﹣0，故B正确；由于arctanx 表示（﹣，）上正切值等于x的一个角，再依据tan0=0，可得arctan0=0，故C正确；依据反余弦函数的定义，arccos1表示[0，π]上余弦值等于1的一个角，再依据cos0=1，可得arccos1=0，故D不正确，故选：D．点评：本题主要考查反三角函数的定义和性质，属于基础题．3．已知α为其次象限角，则的值是( )A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：依据α为其次象限角，结合同角三角函数的平方关系，得出=sinα，=﹣cosα．由此代入题中式子进行化简，即可算出所求式子的值．解答：解：∵α为其次象限角，∴sinα＞0且cosα＜0由此可得=|sinα|=sinα，=|cosα|=﹣cosα∴==2﹣1=1故选：C点评：本题给出α为其次象限角，要我们化简一个三角函数式子并求值，着重考查了三角函数的定义和同角三角函数的关系等学问，属于基础题．4．已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A ．B ．C ．D ．考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：半径为r的扇形圆心角的弧度数为α，则它的面积为S=αr2，由此结合题中数据，建立关于圆心角的弧度数α的方程，解之即得该扇形的圆心角的弧度数．解答：解：设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S=αr2=α×12=，解之，得α=故选B点评：本题在已知扇形的面积和半径的状况下，求该扇形圆心角的弧度数．着重考查了弧度制的定义和扇形面积公式等学问，属于基础题．5．已知，且，则cosα﹣sinα的值是( )A ．B ．C ．D ．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：先确定cosα＜sinα，再利用同角三角函数关系，即可得出结论．解答：解：∵，∴cosα＜sinα∴cosα﹣sinα=﹣=﹣故选C．点评：本题考查同角三角函数关系，考查同学的计算力量，属于基础题．6．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是( )A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x ﹣）C．y=sin （﹣）D．y=sin （+）考点：正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：将x=代入各个关系式，看看能否取到最值即可验证图象关于直线x=对称，分别求出最小正周期验证即可．解答：解：A，对于函数y=cos（2x+），令x=，求得y=，不是函数的最值，故函数y的图象不关于直线x=对称，故排解A．B，对于函数y=sin（2x ﹣），令x=，求得y=1，是函数的最值，故图象关于直线x=对称；且有T==π，故满足条件；C，由T==4π可知，函数的最小正周期不为π，故排解C．D，由T==4π可知，函数的最小正周期不为π，故排解D．故选：B．点评：本题考查正弦、余弦函数的对称性，代入验证是解决的捷径，属于中档题．7．与函数y=tan（2x+）的图象不相交的一条直线是( )A．x=B．x=C．x=D．x=﹣考点：正切函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：令2x+=kπ+，k∈z，可得x=+，由此可得与函数y=tan（2x+）的图象不相交的直线的方程．解答：解：令2x+=kπ+，k∈z，可得x=+，结合所给的选项可得应选C，故选C．点评：本题主要考查正切函数的图象特征，得到2x+=kπ+，k∈z，是解题的关键，属于中档题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的部分图象如图所示，则的值为( )A ．B ．C ．D．1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得A和周期T，进而可得ω，又图象过点（，0），可得φ的方程，结合范围可得φ值，可得解析式，代值化简可得．解答：解：由图象可得A=1，周期T=4（﹣）=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），又图象过点（，0），∴0=sin （+φ），又∵，∴φ=∴f（x）=sin（2x+），∴=sin （+）=故选：A点评：本题考查由三角函数的图象求解析式，属基础题．9．为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin（2x ﹣）的图象( )A ．向右平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向左平移考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由于y=cos2x=sin2（x+），由此依据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．解答：解：y=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把函数y=sin（2x ﹣）=y=sin[2（x ﹣）]（x∈R ）的图象上全部点向左平行移动个单位长度，即可得到y=cos2x 的图象．故选D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，诱导公式的应用，属于中档题．10．为了使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少消灭50次最大值，则ω的最小值是( )A．98πB ．C ．D．100π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：本题只需在区间[0，1]上消灭（49+）个周期即可，进而求出ω的值．解答：解：∵使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少消灭50次最大值∴49×T≤1，即×≤1，∴ω≥．故选B．点评：本题主要考查三角函数周期性的求法．属基础题．二、填空题：（每题4分共16分）11．函数的定义域是[﹣4，﹣π]∪[0，π]．考点：正弦函数的定义域和值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组，分别求解三角不等式和一元二次不等式，取交集后得答案．解答：解：要使原函数有意义，则，解①得，2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z．解②得，﹣4≤x≤4．如图，∴不等式组的解集为[﹣4，﹣π]∪[0，π]．∴函数的定义域是[﹣4，﹣π]∪[0，π]．故答案为：[﹣4，﹣π]∪[0，π]．点评：本题考查了函数定义域及其求法，考查了三角不等式的解法，训练了交集及其运算，是基础题．12．假如函数y=sin（2x+ϕ）的图象关于直线x=﹣对称，那么ϕ=kπ+，k∈z．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意依据正弦函数的图象的对称性可得2×（﹣）+ϕ=kπ+，k∈z，由此求得ϕ的值．解答：解：∵函数y=sin（2x+ϕ）的图象关于直线x=﹣对称，∴2×（﹣）+ϕ=kπ+，k∈z，即ϕ=kπ+，k∈z，故答案为：kπ+，k∈z．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．函数y=sin（﹣2x+）的单调增区间是[kπ+，kπ+]，k∈z．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：依据函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），本题即求函数y=sin（2x﹣）的单调减区间，再依据正弦函数的单调性，求得函数y=sin（2x﹣）的单调减区间．解答：解：∵函数y=sin（﹣2x+）=﹣sin（2x﹣），故本题即求函数y=sin（2x﹣）的单调减区间．令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数y=sin（2x﹣）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z，故答案为：[kπ+，kπ+]，k∈z．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，诱导公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（1，3）．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：依据sinx≥0和sinx＜0对应的x的范围，去掉确定值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，由图象求出k的取值范围．解答：解：由题意知，，在坐标系中画出函数图象：由其图象可知当直线y=k，k∈（1，3）时，与f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点．故答案为：（1，3）．点评：本题的考点是正弦函数的图象应用，即依据x的范围化简函数解析式，依据正弦函数的图象画出原函数的图象，再由图象求解，考查了数形结合思想和作图力量．15．给出下列命题①存在，使；②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；③y=tanx在其定义域内为增函数；④既有最大值和最小值，又是偶函数；⑤的最小正周期为π．其中错误的命题为①②③⑤（把全部符合要求的命题序号都填上）考点：命题的真假推断与应用；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；三角函数的最值．分析：①由已知可得sinxcosx=＜0，则当x ∈不符合题意；②结合正弦函数与余弦函数的图象可知，不存在区间使y=cosx为减函数而sinx＜0；③y=tanx 在区间（），（k∈Z ）上单调递增，但是在定义域内不是增函数；④=cos2x+cosx=﹣，可推断函数的最值的状况，及函数的奇偶性⑤结合函数的图象可知，的最小正周期为π．解答：解：①若，则有1+2sinxcosx=，即sinxcosx=＜0，则当x∈不符合题意，故①错误②结合正弦函数与余弦函数的图象可知，不存在区间使y=cosx为减函数而sinx＜0；故②错误③y=tanx 在（），k∈Z 上单调递增，但是在定义域内不是增函数；故③错误④=cos2x+cosx=﹣，当cosx=﹣时，函数有最小值，当cosx=1时，函数有最大值，从而可知函数既有最大值和最小值，又f（﹣x）=cos2（﹣x）+cos （﹣x）=cos2x+cosx=f （x），可得函数是偶函数；故④正确⑤结合函数的图象可知，不是周期函数．故⑤错误故答案为：①②③⑤点评：本题主要考查了函数的性质的综合应用，解题的关键是娴熟把握函数的基本性质、常见的结论，并能机敏应用三、解答题：16．（Ⅰ）已知α为第三象限角，f（α）=．①化简f（α）；②若cos（α﹣）=，求f（α）的值．（Ⅱ）已知角α满足=2；①求tanα的值；②求sin2α+2cos2α﹣sinαcosα的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）①由条件利用诱导公式，求得f（α）的解析式．②由条件利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得f（α）=﹣cosα的值．（Ⅱ）①依据角α满足=2，利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．②依据tanα的值，利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值．解答：解：（Ⅰ）①∵已知α为第三象限角，∴f（α）===﹣cosα．②若cos（α﹣）=﹣sin α=，则sinα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．（Ⅱ）①∵已知角α满足==2，∴tanα=1．②sin 2α+2cos2α﹣sinαcosα====1．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．17．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的最大值为2，最小值为，周期为，且图象过点（0，﹣），（1）这个函数的解析式；（2）写出函数的对称轴和对称中心．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由函数的周期求得ω的值，由函数的最值求得A，B，依据图象过定点出φ的值，从而求得函数的解析式．（2）依据正弦函数的对称轴和对称中心即可求出．解答：解：（1）函数y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的最大值为2，最小值为，周期为，∴B=（2﹣）=，A=（2+）=，∵T==，∴ω=3，∵图象过点（0，﹣），∴sin（3×0+φ）+=﹣，∴sinφ=﹣，∵|ϕ|＜，∴φ=﹣，∴y=sin（3x ﹣）+（2）令3x ﹣=kπ+，k∈z，∴对称轴为x=﹣，k∈z，令3x ﹣=kπ得对称中心（+，），k∈z．点评：本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式．解题的关键是对三角函数解析式中振幅，周期和初相的关系的机敏应用，属于中档题18．画出函数y=2sin （x ﹣）的一个周期的图象（要求具有数量特征），并且写出由函数y=sinx变化到函数y=2sin （x ﹣）的变化流程图；列表：x变化流程图：（在箭头上方写出变化程序）Sinx→→→．考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：作图题．分析：（I）利用正弦函数的图象性质，将内层函数看作整体等于正弦曲线的五个关键点，列出表格，再描点、连线即可（II）利用三角函数图象变换理论，可先将正弦曲线进行横向伸缩，再将所得图象进行横向平移，最终进行纵向伸缩，按挨次写明变换量即可解答：解：已知函数（I）五点法画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；X0 π2π0 2 0 ﹣2 0（II）变化流程图指出此函数的图象可以由y=sinx的图象经过怎样的变换得到，y=sinx 横坐标扩大2倍得到y=图象向右平移个单位得到y=，纵坐标扩大为原来的2倍得到y=点评：本题考查了三角函数的图象和性质，五点作图法的原理和操作步骤，图象变换的理论等基础学问19．求下列函数的值域（1），；（2）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）依据x的范围，求出2x ﹣的范围，再依据正弦函数的单调性求出值域；（2）由=1+，得到函数为减函数，且﹣1≤cosx≤1，继而求出函数的值域．解答：解：（1）∵x∈[，]，∴2x ﹣∈[，]，∴sin（2x ﹣）∈[，1]，∴y=2sin（2x ﹣）∈[，2]，（2）=1+，∵﹣1≤cosx≤1，又∵=1+为减函数，当cosx=﹣1时，y=，当cosx=1时，y=﹣1，故的值域为[0，]．点评：本题考查了函数值域的求法，以及函数的图象和性质，属于基础题．20．已知：函数的最小正周期是π，且当时f（x）取得最大值3．（1）求f（x）的解析式及单调增区间．（2）若x0∈[0，2π），且，求x0．（3）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求m的最小值．考点：三角函数的最值；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；综合题．分析：（1）利用函数的周期，最值，求出A，T然后求出ω，通过当时f（x）取得最大值3求出α，从而求f（x）的解析式及单调增区间．（2）若x0∈[0，2π），且，求出x0即可．（3）利用函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，且y=g（x）是偶函数，求出g（x），然后再求m的最小值．解答：解：（1）由已知条件知道：∴ω=2∴∴∴∴由可得∴f（x ）的单调增区间是（2），∴或∴x0=kπ或又x0∈[0，2π）∴或（3）由条件可得：（13分）又g（x）是偶函数，所以g（x）的图象关于y轴对称，∴x=0时，g（x）取最大或最小值（14分）即，∴又m＞0∴m 的最小值是（16分）点评：本题考查三角函数的最值，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，化为一个角的一个三角函数的形式是求最值的常用方法．能够正确取得函数在给定区间上的最值，是顺当解题的前提．21．已知函数f（x）=﹣2sin2x﹣2acosx﹣2a+1（x∈R），设其最小值为g（a）（x∈R）．（Ⅰ）求g（a）；（Ⅱ）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种状况：①﹣1时②时③时，依据二次函数求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把代入到第一问的g（a）的其次和第三个解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．解答：解：（1）f（x）=﹣2sin2x﹣2acosx﹣2a+1=﹣2+2cos2x﹣2acosx﹣2a+1=2cos2x﹣2acosx﹣2a﹣1=2（cosx ﹣）2﹣﹣2a﹣1，当﹣1时g（a）=﹣﹣2a﹣1；当时g（a）=﹣4a+1；当时g（a）=1；（2）若g（a）=，由所求g（a ）的解析式知只能是﹣﹣2a﹣1=或1﹣4a=．由解得：a=﹣1或a=﹣3（舍）．由解得：a=（舍）．此时f（x）=2（cosx+）2+，得f（x）max=5．∴若g（a）=，应a=﹣1，此时f（x）的最大值是5．点评：本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求同学把握余弦函数图象的单调性，属于基本学问的考查．。
2021-2022学年浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学高一(上)第一次段考数学试卷 (解析版)
2021-2022学年浙江省嘉兴市平湖市当湖高级中学高一（上）第一次段考数学试卷（9月份）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．[2，3）∪（3，+∞）4．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•dC．若a＞b，则a•c2＞b•c2D．若a•c2＞b•c2，则a＞b5．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x 的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）6．集合，用列举法可以表示为（）A．{3，6}B．{1，2，4，5，6，9}C．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，3，6}D．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6} 7．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是集合A 的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个8．若x＞0，y＞0，且+＝1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣8，1）B．（﹣∞，﹣8）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）D．（﹣1，8）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．y＝x C．y＝x+1D．y＝x210．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx＝1，m∈R}，若B⊆A，则实数m可能的取值为（）A．0B．1C．D．211．下列命题正确的有（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为RC．x＞1是（x﹣1）（x+2）＞0的充分不必要条件D．∀x∈R，12．设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（）A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为2D．m2+n2的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有人．14．已知12＜a＜60，15＜b＜36，则a﹣b的取值区间是．15．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．16．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解下列不等式．（1）x2﹣2x﹣3＞0；（2）﹣2x2+x+1＞0；（3）．18．求下列函数的值域．（1）f（x）＝2x+1，x∈{1，2，3}；（2）f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，3]；（3）．19．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．20．已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．21．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（Ⅰ）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）解不等式f（x）＜（m﹣1）x2+2x﹣2m﹣1．22．（1）关于x的不等式kx2+k﹣2＜0有解，求k的取值范围；（2）若不等式2x﹣1＞mx2﹣m对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，求x的范围．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0}D．{x|x＞1}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．故选：B．2．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．3．函数的定义域为（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（2，3）∪（3，+∞）D．[2，3）∪（3，+∞）【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求解集即可．解：函数中，令，解得x＞2且x≠3；所以f（x）的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．故选：C．4．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则B．若a＞b＞0，c＞d，则a•c＞b•dC．若a＞b，则a•c2＞b•c2D．若a•c2＞b•c2，则a＞b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．解：对于选项A：当a＝0时，没有意义．故错误：对于选项B：当c和d小于0时，不等式不成立．对于选项C：当c＝0时，不等式不成立．故选：D．5．关于x的不等式（ax﹣b）（x+3）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则关于x 的不等式ax+b＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【分析】根据不等式的解集可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，得到a＝b，即可求解．解：由题意可得a＜0，且1，﹣3是方程（ax﹣b）（x+3）＝0的两根，∴x＝1为方程ax﹣b＝0的根，∴a＝b，则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜﹣1，∴不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1）．故选：A．6．集合，用列举法可以表示为（）A．{3，6}B．{1，2，4，5，6，9}C．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，3，6}D．{﹣6，﹣3，﹣2，﹣1，2，3，6}【分析】利用已知条件，化简求解即可．解：由集合，可知＝3，＝6，＝﹣6，＝﹣3，＝﹣2，＝﹣1，所以x＝1，2，4，5，6，9．所以集合＝{﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，3，6}．故选：C．7．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k是集合A 的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．解：根据好元素的定义，由S的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}．故选：C．8．若x＞0，y＞0，且+＝1，x+2y＞m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣8，1）B．（﹣∞，﹣8）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）D．（﹣1，8）【分析】利用“乘1法”及其基本不等式可得x+2y的最小值，解出不等式即可得出．解：∵x＞0，y＞0，且+＝1，∴x+2y＝（x+2y）（+）＝4++≥4+2＝8，当且仅当x＝2y＝4时取等号．∵x+2y＞m2+7m恒成立，∴8＞m2+7m，解得：﹣8＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣8，1）．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．中国清朝数学学李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{﹣1，1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．B．y＝x C．y＝x+1D．y＝x2【分析】由函数的定义对4个选项依次判断即可．解：对于选项A，4∈M，y＝∉N，故不能构成从M到N的函数；对于选项B，∀x∈M，y＝x∈N，故能构成从M到N的函数；对于选项C，﹣1∈M，y＝﹣1+1＝0∉N，故不能构成从M到N的函数；对于选项D，，∀x∈M，y＝x2∈N，故能构成从M到N的函数；故选：BD．10．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|mx＝1，m∈R}，若B⊆A，则实数m可能的取值为（）A．0B．1C．D．2【分析】当m＝0时，B＝∅，满足A∪B＝A；当m≠0时，B＝{}，由A∪B＝A，得B⊆A，从而B＝{1}或B＝{2}，进而＝1或＝2．由此能求出m的取值集合．解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，∴当m＝0时，B＝∅，满足A∪B＝A；当m≠0时，B＝{}，由A∪B＝A，得B⊆A，∴B＝{1}或B＝{2}，∴＝1或＝2．