高中数学破题致胜微方法函数的周期性：抽象函数周期的求法 递推法 含答案
函数的周期性及其应用解题方法
函数的周期性及其应用解题方法方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(x＋a)＝1/f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝1/f(x＋a)＝f(x)，所以2a是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1/f(x)，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x ＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－7/3≤x≤5.v1.0 可编辑可修改分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3.由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．(*)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.解得－7/3≤x＜－1/3或－1/3＜x＜3或3＜x≤5.∴x的取值范围是答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M”等价于“N”、“M”变形为“N”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f(x)为偶函数，∴不等式(*)等价于f[|(3x＋1)(2x －6)|]≤f(64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f[|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64) |(3x＋1)(2x －6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.若漏掉(3x＋1)(2x－6)≠0，则这个转化就不等价了．。
高中数学抽象函数专题含答案-教师版
抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数， 求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共 一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题资料
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：12.利用周期性求函数解析式 Word版含解析
利用周期性求函数解析式周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。
今天我们就根据实际例子，看看如何利用周期性，求函数的解析式。
先看例题例：设f (x )是定义在区间(,)-∞+∞上，且以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(21,21)k k -+，已知当0x I ∈时，2()f x x =，求f (x )在k I 上的解析式解：由已知，当k =0时，0(1,1)I =-我们利用区间转移的方法，如果k x I ∈即0(21,21)2x k k x k I ∈-+⇒-∈ 121x k ⇒-<-<则有：2(2)(2)f x k x k -=-又因为该函数以2为周期，所以有(2)(),f x k f x -=所以函数在k I 上的解析式为：2()(2)f x x k =-一般规律：区间转移：将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。
进而求出，该区间上的函数解析式再看一个例题加深印象练：设f (x )是定义在R 上的奇函数，且其图象关于直线x =1对称，当[]2,0x ∈-时，()22.f x x x +＝当[]2,4x ∈时，求f (x )的解析式首先通过题目条件，证明函数为周期函数因为函数关于x =1对称，且函数为奇函数所以有()(2)()f x f x f x ＋＝－＝－又因为(2)()f x f x +=-所以：()()(4)(2)[]f x f x f x f x ＋＝－＋＝－－＝所以函数为周期函数，且周期T =4因为函数在[]2,0x ∈-上的解析式已知，所以由[]2,4,4[2,0],x x ∈-∈-可得：()22(4)2(4)(4)68.f x f x x x x x ----＝＝＋＝＋ 总结：1.根据题目条件，判断、证明函数为周期函数.2.将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间.3.根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式练习：1.设f (x )是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f (x )是偶函数，在区间2，3］上时，f (x )=－2(x －3)2+4，求当x ∈1,2］时f (x )的解析式.若矩形ABCD 的两个顶点A 、B 在x 轴上，C 、D 在y =f (x )(0≤x ≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y =f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在0，1］上是一次函数，在1，4］上是二次函数，且在x =2时，函数取得最小值，最小值为－5.(1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)试求y =f (x ),x ∈1,4］的解析式；(3)试求y =f (x )在4，9］上的解析式.答案：2. (1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).∴当0≤x ≤1时，f (x )=－3x ,当－1≤x ＜0时，f (x )=－3x ,当4≤x ≤6时，－1≤x －5≤1,∴f (x )=f (x －5)=－3(x －5)=－3x +15,当6＜x ≤9时，1＜x －5≤4,f (x )=f (x －5)=2(x －5)－2］2－5=2(x －7)2－5. ∴f (x )=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64( 1532x x x x .。
考点10 函数的周期性和对称性【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(解析版)
考点10函数的周期性和对称性1、常见的确定函数周期的条件函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见的确定函数周期的条件2、周期性的应用（1）求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．（2）判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（3）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．（4）奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用。
3、对称性的应用（1）函数自身的对称性①函数)(x f y =的图像关于点)(b a A ，对称的充要条件是：b x a f x f 2)2()(=-+，即b x a f x a f 2)()(=++-。
推论：函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 。
②函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称的充要条件是：)()(x a f x a f -=+，即)2()(x a f x f -=。
推论：函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -=。
（2）不同函数对称性①函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图像关于直线2ab x -=成轴对称。
②互为反函数的两个函数关于直线x y =对称。
考点一函数的周期性及应用1．（2022·广西桂林·高一期末）已知()f x 是以2为周期的函数，且()2,[1,1]f x x x =∈-，则()7f =（）A ．1B ．-1C ．±1D ．7【解析】因为函数()f x 是周期为2的周期函数，所以2k 为()f x 的周期，即(2)(),.f x k f x k Z +=∈所以()()()2716111f f f =+===.故选：A.2．（2022·江苏扬州·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（）A ．1716B ．54C ．2D ．1【解析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，∴1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B3．（2022·四川眉山·高一期末）若偶函数()f x 对任意x ∈R 都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则()113.5f =______．【解析】因为()()13f x f x +=-，所以()()()163f x f x f x +=-=+，所以()f x 周期为6，且为偶函数，当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，()()()()113.5186 5.5 5.50.5=⨯+==-f f f f ，()()10.530.5f f -+=--，所以()()10.5 2.5f f -=-，根据函数为偶函数()()2.5 2.510f f =-=-，所以()()110.5 2.510f f -=-=，即()1113.510=f .故答案为：110.4．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()21f x f x +=，若()15f =，则()5f -=______.【解析】令1x =-，()()111f f -=，则()115f -=.令3x =-，()()131f f --=，则()35f -=；令5x =-，()()351f f --=，则()155f -=.故答案为:155．（2022·广东揭阳·高一期末）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,其中R a ∈.若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2022f a 的值是____________.【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，92221115210f f ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11210a -+=-，解得25a =，所以()24424220222022808555555f a f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：25-.6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【解析】(1)∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭，∴317322332212f f f f⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭.(2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++==-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+，∴()()()1321f x x f x -+=+∴()3537x f x x +=-+.考点二函数的对称性及应用7．（2022·福建泉州·高一期末）写出一个满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)(3)f f >的函数()f x 的解析式__________．【解析】由(1)(1)f x f x +=-，可知函数()f x 关于1x =对称，所以()2()1f x x =--，又(0)1,(3)4f f =-=-，满足(0)(3)f f >.所以函数()f x 的解析式为()2()1f x x =--（答案不唯一）.故答案为：()2()1f x x =--（答案不唯一）.8．（2023·全国·高一专题练习）设函数()=y f x 的定义域为R ，则函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于（）A ．直线=1y 对称B ．直线=1x 对称C ．直线2y=对称D ．直线=2x 对称【解析】设函数3()=y f x -的图象上任意一点00()，P x y ，则00)3(=y f x -，00()，P x y 关于直线=2x 的对称点为00()4，Q x y -．又函数1()=y f x -中，当04=x x -时，00[()]()143==y f x f x ---，所以00()4，Q x y -在1()=y f x -的图象上．故函数3()=y f x -与函数1()=y f x -的图象关于直线=2x 对称，故选：D9．（2022·贵州·高一阶段练习（理））已知函数()f x 满足(2)()4f x f x ++-=-，函数()f x 与()3g x x =-图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则()51i i i x y =+=∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为(2)()4f x f x ++-=-，所以()f x 的图象关于点()1,2-对称，又()3g x x =-也关于点()1,2-对称，则函数()f x 与()3g x x =-图象的交点也关于点()1,2-对称，所以()()511255i i i x y =+=+-⨯=-⎡⎤⎣⎦∑；故选：B10．（2022·贵州·高一阶段练习（文））已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，函数()f x 与2()25g x x x =--图像的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，()55,x y ，则51i i x ==∑（）A ．-10B ．-5C ．5D ．10【解析】因为函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，所以(1)(1)f x f x +=-，即函数()f x 的对称轴为1x =，因为22()25(1)6g x x x x =--=--，所以由题知，函数()f x 与()g x 图像的5个交点满足123455x x x x x ++++=，即515i i x ==∑，故A ，B ，D 错误.故选：C.11．（2022·全国·高一单元测试）设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题：①若()y f x =是偶函数，则(2)y f x =+的图像关于y 轴对称；②若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图像关于直线2x =对称；③若(2)(2)f x f x -=-，则函数()y f x =的图像关于直线2x =对称；④(2)y f x =-与(2)y f x =-的图像关于直线2x =对称．其中正确命题的序号为________．【解析】若(2)y f x =+是偶函数，则(2)(2)f x f x +=-+，所以()y f x =的图象关于2x =对称，①错误，②正确；(2)(2)[(2)]f x f x f x -=-=--，令2x t -=即()()f t f t =-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，③错误；(2)y f x =-是将()f x 的图象向右平移2个单位而得，(2)[(2)]y f x f x =-=--是将()f x 的图象沿y 轴对称后再向右平移2个单位而得，因此(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于2x =对称，④正确.故答案为：②④12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()221x f x x =+．(1)求()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()133f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求证：()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定值；(3)求()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【解析】（1）因为()221x f x x =+，所以()2222112*********f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭+=++== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值；（3）由（2）知()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为()()111f f +=，()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……，()1202212022f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()()()()11121232021232021⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f f f f f ()1202220222022⎛⎫++= ⎪⎝⎭f f .考点三周期性与奇偶性结合13．（2022·浙江宁波·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．2022【解析】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.14．（2022·四川雅安·高一期末）若()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，则()()20212022f f +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】因为()f x 和()1f x +都是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=---，()()11f x f x +=--+，所以()()11f x f x --=-+，所以()()2f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()2021202210102110112010f f f f f f +=⨯++⨯+=+因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以()()11f x f x +=--+，所以()()11f f =-，即()10f =，所以()()()()20212022100f f f f +=+=.故选：A.15．（2022·河南新乡·高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()15f -=，则()()()120221f f f +++=L （）A ．10B ．10-C ．5-D ．5【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x -=，因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则()()2f x f x +=-，即()()4f x f x +=，所以()f x 的周期为4．因为()()115f f =--=-，()()200f f =-=，()()315f f =-=，()()400f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=，故()()()()()1220215050202115f f f f f +++=⨯+==-．故选：C16．（2022·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【解析】解法一：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．解法二：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．17．【多选】（2022·甘肃张掖·高一期末）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-.当(0,2)x ∈时，21()f x x x=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．19(24-=-f C ．()(+4)f x f x =D ．()22021=-f 【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，()f x 的图象关于原点对称，又函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，所以()(4)f x f x -=，则()(4)f x f x -=--，即()(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x +=，所以函数()f x 的周期8T =，故AC 错误；又当(0,2)x ∈时，21()f x x x =+，所以1119((22244⎛⎫-=-=-+=- ⎪⎝⎭f f ，故B 正确所以()()()()()()20212528+553312=⨯==-=-=-=-f f f f f f .故D 正确故选：BD.考点四对称性与周期性结合18．（2022·云南德宏·高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件：①1(3)()f x f x +=-；②对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(3)y f x =+的图像关于y 轴对称．则下列结论中正确的是A ．(3)(7)(4.5)f f f <<B ．(7)(3)(4.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(3)f f f <<D ．(3)(4.5)(7)f f f <<【解析】先由1(3)()f x f x +=-，得函数周期为6，得到f （7）=f （1）；再利用y=f （x+3）的图象关于y 轴对称得到y=f （x ）的图象关于x=3轴对称，进而得到f （1）=f （5）；最后利用条件（2）得出结论．因为1(3)()f x f x +=-，所以()()()()11613f x f x f x f x +=-=-=+-；即函数周期为6，故()()71f f =；又因为()3y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()y f x =的图象关于x=3对称，所以()()15f f =；又对任意123x x 6≤≤＜，都有()()12f x f x ＜；所以()()()()()3 4.5517f f f f f ==＜＜．故选:D ．19．（2022·贵州遵义·高一期末）对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，()()40f x f x ++-=.当01x ≤≤时，()21f x x =-.设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，53b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20234c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为____________.【解析】对R x ∀∈，函数()f x 满足()()11f x f x -=+，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()2f x f x =-①；函数()f x 满足()()40f x f x ++-=，则()f x 关于点(2,0)对称，所以()()4f x f x =--②；由①②得：()()24f x f x -=--，则()f x 是周期函数，周期为4T =所以5221113333b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭20232020333111444444c f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又01x ≤≤时，()21f x x =-，即()f x 在[0,1]x ∈上单调递减所以111432f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c b a >>.故答案为：c b a >>或a b c <<.20．（2022·浙江·杭十四中高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为（）A ．0B ．8C ．16D ．32【解析】()()2=-+f x f x ，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数.又()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称.()()()22∴+=-=--f x f x f x ，()()220∴++-=f x f x ，则函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，易知函数12y x =-的图象也关于点()2,0对称，如下图所示：函数12y x =-的图象与函数()y f x =在[)8,6--上没有交点，并且函数12y x =-在[)(]6,22,10-上的图象关于点()2,0对称，且函数()y f x =在区间[]6,10-上的图象也关于点()2,0对称，两个函数在区间[]6,10-上共有8个公共点，且这些公共点呈现4对关于点()2,0对称，因此，方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为4416⨯=.故选C.考点五单调性与对称性的结合21．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，并且对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（）A ．()()02f f >B ．()()11f f =-C ．()32ff <-D ．))2121ff>【解析】由函数()f x 对任意实数x 都有()()11f x f x +=-，可得函数()f x 关于1x =对称，又由对任意12,(,1)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，可得函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递减函数，则在区间(1,)+∞上单调递增函数，由0121-=-，所以()()02f f =，所以A 不正确；由1111-<--，所以()()11f f <-，所以B 不正确；3121-<--，所以()32f f <-，所以C 正确；211211--<-，所以))2121ff-<，所以D 不正确.故选：C.22．【多选】（2022·全国·高一）若函数f (x )满足：∀x ∈R ，f (x ＋2)＝f (2－x )，且12121212()(),[2,),0(),-∀∈+∞>≠-f x f x x x x x x x 则（）A ．f (0)＞f (3)B ．∀x ∈R ，f (x )≤f (2)C ．25(1)4f a a f ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≥D ．