解得m＝1或m＝∴m的取值集合为{1，0，}．故选：ABC．11．下列命题正确的有（）A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．不等式x2﹣4x+5＞0的解集为RC．x＞1是（x﹣1）（x+2）＞0的充分不必要条件D．∀x∈R，【分析】A．根据特称命题的否定是全称命题进行判断，B．根据一元二次不等式的解法进行判断，C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，D．利用特值法进行判断．解：A．若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，为真命题，B．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1＞0恒成立，即B为真命题，C．（x﹣1）（x+2）＞0得x＞1或x＜﹣2，则x＞1是（x﹣1）（x+2）＞0的充分不必要条件，为真命题，D．当x＝﹣1时，不成立，即D是假命题，故选：ABC．12．设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（）A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为2D．m2+n2的最小值为2【分析】m，n＞0，m+n＝2，利用“乘1法”可得：+＝（m+n）（+）＝（3++），再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD的正误．解：m，n＞0，m+n＝2，则+＝（m+n）（+）＝（3++）≥（3+2）＝，当且仅当n＝m＝4﹣2时成立．m+n＝2≥2，解得mn≤1．∴，＝m+n+2≤2+2，∴+≤2．m2+n2≥＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号．综上可得：ABD正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．高一（1）班共有学生50人，班级设置了数学和物理两个理科兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有30人，参加物理兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有15人，则两个兴趣小组都没有参加的学生有9人．【分析】利用Venn图解决集合问题，先找出数学和物理兴趣小组公共的元素，再找出各自的元素，最后利用补集找出都没有参加的人数．解：如图所示故答案为：914．已知12＜a＜60，15＜b＜36，则a﹣b的取值区间是（﹣24，45）．【分析】根据不等式的运算性质，即可得到结论．解：因为12＜a＜60，15＜b＜36，所以12＜a＜60，﹣36＜﹣b＜﹣15，即12﹣36＜a﹣b＜60﹣15，即﹣24＜a﹣b＜45，故答案为：（﹣24，45）．15．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】根据B⊆A可分B＝∅，和B≠∅两种情况：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．解：①若B＝∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．16．若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是[，3]．【分析】根据函数的函数值f（）＝﹣，f（0）＝﹣4，结合函数的图象即可求解解：∵f（x）＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，∴f（）＝﹣，又f（0）＝﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．解下列不等式．（1）x2﹣2x﹣3＞0；（2）﹣2x2+x+1＞0；（3）．【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的联系解不等式（1）（2），对于（3）先移项，再将其转化为一元二次不等式，解之即可．解：（1）因为x2﹣2x﹣3＞0，所以（x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞3，所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}；（2）因为﹣2x2+x+1＞0，所以﹣（2x+1）（x﹣1）＞0，解得﹣＜x＜1，所以不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}；（3）因为，所以﹣＜0，即＜0，所以2x（2﹣x）＜0，解得x＜0或x＞2，故不等式的解集为{x|x＜0或x＞2}．18．求下列函数的值域．（1）f（x）＝2x+1，x∈{1，2，3}；（2）f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，3]；（3）．【分析】（1）由值域的定义直接写出该函数的值域即可；（2）配方化简f（x）＝﹣（x ﹣1）2+2，从而求函数的值域；（3）配方化简＝﹣，从而求函数的值域．解：（1）∵x∈{1，2，3}，∴2x+1∈{3，5，7}，故函数f（x）＝2x+1，x∈{1，2，3}的值域为{3，5，7}；（2）f（x）＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∵x∈[0，3]，∴x﹣1∈[﹣1，2]，∴﹣（x﹣1）2+2∈[﹣2，2]，即函数f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，3]的值域为[﹣2，2]；（3）＝﹣，∵≥0，∴﹣≥﹣，即函数的值域为[﹣，+∞）．19．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数；（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【分析】（I）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（II）根据（I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y＝45x+180（x﹣2）+180•2a＝225x+360a﹣360．由已知ax＝360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．20．已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【分析】（1）根据交、并、补集的运算分别求出A∪B，（∁R A）∩B；（2）根据题意和A∩C≠∅，即可得到a的取值范围．解：（1）由题意知，集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2≤x＜10}，又∁R A＝{x|x＜2或x≥7}，则（∁R A）∩B＝{x|7≤x＜10}，（2）因为A∩C≠∅，且C＝{x|x＜a}，所以a＞2．21．设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1．（Ⅰ）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）解不等式f（x）＜（m﹣1）x2+2x﹣2m﹣1．【分析】（Ⅰ）分m＝0及m≠0结合二次函数的性质讨论即可；（Ⅱ）化简可得（x﹣m）（x﹣2）＜0，然后分类讨论得解．解：（Ⅰ）要使mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，若m＝0，显然﹣1＜0．若m≠0，∴﹣4＜m≤0．（Ⅱ）由f（x）＜（m﹣1）x2+2x﹣2m﹣1得，mx2﹣mx﹣1﹣mx2+x2﹣2x+2m+1＜0，即x2﹣（m+2）x+2m＜0，即（x﹣m）（x﹣2）＜0，当m＜2时，解得m＜x＜2；当m＞2时，解得2＜x＜m；当m＝2时，解集为空集．综上：当m＜2时，解集为（m，2）；当m＞2时，解集为（2，m）；当m＝2时，解集为空集．22．（1）关于x的不等式kx2+k﹣2＜0有解，求k的取值范围；（2）若不等式2x﹣1＞mx2﹣m对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，求x的范围．【分析】（1）分k＝0，k＞0和k＜0三种情况，利用二次函数的性质分析求解即可；（2）将不等式进行变形可得，﹣（x2﹣1）m+2x﹣1＞0对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，构造函数g（m）＝﹣（x2﹣1）m+2x﹣1，然后利用一次函数的性质，列式求解即可．解：（1）关于x的不等式kx2+k﹣2＜0有解，当k＝0时，不等式为﹣2＜0，符合题意；当k＞0时，则△＝﹣4k（k﹣2）＞0，解得0＜k＜2；当k＜0时，不等式kx2+k﹣2＜0有解．综上所述，实数k的取值范围为（﹣∞，2）；（2）不等式2x﹣1＞mx2﹣m对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，即﹣（x2﹣1）m+2x﹣1＞0对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，令g（m）＝﹣（x2﹣1）m+2x﹣1，则g（m）＞0对满足﹣2≤m≤2的所有m都成立，所以，即，解得，所以x的范围为．。
安徽省蚌埠市五河第一中学2024-2025学年高一上学期段考检测数学试题(含答案)
五河一中2024-2025学年度高一第一学期段考检测卷数学试题一、单选题1．若，则（ ）A ．1B ．0C ．2D ．2．已知函数，以下结论正确的是（ ）A ．在区间上是增函数B ．C ．若方程恰有个实根，则D ．若函数在上有 6个零点，则3．对实数和，定义运算“”： 设函数若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、多选题4．已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）A ．B ．函数为周期函数C ．函数在区间上单调递减D ．函数的图象既有对称轴又有对称中心20212021(3)40x y x x y ++++=4x y +=1-()()23,03,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩()f x []4,6()()220206f f -+=()1f x kx =+3{}11,13k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ()y f x b =-(),6-∞()1,2,3,4,5,6i x i =616ii x==∑a b ⊗a b ⊗,1,1a ab b a b -≤⎧=⎨->⎩()()22f x x =-⊗()2,x x x R -∈()y f x c =-x c (]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭ (]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 311,,44⎛⎤⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭()y f x =02x ≤≤(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩()()(1)g x f x f x =++(2022)1g =()y g x =()y g x =(6,7)()y g x =5．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）A ．2B ．6C ．5D ．4三、填空题6．已知函数，则下列结论正确的是 .①；②函数有5个零点；③函数在上单调递增；④函数的值域为7．已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点对称，若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是____▲_____8．已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数a 的取值范围为 .四、解答题9．已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间和最小值（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，恒有成立，求实数的取值范围．10．已知a ，b 均为自然数，二次函数，图像过点和且在上不单调.（1）求函数f(x)的表达式()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩()()22210f x f x a -+-=()[](]123,1,21,2,82x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩()()27f f =()f x ()f x []3,6()f x []2,4-()y f x =R (1)=-y f x (1,0),x y R ∈()()2262180f x x f y y -++-<3x >22x y +()2log 111a x f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+0a >1a ≠[],m n ()f x [],m n []log 2,log 2a a n m 0a >()23f x x x a =+-1a =()f x [1,1]-()g a ()g a ()g a [1,1]x ∈-()()f x g a m ≤+m ()21f x ax bx =++(0,1)(1,4)1(2,)2--（2）是否存在实数，使得f(x)定义域和值域分别和？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若关于的方程有两个根，求实数t 的取值范围.11．已知函数．（1）若不等式在上恒成立，求a 的取值范围；（2）若函数恰好有三个零点，求b 的值及该函数的零点．12．已知函数.（1）若的值域为，求的值；（2）巳，是否存在这样的实数，使函数在区间内有且只有一个零点，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.13．已知函数，，（1）求的解析式；（2）关于的不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围；（3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围.14．设，，，且函数是奇函数.（1）求的值；（2）若方程有实数解，求的取值范围.参考答案：题号12345 答案BCBBDACD6．③7．.(,)m n m n <[],m n [75,75]m n --,m n x ()f x x t t =-+6()4f x x x=-+(ln )ln 0f x a x -≥21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()22222log 49log4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+2()21f x ax x =-+()f x [)0,∞+a 12a ≤a 2()log 4x y f x =-[]1,2a ()6=f x x()21g x x =+()f g x ⎡⎤⎣⎦x ()27≥-⎡⎤⎣⎦f g x k x k x ()>⎡⎤⎣⎦af g x x 3a 0a >1a ≠(()log a f x x =()f x m ()log (2)a f x x ak =+k ()13,498．9．(1)递增区间为，.(2).(3)10．（1）； （2）； （3）.11．（1）；（2），函数的三个零点分别为.12．（1）；（2）存在，.13．（1）； （2）； （3）.14．（1）（2）⎛ ⎝[1,)+∞min ()1f x =()2,0132,1a a g a a a ⎧<<=⎨-≥⎩6m ≥()221x x x f =++2,3m n ==5(,)8-+∞52a ≥-6b =0,2,2-1a =11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()261f g x x =⎡⎤⎣⎦+(,6]-∞249[,1751m =(0,)k ∈+∞。
安徽省宁国中学2020-2021学年高一上学期第一次段考数学试题及答案
宁国中学20～21学年第一学期高一年级第一次段考数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全集U R =,{}20N x x =-<<,{}1-<=x x M ,则图中阴影部分表示的集合是A ．{}21x x -<<-B ．{}20x x -<<C ．{}|10x x -≤<D ．{}10x x -≤≤2. 满足条件{1,2,3}⊆M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是A. 6B. 7C. 8D. 53. 已知不等式 的解集是 ，则a b +=A. 10-B. 6-C. 0D. 2 4. 设函数()02,0x f x x x≥=⎨<⎪⎩,若()()12f a f +-=,则=a A.12B. 2±C. 4D. 16 5. 函数()1y x x =-的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．6. 已知实数0,0x y >>，且24x y +=，则11x y+的最小值为 A B ．32 C ．34+ D ． 24+ 7. 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足(21)(3)f x f -<的x 的范围是 A ．(1,2)- B ．[)0,2 C ．(),2-∞ D ．(,1)(2,)-∞-+∞8. 设函数{}22()min 3,f x x x x=--，x R ∈,若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是 A ．3[3,)4-- B ．3(3,)4-- C ．3(,3][2,]4-∞--- D ．3(,3)(2,)4-∞---二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 下面四个条件中，是 成立的充分条件的有A. B. C.a b > D. >10. 若命题 为假命题，则a 的取值可以是A. 3-B.C.D. 20a -≤<11. 关于x 的方程2210x x m --+=的实数根情况，下列说法正确的有A. 当0m =时，方程有两个不等的实数根B. 当2m >时，方程没有实数根C. m R ∃∈, 方程有三个不等的实数根D. 不论m 取何值，方程不可能有4个实数根12. 已知函数()2+=x f y 是偶函数，且()x f y =在()2,0上是增函数，则下列结论中一定正确的有A. 函数()2y f x =- 是偶函数B. ()x f y =的图像关于直线2x =对称C. ()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()2y f x =在()1,2上单调递减三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设命题2:,2p n N n n ∃∈>，则命题p 的否定是： ．14. 函数1()2f x x =-的定义域是 ．15. 已知幂函数2()(3)m f x m x =- 在()0,+∞上为减函数，则(4)f -= ．16. 已知不等式224xy ax y ≤+对于0,0x y >>恒成立，则a 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．17.（本题满分10分）已知集合{}{}|26,|18A x x B x x =≤<=<<,{}|3C x a x a =-<<．（Ⅰ）求,()R A B C A B ；（Ⅱ）若()C AB ⊆，求a 的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2()2f x x x =+．（Ⅰ）求出函数()f x 在上的解析式，并补出函数()f x 在轴右侧的图像；（Ⅱ）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；②若[]1,x m ∈-时,函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围．19.（本题满分12分） 设集合2|04x A x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}22|320B x x ax a =-+=． （Ⅰ）当1a =时，判断""x B ∈是""x A ∈的什么条件，说明理由；（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）；（Ⅱ）是否存在实数a ，使A B ≠∅成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．R 0x ≤Ry20. (本题满分12分)已知函数()2()326()f x ax a x a R =-++∈（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在[)1,6x ∈上的值域；（Ⅱ）当0a >时,解关于x 的不等式：()0f x >．21. (本题满分12分)某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到()100.1x -万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革,每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．（Ⅰ）求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？（Ⅱ）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．22. (本题满分12分)已知函数2()h x x bx c =++是偶函数，()(2)0,()h x h f x x-==． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并证明在[]1,2上单调递增； （Ⅱ）设函数[]22164()2(),1,2,F x x a x x a R x x=+--∈∈，求函数()F x 的最小值()g a ．宁国中学20～21学年第一学期高一年级第一次段考数学参考答案一、选择题1~4：CBAD ， 5~8： BCAD ， 9：AD ， 10：ABD ， 11：ABC ， 12：BCD三、填空题13. 2,2n N n n ∀∈≤， 14. [)2,2−或{}|22x x −≤<， 15.116， 16. 4a ≥ 四、解答题17.解：（1）{}{}|18,|26R A B x x C A x x x =<<=<≥或，{}()|1268R C A B x x x =<<≤<或————————————5分（2）当C =∅时，332a a a −≥⇒≤————————————————7分 当C ≠∅时，此时32a > 且3132282a a a a −≥⎧⇒≤<≤⎨≤⎩即——————————————9分 综上：2a ≤——————————————————————10分18.解：（1）当0x >时，0x −<，则22()()22f x x x x x −=−−=−————2分 因为()f x 为奇函数，则()()f x f x −=−，即0x >时，2()2f x x x =−+————————————————3分所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨−+>⎪⎩————————————————4分 图略（注意关键点）———————————————————————6分，（2）如图可知，减区间为：()(),11+−∞−∞和，——————————————8分 (1)1f −=− ，(1)1f =———————————————————————9分令2222121012x x x x x ±−+=−⇒−−=⇒==11x x >∴=故由图可知1m ⎡⎤∈+⎣⎦————————————————————12分19.解：（1）{}{}|24,|()(2)0A x x B x x a x a =−<<=−−=当1a =时，{}1,2B =,—————————————————————2分1,2,,A A x B x A ∈∈∴∀∈∈——————————————————4分又,x A x B ∃∈∉,如3x =，则x B x A ∈∈是的充分不必要条件————6分（2）当0a =时，{}0B =,则{}0AB =,满足题意————————8分 当0a ≠时，{},2B a a =，要使A B ≠∅,只要24224a a −<<−<<或————————10分即240a a −<<≠且综上：24a −<<—————————————————————12分20.解：（1）2()56f x x x =−+对称轴为[)51,62x =∈，——————————1分 则最小值为52551()562424f =−⋅+=− ——————————3分 又(1)2,(6)12f f ==，结合图像知值域为1,124⎡⎫−⎪⎢⎣⎭——————6分 （2）2(32)6(3)(2)0ax a x ax x −++=−−>因为0a >所以当① 32a =时，2x ≠，解集为：{}|2x x ≠———————8分 ②302a <<时，32x x a <>或，解集为：3|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或——10分 ③32a >时，32x x a <>或，解集为：3|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或———12分 21.解：（1） 00100100.10x x x >⎧∴<<⎨−>⎩ ——————————————1分 10100(20)20(0100)100.1100y x x x x x=−+=−−<<−− ————3分 当80x =时，10080205510080y =−−=−（元）————————4分此时销量为100.1802−⨯=（万件）总利润为255110⨯=（万元）————————————————6分（2）10020100y x x=−−− 01001000x x <<∴−>100[(100)]808060100y x x ∴=−+−+≤−+=−————10分 当且仅当10010090100x x x=−⇒=− 即定价为90元时，每套利润最大为60元.————————————————12分 22.解：（1）因为()h x 为偶函数，所以()()h x h x −=————————————————1分即2220x bx c x bx c bx ++=−+⇒=因为x 为一切实数，所以0b =————————————————————2分 又(2)404h c c −=+=⇒=− 则2()44()h x x f x x x x x−===−———————————————————3分 证明：1212x x ∀≤<≤，12121212214444()()()()()f x f x x x x x x x x x −=−−−=−+− 12124()(1)x x x x =−⋅+⋅————————————————4分 因为1212x x ≤<≤，则12124()(1)0x x x x −⋅+<⋅ 所以1212()()0()()f x f x f x f x −<⇒<即()f x 在[]1,2上单调递增——————————————————————6分 （2）令4x t x−=，则由（1）知[]3,0t ∈−———————————————————7分 则2()28F t t at =−+当3a <−时，min ()(3)617F t F a =−=+————————————————9分当30a −≤≤时，2min ()()8F t F a a ==−+——————————————10分 当0a >时，min ()(0)8F t F ==————————————————————————11分 故2617,3()8,308,0a a g a a a a +<−⎧⎪=−+−≤≤⎨⎪>⎩————————————————————————12分。
2021合肥八中高一第一次段考数学
合肥八中2020-2021 学年高一年级第一学期段考数学试题（考试时间：100 分钟试卷满分：120 分）命题人：刘攀审题人：朱菊琴第Ⅰ卷（选择题共50 分）一．选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若A＝{1}，下列关系错误的是（）A.1∈A C．∅⊆A B．A⊆A D．∅∈A2.实数a，b 中至少有一个不为零的充要条件是（）A.ab＝0 B．ab>0C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0 3.已知命题p : ∀x ≥ 0, e x≥ 1 或sin x <1，则⌝p 为（）A.∃x < 0, e x < 1且sin x >1 C．∃x ≥ 0, e x < 1 且sin x≥1 B．∃x ≥ 0, e x < 1 或sin x >1 D．∃x < 0, e x ≥ 1 或sin x ≤14.已知a > 0 >b ，则不等式a >1>b 等价于（）xA．1<x < 0 或0 <x <1B．-1<x < 0 或0 <x <-1 b aC．x <1或x >1a bD．-1<x <-1b a a b5.命题“∀x ∈[1, 2] ，2x2 -a ≥ 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. a ≤1 C．a ≤ 3B．a ≤ 2 D．a ≤ 46．A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x, y )x ∈A, y ∈A, x -y ∈A}，则B 的非空子集的个数为（）A．10 B．9C．1024 D．1023x 2+ 43 3 2 2 7. 下列命题中, 正确的是 （ ）A ． x + 1的最小值是 2B ．xx 2 + 52的最小值是 24 C ．的最小值是 2D ． 2 - 3x - 的最小值是 2x8. 设P , Q 是两个集合，定义集合为P , Q 的“差集”，已知，，那么 等于（）A ．B ．C ．D ．9．已知实数x ， y 满足-4 ≤ x - y ≤ -1， -1 ≤ 4x - y ≤ 5 ，则3x + y 的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．16D ．1810. 已知 a , b 是不相等的正数，且 a 2 + b 2 - a - b + ab = 0 ，则 a + b 的取值范围是( )A ． ⎛ 0,4 ⎫B ． ⎛1,4 ⎫⎪⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭C ．⎛ 0, 3 ⎫ D ． ⎛1, 3 ⎫⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭第Ⅱ卷（非选择题 共 70 分）二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
高中地理练习题 2021-2022学年广东省佛山高一(下)第一次段考地理试卷(3月份)
2021-2022学年广东省佛山一中高一（下）第一次段考地理试卷（3月份）一、单选题：本部分题目有且只有一个正确答案。
2分每题，30题，共60分1．（2分）耀斑爆发对地球产生的影响可能是（ ）A．影响无线电短波通讯B．全球各地普降暴雨C．全球平均气温升高D．赤道地区出现绚烂多彩的极光琥珀是一种透明或半透明的生物化石，对研究古生物、古气候具有重要意义。
研究者发现漳浦琥珀大致形成于新近纪，它是距今1500万年前的漳浦生长的大量龙脑香科植物（目前主要分布在东南亚）分泌的树脂滴落，经过千万年的埋藏形成。
据此完成2～3题。
2．与漳浦琥珀成因相同的岩石是（ ）A．大理岩B．玄武岩C．石灰岩D．花岗岩3．推测漳浦1500万年前气候较现在（ ）A．暖干B．暖湿C．冷湿D．冷干中国载人空间站预计在2022年前后建成，轨道高度为400-450千米。
如图是“大气的垂直分层示意图”。
读图，据此完成4～5题。
4．中国载人空间站运行轨道所在的高层大气（ ）A．最容易成云致雨B．密度大于对流层C．厚度大于平流层D．温度上层低于下层5．对流层气温随高度上升而降低，主要因为（ ）A．大气对太阳辐射有削弱作用B．地面对太阳辐射有反射作用C．高山地区海拔高，空气稀薄D．地面是大气主要的直接热源如图1是“北京怀柔区雁栖湖景观图”，图2示意“雁栖湖与度假村之间近地面风向”。
读图，据此完成6～7题。
6．图2中能正确反映雁栖湖与度假村之间近地面风向的是（ ）A．①②B．③④C．①④D．②③7．造成度假村近地面风向昼夜变化的原因是（ ）A．太阳辐射不同B．地势起伏不同C．地表物质不同D．人为原因差异海水盐度的分布有一定的规律，且盐度的大小受一定因素的影响，据此完成8～9题。
8．上图中，能够正确表示海洋表层盐度随纬度分布曲线的是（ ）A．曲线①B．曲线②C．曲线③D．曲线④9．北纬60°海域盐度比南纬60°低得多，其主要影响因素是（ ）A．降水量与蒸发量B．海域轮廓C．洋流D．径流阅读下列描述波浪的文字，完成10～12题。
2021年高考(新课标)数学(理)大一轮复习试题：阶段示范性金考卷1
2021年高考（新课标）数学（理）大一轮复习试题：阶段示范性金考卷1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. [xx·安徽合肥模拟]已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}且R为实数集，则下列结论正确的是( )A. A∪B＝RB. A∩B≠∅C. A⊆(∁R B)D. A⊇(∁R B)解析：集合A＝{x∈R||x|≥2}＝{x∈R|x≥2或x≤－2}，B＝{x∈R|x2－x－2<0}＝{x∈R|－1<x<2}，所以A∪B＝{x∈R|x>－1或x≤－2}，所以A错误；A∩B＝∅，所以B错误；∁R B＝{x∈R|x≥2或x≤－1}，所以A⊆(∁RB)，所以C正确，D错误．故选C.答案：C2. [xx·辽宁东北育才学校模拟]若命题p：∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1≤0，则对命题p的否定是( )A. ∀x∈[－3,3]，x2＋2x＋1>0B. ∀x∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x2＋2x＋1>0C. ∃x0∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，x20＋2x0＋1≤0D. ∃x0∈[－3,3]，x20＋2x0＋1>0解析：把特称命题改为全称命题，否定结论．故选A.答案：A3. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A. y＝x3B. y＝|x|＋1C. y＝－x2＋1D. y＝2－|x|解析：本题可采用排除法．是偶函数则排除A，在(0，＋∞)上单调递增则排除C，D.故选B.答案：B4. [xx·湖北高考]设U为全集．A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C ＝∁U B，此时A⊆C.必要性成立，故选C.答案：C5. 设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b时，有()A. f(x)>g(x)B. f(x)<g(x)C. f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D. f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)解析：∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，∴当a<x<b时f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．答案：C6. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(xx)等于()A. －2B. 2C. －98D. 98解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(xx)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(xx)＝－2.答案：A7. [xx·辽宁铁岭模拟]若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log222，则有()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. b>c>a解析：∵a＝20.5>20＝1，b＝logπ3∈(0,1)，c＝log222<log21＝0，∴a>b>c.故选A.答案：A8. [xx·广东七校联考]已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A. 恒为负B. 等于零C. 恒为正D. 不大于零解析：由于函数f (x )＝(15)x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0，故选A.答案：A9. [xx·山东莱芜模拟]已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2 解析：要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2.故选B. 答案：B10. 函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x ＝( )A. 0B. π6C. π3D. π2解析：令f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋ 3.又f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为最大值，故选B. 答案：B11. 某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A. 6千台B. 7千台C. 8千台D. 9千台解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：A12. [xx·金版创新题]函数f (x )＝2x 2ex 的图象大致是( )解析：f ′(x )＝4x e x －2x 2e x (e x )2＝4x －2x 2e x ＝2x (2－x )e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，所以f (x )＝2x 2e x 在(－∞，0]，[2，＋∞)上单调递减，在[0,2]上单调递增．故选A.答案：A第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13. 如图所示，函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________.解析：由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得两曲线交点为(0,0)，(k ，k 2)，则S ＝⎠⎛0k (kx－x 2)d x ＝92，即k 3＝27，∴k ＝3.答案：314. [xx·浙江嘉兴模拟]已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，－2，x<2，则不等式x·f(x －1)<10的解集是________．解析：当x －1≥2，即x ≥3时，f(x －1)＝(x －1)－2＝x －3，代入得x(x －3)<10，得－2<x<5，所以3≤x<5；当x －1<2，即x<3时，f(x －1)＝－2，代入得－2x<10，得x>－5，所以－5<x<3.综上不等式的解集为(－5,5)． 答案：(－5,5)15. [xx·郑州一中模考]若函数f(x)＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x)＝2mx ＋1x －2，函数f(x)在其定义域(0，＋∞)内为增函数的充要条件是2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)内恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x 在(0，＋∞)内恒成立，由于函数φ(x)＝－1x 2＋2x ＝－(1x －1)2＋1≤1，故只要2m ≥1即可，即m ≥12.答案：[12，＋∞)16. [xx·湖南长沙模拟]已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x －ax ，若函数f (x )在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是________．解析：本题考查函数的求导与零点的判断. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以研究函数零点的个数，只考虑x >0的情况，作出函数y ＝e x ，y ＝ax 图象，当两函数有两交点时，满足题意，即求出过原点与函数y ＝e x相切的直线斜率，y ′＝e x，设切点坐标为(x 0，e x 0)，e x 0x 0＝e x 0⇒x 0＝1，切线的斜率为k ＝e ，故当a >e 时有四个零点．答案：(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知R 为全集，集合A ＝{x |log 12(3－x )≥－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5x ＋2≥1，求(∁R A )∩B . 解：由已知log 12(3－x )≥log 124，因为y ＝log 12x 为减函数，则有⎩⎨⎧3－x ≤4，3－x >0，解得－1≤x <3，所以A ＝{x |－1≤x <3}．于是∁R A ＝{x |x <－1或x ≥3}．由5x ＋2≥1，解得－2<x ≤3，所以B ＝{x |－2<x ≤3}． 故(∁R A )∩B ＝{x |－2<x <－1或x ＝3}．18．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由f (0)＝0可知b ＝1， 从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验符合题意，∴a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.所以k 的取值范围是(－∞，－13)．19．[xx·成都质量检测](本小题满分12分)设有两个命题： 命题p ：函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1在[1，＋∞)上是单调递减函数；命题q ：已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线2x ＋y ＝1平行，且f (x )在[a ，a ＋1]上单调递减，若命题p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：由f (x )＝－x 2＋ax ＋1在[1，＋∞)上是单调递减函数知a2≤1，即a ≤2.由f ′(x )＝3mx 2＋2nx 得⎩⎨⎧f ′(－1)＝3m －2n ＝－2，f (－1)＝－m ＋n ＝2，即⎩⎨⎧m ＝2，n ＝4.所以f (x )＝2x 3＋4x 2.令f ′(x )＝6x 2＋8x ≤0，得x ∈[－43，0]为f (x )的单调递减区间．依题意知[a ，a ＋1]⊆[－43，0]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－43，a ＋1≤0得－43≤a ≤－1.因为命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 一真一假． 当p 真q 假时，－1<a ≤2和a <－43；当p 假q 真时，a 不存在．故实数a 的取值范围是(－∞，－43)∪(－1,2]． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)．(1)若a ＝12，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)当1≤a ≤e ＋1时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x ，f (1)＝12－e ， f ′(x )＝12－e x ，f ′(1)＝12－e ， 故函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －12＋e ＝(12－e)(x －1)，即(12－e)x －y ＝0.(2)证明：令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只需证明g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立即可．g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，①g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x .设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e.当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0，即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立．故当1≤a ≤e ＋1时，f (x )≤x .21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，所以当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a，由f′(x)<0，解得－a<x<a，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)，f(x)的单调递减区间为[－a，a]．(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(－3,1)．22．[xx·课标全国卷Ⅰ](本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.32527 7F0F 缏28508 6F5C 潜$31272 7A28 稨=E,20218 4EFA 仺29425 72F1 狱21835 554B 啋E24514 5FC2 忂34783 87DF 蟟33806 840E 萎。
2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)
2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一（下）月考数学试卷（6月份）1. 已知复数z 满足(z −1)(1+2i)=−2+i ，则|z|=( ) A. √2B. 2√2C. 2D. 12. 为调整学校路段的车流量问题，对该学校路段1∼15时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是( )A. 9时前车流量在逐渐上升B. 车流量的高峰期在9时左右C. 车流量的第二高峰期为12时D. 9时开始车流量逐渐下降 3. 在△ABC 中，若b =2，A =120∘，三角形的面积S =√3，则三角形外接圆的半径为( ) A. √3B. 2C. 2√3D. 44. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若m//α，n//β，且α//β，则m//n B. 若α⊥β，m ⊥α，则m//β C. 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D. 若m//α，n ⊥β，且α⊥β，则m//n5. 如图，圆锥的轴截面ABC 为等边三角形，D 为弧AB ⏜的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC 和DE 所成角的余弦值为( )A. √33 B. √63 C. √22 D. √246. 在△ABC 中，∠B =900，BC =6，AB =4，点D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，点E为边AC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 7B. −7C. 2D. −27. 已知sinα+2sinβ=1，cosα+2cosβ=√3，则cos2(α−β)=( )A. 12B. −12C. −78D. 788. 已知三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 969. 已知a⃗，b⃗ ，c⃗是三个平面向量，则下列叙述错误的是( )A. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=±b⃗B. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，且a⃗≠0，则b⃗ =c⃗C. 若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗D. 若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )A. 若A>B，则sinA>sinBB. 若acosA=bcosB，则△ABC一定为等腰三角形C. 若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形D. 若a 2+b 2>c 2，则△ABC 一定为锐角三角形11. 在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84，27名女生的平均数和方差分别为160和28.84，则( )A. 总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小B. 总样本的平均数大于164C. 总样本的方差大于45D. 总样本的标准差大于712. 已知函数f(x)=sin(2x +π3)，将f(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)的图象向左平移π24个单位后对应的函数是偶函数 B. g(x)在[π12,π3]上单调递减 C. 当x =7π24时，g(x)取最大值 D. 直线y =12与g(x)(0<x <3π2)图象的所有交点的横坐标之和为19π413. 如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的面积为______.14. 已知sin(π6+α)=13，则cos(2π3−2α)=______.15. 已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，a⃗与c⃗的夹角为2π，|c⃗|=2，则向量b⃗ 在向量a⃗上3的投影向量的模为______.16. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC= BC=2，AC⊥BC，AA1=4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为__________.17. 已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(x,3)，c⃗=(y,2)，且a⃗//b⃗ ，a⃗⊥c⃗ .(1)求b⃗ 与c⃗；(2)若m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+c⃗，求向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的大小．18. 已知函数f(x)=(√3sinωx−cosωx)⋅cosωx+1(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离2.最近的对称中心的距离为π4(1)求y=f(x)解析式；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b−a)cosC=ccosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．19. 某校100名学生期中考试化学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分及中位数；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x：y1：12：13：24：520. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，A，B是邛海水面上位于东西方向相距3+√3公里的两个观测点，现位于A点北偏东60∘、B点西北方向的D点有一艘渔船发出求救信号，位于B点南偏西75∘且与B点相距3√6公里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30公里/小时．求：(1)观测点B与D点处的渔船间的距离；(2)C点的救援船到达D点需要多长时间？21. 如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，BF<CE，BF=2，AB=1，AD=√5(Ⅰ)求证：BC⊥AF(Ⅰ)求证：AF//平面DCE(Ⅰ)若二面角E−BC−A的大小为120∘，求直线DF与平面ABCD所成的角．22. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，(1)证明：平面BEF⊥平面PAD；(2)试探究F在棱PC何处时使得PA//平面BEF.答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z满足(z−1)(1+2i)=−2+i，∴z=(−2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+1=1+i，∴|z|=√12+12=√2.故选：A.根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A正确；车流量的高峰期在9时左右，选项B正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D错误．故选：D.根据题意由折线图，对应分析题目中的命题是否正确即可．本题考查了折线图的应用问题，也考查了数据分析和处理能力的数学核心素养．3.