若f (m )＞f (3)，则1＜m ＜3【解析】由x ∀∈R ，()()22f x f x +=-，可得()f x 图象关于2x =对称，由[)12,2,x x ∀∈+∞，()()12120f x f x x x ->-，可得()f x 在[)2,+∞上单调递增，在(),2-∞上单调递减，当2x =时，()2f 最小，结合函数的单调性和对称性得：距离2x =越近函数值越小，则显然A 正确，B 不正确；对C ，2235121244a a a a -++-=-+≥=-，C 正确；对D ，()()3f m f >时，x m =距2x =更远，则21m ->，解得3m >或1m <，D 不正确．故选：AC.23．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解析】由函数()f x 的图象关于直线1x =对称可得()()31f f =-，结合奇函数的性质可知()3a f =-()()()311f f f =-=--=，()()200c f f ===.由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1-上单调递增，所以()()1012f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，所以b c a <<.故选：C24．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高一阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，其图象经过点()2,0，且对任意()121,x x ∈+∞、，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则不等式()()10x f x -≥的解集为（）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(][],01,2-∞D ．[][)0,12,+∞【解析】()()2f x f x =-，∴函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，该函数图象经过点()2,0，则()20f =，且有()00=f ，对任意()12,1,x x ∈+∞，且12x x ≠，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，可设12x x >，则120x x ->，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >.所以，函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由此可得该函数在(),1-∞上单调递减，当1x =时，符合题意；当10x -<时，即1x <时，则有()()00f x f ≤=，由于函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，由()()0f x f ≤，得0x ≥，此时01x ≤<；当10x ->时，即1x >时，则有()()02f x f ≥=，由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递增，由()()2f x f ≥，得2x ≥，此时2x ≥，综上所述，不等式()()10x f x -≥的解集为[][)0,12,+∞.故选：D.考点六单调性、奇偶性与周期性结合25．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，且f （x +1）=1()f x ，若f （x ）在[-1，0]上是减函数，那么f （x ）在[2，3]上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数【解析】因为函数f （x ）满足f （x +1）=1()f x ，所以()()()121f x f x f x +==+，所以()f x 是以2为周期的周期函数，又因为()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[-1，0]上是减函数，所以()f x 在[0，1]上是增函数，那么f （x ）在[2，3]上是增函数，故选：A26．（2022·全国·高一课时练习）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-且()f x 在[]0,2上是增函数，则（）A ．()()()111221f f f <<B ．()()()211211f f f <<C ．()()()112112f f f <<D ．()()()211112f f f <<【解析】()()4f x f x -=-()()()84f x f x f x ∴-=--=，即函数的周期是8，则()()()()()1133411f f f f f ==--=--=，()()()()()4400124f f f f f ==--=-=，()()()()()5541211f f f f f ==--=-=-，()f x 为奇函数，且在[]0,2上是增函数，则()f x 在[]22-,上是增函数，()()()101f f f ∴-<<，即()()()211211f f f <<.故选：B.27．（2022·河南·温县第一高级中学高一开学考试（文））已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的12,[4,8]x x ∈，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-；②(4)()f x f x +=-；③(4)y f x =+是偶函数；若(6)a f =，(11)b f =，(2017)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【解析】根据题意，若对任意的1x ，2[4x ∈，8]，当12x x <时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，若(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为8，若(4)y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象关于直线4x =对称，()6a f =，()()()1135b f f f ===，()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==，又由函数()f x 在区间[4，8]上为增函数，则有b a c <<；故选：C ．考点七奇偶性、周期性与对称性结合28．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．无法确定【解析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，119133*********f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.29．（2022·全国·兴国中学高一阶段练习（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(32)f x -为偶函数，(21)f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）①函数()f x 的图象关于直线1x =对称②函数()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称③函数()f x 的周期为4④(2023)0f =A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【解析】因为(32)f x -为偶函数，所以(32)(32)f x f x -=--，所以(2)(2)f x f x -=--，()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线1x =对称，①错误；因为(21)f x -为奇函数，所以(21)(21)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故②正确，由①可知，()(4)f x f x =--，由②可知，()(2)f x f x =---，故有(4)(2)f x f x --=---，令x x =-，则有(4)(2)f x f x -=--，所以()422T=---，解得4T =，所以函数()f x 的周期为4，故③正确；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故④正确．故选：C ．30．【多选】（2022·辽宁丹东·高一期末）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，则（）A ．()()11f x f x --=-+B ．()()4f x f x +=-C ．()f x 为偶函数D ．()3f x -为奇函数【解析】因为()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，所以()f x 图像关于()1,0对称，同时关于直线2x =对称；所以()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+，故A 选项错误；所以()()4f x f x +=-，()()()22f x f x f x -=-=+，故B 选项正确；所以()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 为周期函数，周期为4.所以()()()4f x f x f x +=-=，即函数()f x 为偶函数，故C 选项正确；所以()()()()()311213f x f x f x f x f x ⎡⎤-=+=--+=+-+=--⎣⎦，故函数()3f x -为奇函数，D 选项正确；故选：BCD31．（2022·内蒙古包头·高一期末）定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，若(1)2f =，则(20)(21)(22)f f f ++的值为（）A ．6B ．4C ．2D ．0【解析】∵定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-恒成立，∴()(2)()f x f x f x +=-=-，∴()(4)(2)f x f x f x +=-+=，又(1)2f =∴()()(20)5400f f f =⨯==，()()(21)54112f f f =⨯+==，()()()(22)542200f f f f =⨯+===，∴(20)(21)(22)2f f f ++=.故选：C.32．【多选】（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（）A ．()f x 图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()2f x f x -=【解析】由()f x 的对称中心为()0,0，对称轴为1x =，则()f x 也关于直线1x =-对称且()(2)f x f x =-，A 、D 正确，由A 分析知：()(2)()f x f x f x =-=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，则()()()2023202400g f f ===，B 正确；但不能说明()f x 最小正周期为4，C 错误；故选：ABD33．（2022·江苏南通·高一期末）已知f (x )是定义域在R 上的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -+=+，则下列结论不正确的是（）A ．f （4）＝0B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f （x ＋8）＝f (x )D ．若f （－3）＝－1，则f （2022）＝－1【解析】对于A ：因为f (x )是定义域在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又(2)(2)f x f x -+=+，令2x =-代入可得(4)(0)0f f ==，故A 正确；对于B ：因为(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 图象关于2x =对称，无法确定是否关于直线x ＝1对称，故B 错误；对于C ：因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=--，所以(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，故C 正确；对于D ：由C 选项可得，()f x 的周期为8，所以(2021)(25383)(3)1f f f =⨯-=-=-，故D 正确；故选：B34．【多选】（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数()f x ，R x ∈满足()()()492f x f x f =-+，又()9f x +的图像关于点()9,0-对称，且()12022f =，则（）A ．()20f =B ．()()()4445462022f f f ++=-C ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()1,3-对称D ．1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于点()3,3对称【解析】令2x =，由()()()492f x f x f =-+得：()()()()2292,20f f f f =+=，()()4f x f x ∴=-，即()f x 的一条对称轴是2x =，又()9f x +关于()9,0-对称，令()()9g x f x =+，即()()990g x g x -++--=，()()()()99990f x f x f x f x -+++--+=+-=，()f x 是奇函数；()()()()()()8484444f x f x f x f x f x f x +=-+=--=-+=--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()f x 的周期为8；对于A ：正确；对于B ：()()()()()()()()()444546456012f f f f f f f f f ++=++=+-+-()()0122022f f =--=-，正确；对于D ：令113t x =-，将3x =代入得0=t ，即要证明()3f t +关于()0,3对称，显然由()()336f t f t -+++=，故()3f t +关于()0,3对称，即1133f x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭关于()3,3对称，正确；对于C ：同上，将1x =-代入得43t =-，即4,33⎛⎫- ⎪⎝⎭显然不是()3f t +的对称点，错误；故选：ABD.考点八单调性、奇偶性与对称性结合35．（2022·湖南常德·高一期中）已知函数是偶函数,且在上是单调减函数,则由小到大排列为A ．B ．C ．D ．【解析】由题意得，函数向左平移2个单位得，又在上是单调减函数，所以函数在是减函数，又函数是偶函数，所以，所以，即，故选A ．36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．a b c<<【解析】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．37．（2022·河南·高一阶段练习（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<【解析】函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t ft f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<.故选：D.考点九单调性、奇偶性、周期性与对称性的结合38．（2022·全国·高一专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()8f x f x +=，函数的图像关于2x =对称且函数在区间[]02，上单调递增，则()()()251180f f f -，，的从小到大的顺序为________.【解析】由()()8f x f x +=知函数周期为8T =，所以()()()2525381f f f -=-+⨯=-，()()()111183f f f =-=，而函数图像关于2x =对称，所以()()()1131f f f ==，()()()80801080f f f =-⨯=.又因为()f x 定义在R 上的奇函数且在[]02，上单调递增，所以()f x 在[]22-,上单调递增，所以()()()101f f f -<<，即()()() 258011f f f -<<.故答案为：()()()258011f f f -<<39．（2011·辽宁铁岭·高一阶段练习（文））已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=；②对于任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12;f x f x <③函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称.则()()()4.5, 6.5,7a f b f c f ===从小到大的关系是_____【解析】因为对于任意的R x ∈，都有()()4f x f x +=，∴函数()y f x =的周期是4，∵任意的12,R x x ∈，且1202x x ≤<≤，都有()()12f x f x <，∴函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∵函数()2y f x =+的图象关于y 轴对称，∴()()22f x f x -+=+，即函数()y f x =的对称轴为2x =，∴()()()()()()()()4.50.5, 6.5 2.5 1.5,731f f f f f f f f =====，又函数()y f x =在区间[0，2]上是增函数，∴()()()0.51 1.5f f f <<，()()()4.57 6.5f f f <<，即a c b <<.故答案为：a c b <<．40．（2022·全国·高一单元测试）定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【解析】由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-，因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>，故选：B.41．【多选】（2022·福建·莆田一中高一期末）已知()y f x =是周期为4的奇函数，且当02x ≤≤时，(),012,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，设()()(1)g x f x f x =++，则（）A ．(2022)1g =B ．函数()y g x =为周期函数C ．函数()y g x =在区间(6,7)上单调递减D ．函数()y g x =的图象既有对称轴又有对称中心【解析】因为()f x 周期为4，则()g x 的周期为4，又()f x 是奇函数，所以(2022)(50542)(2)(2)(3)(2)(1)(1)1g g g f f f f f =⨯+==+=+-=-=-，A 错误，B 正确；令21x -≤<-，即12x <-≤，则()2()f x x f x -=+=-，即()2f x x =--；令10x -≤<，即01x <-≤，则()()f x x f x -=-=-，即()f x x =；所以2,21(),112,12x x f x x x x x ---≤<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<≤⎩，根据周期性()y g x =在(6,7)上的图象与在(2,1)--相同，所以，当21x -≤<-，即110x -≤+<时，()()(1)211g x f x f x x x =++=--++=-，C 错误；由()f x 是周期为4的奇函数，则(2)()(2)f x f x f x +=-=-且(1)(1)f x f x -=-+，所以(1)(1)(2)(1)(2)()(1)()g x f x f x f x f x f x f x g x -=-+-=----=++=，故()g x 关于12x =对称，()(3)()(1)(3)(4)()(1)(1)()0g x g x f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+++-+-=++-+-=，所以()g x 关于3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确.故选：BD。
高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)：抽象函数周期的求法函数模型法Word版含答案
数学模型，在数学学习中有很大的作用，它可以帮助我们解决很多未知的问题。
如何有效利用数
学模型呢？首先要对基础知识掌握的扎实，其次要在遇到问题时，大胆想象，大胆类比，用已知知识
作为铺垫，找到问题的突破口。
我们知道，基本初等函数分为，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，而三角函数中大多
数都具有周期性，今天我们就利用三角函数作为模型，求抽象函数的周期。
先看例题
例：设函数f (x )的定义域为R ，且对任意的实数x ，y 满足()()2()()f x y f x y f x f y ，并存在非零实数c ，使()02f c
，证明函数f(x)是周期函数
类比()cos f x x
因为，通过两角和差的余弦公式展开，有：
cos()cos()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )x
y x y x y x y x y x y 即cos()cos()2cos cos x y x y x y
而对于余弦函数()02
f ，而2T ，类比原函数()02c f ，我们可以猜测，T =2c
所以，可令,()()2()()02
222c
c c c y f x f x f x f 整理得：()()2
2c
c f x f x 所以有()
()f x c f x (2)()f x c f x。
2009年高中数学高考复习中抽象函数周期问题复习
抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。
对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅。
（I ）设f ()12=，求f f ()()1214，；（II ）证明f x ()是周期函数。
解析：（I ）解略。
（II ）证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称 故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知 f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得 f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称 又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数 且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a =对称 ∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f a x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。
证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称∴=-∈=-∈∴-=-∈f x f a x x Rf x f b x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式的-x 以x 代换得 f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？经过探索，我们得到 思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。
抽象函数的周期问题
抽象函数的周期问题——由一道高考题引出的几点思考2001年高考数学（文科）第22题：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。
对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅。
（I ）设f ()12=，求f f ()()1214，；（II ）证明f x ()是周期函数。
解析：（I ）解略。
（II ）证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称 故f x f x x R ()()=-∈2， 又由f x ()是偶函数知 f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f x x R ()()2， 将上式中-x 以x 代换，得 f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称 又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数 且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a =对称 ∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈， ∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得 f x f a x x R ()()=+∈2， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。
证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。
证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称∴=-∈=-∈∴-=-∈f x f a x x Rf x f b x x Rf a x f b x x R()()()()()()2222，，，将上式的-x 以x 代换得 f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222， ∴f x ()是R 上的周期函数 且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。
函数周期性的题型和解题方法
函数周期性的题型和解题方法在高一数学教材中，函数的基本性质重点讲了函数的单调性和奇偶性，对于函数的另一个重要性质——周期性却基本没怎么涉及，但是不管是平时考试还是高考，函数周期性都是非常重要的考点，并且以不同方式告诉函数的周期。
在函数周期性的学习中，我们首先要能快速识别给出的函数是否是周期函数，其次需要学会利用函数周期性来解题。
一、判断周期函数若f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是以T为周期的周期函数。
在学习过程中，需要重点掌握以下几个函数的周期：①f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|；特别地，f(x+a)=f(x-a)，T=|2a|；②f(x+a)=-f(x)，T=|2a|；③f(x+a)=±1/f(x)，T=|2a|；④若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么f(x)的一个周期为T=2|a-b|；⑤若f(x)的图像有两个对称中心(x1,y1)和(x2,y2)，那么f(x)的一个周期为T=2|x1-x2|；⑥若f(x)的图像既是轴对称又是中心对称图形，若对称轴是x=a，对称中心是(b,c)，则T=4|a-b|。
二、求值利用函数周期性求函数值，通常会告诉函数在某个区间上的解析式，但是所求的函数值是在已知区间外的，此时需要利用周期性将所求函数值转换到已知的区间内。
比如上面的例题，利用周期性将f(-6)转化为f(0)，将f(6)转化为-f(-1)的值。
三、求周期求函数的周期，除了掌握周期性的定义以及(一)中所讲的几种基本类型外，作出函数也是一个非常重要的方法。
作出图像后，直接在图像上找到图像循环部分对应点的横坐标之间的最小距离就是该函数的最小正周期，也是解题中最常用到的周期值。
四、周期性＋奇偶性本题中，先根据关系式f(x-4)=-f(x)算出f(x)的周期为T=8，再根据单调性和奇偶性作出满足要求的一个函数图像，并根据函数图像分析解决问题。
如果f(x)的对称轴是直线x=a，其图像与直线y=b相交于x1,x2两点，那么必有x1+x2=2a。