【答案】B【解析】【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120∘，三角形的面积S=√3=12bc⋅sinA=c⋅√32，∴c=2=b，∴△ABC是等腰三角形，故B=12(180∘−A)=30∘，再由正弦定理可得bsinB =2R=2sin30∘=4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，m//β或m⊂β；在C中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若m//α，n//β，且α//β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m//α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：C.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，圆锥的性质，属于基础题．底面圆的圆心为O，由OE//AC得异面直线AC和DE所成角等于直线OE与直线DE所成角．【解答】解：设底面圆的圆心为O，半径为R.连接EO，DO.因为O，E分别为BA，BC的中点，所以OE//AC，OE=R.因为D为弧AB中点，所以DO⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，所以DO⊥平面ABC.所以DO⊥OE，又OD=R，所以△ODE为等腰直角三角形，所以∠OED=45∘..因为OE//AC，所以异面直线AC和DE所成角为∠OED，故余弦值为√22故选：C.6.【答案】D【解析】解：如图建立平面直角坐标系：所以B(0,0)，A(0,4)，C(6,0)， 所以D(2,0)，E(3,2)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(3,2)=2×3+(−4)×2=−2， 故选：D.对Rt △ABC 建立平面直角坐标系，得出点的坐标，再计算AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案． 本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：将sinα+2sinβ=1两边平方，得sin 2α+4sinαsinβ+4sin 2β=1①； 将cosα+2cosβ=√3两边平方，得cos 2α+4cosαcosβ+4cos 2β=3②； ①+②得1+4cos(α−β)+4=4，所以cos(α−β)=−14. 所以cos2(α−β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−14)2−1=−78. 故选：C.将条件中的两个等式两边平方，相加得cos(α−β)的值，再利用二倍角公式求cos2(α−β)的值． 本题三角恒等变换中的平方和关系、和差角公式、二倍角公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ， ∴以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球， ∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =√23+9+162=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ， 则R =√3a2=2√3，解得a =4，∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V =a 3=43=64. 故选：C.以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球，三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ，则R =√3a2=2√3，解得a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．对A：举反例即可进行判断；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直时，满足条件，但结论不一定成立；对C：取b⃗ =0⃗，即可进行判断；对D：利用向量垂直性质，结合模的运算即可进行判断．【解答】解：对A：当a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)时，满足|a⃗|=|b⃗ |，但a⃗≠±b⃗ ，故A错误；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直且a⃗≠0⃗时，满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗=0，但结论不一定成立，故B错误；对C：取b⃗ =0⃗，则a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，但a⃗与c⃗不一定平行，故C错误；对D：当a⃗⊥b⃗ 时，即a⃗⋅b⃗ =0，则|a⃗+b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，|a⃗−b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²−2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，即a⃗⊥b⃗ 时，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，故D正确；故选：ABC.10.【答案】AC【解析】解：选项A中，由A>B，可得a>b，根据正弦定理得sinA>sinB，即选项A正确；选项B中，结合正弦定理及acosA=bcosB，知sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B错误；选项C中，由余弦定理及acosB−bcosA=c，知a⋅a 2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=c，化简得a2=b2+c2，即选项C正确；选项D中，由余弦定理知，cosC=a 2+b2−c22ab>0，所以角C为锐角，但角A，B不确定，所以选项D错误．故选：AC.选项A中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；选项B 中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断； 选项C 中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断； 选项D 中，由余弦定理可得角C 为锐角，但角A ，B 不确定．本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：因为方差越小，数据的离散程度越小，所以总体样本中女生的身高数据比男生的离散程度大，A 错误； 由已知可得样本的平均数为23×170+27×16050=164.6，B 正确；设23名男生的身高分别为a 1，a 2，…，a 23，27名女生的身高分别为b 1，b 2…b 27， 则a 1+a 2+…+a 23=23×170，123[(170−a 1)2+…+(170−a 23)2]=10.84， b 1+b 2+…+b 27=27×160，127[(160−b 1)2+…+(160−b 27)2]=28.84，∴23×1702−2×170×23×170+(a 12+⋯+a 232)=23×10.84， ∴a 12+⋯+a 232=23×10.84+23×1702， 同理b 12+b 22+⋯+b 272=27×28.84+27×1602，故总体方差150[(164.6−a 1)2+⋯+(164.6−a 23)2+((164.6−b 1)2+…+(164.6−b 27)2]，=150[50×164.62−2×164.6×50×164.6+(a 12+⋯+a 232)+(b 12+b 22+⋯+b 272)]，=150×[50×164.62−2×164.6×50×164.6+23×10.84+23×1702+27×28.84+27×1602]， =45.4，C 正确；由C 可知标准差约为6.7，D 错误． 故选：BC.对于A ，利用方差的性质即可判断； 对于B ，利用平均数的计算公式即可判断； 对于C ，利用方差计算公式即可判断； 对于D ，利用标准差公式即可判断．本题主要考查了方差及平均数的计算，属于基础试题．12.【答案】AD【解析】解：由已知：函数f(x)=sin(2x +π3)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得g(x)=sin(4x +π3)，对于A ：函数g(x)向左平移π24个单位，得到g(x +π24)=sin(4x +π6+π3)=cos4x ，显然g(−x)=g(x)，故g(x)为偶函数，A 正确；对于B ：因为x ∈[π12,π3]，故2π3≤4x +π3≤5π3，显然y =sinx 在[2π3,5π3]上不单调，亦即函数g(x)=sin(4x +π3)在[π12,π3]上不单调，B 错误； 对于C ：当x =7π24时，g(7π24)=sin(7π6+26π)=sin(3π2)=−1是最小值，C 错误；对于D ：令g(x)=12，即sin(4x +π3)=12，(0<x <3π2)， 令4x +π3=2kπ+π6(k ∈Z)或4x +π3=2kπ+5π6(k ∈Z)， 解得x =kπ2−π24或x =kπ2+π8(k ∈Z)， 当k =0时，x =π8， 当k =1时，x =11π24或5π8， 当k =2时，x =23π24或9π8， 当k =3时，x =35π24， 故所有的交点的横标之和为：π8+11π24+5π8+23π24+9π8+35π24=19π4，故选项D 正确． 故选：AD.首先利用三角函数的平移变换求出函数的解析式，根据三角函数的性质可判断A ；求出 4x +π3整体的范围，即可判断B ；将x =7π24代入解析式中求值，即可判断C ；令g(x)=12，求出0<x <3π2内的所有的根，即可判断D.本题考查三角函数的据图求式问题，同时考查了三角函数的图象与性质间的联系，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，由直观图知，四边形A′B′C′D′是平行四边形，且边A′B′、A′D′分别在x′轴、y′轴上，∠B′A′D′=45∘，故四边形ABCD 是平行四边形，AB =A′B′=2，AD =2A′D′=2，∠BAD =90∘，则ABCD 是边长为2的正方形， 所以四边形ABCD 面积为4. 故答案为：4.根据题意，分析原图的性质，进而计算可得答案．本题考查斜二测画法的应用，涉及平面图形的直观图，属于基础题．14.【答案】−79【解析】 【分析】本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于中档题． 因为cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，利用二倍角公式求得cos(2π3−2α)的值． 【解答】解：因为 cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，∴cos(2π3−2α) =2cos 2(π3−α)−1=2×19−1=−79， 故答案为−79.15.【答案】1【解析】 【分析】本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于基础题． 由向量的数量积的可得向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >，即可得出答案．【解答】解：向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ⋅c ⃗ |a ⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >=2×cos 2π3=−1，所以向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影向量的模为1， 故答案为：1.16.【答案】√3+2√2+2√5【解析】 【分析】本题考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．取AF 的中点G ，分别在CC 1，BC 上取点H ，M ，使HC 1=14CC 1，BM =14BC ，连接EG ，GH ，HM ，EM.推导出GH//平面BFC 1，MH//平面BFC 1，从而可得平面EGHM//平面BFC 1.依次求出四条边的长度，由此能求出所求的截面周长． 【解答】解：如图，取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使HC1=14CC1，BM=14BC，连接EG，GH，HM，EM.又F，G分别是AA1，AF的中点，∴FG=14AA1.又AA1//CC1，AA1=CC1，∴FG//HC1，FG=HC1，∴四边形FGHC1为平行四边形，∴GH//FC1，GH=FC1，GH⊄平面BFC1,FC1⊂平面BFC1,∴GH//平面BFC1.∵HC1=14CC1，BM=14BC，∴MH//BC1，MH=34BC1，MH⊄平面BFC1,BC1⊂平面BFC1,∴MH//平面BFC1.又MH∩GH=H，MH，GH⊂平面EGHM，∴平面EGHM//平面BFC1.又AA1⊥平面ABC，AC=BC=2，E，F分别是AB，AA1的中点，AC⊥BC，AA1=4，∴AB=2√2，AF=A1F=2，∴EG=12BF=12√AF2+AB2=√3，GH=FC1=√A1F2+A1C12=2√2，HM=34BC1=34√BB12+B1C12=32√5.在△BEM中，BM=14BC=12，BE=√2，∠EBM=45∘，∴EM2=BM2+BE2−2BM⋅BEcos45∘=14+2−2×12×√2×√22=54，∴EM=√52，∴平面EGHM的周长为EG+GH+HM+EM=√3+2√2+32√5+√52=√3+2√2+2√5，即所求的截面周长为√3+2√2+2√5.故答案为：√3+2√2+2√5.17.【答案】解：(1)由a⃗//b⃗ 得，2×3−1×x=0，所以x=6，即b⃗ =(6,3)，由a⃗⊥c⃗得，2×y+1×2=0，所以y=−1，即c⃗=(−1,2).(2)由(1)得m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ =2(2,1)−(6,3)=(−2,−1)，n⃗=a⃗+c⃗=(2,1)+(−1,2)=(1,3)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(−2)×1+(−1)×3=−5，|m⃗⃗⃗ |=√(−2)2+(−1)2=√5，|n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√12+32=√10，所以cos⟨m⃗⃗⃗ ,n⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗|=√5×√10=−√22，所以向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为3π4.【解析】(1)利用向量共线的坐标运算，求出x，然后利用向量垂直，数量积为0，求解y，即可得到结果．(2)求出向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，然后求解向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角即可．本题考查向量共线以及向量垂直条件的应用，向量的数量积的求法，夹角的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)由于函数f(x)=√3sinωx⋅cosωx−cos2ωx+12=√32sin2ωx−12(2cos2ωx−1)=√32sin2ωx−122cos2ωx=sin(2ωx−π6)，∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为π4，∴T=π，∴2π2ω=π，故ω=1，∴f(x)=sin(2x−π6)；(2)由于(2b−a)cosC=ccosA，由正弦定理得(2sinB−sinA)cosC=sinC⋅cosA，∴2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB>0，2sinBcosC=sinB，∴sinB(2cosC−1)=0，∴cosC=12，∵0<C<π，∴C=π3；∴0<B<2π3，∴−π6<2B−π6<7π6，根据正弦函数的性质可知，f(B)是f(x)的最大值1，此时2B−π6=π2，即B=π3，∴A=π3，∴△ABC为等边三角形．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的性质求周期即可得解；(2)利用正弦定理及三角恒等变换可得C=π3，再由正弦型函数的性质及题意知f(B)=1求出B，即可判断三角形的形状．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意，10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005，(2)这100名学生化学成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)，化学成绩在区间[50,70)内的频率为0.45，在区间[50,80)内的频率为0.75，则化学成绩的中位数x0∈(70,80)，则有(x0−70)×0.03=0.05，解得x0≈71.67，所以这100名学生化学成绩的中位数为71.67.(3)由频率分布直方图知，化学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，40人，30人，20人，由数表知，数学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，20人，20人，25人，所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100−5−20−20−25=30(人).【解析】(1)利用给定的频率分布直方图的各小矩形面积和为1，计算作答．(2)利用频率分布直方图计算平均数、中位数的方法求解作答．(3)求出化学成绩在各分组区间内的人数，再按给定人数比的关系即可计算作答．本题考查了频率分布直方图，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ABD=45∘，则∠ADB=105∘，∴sin∠ADB=sin105∘=sin(60∘+45∘)=sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=√6+√24，由正弦定理BDsin∠BAD =ABsin∠ADB，∴BD=ABsin30∘sin105∘=√6(公理).(2)在△BCD中，BC=3√6，BD=√6，∠CBD=15∘+45∘=60∘，由余弦定理得CD=√BC2+BD2−2BC⋅BDcos60∘=√42，∴救援船所需时间为t=√4230(小时).【解析】(1)求出△ABD的三个内角，利用正弦定理可求出BD的长；(2)利用余弦定理求出CD，结合救援船行驶的速度可求得所需的时间．本题考查有关三角形知识的运算，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又∵BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴BC⊥平面ABF.∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF.(2)∵BF//CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF//平面CDE.∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB//平面CDE，又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴平面ABF//平面CDE，∵AF⊂平面ABF，∴AF//平面DCE.(3)如图过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.∵BC⊥AB，BC⊥BF，∴∠ABF就是二面角E−BC−A的平面角，∴∠ABF=120∘，∠FBN=60∘.∴BN=1BF=1，FN=√3，2∵AB=1，AD=√5，∠BAD=90∘，∴DN=√AD2+AN2=3.∵BC⊥平面ABF，BC⊂平面ABCD，∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，FN⊥AB，∴FN⊥平面ABCD，∴∠FDN是直线DF与平面ABCD所成的角，∴tan∠FDN=FNDN =√33，∴∠FDN=30∘.∴直线DF与平面ABCD所成的角为30∘.【解析】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．(1)由BC⊥BF，BC⊥AB得出BC⊥平面ABF，故BC⊥AF；(2)由AB//CD，BF//CE得平面ABF//平面CDE，于是AF//平面CDE；(3)过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.则可证明FN⊥平面ABCD，于是∠FDN为所求角，利用勾股定理求出FN，DN计算tan∠FDN即可得出∠FDN的大小．22.【答案】(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE.又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(2)解：连结AC交BE于M，连结FM.∵PA//平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，∴PA//FM.∴PFFC=AMCMPFFC=AMMC,又△AME∽△CMB，∴AMCM=AEBC=12AMCM=AEBC=12,∴PFFC=12PFFC=12.∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA//平面BEF.【解析】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．(1)根据BE⊥AD，BE⊥PD可得BE⊥平面PAD，故而平面BEF⊥平面PAD；(2)连结AC交BE于M，连结FM，根据线面平行可得PA//FM，于是PFFC PFFC=AMMC=AEBC=12.。
2021-2022学年山东省潍坊市重点学校高一(下)第一次段考语文试题(含答案)
2021-2022学年山东省潍坊市重点学校高一（下）第一次段考语文试卷一、选择题（1-10小题，每小题2分，共20分）1．（2分）下列加点字的读音，全部正确的一项是（）A．飨（xiǎng）士卒好（hǎo）美姬孰与君少长（zhǎng）B．要（yào）项伯奉卮（zhī）酒从百余骑（qí）C．戮（lù）力樊哙（kuài）瞋（chēn）目D．参乘（chéng）切而啖（tán）之如恐不胜（shèng）2．（2分）下列词语中，书写有误的一项是（）A．眼花缭乱单调枯萎抑扬顿挫鸦雀无声B．和谐统一曾出不穷余音绕粱轻拢慢捻C．幽愁暗恨天涯沦落千姿百态惊心动魄D．庄严肃穆一丝不苟栩栩如生淋漓尽致3．（2分）依次填入下面括号内的关联词语，恰当的一组是（）就举首都人民大会堂为例。
它的艺术效果中一个最突出的因素就是那几十根柱子。
（）在不同的部位上，这一列和另一列柱子在高低大小上略有不同，（）每一根柱子都是另一根柱子的完全相同的简单重复。
（）其他门、窗、檐、额等等，（）都是一个个依样葫芦。
A．即使但虽然也B．虽然但至于也C．虽然但即使却D．至于但虽然却4．（2分）下列句子，加点成语使用不正确的一句是（）A．昨天打碎玻璃的事情，虽然老师没有发现，但是他的心里还是惴惴不安。
B．小李正在和老赵喋喋不休地讲他昨晚发生地事。
C．同学们正端坐在教室里等老师上课，猝不及防，老师推门进来了。
D．老师虽然没有说，但对这件事知道的一清二楚。
5．（2分）下列句子中，有语病的一句是（）A．人们都说猫是老鼠的天敌，但有些养尊处优的猫，早把抓老鼠的本领忘得一干二净了。
B．对于如何调动学生的积极性，老师们发表了不少意见。
C．这个炼钢车间，由十天开一炉，变成五天开一炉，时间缩短了一倍。
D．我国大多数青年认为“诚实可信”是做人的准绳。
6．（2分）“谁为大王为此计者”中有两个“为”，注音和解释都正确的一项是（）A．wèi给wéi给B．wèi替wèi制定C．wèi为了wèi做D．wèi替给wéi制定7．（2分）下列文化文学常识的表述，不正确的一项是（）A．“望”指的是农历每月初一。
广东省深圳实验学校高中部2020-2021学年高一下学期第一阶段考试(月考)数学试题