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是二次函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx .四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论;五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2, 求fx 在-3,3上的最大值和最小值;例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;函数性质练习1. 已知函数为偶函数,则的值是A. B. C. D.2. 若偶函数在上是增函数,则下列关系式中成立的是)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f m 1234)(x f (]1,-∞-A. B.C. D.3. 如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是A. 增函数且最小值是B. 增函数且最大值是C. 减函数且最大值是D. 减函数且最小值是4. 设是定义在上的一个函数,则函数在上一定是 A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数5. 下列函数中,在区间上是增函数的是A. B. C. D. 6. 函数是A. 是奇函数又是减函数B. 是奇函数但不是减函数C. 是减函数但不是奇函数D. 不是奇函数也不是减函数7. 设奇函数的定义域为,若当时,的图象如右图,则不等式的解是8. 函数________________.9. 已知,则函数的值域是.10. 若函数是偶函数,则的递减区间是 .11. 下列四个命题 1; 2函数是其定义域到值域的映射;)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f )(x f [3,7]5)(x f []3,7--5-5-5-5-)(x f R )()()(x f x f x F --=R ()0,1x y =x y -=3xy 1=42+-=x y )11()(+--=x x x x f )(x f []5,5-[0,5]x ∈)(x f ()0f x <2y x =+[0,1]x ∈y =2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+)(x f ()f x =3函数的图象是一直线；4函数的图象是抛物线,其中正确的命题个数是____________.12. 已知函数的定义域为,且同时满足下列条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值范围.抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=fx -a 或fx -2a=fxa >0恒成立,则y=fx 是周期为2a 的周期函数；2、若y=fx 的图像关于直线x=a 和x=b 对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=fx 的图像关于点a,0和b,0对称,则函数y=fx 是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=fx 的图像有一个对称中心Aa,0和一条对称轴x=ba ≠b ,则函数y=fx 是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=fx 满足fa+x=fa -x ,其中a>0,且如果y=fx 为奇函数,则其周期为4a ；如果y=fx 为偶函数,则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=fx ,满足fx+a=-fx ()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或,则y=fx 是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立,其中a>0,则y=fx 是周期为2a 的周期函数;7、8应掌握具体推导方法,如7 函数图像的对称性：1、若函数y=fx 满足fa+x=fb -x ,则函数y=fx 的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=fx 满足fx=f2a -x 或fx+a=fa -x ,则函数y=fx 的图像关于直线x=a 对称；2()y x x N =∈22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩()f x ()1,1-()f x ()f x 2(1)(1)0,f a f a -+-<a ()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++3、若函数y=fx 满足fa+x+fb -x=c ,则y=fx 的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线fx,y=0关于点a,b 的对称曲线的方程为f2a -x,2b -y=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线,由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=fx 定义在实数集上,则y=fx+a 与y=fb -x 的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=fx 有反函数,则y=fa+x 和y=f -1x+a 的图像关于直线y=x+a 对称;二、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法,它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知f1+sinx=2+sinx+cos 2x , 求fx解：令u=1+sinx ,则sinx=u -1 0≤u ≤2,则fu=-u 2+3u+1 0≤u ≤2 故fx=-x 2+3x+1 0≤x ≤2二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题;例2．.232|)(:|,)1(2)(),)(,(≥=-=x f x x f x f x f x f(x)y 求证且为实数即是实数函数设解:xx x f x x f x f x x 323)(,1)(2)1(,1--==-联立方程组，得得代换用三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的,则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题; 例3．已知fx 是多项式函数,且fx+1+fx -1=2x 2-4x ,求fx . 解：由已知得fx 是二次多项式,设fx=ax 2+bx+c a≠0 代入fx+1=ax+12+bx+1+c=ax 2+2a+bx+a+b+c fx -1= ax -12+bx -1+c=ax 2+ b -2ax+a -b+c∴fx+1+ fx -1=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , fx=x 2-2x -1.四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决; 例4．对任意实数x,y ,均满足fx+y 2=fx+2fy 2且f1≠0,则f2001=_______. 解：令x=y=0,得：f0=0,令x=0,y=1,得f0+12=f0+2f12,∵f1≠0 ∴f1= . 令x=n,y=1,得fn+1=fn+2f12=fn+ 即fn+1-fn = 12,故fn = 2n ,f2001= 20012例5．已知fx 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的实数a,b 都满足 fab=afb+bfa. 1求f0,f1的值；2判断fx 的奇偶性,并证明你的结论; 3若f2=2,u n =f2n n ∈N ,求证：u n+1>u n n ∈N . 解：1令a=b=0,得f0=0,令a=b=1,得f1=0.2fx 是奇函数;因为：令a=b=-1,得f -1-1=-f -1-f -1,f -1=0, 故f -x=f -1x= -fx+xf -1= -fx ,故fx 为奇函数. 3先用数学归纳法证明：u n =f2n >0 n ∈N 略五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系,为问题的解决带来极大的方便.例6．设函数fx 对任意实数x,y ,都有fx+y=fx+fy ,若x>0时fx<0,且f1= -2,求fx 在-3,3上的最大值和最小值;解：令x=y=0,得f0=0,令y=-x ,得f -x+fx=f0=0,即fx 为奇函数. 设x 1<x 2,则x 2-x 1>0,由已知得fx 2-x 1<0,故fx 2=fx 2-x 1+x 1=fx 2-x 1+fx 1< fx 1 所以fx 是R 上的减函数,又f3=f1+f2=3f1=-6,f -3=6 故fx 在-3,3上的最大值为6,最小值为-6.例7．定义在R +上的函数fx 满足： ①对任意实数m ,fx m =mfx ； ②f2=1. 1求证：fxy=fx+fy 对任意正数x,y 都成立； 2证明fx 是R +上的单调增函数； 3若fx+fx -3≤2,求x 的取值范围;解：1令x=2m ,y=2n ,其中m,n 为实数,则fxy=f2m+n =m+nf2=m+n .1212又fx+fy=f2m +f2n =mf2+nf2=m+n ,所以fxy=fx+fy 2证明：设0<x 1<x 2,可令m<n 且使x 1=2m ,x 2=2n 由1得fx 1-fx 2=12x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=f2m -n=m -nf2=m -n<0故fx 1<fx 2,即fx 是R +上的增函数;3由fx+fx -3≤2及fx 的性质,得fxx -3≤2f2=f4 解得 3<x ≤4;六、递推法 对于定义在正整数集N 上的抽象函数,用递推法来探究,如果给出的关系式具有递推性,也常用递推法来求解.例8．已知fx 是定义在R 上的函数,f1=1,且对任意x ∈R 都有fx+5≥fx+5,fx+1≤fx+1;若gx=fx+1-x ,则g2002=_________.解：由fx+1≤fx+1得fx+5≤fx+4+1≤fx+3+2≤fx+2+3≤fx+1+4 又∵fx+5≥fx+5 ∴fx+5≤fx+1+4 ∴fx+1≤fx+1 又∵fx+1≤fx+1 ∴fx+1=fx+1又∵f1=1 ∴fx=x gx=fx+1-x=1,故g2002=1;模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法; 应掌握下面常见的特殊模型：=_____________ 分析：因为函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,可以将该函数看成是类似于二次函数y=kx -22为模型引出解题思路,即函数的对称轴是x=2,并且函数在f2=0,其余的四个实数根关于x=2对称 解：因为实数集上的函数fx 恒满足f2+x= f2-x ,方程fx=0有5个实根,所以函数关于直线x=2对称,所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称,其中有一个实数根为2,其它四个实数根位于直线x=2两侧,关于直线x=2对称,则这5个根之和为10;例11．设定义在R 上的函数fx ,满足当x>0时,fx>1,且对任意x,y ∈R ,有fx+y=fxfy,f1=2 1解不等式f3x -x 2>4；2解方程fx 2+12fx+3=f2+1 分析：可联想指数函数fx=a x ;解：1先证fx>0,且单调递增,因为fx=fx+0=fxf0,x>0时fx>1,所以f0=1 对于任意x<0,则-x>0,fxf -x=fx -x=f0=1,∴fx=()1f x - ∵-x>0,f -x>1 ∴0<fx<1 综上所述 fx>0 任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,fx 2-x 1>1, 所以fx 1-fx 2=fx 2-x 1+x 1-fx 1=fx 2-x 1fx 1-fx 1=fx 1fx 2-x 1-1>0 所以x ∈R 时,fx 为增函数;不等式f3x -x 2>4可化为3x -x 2>2 解得：{x|1<x<2}2f1=2,f2=4,f3=8,原方程可化为：fx 2+4fx -5=0,解得fx=1或fx=-5舍 由1得x=0;例12．已知函数fx 对任何正数x,y 都有fxy=fxfy ,且fx ≠0,当x>1时,fx<1;试判断fx 在0,+∞上的单调性,并说明理由;分析：可联想幂函数 fx=x n 解：对x ∈R +,有fx=20ff =≥,又fx ≠0,故fx>0设x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则211x x >,则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭所以fx 1>fx 2,故fx 在R +上为减函数;函数性质答案1. B 奇次项系数为2. D3. A 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性4. A5. A 在上递减,在上递减,在上递减,6. A为奇函数,而为减函数. 7. 奇函数关于原点对称,补足左边的图象8. 是的增函数,当时,9. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小；自变量最大时,函数值最大10.11. 1,不存在；2函数是特殊的映射；3该图象是由离散的点组成的；4两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.12. 解：,则,0,20,2m m -==3(2)(2),212f f =--<-<-()()()()F x f x f x F x -=--=-3y x =-R 1y x=(0,)+∞24y x =-+(0,)+∞()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩(](2,0)2,5-[2,)-+∞1,x y ≥-x 1x =-min 2y =-[)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+121x x ≥≤且22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩∴01a <<。
高中函数周期性奇偶性抽象函数
函数专题抽象函数的类型和解法二、抽象函数：1、f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)2、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 3、f (x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 4、对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 5、定义在R +上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(x m )=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立; (2)证明f(x)是R +上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 6、已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.7、设定义在R 上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2.1)2(f )3x (f 21)]x (f [)2(;,4)x x 3(f )1(22+=++>-解方程解不等式8、)xy1yx (f )y (f )x (f ),1,1(y ,x )1(:)x (f )1,1(++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在 (2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；（Ⅱ）).31(f )5n 5n 1(f )191(f )111(f 2>+++++函数专题函数的奇偶性题型一：奇偶性证明（两大步骤） 1.一般函数： 例1：f(x)=12+x x例2：f(x)=22-12--x x2，含参数函数例：f(x)=R a a x a x ∈--+, 3.分段函数例1：⎪⎩⎪⎨⎧--∈-+∈--=]1,6(,4)5()6,1[,4)5()(22x x x x x f 例2：⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=0,320,00,32)(22x x x x x x x x f4.抽象函数例1：f(a)+f(b)=f(a+b) 例2：f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 5,指数函数例：f(x)=x x 214+6,对数函数 例：f(x)=xxa -+11log题型二：利用奇偶性求值问题1.8)(35-++=bx ax x x f ，f(2)=10,求f(2)的值2.x x eaa e x f +=)(是定义在R 上的偶函数（1）.求a 的值（2）.求证f(x)在（0，+∞）是增函数 3.f(x)=)(212R x a x∈--是奇函数，求实数a 的值题型三：利用奇偶性求解析式问题例1：X>0时，f(x)=13++x x ,求x<0时f(x)的解析式 例2：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，求f(x),g(x)题型四：奇偶性单调性结合1.奇函数在关于原点对称的两个区间内单调性相同2.偶函数在关于原点对称的两个区间内单调性相反例1：f(x)是定义在（-1，1）的奇函数，若0)1()1(2>-+-t f t f ，求t例2：定义在[]1.1-上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)为增函数，若)2()1(m f m f <+成立，求m 的取值范围。
抽象函数的单调性奇偶性周期性课件高一上学期数学人教A版
f (x)在R上是增函数
2a 3 2, 解得a 5 2
例题讲解
题型一 抽象函数的单调性
例3. f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意都有 f(xy)=f(x)＋f(y),
又当x>1时, f(x)>0且 f(3)＝1.
(1) f (xy) f (x) f ( y)
（1）求 f(1)的值。（2）判断f(x)的单调性 f (11) f (1) f (1)
f ( x2 ) f [( x2 x1 ) x1]
归纳总结
题型一 抽象函数的单调性
抽象函数 (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为 f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；
①利用定义证明单调性的一般步骤：
1、取值：在指定的区间上任意取两个数x1，x2，不妨设x1<x2 ； 2、 作差： f(x1) －f(x2) [或f(x2) － f(x1) ]； 3、变形 ：通过因式分解，配方有理化等， 转化为易判断正负的式子 4、 定号：确定 f(x1) －f(x2) [或f(x2) － f(x1) ]的符号； 5、下结论。
第三章 函数
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
2024/9/26
探究新知
抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等， 一般（1)通过代入特殊值(赋值法）求值、
（2）通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、 （3）出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性， （4）换x为x＋T确定周期性.
归纳总结
题型一 抽象函数的单调性
抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0；()()()()()()()1111212112()()11f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数的周期问题.docx
抽象函数的周期问题-由一•道高考题引出的儿点思考2001年高考数学(文科)第22题：设于(x)是定义在/?上的偶函数，英图象关于直线兀=1对称。
对任意x2G[0, *]都有/(»+兀2)=/a)・/(兀2)。
(II)证明于(兀)是周期函数。
解析：(I)解略。
(II)证明：依题设y = fM关于宜线兀=1对称故/(x) = /(2-x), xeR乂ill/(x)是偶函数知/(一兀)=/(兀)，x wR•,./(-x) = /(2-x), x wR将上式中-兀以兀代换,得/(x) = /(x + 2), x G/?这表明/(兀)是/?上的周期函数，且2是它的一个周期/(%)是偶函数的实质是/(x)的图象关于肓线x = 0对称又f (x)的图象关于X = 1对称，可得/(X)是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设/(力是定义在/?上的偶函数，其图象关于直线x = a(a^0)对称，证明/(x)是周期函数，尺2°是它的一个周期。
证明：・・丁(兀)关于宜线兀二d对称.-./(%) = f(2a-x), xeR又由/(x)是偶函数知 /(-%) = /(x), xeR ：. f(-x) = f(2a-x)9 x wR将上式中一x以兀代换，得/(x) = /(2a + x), x wR・••/(>)是/?上的周期函数且2。
是它的一个周期思考二设/(x)是定义在/?上的函数，其图象关于直线X = d和兀= 对称。
证明/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。
证明：关于直线x = a^Wx - b对称/.f(x) = f(2a-x), xeRf(x) = f(2b-x), x eRf (2a -x) = f (2b -x), xeR将上式的-x以兀代换得f(2a + x) = /(2/? + x), xeR :. f[x^-2(b-a)] = f[(x-2a)^2b] = f[(x-2a) + 2a] = /(x), xeR.・./(兀)是R上的周期函数且2(b_a)是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，于(兀)还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设/(兀)是定义在7?上的奇两数，具图象关于直线x = \对称。
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)：抽象函数周期的求法 递推法 含答案
高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质.今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期,同学们可以类比数列中相应的方法,深入理解，灵活应用.我们知道在数列中，有许多递推关系，比如1n n aa d +-=，说明它是一个等差数列。
如果我们再得知1a 的值,则可推导出数列的通项公式.相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。
先看例题例:已知函数()()f x x R ∈满足：(1)()(2)f x f x f x +=++,证明f （x )是周期函数证明(1)()(2)f x f x f x +=++令x =x +1,再次使用递推式(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=+++两式联立可得：()(3),f x f x =-+再令x =x +3，可知(3)(6)f x f x +=-+所以(6)()f x f x +=注意:当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。
回忆：()()f x a f x +=-1()()f x a f x += 1()()f x a f x +=-都可以整理为：()=()f x f x T +的形式之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数.练：已知定义在R 上的函数f （x )满足11()()1)(f x f x f x ++=-，则f （x )必有一周期为（）A 。
2B 。
3 C.4 D.5解：令x =x +1，再次使用递推式1(1)(2)1(1)f x f x f x +++=-+ 将原递推式代入上式：1()11(1)1()(2)1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x ++++-+==+-+-- 整理得到1(2)()f x f x +=-，根据上面复习的公式，直接可以得到(4)()f x f x +=即原函数是周期函数，且周期为T =4注意：本题不必去计算(3)f x +的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。
高中数学_函数的周期性练习题含答案
高中数学 函数的周期性练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( ) A.−4 B.−2 C.2 D.42. 若f(x)是R 上周期为3的偶函数，且当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，则f(−132)=( ) A.−2 B.2 C.−12D.123. 已知函数f (x )满足f (1+x )=f (1−x )，且f (−x )=f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )=2x −1，则f (2021)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.−14. 已知函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，当1≤x ≤2时，f(x)=2x −1，求f(2017)=( ) A.−1 B.0 C.1 D.25. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.66. 已知函数y =f (x )对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (−x )且f (4−x )+f (x )=0成立，若f (0)=1，则f (2019)+f (2020)+f (2021)的值为（ ） A.1 B.2 C.0 D.−27. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，当x ∈(−1,0]时，f (x )=tan πx 3，则f (194)=（ ）A.−1B.−2C.0D.18. 已知f (x )是R 上的偶函数且满足f (x +3)=−f (x )，若f (1)>7，f (2021)=4+3a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,0)D.(−∞,1)9. 已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (−x )=−f (x )，f (2−x )=f (2+x )，且在区间[0,2]上，f (x )=x 22+cos x −1 ，m =f(√3)，n =f (7)，t =f (10)，则( )A.m <n <tB.n <m <tC.m <t <nD.n <t <m10. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )={e x −1,0≤x ≤1,x 2−4x +4,1<x ≤2. 若关于x 的不等式m|x|≤f (x )的整数解有且仅有9个，则实数m 的取值范围为（ ） A.(e−17,e−15] B.[e−17,e−15] C.(e−19,e−17] D.[e−19,e−17]11. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5)，当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2，当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，则f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=( ) A.809 B.811 C.1011 D.101312. 