广东省深圳实验学校高中部2020-2021学年高一下学期第一阶段考试（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数22i i 1z ，则z 的虚部是（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．已知6AB =，4AC =，则BC 的取值范围为 A ．(2,8)B ．[2,8]C ．(2,10)D ．[2,10]3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 在线段BE 上，且3BF FE =，记a BA =，b BC =，则CF =（ ）A ．2133a b +B ．2133a b -C ．1348a b -+D ．3548a b -4．已知 a b ， 是不共线的向量，AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，，，，若 A B C ，， 三点共线，则（ ） A ．+=2λμB ．=1λμ-C ．1λμ=-D ．1λμ=5．若非零向量 a b ， 满足 a b a -=，则（ ） A ．22a a b <- B ．22a a b >- C ．22b a b >-D ．22b a b <-6．在锐角ABC 中，已知()cos sin cos sin A B B C +=，则下列正确的结论为（ ） A ．4A π=B ．3B π=C ．A B =D ．4B π=7．满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．k =B ．012k <≤C ．12k ≥D ．012k <≤或k =8．已知P 是ABC 内一点，且满足2340PA PB PC ++=，记,,PAB PBC PAC 的面积依次为123,,S S S ，则123::S S S 等于 （ ） A ．2:3:4 B ．3:2:4 C ．4:2:3 D ．4:3:2二、多选题9．下列命题中错误的是（ ） A ．a b =的充要条件是a b =且//a b B ．若//,//a b b c 则//a c C ．若0a b ⋅=则0a =或0b = D ．a b a b a b -≤+≤+10．下列命题中正确的是（ ）A ．非零向量 、a b 满足 a b a b ==-，则 a 与 a b + 的夹角为 30B ．已知非零向量 、a b ，若 0a b ⋅>，则 、a b 的夹角为锐角C ．若 M 是 ABC 所在平面上的一点，且满足 ()()20MA MB MC MA MB +--=， 则 ABC 为等腰三角形D ．在 ABC 中，若点 P 满足 PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则 P 为 ABC 的垂心11．在ABC 中，已知222sin cos sin cos A B A C C +=，则下列结论中正确的是 （ ）A ．cosB B ．cos B =C ．1sin 2B =D ．tan B =12．已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： 12:103P a b θπ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭，22:13P a b θππ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦，34:10? :133P a b P a b ππθθπ⎡⎫⎛⎤->⇔∈->⇔∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，，其中正确的命题是（ ） A ．1P B ．2PC ．3PD ．4P三、填空题13．若(2,3)a =，(1,3)b =-，与b 方向相同的单位向量为e ，则a 在b 方向上的投影向量为___________．14．如图，在矩形OACB 中，,E F 分别为AC 和BC 上的中点，若OC mOE nOF =+，其中,,m n R ∈则m n +的值为_______．15．如图，在 ABC 中，13AN NC P =， 是 BN 上的一点，若 2299AP m AB BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则实数 m 的值为________.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C .且满足222,4a b c ab b +=+=.且△ABC 为锐角三角形，则△ABC 面积的取值范围为________.四、解答题17．设向量 ()()()122121a b c ===-，，，，，（1）若向量 a b λ- 与向量 c 平行，求 λ 的值； （2）若向量 b c μ+ 与向量 b c μ- 互相垂直，求 μ 的值.18．（1）已知向量 a b ， 的夹角为 60=2=1a b ︒，，，求 2a b + ； （2）已知 a b ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 ()()0a c b c --=，求 c 的最大值.19．在ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2An A =，且72m n ⋅=. （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 面积的最大值.20．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为2km ，1OC OD OA OB km ====，设COB θ∠=.(1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若3COD π∠=，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大;(2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段BC ，CD 和DA 组成，若BC CD =，则当θ为何值时，栈道的总长l 最长，并求l 的最大值.21．已知 ()()sin cos 1sin m t n t ααα=-=-+，，， （1）1t = 时，求 m n ⋅ 的取值范围； （2）若存在t ，使得 1m n ⋅=-，求 t 的取值范围.22．已知ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设APQ 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =.（1）求GA GB GC ++； （2）求证：111p q+=. （3）求12S S 的取值范围.参考答案1．C 【分析】本题可根据虚部的定义得出结果. 【详解】 因为复数22i i 12i 13i z，所以z 的虚部是1-， 故选：C. 2．D 【详解】BC AC AB =-.由向量三角不等式可得：AB AC AC AB AB AC -≤-≤+. 即210BC ≤≤. 故选D. 3．D 【分析】取a BA =，b BC =作为基底，把BE 、 BF 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF . 【详解】取a BA =，b BC =作为基底，则12BE a b =+.因为3BF FE =，所以3313344248BF BE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以33354848CF BF BC a b b a b =-=+-=-.故选：D. 4．D 【分析】本题主要考查了共线向量，向量的共线定理和相等向量问题，根据三点共线可判断//AB AC ，再根据向量的共线定理得()0AB nAC n =≠ ，最后利用相等向量的概念求解即可. 【详解】因为A B C ，，三点共线，所以//AB AC ，则()0AB nAC n =≠ ， 即()a b n a b λμ+=+ ，则1n n λμ=⎧⎨=⎩ ，故1λμ=故选：D. 5．B 【分析】由AC OA AB ==可判断OBC 是直角三角形，从而根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】 如图所示：设OA AB a OC b ===，，则CA a b =- ，2CB a b =- 因为a b a -= ，所以易知点A 是斜边OB 的中点，故OBC 是直角三角形， 则22a OB a b BC =-=，，根据直角三角形的性质，斜边大于直角边， 故22a a b >- ， 故选：B. 6．A 【分析】利用两角和的正弦公式化简得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求出角A 的值，即可得出结论.【详解】因为()()()cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B C A B A B A B A B π+==-+=+=+⎡⎤⎣⎦， 所以，cos cos sin cos A B A B =，因为B 为锐角，则cos 0B >，则sin cos A A =，故tan 1A =， 因为A 为锐角，故4A π=.故选：A. 7．D 【分析】由题意可得sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰有一个，解不等式可得. 【详解】解：如图，由题意得，sin6012k ︒=或012k <≤时，满足的三角形恰有一个，解得12sin 60k ===︒012k <≤， 故选：D【点睛】此题考查三角形解的个数的判断，数形结合是解决此题的关键，属于基础题. 8．C 【分析】延长PA 至D ，使得2PD PA =，延长PC 至F ，使得4PF PC =，延长PB 至E ，使得3PE PB =，得P 是DEF 的重心，设3DEFS S =，则PEFPDFPEDSSSS ===，利用面积公式得112PBCPEF S S =，18PACPDF SS =，16PABPDESS =可得答案.【详解】如下图，延长PA 至D ，使得2PD PA =，延长PC 至F，使得4PF PC =，延长PB 至E ，使得3PE PB =，因为2340PA PB PC ++=， 所以0PD PE PF ++=，故P 是DEF 的重心， 设3DEFS S =，则PEFPDFPEDSSSS ===，又1sin 2PEFS PE PF EPF S =⋅∠=，所以11111sin sin 223412PBCS PB PC EPF PE PF EPF S =⋅∠=⨯⨯⋅∠=， 1sin 2PDFS PD PF DPF S =⋅∠=，所以11111sin sin 22248PACS PA PC DPF PD PF EPF S =⋅∠=⨯⨯⋅∠=， 1sin 2PDES PD PE DPE S =⋅∠=，所以11111sin sin 22236PABSPA PB DPE PD PE EPD S =⋅∠=⨯⨯⋅∠=， 所以123111,,6128S S S S S S ===，则123::S S S 等于4:2:3. 故选：C.9．ABC 【分析】直接利用向量共线的充要条件,三角形法则的应用判断A 、B 、C 、D 的结论： 对于A: 利用a b =的充要条件判断； 对于B: 取特殊向量=0b ，进行否定； 对于C: 取特殊位置a b ⊥，进行否定；对于D:根据向量加、减法的三角形法则进行判断. 【详解】对于A: a b =的充要条件是a b =且方向相同，故A 错误；对于B: 若()//,//0a b b c b ≠， 则//a c ，若=0b ，则a c 、不一定平行.故B 错误； 对于C: 若0a b ⋅=， 也可能为a b ⊥，故C 错误；对于D:根据向量加、减法的三角形法则: a b a b a b -≤+≤+成立,故D 正确. 故选:ABC 10．ACD 【分析】对于A ，根据向量的加法与减法法则，易判断OAB 是等边三角形即可求解； 对于B ，根据向量的数量积定义即可求解；对于C ，根据向量的数量积判断得· 0CE BA = ，又根据E 为AB 中点，即可判断； 对于D ，根据题意，结合向量的运算得0PB CA = ，0PC AB = ，0PA BC =即可判断. 【详解】对于A ，如图，作OA a OB b ==， ，则a b AB -=，又a b OC += ，则由题意知OAB 是等边三角形，则可设a 与+a b 的夹角为 30AOC ∠=︒，所以A 正确；对于B ，设a 与b 的夹角为θ，则由···cos 0a b a b =>θ得cos 0θ> ，又因为[]0πθ∈， ，所以π02θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ，所以B 错误；对于C ，如图，取AB 中点为E ，连接CE ，因为()()()2?2220MA MB MC MA MB ME MC BA CE BA +--=-⋅=⋅=， 所以CE ⊥BA ，又E 为AB 中点，所以CA =CB ， 故三角形ABC 的形状一定是等腰三角形，所以C 正确；对于D ，由()···00PA PB PB PC PB PA PC PB CA PB CA =⇒-=⇒=⋅⇒⊥ 同理可得PC AB PA BC ⊥⊥， ，所以P 为ABC 的垂心，故D 正确. 故选ACD. 11．BC 【分析】利用同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式可得222a c b +-=，由余弦定理可得cos B ，利用同角三角函数基本公式进而可求sin B ，tan B 的值，即可得解． 【详解】解：因为222sin cos sin cos A B A C C ++=，可得222sin 1sin sin 1sin A B A C C +-=-，整理可得：222sin sin sin sin A B A C C -=-，所以由正弦定理可得222a c b +-=，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-===()0,B π∈，所以1sin 2B =，sin tan cos B B B ==故选：BC ． 12．AD 【分析】分别由1a b +>与1a b ->求得1cos 2θ>-与1cos 2θ< ，再结合向量夹角的范围判断即可.【详解】解：由题意得()2222?22cos 1a b a ba b a b θ+=+=++=+>解得1cos 2θ>- ，又因为[]0πθ∈， ，所以2π03θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ，所以P 1正确，P 2错误；同理由()2222?22cos 1a b a b a b a b θ-=-=+-=-解得1cos 2θ< ，又因为[]0πθ∈， ，所以ππ3θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， ，所以P 3错误，P 4正确. 故选：AD.13．1(4-【分析】根据投影向量的计算公式即可求解．【详解】 解：(2,3)a =，(1,3)b =-，所以211a b ⋅=⨯-，因为e 为b 方向相同的单位向量，所以11(1,,22e bb ⎛== ⎝=⎭， ∴a 在b 方向上的投影向量为：112||13a b e e e b ⋅-⋅=⋅=-+．所以a 在b 方向上的投影向量为1111,2224e ⎛⎛-=-=- ⎝⎭⎝⎭故答案为：14⎛- ⎝⎭．14．43【分析】 由平面向量的线性运算，化简得到2233OC OA OB OE OF =+=+，即可求解,m n 的值得到答案．【详解】 由题意，OC OA OB =+， 因为12OF OB BF OB OA =+=+,12OE OA AE OA OB =+=+, 所以两式相加得，()()133222OF OE OA OB OA OB OA OB OC +=+++=+=, 所以2233OC OF OE =+， 得23m n ==，所以43m n +=， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中根据平面向量的基本定理，合理进行向量的线性运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．19【分析】根据向量的线性运算得89AP mAB AN =+ ，再结合三点共线的性质得819m +=求解即可. 【详解】解：由题意得 ()222228999999AP m AB BC m AB AC AB mAB AC mAB AN ⎛⎫⎛⎫=++=++-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为,,B P N 三点共线，所以819m += 所以19m = 故答案为：19m =16．【分析】由余弦定理求出角C ，1sin 2ABC S ab C =，要求△ABC 面积的取值范围，只需求出a 边取值范围，根据正弦定理，将a 用角B 表示，结合B 范围，即可求解.【详解】2222221,cos 22a b c a b c ab C ab ++=-+==, 0,3C C ππ<<∴=， 由正弦定理得4sin sin sin a b A B B==，所以4sin()322sin B a B π+==+= 又△ABC 为锐角三角形，022032πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩B B ,得1,tan 62tan B B Bππ<<><< 所以28a <<，1sin 2ABC S ab C ==∈△.故答案为：.17．（1）54λ=；（2）1或1-.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算，结合平行向量的判定定理求解即可；(2)根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的判定定理求解即可.【详解】（1）()122a b λλλ-=--，， 向量 a b λ- 与向量 c 平行，()512225404λλλλ∴-+-=-=⇒= （2）因为 ()()()212221b c μμμμμ+=+-=-+，，，，()()()221221b c μμμμμ-=--=+-，，， ，因为 b c μ+ 与 b c μ- 互相垂直，所以 ()()0b c b c μμ+⋅-= ，即 ()()()()411110μμμμ-+++-=， ()()3110μμ∴-+=，解得 1μ= 或 1- .18．（1）223a b +=；（2【分析】（1）由()222a b a b +=+求解即可；（2）由题意得()2·c c a b =+ ，从而得2··cos c c a b θ=+ ，即2cos c θ=求解即可. 【详解】（1）222222=4444||||cos a b a b a b a b a b θ+++⋅=++ 144421122=++⨯⨯⨯= 223a b +∴= （2）()()()20a c b c a b c a b c --=⋅-⋅++= ()2c c a b ∴=⋅+ 2||||||cos c c a b θ∴=+||||cos c a b θθ∴=+= max 2c ∴=19．（1）3A π=；（2【分析】 （1）由72m n ⋅=结合三角恒等变换可得1cos 2A =，进而可解得A ； （2）由余弦定理结合基本不等式可得3bc ≤，进而可得面积的最大值.【详解】（1）由2(4,1),(cos ,cos 2)2A m n A =-= 221cos 4cos cos 24(2cos 1)22A A m n A A +⋅=-=⋅--22cos 2cos 3A A =-++ 又因为72m n ⋅=，所以272cos 2cos 32A A -++=，解得1cos 2A = 0,3A A ππ<<∴=.（2）在ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，且a =22222122b c bc b c bc ∴=+-⋅=+-. 222,32b c bc bc bc +≥∴≥-，3bc ∴≤，1sin 2ABC S bc A ∴==≤△等号当且仅当b c ==.所以ABC 20．(1) 当3πθ=时，郁金香种植面积最大；(2) 3πθ=时，l 的最大值为3 【分析】(1)求出ABCD BOC COD DOA S SS S =++,整理可得6ABCD S θπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭利用正弦函数的性质可求得最值；(2)利用余弦定理求得2sin2BC CD θ==，2cos DA θ=，相加可求出l ，进而可求其最值.【详解】 解：(1)由图可得：111sin sin sin 223236ABCD BOC COD DOA S S S S πθππθθπ⎛⎫⎛⎫=++=++--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭203θπ∴<<，则5666ππθπ<+<， sin 16πθ⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，此时62ππθ+=，可得3πθ=， ∴则当3πθ=时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理，2sin2BC θ==，2cos DA θ==， 4sin 2cos 022l θπθθ⎛⎫∴=+<< ⎪⎝⎭，令sin 2t θ=，则0t << ()22214sin 212sin 421243222l t t t θθ⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12t ∴=，即3πθ=时，l 的最大值为3. 【点睛】本题考查余弦定理的应用及三角函数的最值问题，是中档题.21．（1）112⎡-+⎢⎣，；（2）1t ≤-或1t ≥. 【分析】（1）由向量的数量积，同时结合换元法易得21·22x m n x =+- ，将问题转化为求二次函数的值域即可；（2）由向量的数量积易得()·sin cos sin cos 1m n t αααα=++=- ，根据sin cos 0αα+=与sin cos 0αα+≠分类讨论即可求解.【详解】（1）1t = 时，sin cos sin cos m n αααα⋅=++令 sin cos 4x πααααα⎫⎛⎫=+==+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎡⎣， 则 21sin cos 2x αα-= 2111222x m n x ⎡⋅=+-∈-+⎢⎣， （2）由题意得，存在t ，使得 ()sin cos sin cos 1m n t αααα⋅=++=-当 sin cos 0αα+= 时，sin cos 1αα=-，此时不存在t 使得方程有解当 sin cos 0αα+≠ 时，211sin cos 1112sin cos 2x t x x x αααα-++⎛⎫-===+ ⎪+⎝⎭)x ⎡∈⎣ 时，(]1112x x ⎛⎫+∈-∞- ⎪⎝⎭，，(0x ∈ 时，[)1112x x ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，， 1t ∴-≤-或1t -≥， 1t ∴≤-或1t ≥.22．（1）0；（2）证明见解析；（3）41,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，可得+2GB GC GD =，2GA GD =-，即可求出； （2）设,AB a AC b ==，可得1+p AP a p =，1+q Q b A q =，可得()AQ AP AG AP λ-=-，即可建立关系求得； （3）可得121sin 211+1+sin 2AP AQ BAC AP AQ S p q S p qAB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅⋅∠，再根111p q +=结合p 的范围求出.【详解】（1）延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，+2GB GC GD ∴=,G 是重心，2GA GD ∴=-，2+20GA GB GC GD GD ∴++=-=；（2）设,AB a AC b ==,AP pPB =，1+p AP a p =∴， AQ qQC =，1+q AQ b q∴=， ,,P G Q 三点共线，则存在λ，使得PQ PG λ=，即()AQ AP AG AP λ-=-， 即11++1+1+331+31+3q p p p a a b a b q p b a p p λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1+31+1+3p p p p q q λλλ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，整理得33211p q p q λ==-+， 即211p q p q -+=，即1121p q -=+，即111p q+=； （3）由（2）1+p AP AB p =，1+q AQ AC q =， 121sin 211+1+sin 2AP AQ BAC AP AQ S p q S p q AB AC AB AC BAC ⋅⋅∠⋅∴===⋅⋅⋅⋅∠， 111p q +=，1p q p =-，可知1p >， 2122222111111+1+1+211192+24S p q p p S p q p p p p p p p p ∴=⋅=⋅===+-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭-， 1p >，101p∴<<， 则当112p =时，12S S 取得最小值49，当11p =时，12S S 取得最大值12， 11p ≠，则12S S 的取值范围为41,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.。
2020-2021学年第一学期林启恩纪念中学高三第一学期第1次段考试题数学
2020-2021学年第一学期林启恩纪念中学高三第一次段考试题数 学（2020.09）命题人：吴伟海考试时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的选项．1．设集合{}|1M x x =>，{}2|1P x x =>，则下列关系中正确的是（ ） A ．M P P ⋃= B ．M P = C ．M P M ⋃= D ．M P P ⋂=2．若0a b >>,则下列不等关系中不一定成立的是( )A ．a c b c +>+B ．ac bc >C ．22a b >D >3．函数()1+lg f x x=-的定义域是( ) A ．[)4+∞，B ． ()10+∞，C ．()()4,1010，⋃+∞D ．[)()4,1010，⋃+∞ 4．已知,x y R ∈，那么“0xy >”是“0x >且0y >”的A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+则(2)f -=（ ）. A ．92- B ．72 C ．92 D ．72- 6．函数()3||2e=x x f x 的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知a =b =2log c =a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．b a c >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b c a >>8．若定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围（ ）A ．[][)1,13,-⋃+∞B ．[][]3,10,1--⋃C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[][]1,01,3-⋃二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有两个或两个以上的答案，漏选一个选项给3分，多选不给分．9．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．1y x =-B ．y x =C ．2y xD ．1()2x y = 10．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b +；B ．若,(0,)x y ∈+∞则lg lg 2lg lg x yx +⋅ C ．若a ∈R ，0a ≠，则44a a+； D ．若,x y ∈R ，0xy <，则2x y y x+≤-. 11．已知实数a ，b 满足等式1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列五个关系式中不可能成立的是（ ） A ．0b a << B ．0a b << C ．0a b << D ．0b a <<12．对于给定的实数()0a a <，关于x 的不等式210ax ax a +-->的解集可能是是（ ）A ．11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．∅ C ．()1,1,a a +⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,1a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确的答案写在题中横线上．13．命题：“0x R ∃∈，使得200104x +≤x -”的否定是_________ . 14．函数()2log 030x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 15．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.16．若关于x 的不等式()00xe ax b a --≥>（e 为自然对数的底数）在R 上恒成立，则ab 的最大值为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时必须写出必要的解题步骤、文字说明和计算结果．17．(满分10分)在①222b ac a c +=+，cos sin B b A =，cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.18．（满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19．（满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）若1AB =，2AD =，1AP =，求二面角D AE C --的平面角的余弦值.20．（满分12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量P 万件满足P ＝3﹣21x +（其中0≤x ≤2）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本（10+2P ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+20P）万元/万件. （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；（2）当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.21．（满分12分）已知椭圆（）过点（0，2），离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，求.22．（满分12分）已知函数()ln (),()x f x x ax a R g x e =-∈=（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明不等式22()()g x e ax e f x ->恒成立。