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x ⋅(1+x)，则f(−92)=________．13. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f (2016)=________.14. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝−f(x +2)，若当x ∈[0, 2)时，f(x)＝3x ，则f(2019)＝________15. 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 均有f (x +4)=−f (x )+2√2，若函数f (x −2)的图象关于直线x =2对称，则f (2018)=________．16. 已知函数f (x )为R 上的奇函数，且f (−x )=f (2+x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x +a 2x，则f (101)+f (105)的值为________.17. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )．当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1，x,−1≤x <3，则f (4)=________；f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=________．18. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2+2x，则f(2021)=________．19. 已知函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x≤2时，f(x)=−x2+kx+2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[2,4]上的最大值．．20. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0, 2)时，f(x)=e xx(1)求f(x)在[−2, 2]上的解析式；(2)若|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．21. 已知函数f(x)在R上满足f(2−x)=f(2+x)，f(7−x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0．试判断函数y=f(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．22. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=−f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)=2x−x2．求证：f(x)是周期函数；当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；计算f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)．23. 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0, 1)时，f(x)=2x．4x+1（1）证明f(x)在(0, 1)上为减函数；（2）求函数f(x)在[−1, 1]上的解析式；（3）当λ取何值时，方程f(x)＝λ在R上有实数解．参考答案与试题解析高中数学 函数的周期性练习题含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】 C【考点】 函数的求值函数奇偶性的性质 函数的周期性【解析】根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)， 又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)， 即f(x −1)=f(1−x)=f(1+x)， 所以f(x)=f(2+x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数， 故f(10)=f(0)=2. 故选C . 2.【答案】 C【考点】 函数的周期性 偶函数 【解析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f(−132)=f(−12)=f(12)，结合函数的解析式分析可得答案． 【解答】解：由题意得f(x)是R 上周期为3的偶函数， 则f(−132)=f(−12)=f(12).因为当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，所以f(12)=log 412=−12， 所以f(−132)=−12. 故选C .3. 【答案】 B【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1)．从而得到|f(x+4)=f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，能求出f(2021)的值．【解答】解：∵f(1+x)=f(1−x)，且f(−x)=f(x)，则f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]，即f(2+x)=f(−x)=f(x).∵ f(x)是以2为周期的周期函数，当1≤x≤2时，f(x)=2x−1∴f(2021)=f(2×1010+1)=f(1)=21−1=1.故选B．4.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)＝−f(1−x)＝−f(x−1)，从而得到f(x+4)＝f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)＝2x−1，能求出f(2017)的值．【解答】解：∵f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，∴f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1).令x−1=t，得f(t+2)=−f(t)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)以4为周期的周期函数.∵当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，∴f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21−1=1．故选C．5.【答案】B【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(1+x)=f(1−x)，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以有f(1+x)=f(1−x)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，函数f(x)为周期为2的偶函数，且关于x=1对称.又因为g(x)=e−|x−1|(−1<x<3)关于x=1对称，所以f(x)与g(x)的图象一共有四个交点，交点的横坐标之和为2+2=4.故选B.6.【答案】A【考点】函数的求值函数的周期性【解析】由题意，根据f(x+2)=f(−x)以及f(4−x)=−f(x)可推导y=f(x)是周期为4的周期函数，可得f(2019)=f(3)，f(2021)=f(1)，代入f(4−x)=−f(x)可计算结果，又f(2020)=f(0)=0，代入计算即可．【解答】解：已知f(x+2)=f(−x)，则f(2−x)=f(x).又f(4−x)=−f(x)，可得f(4−x)+f(2−x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，可得函数y=f(x)是周期为4的周期函数，则f(2019)=f(3)，f(2020)=f(0)，f(2021)=f(1).因为f(4−x)+f(x)=0，所以f(4−1)+f(1)=0，即f(3)+f(1)=0，可得f(2019)+f(2020)+f(2021)=0+1=1.故选A．7.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，则f(−x)=f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，则f(x+2)=f(x)，函数f(x)是周期为2的偶函数，故f(194)=f(34)=f(−34)=tan[π3×(−34)]=−1．故选A．8.【答案】B函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】【解答】解：因为f(x+3)=−f(x)，所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2021)=f(6×337−1)=f(−1)=f(1)．因为f(1)>7，所以f(2021)=4+3a>7，解得a>1．故选B．9.【答案】B【考点】函数的周期性利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】由f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)判断出该函数的奇偶性及对称性、周期性．再将自变量转变到同一周期内利用单调性进行比大小．【解答】解：∵f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)，∴f(x)为奇函数，∴f[2−(x+2)]=f(2+x+2)，即f(−x)=f(x+4)=−f(x)，∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为8，∴f(7)=f(8−1)=f(−1)=−f(1)，f(10)=f(8+2)=f(2)，当x∈[0,2]时，f(x)=x 22+cos x−1,f′(x)=x−sin x，f′′(x)=1−cos x≥0，∴f′(x)=x−sin x为单调递增函数，f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)=x22+cos x−1为单调递增函数，即当x∈[0,2]时，f(x)≥f(0)=0，∴−f(1)<0，0<f(1)<f(√3)<f(2)，∴f(7)<f(√3)<f(10)，即n<m<t．故选B．10.C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查函数的图象与性质及不等式与函数的结合． 【解答】解：∵ f (−x )=f (x )，f (2−x )=f (2+x )，∴ f(2+x)=f(−x −2)=f(−x +2)，∴ f (x +4)=f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，作出函数f (x )的图象如图所示．令g (x )=m|x|，将g (x )的图象绕坐标原点旋转可得 {7m ≤e −1,9m >e −1,即{m ≤e−17,m >e−19 则实数m 的取值范围为(e−19,e−17]．故选C ． 11.【答案】 A【考点】 函数的周期性 函数的求值【解析】【解答】解：由f (x )=f (x +5)可知f (x )周期为5， 因为当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2； 当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，所以f (−2)+f (−1)+f (0)+f (1)+f (2)=2. 又因为f (x )周期为5，所以f (x )+f (x +1)+f (x +2)+f (x +3)+f (x +4)=2， 因此f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=f (1)+[f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+⋯+f (2021) =f (1)+2×404 =809. 故选A ．二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ） 12.−34【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】由奇函数的性质可得，f(−92)=−f(92)，由周期性可得f(92)=f(92−4)=f(12)，进而得解． 【解答】解：由题意可得，f(−92)=−f(92)=−f(92−4)=−f(12)=−12×(1+12)=−12×32=−34． 故答案为：−34. 13.【答案】 0【考点】 函数的求值 函数的周期性 函数奇偶性的性质【解析】由f (x +2)=−f (x )可得f (x )是周期为4的函数，把f (2016)转化成f (0)）求解即可． 【解答】解：对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f(x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f(x)， 所以f (x )是周期为4的函数， 所以f (2016)=f (0)，又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)=0， 所以f (2016)=0. 故答案为：0. 14.【答案】 −3【考点】 求函数的值 函数的周期性 函数的求值【解析】推导出f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，从而f(2019)＝f(3)＝−f(1)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝−f(x+2)，∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，∴f(2019)＝f(3)＝−f(1)＝−(3)故答案为：−(3)15.【答案】√2【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】由已知条件推导出f(−x)=f(x)，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，由此能求出结果．