山东省临沂一中2021-2022学年高一上学期10月段考数学试卷 Word版含解析
2021-2022学年山东省临沂一中高一（上）10月段考数学试卷一、选择题：（共12个小题，每题5分，共60分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为( )A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．设函数f（x）=，则f（f（3））=( )A ．B．3 C ．D ．3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．B ．C ．D ．4．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．45．函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )A．0＜a ≤B．0≤a ≤C．0＜a ＜D．a ＞6．函数的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．67．集合M由正整数的平方组成，即M={1，4，9，16，25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，M对下列运算是封闭的是( )A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法8．已知函数y=使函数值为5的x的值是( )A．﹣2 B．2或﹣C．2或﹣2 D．2或﹣2或﹣9．函数y=的值域是( )A．（﹣∞，3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，2）∪（2，+∞）C．R D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）10．已知f（x2﹣1）的定义域为，则f（x﹣1）的定义域为( )A．[﹣2，1]B．[0，3]C．[﹣1，2]D．[﹣，]11．函数y=的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A．k＜0或k＞4 B．k≥4或k≤0 C．0≤k＜4 D．0＜k＜412．定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）( ) A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6二、填空题：（每小题4分，共16分）．13．已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，假如A∪B=R，那么a 的取值范围是__________．14．假如函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f （a）f（b），且f（1）=1，则=__________．15．若定义运算a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2﹣x）的值域是__________．16．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0，（2）f（）=f（x）（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=__________．三、解答题：（12+12+12+12+13+13=74′）17．已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，求m的取值范围．18．（1）设函数f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），求g（x）的表达式．（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣（1+x），求f（x）的解析式．19．已知f（x）=，试推断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．20．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P=，商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q=﹣t+40（1≤t≤30，t∈N）．（1）求这种商品日销售金额y与时间t的函数关系式；（2）求y的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．21．（13分）已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试推断该函数在R上的单调性；（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．22．（13分）已知函数y=x+有如下性质：假如常数t＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）已知f（x）=，x∈[﹣1，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g （x2）=f（x1）成立，求实数a的值．2021-2022学年山东省临沂一中高一（上）10月段考数学试卷一、选择题：（共12个小题，每题5分，共60分）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为( )A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由题意求出A的补集，然后求出（∁U A）∪B．【解答】解：由于全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则∁U A={0，4}，（∁U A）∪B={0，2，4}．故选C．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算力量．2．设函数f（x）=，则f（f（3））=( )A ．B．3 C ．D ．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出f（f（3））=f （）=+1，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f （）=+1=，故选D．【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类争辩的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】推断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】推断函数的定义域以及对应法则是否相同，推出结果即可．【解答】解：，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是相同函数．，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数．故选：C．【点评】本题考查函数的定义的应用，是基本学问的考查．4．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【考点】集合的包含关系推断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B 找出符合条件的集合．5．函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为( )A．0＜a ≤B．0≤a ≤C．0＜a ＜D．a ＞【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】依据a取值争辩是否为二次函数，然后依据二次函数的性质建立不等关系，最终将符合条件的求并集．【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数∴⇒0＜a ≤综上所述0≤a ≤故选B【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类争辩的数学思想，属于基础题．6．函数的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设=t，t≥0，则x=t2+2，将原函数式转化为关于t的二次函数式的形式，再利用二次函数的值域求出原函数的值域即可．【解答】解：设=t，t≥0，则x=t2+2，则函数等价于：y=2t2+t+3，t≥0，∵y=2t2+t+3在[0，+∞）上是增函数，∴y min=2×02+0+3=3．∴函数的最小值是3．故选A．【点评】本题主要考查了利用换元法函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题．7．集合M由正整数的平方组成，即M={1，4，9，16，25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，M对下列运算是封闭的是( )A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法【考点】元素与集合关系的推断．【专题】集合．【分析】依据对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的，利用排解法逐一推断即可．【解答】解：由于1+4=5∉M，所以此集合对加法运算不是封闭的；由于4﹣1=3∉M，所以此集合对减法运算不是封闭的；由于9÷4=2.25∉M，所以此集合对除法运算不是封闭的；数列M={1，4，9，16，25，…}的通项公式为：，数列中任意两个数的积还是一个数的平方，它还在此集合中，所以此集合对乘法运算是封闭的．故选：C．【点评】本题主要考查了元素和集合之间的关系，考查了对“集合对该运算是封闭”的理解和运用，还考查了排解法的运用，属于基础题．8．已知函数y=使函数值为5的x的值是( )A．﹣2 B．2或﹣C．2或﹣2 D．2或﹣2或﹣【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】分x≤0和x＞0两段解方程即可．x≤0时，x2+1=5；x＞0时，﹣2x=5．【解答】解：由题意，当x≤0时，f（x）=x2+1=5，得x=±2，又x≤0，所以x=﹣2；当x＞0时，f（x）=﹣2x=5，得x=﹣，舍去．故选A【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题，难度不大．9．函数y=的值域是( )A．（﹣∞，3）∪（3，+∞）B．（﹣∞，2）∪（2，+∞）C．R D．（﹣∞，2）∪（3，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】用分别常数方法，将式子变形成反比例型函数，依据反比例函数的值域，来求y的取值范围．【解答】解：∵=，∵，∴，∴函数y的值域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．故选择：B．【点评】本题是考查反比例函数的值域．属于基础题．10．已知f（x2﹣1）的定义域为，则f（x﹣1）的定义域为( )A．[﹣2，1]B．[0，3]C．[﹣1，2]D．[﹣，]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】f（x2﹣1）的定义域为，可得，即﹣1≤x2﹣1≤2．由﹣1≤x﹣1≤2，解出即可得出．【解答】解：∵f（x2﹣1）的定义域为，∴，∴﹣1≤x2﹣1≤2．由﹣1≤x﹣1≤2，解得0≤x≤3．则f（x﹣1）的定义域为[0，3]．故选：B．【点评】本题考查了函数的定义域求法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．11．函数y=的定义域为R，则实数k的取值范围为( )A．k＜0或k＞4 B．k≥4或k≤0 C．0≤k＜4 D．0＜k＜4【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；分类争辩；函数的性质及应用．【分析】y=的定义域要使给出的分式函数定义域为实数集，是指对任意实数x分式的分母恒不等于0，对分母的二次三项式进行分类争辩，分k=0，和k≠0争辩，当k≠0时，需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于0．【解答】解∵函数y=的定义域为R，∴kx2+kx+1对∀x∈R恒不为零，当k=0时，kx2+kx+1=1≠0成立；当k≠0时，需△=k2﹣4k＜0，解得0＜k＜4．综上，使函数的定义域为R的实数k的取值范围为[0，4）．故选：C．【点评】本题是在知道函数的定义域的前提下求解参数的范围问题，考查了数学转化思想和分类争辩思想，解答此题时简洁忽视k=0的状况导致解题出错，此题是基础题．12．定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，又f（7）=6，则f（x）( ) A．在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B．在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6C．在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是6D．在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞）上是减函数，∴函数f（x）在x=7时，函数取得最大值f（7）=6，∵函数f（x）是偶函数，∴在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6，故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的推断，依据偶函数的对称性是解决本题的关键．二、填空题：（每小题4分，共16分）．13．已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，假如A∪B=R，那么a 的取值范围是（﹣∞，2]．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，A∪B=R，∴a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意并集的性质的合理运用．14．假如函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=1，则=2022．【考点】函数的值；抽象函数及其应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知得，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f （b），且f（1）=1，∴===1×2022=2022．故答案为：2022．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题的关键是得到．15．若定义运算a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2﹣x）的值域是（﹣∞，1]．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题意求出f（x）的解析式，再推断出函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：由a⊗b=得，f（x）=x⊗（2﹣x）=，∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，∴f（x）≤1，则函数f（x）的值域是：（﹣∞，1]，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查分段函数的值域，即每段值域的并集，也是一个新定义运算问题：取两者中较小的一个，求出函数的解析式并推断出其单调性是解题的关键．16．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0，（2）f（）=f（x）（3）f（1﹣x）=1﹣f（x），则f（）+f（）=．【考点】抽象函数及其应用．【专题】新定义．【分析】已知条件求出f（1）、f （）、f （）、f （）、f （）的值，利用当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），可求出f （）的值，从而求出所求．【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；③f（1﹣x）+f（x）=1，∴f（1）=1，令x=，所以有f （）=，又∵②f （）=f（x），令x=1，有f （）=f（1）=，令x=，有f （）=f （）=，f （）=f （）=，非减函数性质：当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），∴＜＜，有f （）≤f （）≤f （），而f （）==f （），所以有f （）=，则=．故答案为：【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，同时考查了计算力量和转化的思想，属于中档题．三、解答题：（12+12+12+12+13+13=74′）17．已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，求m的取值范围．【考点】集合的包含关系推断及应用．【专题】常规题型；计算题；分类争辩．【分析】解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的状况，再通过分类争辩的思想来解决问题．同时还要留意分类争辩结束后的总结．【解答】解：当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=∅，满足B⊆A，即m＜2；当m+1=2m﹣1，即m=2时，B=3，满足B⊆A，即m=2；当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，由B⊆A ，得即2＜m≤3；综上所述：m的取值范围为m≤3．【点评】本题考查的是集合包含关系的推断及应用．解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，满足空集的条件，并能以此条件为界进行分类争辩．18．（1）设函数f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），求g（x）的表达式．（2）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣（1+x），求f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）令x+2=t，则x=t﹣2，可得g（t）=f（t﹣2），即可得出．（2）利用函数的奇偶性即可得出．【解答】解：（1）令x+2=t，则x=t﹣2，∴g（t）=f（t﹣2）=2（t﹣2）+3=2t﹣1，把t换成x可得：g（x）=2x﹣1．（2）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（1+x），∴f（﹣x）=﹣（1﹣x），又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，f（x）=﹣f（﹣x）=（1﹣x）．∴f（x）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性、“换元法”求函数的解析式，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．19．已知f（x）=，试推断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并证明．【考点】函数单调性的推断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】运用单调性的定义推断得出：f（x1）﹣f（x2）==，运用定义推断符号，就可以得出f（x1）＜f（x2），利用单调性的定义推断即可．【解答】证明：设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．f（x1）﹣f（x2）==∵x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2．∴x1﹣x2＜0，x1+x2＞0，≥0，＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性的定义，关键是利用差比法分解因式，难度不大，属于中档题．20．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系式近似满足P=，商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式近似满足Q=﹣t+40（1≤t≤30，t∈N）．（1）求这种商品日销售金额y与时间t的函数关系式；（2）求y的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）设日销售金额为y元，则y=P•Q，利用分段函数写出函数表达式；（2）当1≤t≤24时，y=﹣（t﹣10）2+900，当25≤t≤30时，y=（t﹣70）2﹣900，分别求最值，从而得到分段函数的最值及最值点．【解答】解：（1）设日销售金额为y元，则y=P•Q，即，y=，t∈N；（2）当1≤t≤24时，y=﹣（t﹣10）2+900，故当t=10时，y max=900；当25≤t≤30时，y=（t﹣70）2﹣900，故当t=25时，y max=1125．故该商品日销售金额的最大值为1125元，且近30天中第25天销售金额最大．【点评】本题考查了同学将实际问题转化为数学问题的力量，同时考查了分段函数的应用，属于中档题．21．（13分）已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试推断该函数在R上的单调性；（3）求f（x）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的推断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=﹣x可得，f（﹣x）=﹣f（x）；（2）设x1＜x2，由条件可得f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＜0，从而可得结论；（3）依据函数为减函数，得出f（12）最小，f（﹣12）最大，关键是求出f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=﹣8，问题得以解决【解答】解（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（2）任取x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），∴f（x）为R上的减函数，（3）∵f（x）在[﹣12，12]上为减函数，∴f（12）最小，f（﹣12）最大，又f（12）=f（6）+f（6）=2f（6）=2[f（3）+f（3）]=4f（3）=﹣8，∴f（﹣12）=﹣f（12）=8，∴f（x）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣8【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性及函数的最值，赋值法是解决抽象函数的常用方法，属于中档题．22．（13分）已知函数y=x+有如下性质：假如常数t＞0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）已知f（x）=，x∈[﹣1，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g （x2）=f（x1）成立，求实数a的值．【考点】函数单调性的推断与证明；函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）依据条件，先变形f（x）=，可令x+2=u，1≤u≤3，而函数u=x+2为增函数，从而依据复合函数的单调性及已知的性质便可得出f（x）的减区间为[﹣1，0]，增区间为[0，1]，进一步便可得出f（x）的值域为[﹣2，﹣1]；（2）依据题意便知f（x）的值域为g（x）的子集，而简洁求出g（x）的值域为[﹣1﹣2a，﹣2a]，从而得出，这样即可得出实数a的值．【解答】解：（1）y==x+2+﹣6；设u=x+2，x∈[﹣1，1]，1≤u≤3，u=x+2为增函数；则y=u+﹣6，u∈[1，3]；由已知性质得，①当1≤u≤2，即﹣1≤x≤0时，f（x）单调递减；∴f（x）的减区间为[﹣1，0]；②当2≤u≤3，即0≤x≤1时，f（x）单调递增；∴f（x）的增区间为[0，1]；由f（﹣1）=﹣1，f（0）=﹣2，f（1）=；得f（x）的值域为[﹣2，﹣1]；（2）g（x）=﹣x﹣2a为减函数，x∈[0，1]；故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]；由题意，f（x）的值域是g（x）的值域的子集；∴；∴；即实数a 的值为．【点评】考查分别常数法的运用，复合函数的单调性及单调区间的求法，一次函数的单调性，依据函数单调性求函数的值域，以及子集的概念．。
2021年高一数学上学期段考试卷(含解析)
2021年高一数学上学期段考试卷（含解析）一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1B． 2 C． 3 D．42．（5分）的定义域是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣∞，0）∪（0，1] D．[1，+∞）3．（5分）下列各组函数表示同一个函数的是（）A．f（x）=和g（x）=x+1 B．f（x）=和g（x）=C．f（x）=x和g（x）=（）2D．f（x）=x2﹣2x﹣1和g（t）=t2﹣2t ﹣14．（5分）若集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，则下列对应法则中不能从P 到Q建立映射的是（）A．y= B．C．D．5．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点（2，a），则f（1）等于（）A．B．a C．1 D．不能确定6．（5分）如图所示，当ab＞0时，函数y=ax2与f（x）=ax+b的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）若函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．8．（5分）已知f（x）=1﹣（x﹣a）（x﹣b），并且m，n是方程f（x）=0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b9．（5分）设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[0，10] B．（﹣∞，﹣2]∪[0，1] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，10] D．[﹣2，0]∪[1，10]10．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4] B．[，3] C．[，4] D．[，+∞）二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x+1）+f（1﹣2x）的定义域为．12．（5分）幂函数在（0，+∞）为增函数，则m的值为．13．（5分）若函数在[﹣2，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为．14．（5分）函数f（x）=，（1≤x≤2）的值域为．15．（5分）设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是．三、解答题（75分）16．（12分）已知全集U=R，集合A={y|y=3﹣|x|，x∈R，且x≠0}，集合B是函数的定义域．（Ⅰ）求集合A、B（结果用区间表示）；（Ⅱ）求A∩（∁U B）．17．（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）=﹣8，f（4）=f（﹣2）=0．（1）求f（x）的解析式，并求出函数的值域；（2）若f（x﹣2）=x2﹣12，求x的值．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）判断函数在（3，+∞）上的单调性并证明你的结论．20．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．21．（14分）设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足三个条件：①对任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=﹣1．（1）求f（1）和f（）的值；（2）判断并证明y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若存在正数k，使不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2有解，求正数k的取值范围．安徽省亳州一中南校xx学年高一上学期段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：集合的含义．专题：阅读型．分析：据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对解答：解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错对于②，∅是任意集合的子集，故②对对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错故选C点评：本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．2．（5分）的定义域是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（﹣∞，0）∪（0，1] D．[1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据题意可得，解不等式可求解答：解：根据题意可得解得x≤1且x≠0所以函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]故选C点评：本题考查了求函数的定义域的最基本的类型①分式型：分母不为0②偶次根式型：被开方数大于（等于）0，求函数定义域的关键是根据条件建立不等式，从而解不等式（组）．3．（5分）下列各组函数表示同一个函数的是（）A．f（x）=和g（x）=x+1 B．f（x）=和g（x）=C．f（x）=x和g（x）=（）2D．f（x）=x2﹣2x﹣1和g（t）=t2﹣2t﹣1考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：当两个函数的定义域相同，且它们的对应法则也相同时，两个函数是同一个函数．由此对各个选项分别加以判断，比较其中两个函数的定义域和对应法则，不难得到正确答案．解答：解：对于A，由于f（x）=的定义域是{x|x≠0}，而g（x）=x+1的定义域是R，所以两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；对于B，f（x）==|x|，而g（x）=，两个函数对应法则不同，故不是同一函数；对于C，f（x）=x的定义域是R，而g（x）=（）2的定义域是[0，+∞），所以两个函数的定义域不同，故不是同一个函数；对于D，f（x）=x2﹣2x﹣1和g（t）=t2﹣2t﹣1的定义域都是R，且对应法则相同所以它们是同一个函数故答案为：D点评：本题给出几组函数，要我们找到同一函数的一组，着重考查了函数的定义域、对应法则等函数的基本概念等知识，属于基础题．4．（5分）若集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，则下列对应法则中不能从P到Q建立映射的是（）A．y= B．C．D．考点：映射．专题：计算题．分析：根据x和y的取值范围，按照映射的概念直接进行判断即可．解答：解：在y=中，在P中取x=4，在Q中没有y=与之相对应，∴在y=这个对应法则中不能从P到Q建立映射．故选A．点评：本题考查映射的概念，解题时要注意映射的构成条件．5．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点（2，a），则f（1）等于（）A．B．a C．1 D．不能确定考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的性质即可求解．解答：解：设幂函数为f（x）=xα，则f（1）=1α=1，故选：C．点评：本题主要考查幂函数的性质，根据幂函数横过定点（1，1）即可得到结论，比较基础．6．（5分）如图所示，当ab＞0时，函数y=ax2与f（x）=ax+b的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据题意，ab＞0，即a、b同号，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．解答：解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；此时，没有选项符合，当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；此时，D选项符合，故选D．点评：本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．7．（5分）若函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．考点：复合函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间．解答：解：要使函数有意义，则2x2﹣5x﹣42＞0，解得x＞6或x．设t=2x2﹣5x﹣42，则函数t=2x2﹣5x﹣42在（6，+∞）上单调递增，y=也单调递增，y=单调递减，即此时函数的单调递减区间为（6，+∞）．函数t=2x2﹣5x﹣42在（﹣∞，）上单调递减，y=也单调递减，y=单调递增，即此时函数的单调递增区间为（﹣∞，）．故选D．点评：本题主要考查复合函数单调性的判断，先求出函数的定义域是解决本题的关键，利用函数单调性之间的关系进行判断复合函数的单调性．8．（5分）已知f（x）=1﹣（x﹣a）（x﹣b），并且m，n是方程f（x）=0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：先设g（x）=﹣（x﹣a）（x﹣b），从条件中得到f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移1个单位得到，然后结合图象判定实数a、b、m、n的大小关系即可．解答：解：设g（x）=﹣（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=1﹣（x﹣a）（x﹣b），分别画出这两个函数的图象，其中f（x）的图象可看成是由g（x）的图象向上平移1个单位得到，如图，由图可知：m＜a＜b＜n．故选A．点评：本题考查了二次函数的图象及图象变换，通过图象比较零点的大小，数形结合有助于我们的解题，形象直观．9．（5分）设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[0，10] B．（﹣∞，﹣2]∪[0，1] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，10] D．[﹣2，0]∪[1，10]考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：压轴题．分析：因为f（x）是分段函数，在x＜1或x≥1的两段上都有可能满足f（x）≥1，所以应分段求解．解答：解：f（x）≥1等价于解得：x≤﹣2或0≤x＜1．或解得：1≤x≤10综上所述，x≤﹣2或0≤x≤10．故选A．点评：本题考查分段函数不等式的求解方法．10．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4] B．[，3] C．[，4] D．[，+∞）考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解．解答：解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案为：[，3]点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x+1）+f（1﹣2x）的定义域为[﹣，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x+1，u=1﹣2x，由f（x）的定义域为[﹣2，2]，得t=x+1∈[﹣2，2]，且u=1﹣2x∈[﹣2，2]，解出不等式组即可．解答：解：令t=x+1，u=1﹣2x，∵f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴t=x+1∈[﹣2，2]，且u=1﹣2x∈[﹣2，2]，解得﹣x≤1，故f（x+1）+f（1﹣2x）的定义域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．点评：本题考查函数的定义域及其求法，属基础题，函数的定义域为自变量x的范围，且y=f（x）与y=f（t）的定义域相同．12．（5分）幂函数在（0，+∞）为增函数，则m的值为1．考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．解答：解：∵函数是幂函数．∴可得m2﹣4m+4=1，解得m=1或3．当m=1时，函数为y=x3在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意，当m=3时，函数为y=x﹣1在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．故答案为：1．点评：本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．13．（5分）若函数在[﹣2，+∞）上为减函数，则实数m的取值范围为（﹣2，﹣1]．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先判断出，则根据复合函数的单调性关系可知，[﹣2，+∞）是函数t=g（x）=x2﹣4mx+12的单调递增区间，结合定义域确定不等关系，即可求出m的取值范围．解答：解：∵，∴要使函数在[﹣2，+∞）上为减函数，设t=g（x）=x2﹣4mx+12，则[﹣2，+∞）是函数t=g（x）=x2﹣4mx+12的单调递增区间，且g（﹣2）＞0，即t=g（x）=x2﹣4mx+12的对称轴x=≤﹣2，解得m≤﹣1．又g（﹣2）=4+8m+12＞0，即8m＞﹣16，解得m＞﹣2，综上﹣2＜m≤﹣1．即实数m的取值范围为（﹣2，﹣1]．故答案为：（﹣2，﹣1]．点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用复合函数单调性之间的关系确定不等条件是解决本题的基本思路，确定分子大于0是解决本题的关键，利用对称轴和区间之间的关系，并结合函数的定义域是解决本题的难点，本题综合性较强．14．（5分）函数f（x）=，（1≤x≤2）的值域为[，1]．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：化简f（x）==2﹣，由于1≤x≤2，可得2≤x+1≤3，可得．可得，可得．即可得出．解答：解：f（x）==2﹣，∵1≤x≤2，∴2≤x+1≤3，∴．∴，∴．∴函数f（x）=，（1≤x≤2）的值域为．故答案为．点评：本题考查了基本函数的单调性与值域，属于基础题．15．（5分）设函数f（x）=若f（a）＞a，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域选择好解析式，分a≥0时，和a＜0时两种情况求解，最后取并集．解答：解：当a≥0时，，a＞2，矛盾，无解当a＜0时，，a＜﹣1．综上：a＜﹣1∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）点评：本题主要考查分段函数，一元一次不等式，分式不等式的解法，还考查了分类讨论思想和运算能力．三、解答题（75分）16．（12分）已知全集U=R，集合A={y|y=3﹣|x|，x∈R，且x≠0}，集合B是函数的定义域．（Ⅰ）求集合A、B（结果用区间表示）；（Ⅱ）求A∩（∁U B）．考点：交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）集合A={y|y=3﹣|x|，x∈R，且x≠0}={y|y＜3}，由此能够区间表示集合A；由集合B是函数的定义域，知集合B={x|}={x|x≤1，且x≠﹣1}，由此能用区间表示集合B．（Ⅱ）由全集U=R，A=（﹣∞，3），B=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1]，知C U B={﹣1}∪{x|x＞1}，由此能求出A∩（C U B）．解答：解：（Ⅰ）∵集合A={y|y=3﹣|x|，x∈R，且x≠0}={y|y＜3}，∴A=（﹣∞，3）．∵集合B={x|}={x|x≤1，且x≠﹣1}，∴B=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1]．（Ⅱ）∵全集U=R，A=（﹣∞，3），B=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1]，∴C U B={﹣1}∪{x|x＞1}，∴A∩（C U B）={﹣1}∪{x|1＜x＜3}．点评：本题考查集合的交、并、补集的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．17．（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）=﹣8，f（4）=f（﹣2）=0．（1）求f（x）的解析式，并求出函数的值域；（2）若f（x﹣2）=x2﹣12，求x的值．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值域；函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用条件f（4）=f（﹣2）=0．可得二次函数的两个零点4，﹣2，设二次函数的方程，利用f（0）=﹣8确定二次函数的方程即可．（2）由f（x﹣2）=x2﹣12，直接解方程即可．解答：解：∵f（4）=f（﹣2）=0，∴二次函数的两个零点4，﹣2，设f（x）=a（x﹣4）（x+2），（a≠0）∵f（0）=﹣8，∴f（0）=﹣8a=﹣8，解得a=1，∴f（x）=（x﹣4）（x+2）=x2﹣2x﹣8，又f（x）=x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9≥﹣9，∴函数的值域为[﹣9，+∞）．（2）∵f（x）=（x﹣4）（x+2），∴由f（x﹣2）=x2﹣12，得f（x﹣2）=（x﹣2﹣4）（x﹣2+2）=（x﹣6）x=x2﹣12，即x2﹣6x=x2﹣12，∴6x=12，解得x=2．点评：本题主要考查二次函数解析式的求法，以及二次函数的性质，要求熟练掌握二次函数的相关性质．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}．（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：求出集合A中不等式的解集，确定出A，（1）分a大于0与a小于0两种情况考虑，求出A为B子集时a的范围即可；（2）要满足A与B交集为空集，分a大于0，小于0和等于0三种情况考虑，求出a的范围即可．解答：解：由集合A中的不等式x2﹣6x+8＜0，解得：2＜x＜4，即A={x|2＜x＜4}，（1）当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，由A⊆B，得到，解得：≤a≤2；当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，由A⊆B，得到，无解，当a=0时，B=∅，不合题意，∴A⊆B时，实数a的取值范围为≤a≤2，且a≠0；（2）要满足A∩B=∅，分三种情况考虑：当a＞0时，B={x|a＜x＜3a}，由A∩B=∅，得到a≥4或3a≤2，解得：0＜a≤或a≥4；当a＜0时，B={x|3a＜x＜a}，由A∩B=∅，得到3a≥4或a≤2，解得：a＜0；当a=0时，B=∅，满足A∩B=∅，综上所述，a≤或a≥4．点评：此题考查了交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．（12分）判断函数在（3，+∞）上的单调性并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用定义法判断函数的单调性，并证明．解答：解：函数为增函数．证明：任取3＜x1＜x2，则∵3＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞（3﹣1）（3﹣1）=4∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以：函数f（x）在（3，+∞）上为单调递增函数．点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用定义法或性质法是解决此类问题的基本方法．20．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b，（a≠0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由于函数f（x）=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，分当a＞0时、当a＜0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．（2）由题意可得可得，g（x）=x2﹣（m+2）x+2，根据条件可得≤2，或≥4，由此求得m 的范围．解答：解：（1）由于函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b=a（x﹣1）2+2+b﹣a，（a≠0），对称轴为x=1，当a＞0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，由题意可得，解得．当a＜0时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递减，由题意可得，解得．综上可得，，或．（2）若b＜1，则由（1）可得，g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（m+2）x+2，再由函数g（x）在[2，4]上为单调函数，可得≤2，或≥4，解得m≤2，或m≥6，故m的范围为（﹣∞，2]∪[6，+∞）．点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），并且满足三个条件：①对任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=﹣1．（1）求f（1）和f（）的值；（2）判断并证明y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）若存在正数k，使不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2有解，求正数k的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用赋值法，求f（1）和f（）的值．（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．解答：解：（1）∵任意正数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y）；∴令x=y=1得，f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，∵f（3）=﹣1，∴令x=3，y=，则f（3×）=f（3）+f（），即f（1）=f（3）+f（），∴f（）=f（1）﹣f（3）=0﹣（﹣1）=1．f（）=f（）=f（）+f（）=2f（）=2×1=2．（2）y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．证明：设x1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2=tx1，（t＞1），则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f（tx1）=f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）=﹣f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0；∴f（t）＜0，即f（x1）﹣f（x2）=﹣f（t）＞0，∴f（x1）＞f（x2），即y=f（x）在（0，+∞）上的单调递减．（3）∵f（）=2，∴不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2等价为f（kx）+f（2﹣x）＜f（），即f[kx（2﹣x）]＜f（），∵函数在（0，+∞）上的单调递减．∴，即，∵当x∈（0，2）时，y=，∴k．点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法，利用抽象函数恒成立，可以将条件进行转换．39751 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2021-2022学年浙江省杭州市余杭第一中学年高一下学期阶段测试数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市余杭第一中学年高一下学期阶段测试数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数()()3i 2i z =-+，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．1C ．7iD ．7【答案】B【分析】由复数代数形式的乘法运算再结合复数虚部的概念，即可求解. 【详解】∵()()3i 2i 7i z =-+=+∴z 的虚部为1. 故选：B ．2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A B C D ''''是边长为2的菱形，且2O D ''=，则原平面图形的周长为（ ）A ．424+B ．464+C ．82D ．8【答案】B【分析】利用斜二测画法还原直观图即得. 【详解】由题可知2,45O D A D A O D '''''''==∠=， ∴22O A ''=，还原直观图可得原平面图形，如图，则24,2OD O D OA O A AB DC ''''======，∴AD =∴原平面图形的周长为4. 故选： B.3．已知平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线【答案】D【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答. 【详解】平面向量a ，b 不共线，46AB a b =+，3BC a b =-+，3CD a b =+， 对于A ，3(3)6BD BC CD a b a b b =+=-+++=，与AB 不共线，A 不正确； 对于B ，因46AB a b =+，3BC a b =-+，则AB 与BC 不共线，B 不正确； 对于C ，因3BC a b =-+，3CD a b =+，则BC 与CD 不共线，C 不正确； 对于D ，46(3)393AC AB BC a b a b a b CD =+=++-+=+=，即//AC CD ， 又线段AC 与CD 有公共点C ，则A ，C ，D 三点共线，D 正确. 故选：D4．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为（ ） AB ．1CD 【答案】D【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面半径为r ， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则21222l r l r ππππ=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得221,4r l ==，则圆锥的高h 故选：D.5．设m R ∈， 向量 ()()(),1,4,,1,2a m b m c ===-， 则 //a b 是 a c ⊥ 的 （ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据向量共线与垂直的坐标表示，求得m 的值，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，向量()()(),1,4,,1,2a m b m c ===-， 因为//a b ，可得240m -=，所以2m =±； 又因为a c ⊥，可得20m -=，所以2m =， 则//a b 是a c ⊥的必要不充分条件. 故选：B.6．若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交【答案】C【详解】l 与l 1，l 2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图所以l 至少与1l ，2l 中的一条相交. 故选:C ．7．已知向量a e ≠，1e =，满足对任意t R ∈，恒有a te a e -≥-，则（ ） A ．0a e ⋅= B ．()0a a e ⋅-= C ．()0e a e ⋅-= D ．()()0a e a e +⋅-=【答案】C【分析】对a te a e -≥-两边平方，可得关于t 的一元二次不等式 22210t a et a e -⋅+⋅-≥对任意t R ∈恒成立，进而有0∆≤，即2(1)0a e ⋅-≤，从而即可求解.【详解】解：因为向量a e ≠，1e =，对任意t R ∈，恒有a te a e -≥-， 所以22||||a te a e -≥-，即22210t a et a e -⋅+⋅-≥对任意t R ∈恒成立， 所以2(2)4(21)0a e a e ∆=⋅-⋅-≤，即2(1)0a e ⋅-≤， 所以10a e ⋅-=，即20a e e ⋅-=， 所以()0e a e ⋅-=， 故选：C.8．已知一圆锥底面圆的直径为333a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B 2C ．9322D 32【答案】B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =， 故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠， 所以30PBO ∠=︒； 所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=， 即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以126233r AA =，所以2a =即a 2 故选：B ．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．二、多选题9．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列各组条件中使得ABC 有两个解的是（ ） A ．23a =4b =，1cos 4A =B ．23a =8b =，13cos A =C ．15a =，4b =，π3A = D ．23a =，4b =，π6A =【答案】CD【分析】根据题意先求出sin A 的值，根据正弦定理可推得sin sin b AB a=，当sin 1B <，且b a >时，B 有两个解，即ABC 有两个解.【详解】A 项：因为sin 0A >，所以215sin 1cos 4A A =-=. 由正弦定理sin sin a b A B=可得，154sin 54sin 1223b A B a ⨯===>，B 无解，A 错误； B 项：因为sin 0A >，所以23sin 1cos 4A A =-=. 由正弦定理sin sin a b A B=可得，38sin 4sin 123b A B a ⨯===，π2B =只有一个解，B 错误；C 项：因为π3sin sin 32A ==，由正弦定理sin sin a b A B =可得，34sin 252sin 1515b A B a ⨯===<. 又b a >，所以B A >，此时B 有两个解，即ABC 有两个解，C 正确；D 项：因为π1sin sin 62A ==，由正弦定理sin sin a bA B =可得，14sin 32sin 1323b A B a ⨯===<.又b a >，所以B A >，此时B 有两个解，即ABC 有两个解，D 正确. 故选：CD.10．如图，在三棱锥P -ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝P A ＝6，BC ＝8，则（ ）A ．三棱锥D -BEF 的体积为6B ．直线PB 与直线DF 垂直C ．平面DEF 截三棱锥P -ABC 所得的截面面积为12D ．点P 与点A 到平面BDE 的距离相等 【答案】ACD【分析】A.根据P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝P A ＝6，BC ＝8，先求得V 三棱锥P -A BC ，再根据D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，得到V 三棱锥D -BEF ；B. 假设直线PB 与直线DF 垂直，利用线面垂直的判定定理得到PB ⊥平面DEF ， 与AB ⊥平面DEF 矛盾；C.根据 D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，则截面与PB 相交，交点为中点，论证其形状再求解；D. 论证//PA 平面DEF 即可.【详解】A.因为P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AB ＝P A ＝6，BC ＝8， 所以V 三棱锥P -A BC 111116864833232ABCSPA AB BC PA ==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 又因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， 所以11111//,3,622222BEFDE PA DE PA S BF EF AB BC ===⨯=⨯⨯=， 所以V 三棱锥D -BEF 1163633BEFSDE =⨯⨯=⨯⨯=，故正确； B. 若直线PB 与直线DF 垂直，因为P A ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥， 又 ,BC AB PAAB A ⊥= ，所以BC ⊥平面PAB ，所以 BC PB ⊥， 又 //EF BC ，所以 EF ⊥平面PAB ， 所以 EF PB ⊥，所以 PB ⊥平面DEF ， 易知 AB ⊥平面DEF ，矛盾，故错误；C.如图所示：取PB 的中点G ，连接GD ，GF ， 则11//,,//,22GF PA GF PA DE PA DE PA ==， 所以//,DE GF DE GF ，所以平面DEF 截三棱锥P -ABC 所得的截面为矩形GFED ， 其面积为11222431222DEFSEF DE =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故正确；D. 因为//DE PA ， DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ， 所以//PA 平面DEF ，所以点P 与点A 到平面BDE 的距离相等，故正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查几何体体积的求法，线面垂直的判定，线面平行的判定以及截面的面积问题，还考查了逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.三、填空题11．若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =___________. 【答案】3【分析】由题知1与其共轭复数1均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根为1， ∴其共轭复数1也是方程的根.由根与系数的关系知，()()()()1111b c ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，∴ 2b =-，3c =. 故答案为：3【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 12．设正四面体的内切球半径为r ，外接球半径为R ，则rR=______． 【答案】13【分析】在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，不妨设正四面体PABC 的棱长为a ，利用勾股定理求出外接球半径，进而得出内切球半径，可得答案．【详解】如图，在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，如图所示．不妨设正四面体PABC 的棱长为a ，则在ABC 中，22233sin 60333AF AD AC ==⋅⋅︒==． ∵PF ⊥底面ABC ，AF ⊂底面ABC ，∴PF AF ⊥，∴2222363PF AP AF a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭． ∵正四面体PABC 的外接球、内切球球心均为O ， ∴OP OA R ==，OF r =．∵OF PF OP =-，且在Rt AFO 中有222AF OF OA +=． ∴22236R R ⎫⎫+-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6R =，666r ==， ∴611236r R a ==． 故答案为：1313．已知一个三棱锥-P ABC ，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为______. 【答案】412π 【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==， ∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3， 则长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R ==∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为24142R． 故答案为412π． 【点睛】本题考查球内接多面体，考查学生的计算能力，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．14．平面向量a ，b 满足2a =，2a b a b ⋅=-，向量a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为__________． 【答案】15【分析】根据题中的等式建立关于θ和b 的方程，用 b 表示θ，再运用函数思想求解出答案.【详解】222222?·cos 44?·cos a b a b a b a b a b θθ⋅=-∴=+-，且 cos 0θ> 设(0)b b b =>，又 2a =，所以上式可化简为：2224cos 168cos b b b θθ=+-，即， 222216cos cos 04b b b θθ++-=，同时cos 0θ>cos θ∴==令()f b =()f b '∴=()f b ∴在(0上单调递减，在()+∞上单调递增 ()(min f b f ∴==，即， cos θ2cos θ的最小值为：215=⎝⎭故答案为：15.四、双空题15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知222a c b +-=，1b =，a =则B ∠=___________；ABC 的面积为___________．【答案】 6π 【分析】利用余弦定理可求得cos B ，由此得到B ∠；将,a b 代入已知等式可求得c ，利用三角形面积公式可求得结果.【详解】222a cb +-=，222cos 2ac b B ac +-∴==()0,B π∈，6B π∴∠=；又2313c c +-=，1c ∴=或2c =，1sin 2ABC S ac B ∴==△故答案为：6π【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用，属于基础题.五、解答题16．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值；(2)求a 与2a b -的夹角.【答案】(2)6π【分析】（1）先由(3)()3a b a b -⋅+=化简求出a b ⋅，再由222a a a b b b +⋅++=可求得结果， （2）先求出(2)a a b ⋅-，2a b -，然后利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）因为2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+=，所以22233a a b b -⋅-=，4233a b -⋅-=，得1a b ⋅=-，所以2224a b a a b b +=+⋅+=-（2）因为2(2)2426a a b a a b ⋅-=-⋅=+=， 2224444a b a a b b -=-⋅+=+所以(2)6cos ,(2)222a a b a a b a a b ⋅--===⨯-， 因为,(2)[0,]a a b π-∈，所以,(2)6a a b π-=， 即a 与2a b -的夹角为6π17．在①ac ②sin 3cA =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】详见解析【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：a b=(),0a b m m ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2ac m ⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==sin 3c A m==，则：c m ==若选择条件③： 可得1c m b m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin AB ，得5sin 6B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 2B B B +=， 得tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==． 若选择条件①：由sin sin a c A C =，得2sin sin 36a cππ=，得a =．解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②：由sin 3c A =，得2sin 33c π=，解得23c =，则23b c ==． 由sin sin a c A C =，得2sin sin 36a c ππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3=c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在．【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出． 18．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，1DA DC ==，12AA =，点E 是1D C 的中点．（1）求证：1//AD 平面EBD ；（2）求三棱锥1D BDE -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）16. 【分析】（1）连接OE ，利用中位线的性质得出1//AD OE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出1DD E S △，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）因为四边形ABCD 为矩形，且ACBD O =，则O 为AC 的中点，又因为E 为1CD 的中点，则1//OE AD ， 1AD ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD ，因此，1//AD 平面EBD ；（2）因为1DD CD ⊥，1CD =，12DD =且E 为1CD 的中点， 所以，111111242DD E CDD S S CD DD ==⋅=△△，在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C ，因此，1111136D BDE B DD E DD E V V S BC --==⋅=△. 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质. 19．如图所示，等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD ==，已知E ，F 分别为线段BC ，AB 上的动点（E ，F 可与线段的端点重合），且满足AF xAB =，BE yBC =.(1)求AE DF ⋅关于x ，y 的关系式并确定x ，y 的取值范围；(2)若AE DF ⊥，判断是否存在恰当的x 和y 使得y x 取得最大值?若存在，求出该最大值及对应的x 和y ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)412⋅=-+--y AE DF xy x ，[]0,1x ∈，[]0,1y ∈ (2)存在最大值2，12x =，1y = 【分析】（1）法一：先计算出AB AD ⋅，再把AE DF ，用，AB AD 表示出来，再按照数量积运算即可； 法二：建立直角坐标系，表示出AE DF ，，按照数量积的坐标运算计算即可. （2）先通过AE DF ⊥得到()224y x y +=-，再换元后利用双勾函数的内容求出最值即可. 【详解】（1）法一：由等腰梯形的性质可知60BAD ∠=， 即cos 1AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=，又DF AF AD xAB AD =-=-，1122y AE AB BE AB yBC AB y AB AD AB AB y AD ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()14122y y AE DF xAB AD AB yAD xy x ⎡⎤⎛⎫⋅=--+=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 由F ，F 分别为线段AB ，BC 上动点，故[]0,1x ∈，[]0,1y ∈.法二：以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，易得()0,0A ，()2,0B ，13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132,2DF xAB AD x ⎛=-=- ⎝⎭，322y AE AB yBC y ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭则1322412242y y AE DF x y xy x ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由E ，F 分别为线段AB ，BC 上动点，故[]0,1x ∈，[]0,1y ∈.（2）由AE DF ⊥可得4102y AE DF xy x ⋅=-+--=，则()224y x y +=-， 又0101y x ≤≤⎧⎨≤≤⎩解得11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]0,1y ∈. 故()242y y y x y -=+，令2y t +=，则2y t =-，即()1228y f t t x t ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭，[]2,3t ∈ 显然函数()f t 在[]2,3上单调递增，故当3t =即12x =且1y =时，y x取得最大值为2.。
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2021年高一下学期第一次段考题数学理
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．－1
2．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为
M （1，－1），则直线l 的斜率为
（ ）
A ．
B ．
C ．－
D ． －
3．两直线与平行，则它们之间的距离为（ ） A ． B ． C ． D ．
4．已知点，若直线过点与线段相交，则直线的
斜率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．点()在圆x +y －2y －4=0的内部，则的取值范围是 （ ） A ．－1<<1 B ． 0<<1 C ．–1<< D ．－<<1 6．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ）
A ．(x －3)2+(y +1)2=4
B ．(x －1)2+(y －1)2=4
C ．(x +3)2+(y －1)2=4
D ．(x +1)2+(y +1)2=4 7．圆与直线的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．随a 值变化而变化
8、设集合)}0()1()1(|),{(},4|),{(2
2
2
2
2
>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M 当时，的取值范围是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、
9．已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ． B ． 或
C ．
D ． 或
2
2
P
Q
x
y
A
图7
10．已知定义在实数集上的偶函数在区间（0，+）上是增函数，那么，和之间的大小关系为 ( )
A. y 1 < y 3 < y 2
B. y 1 <y 2< y 3
C. y 3 <y 1 <y 2
D. y 3 <y 2 <y 1
二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
11、与直线平行，并且距离等于3的直线方程是
12、圆：上的点到直线的距离最大值是
13、若直线与曲线恰有一个公共点，则实数的值为
14、在正三棱锥P —ABC 中，D 为PA 的中点，O 为△ABC 的中心，给出下列四个结论： ①OD ∥平面PBC ； ②OD ⊥PA ；③OD ⊥BC ； ④PA=2OD. 其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 16. （12分）已知函数(、b 是常数且>0，≠1)在区间[－，0]上有y max =3，y min =，试求和b 的值.
17. （14分）如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形， PD ⊥底面ABCD ，PD =AD . 求证：（1）平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求PC 与平面PBD 所成的角； 18．（14分）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上， 被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上． （1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围．
19（14分）已知圆C ：x 2+y 2-2x +4y -4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
20（14分）如图7,.已知圆O ：和定点A (2,1)， 由圆O 外一点向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足．(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系；
(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．
20（文）．已知圆及点．
（1）在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）若为圆上任一点，求的最大值和最小值； （3）若实数满足,求的最大值和最小值．
揭阳一中2011-xx学年度第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题答案
一、选择题：
1-5．CDDCD 6-10. BCCDA
二、填空题：
11．或；12．；13．﹤或；14．③④；
三、解答题：
15.解①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，
设所求的直线方程为y=kx,
将（-5，2）代入y=kx中，
得k=-，此时，直线方程为y=-x,
即2x +5y =0.
②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为=1，
将（-5，2）代入所设方程， 解得a =-，
此时，直线方程为x +2y +1=0.
综上所述，所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.
16. 解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－，0] ∴当x =－1时，u min =－1 当x =0时，u max =0
.
233
22222
3
225310)222253
1)10
11
0⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
=⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪
⎩
⎪
⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 17. 解.(1)∵PD ⊥底面ABCD ，
∴AC ⊥PD ，
又∵底面ABCD 为正方形，
∴AC ⊥BD ，而PD 与BD 交于点D ， ∴AC ⊥平面PBD ， 又AC 平面PAC ，
∴平面PAC ⊥平面PBD . （2）记AC 与BD 相交于O ，连结PO ，由（1）知， AC ⊥平面PBD ，
∴PC 在平面PBD 内的射影是PO ，
∴∠CPO 就是PC 与平面PBD 所成的角， ∵PD =AD ,
∴在Rt △PDC 中，PC =CD ，
而在正方形ABCD 中，OC =AC = CD ， ∴在Rt △POC 中，有∠CPO =30°. 即PC 与平面PBD 所成的角为30°. 18. 解： ⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1
（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程．
（Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时， 有或 ∴过A ′，⊙C 的两条切线为 令y ＝0，得 ∴反射点M 在x 轴上的活动范围是 19. 解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y =x +m ,
圆C 化为（x -1）2+(y +2)2=9,圆心C （1，-2），
则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N, 以AB为直径的圆经过原点，
∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，
∴|AN|=.
又|ON|=，
由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.
∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.
20.理解：（1）连为切点，，由勾股定理有
.
又由已知，故.
即：.
化简得实数a、b间满足的等量关系为：.
（2）由，得.
=.
故当时，即线段PQ长的最小值为
解法2：由(1)知，点P在直线l：2x + y－3 = 0 上.
∴| PQ |min = | PA |min，即求点A到直线l的距离.
∴| PQ |min = | 2×2 + 1－3 |
2 2 + 1 2
=
25
5.
（3）设圆P的半径为，
圆P与圆O有公共点，圆O的半径为
1，
即且.
而OP===
故当时，此时, ，.
得半径取最小值时圆P的方程为．
解法2：圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l’与l的交点P0.
r =
3
2 2 + 1 2
－1 =
35
5－1.
又l’：x－2y = 0,
解方程组，得.即P0(
6
5,
3
5).
∴所求圆方程为.
20文解：（1）∵点P（a，a+1）在圆上，
∴，∴,P（4,5），
∴, K PQ＝，
（2）∵圆心坐标C为（2,7），
∴，
∴，。
（3）设点（－2,3）的直线l的方程为：，
易知直线l与圆方程相切时，K有最值，∴，
∴∴的最大值为，最小值为.J32856 8058 聘27051 69AB 榫-39915 9BEB 鯫M32940 80AC 肬+38129 94F1 铱f5!9-G。