【解答】解：由函数f(x−2)的图象关于直线x=2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，又f(2)=−f(−2)+2√2，f(−2)=f(2)，所以f(2)=√2．故答案为：√2．16.【答案】3【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】暂无【解答】解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=1+a=0，所以a=−1，(0≤x≤1)，所以f(x)=2x−12x.则f(1)=32又因为f (x )为奇函数，所以f (−x )=f (2+x )=−f (x )，则f (x +4)=f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f (101)+f (105)=2f (1)=32×2=3. 故答案为：3.17.【答案】0,337【考点】函数的求值函数的周期性【解析】先由f (x +6)=f (x )判断周期为6，直接计算f (4)；然后计算2017=6×36+1，把f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)转化为=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017) ，即可求解．【解答】解：因为f (x +6)=f (x )，所以函数f (x )的周期为6的周期函数，当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1,x,x −1≤x <3,所以f (4)=f (−2)=−(−2+2)2=0，因为2017=6×336+1，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=f (−3)=−(−3+2)2=−1， f (4)=0，f (5)=f (−1)=−1，f (6)=f (0)=0，所以f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017)=36×(1+2−1+0−1+0)+1=337．故答案为：0；337．18.【答案】1【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为f (x )是奇函数，所以f (x +2)=f (−x )=−f (x )，所以f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x )，所以f (x )的周期为4.所以f (x +4)=f (x )，故f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[(−1)2−2]=1．故答案为：1．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）19.【答案】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f (x )max =f (4)=2；当8−k 2≤2，即k ≥4时，f (x )在[2,4]上单调递减，则f (x )max =f (2)=2k −2；当2<8−k 2<4，即0<k <4时，f (x )max =f (8−k 2)=k 2+84． 综上所述，f (x )max ={ 2，k ≤0,k 2+84，0<k <4,2k −2，k ≥4.【考点】函数的周期性二次函数在闭区间上的最值分段函数的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f(x)max=f(4)=2；当8−k2≤2，即k≥4时，f(x)在[2,4]上单调递减，则f(x)max=f(2)=2k−2；当2<8−k2<4，即0<k<4时，f(x)max=f(8−k2)=k2+84．综上所述，f(x)max={2，k≤0,k2+84，0<k<4,2k−2，k≥4.20.【答案】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．【考点】函数恒成立问题函数的周期性奇函数【解析】（1）由f(x)是x∈R上的奇函数，得f(0)=0．再由最小正周期为4，得到②和f(−2)的值．然后求(−2, 0)上的解析式，通过在(−2, 0)上取变量，转化到(0, 2)上，即可得到结论．（2）|f(x)|≥λ等价于|f(x)|min≥λ，由f(x)的最小正周期为4得，问题转化为求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由（1）易求；【解答】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．21.【答案】函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．∵f(x)=f[2+(x−2)]=f[2−(x−2)]=f(4−x)，f(x)=f[7+(x−7)]=f(7−(x−7))=f(14−x)，∴f(14−x)=f(4−x)，即f[10+(4−x)]=f(4−x)，∴f(x+10)=f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)=f(3)=0，∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根．由−2011≤1+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±201，共403个；由−2011≤3+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±200,−201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上的根共有805个．【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】若y=f(x)为偶函数，则f(−x)=f(2−(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(−0)=−f(0)，∴f(0)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．略22.【答案】证明∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．1【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】思维启迪：只需证明f(x+T)=f(x)，即可说明f(x)是周期函数；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵x∈[2,4]，∴−x∈[−4,−2]，∴4−x∈[0,2]，∴f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8，又f(4−x)=f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=−x2+6x−8，即f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．思维启迪：由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[−2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=−1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=⋯=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0．∴f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)=f(0)+f(1)=1．思维启迪：由周期性求和．探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．23.【答案】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f(x)的值域即可．【解答】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分。
高中数学破题致胜微方法函数的周期性：函数周期的求法 含答案
我们知道，周期函数有很多好的性质，可以帮助我们研究函数。
但如何判断一个函数是否为周期函数，其周期又是什么呢？今天我们就来介绍几种常见的周期函数。
同学们要特别注意，判定为周期函数的证明过程，以及这些函数的最小正周期。
先看例题：例：已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足()()4f x f x -=-，则f (2016)=( )由奇函数的性质可知：()(),(0)0f x f x f -=-=(44)(4)[()]()f x f x f f x f x --=--=--=即(8)()f x f x -=，T =8，原函数是以8为周期的周期函数所以(2016)(8252)(0)=0f f f =⨯=判断函数的周期①,()2)(f x a f x T a -+==证明： (2)()()f x a f x a a f x a +=++=-+()[()]()f x a f x f x -+=--=所以(2)()f x a f x +=，T =2a ②21,()()f x a T a f x +==证明： 1(2)()()f x a f x a a f x a +=++=+11()1()()f x f x a f x ==+所以(2)()f x a f x +=，T =2a ③2()()1,f x a T a f x -+==请同学们根据前两个证明过程，自己写一写，加深印象。
练：已知定义在R 上的函数f (x )满足()(14)f x f x ⋅=+，若()02016f =，则()2016().f = 由已知：1(4)()f x f x +=所以原函数为周期函数，且周期为T =8所以(2016)(8252)(0)2016f f f =⨯==总结：1.明确周期函数的定义，即()()f x T f x +=，要记住它是我们做题时变形的目的。
2.利用周期函数中三种常见的条件，求解函数的周期。
练习：1.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时有f (x )=2x ,则f (2015)=( )A.-1B.-2C.1D.02.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件3()()2f x f x+=-且函数3()4y f x=-为奇函数,给出以下四个命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)的图象关于点3(,0)4-对称；③函数f(x)为R上的偶函数；④函数f(x)为R上的单调函数.其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 答案1.B 2.①②③。
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高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质。
今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期，同学们可以类比数列中相应的方法，深入理解，灵活应用。
我们知道在数列中，有许多递推关系，比如1n n a a d +-=，说明它是一个等差数列。
如果我们再得知1a 的值，则可推导出数列的通项公式。
相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。
先看例题
例：已知函数()()f x x R ∈满足：(1)()(2)f x f x f x +=++，证明f (x )是周期函数 证明(1)()(2)f x f x f x +=++Q
令x =x +1，再次使用递推式
(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=+++
两式联立可得：
()(3),f x f x =-+再令x =x +3，可知(3)(6)f x f x +=-+
所以(6)()f x f x +=
注意：当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。
回忆：
()()f x a f x +=-
1()()
f x a f x +=
1()()
f x a f x +=- 都可以整理为：()=()f x f x T +的形式
之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数。
练：已知定义在R 上的函数f (x )满足11()()
1)(f x f x f x ++=
-，则f (x )必有一周期为（） A.2 B.3 C.4 D.5 解：令x =x +1，再次使用递推式
1(1)(2)1(1)
f x f x f x +++=-+ 将原递推式代入上式：
1()11(1)1()(2)1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x +
+
++-+==+
-+-- 整理得到1(2)()
f x f x +=-，根据上面复习的公式，直接可以得到 (4)()f x f x +=
即原函数是周期函数，且周期为T =4
注意：本题不必去计算(3)f x +的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。
总结：
1.根据递推公式求函数周期，往往需要根据条件多次递推，解决问题。
2.要熟练掌握周期函数的特性，将递推式合理的进行转化。
3.注意得出周期函数的三个关键等式，合理运用，降低运算量。
练习：
1.已知函数()()f x x R ∈满足(1)()(2)f x f x f x +=++，且()() 11,22010f f ==，则()()()()1232009f f f f +++⋯+=
2.设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R
，都有1(1)2
f x +=+1
(1)2f -=，求f (2005)的值
答案：
1.(6)(),f x f x +=
()()()()()()()()()()200963345,
12320091234532009
f f f f f f f f f f =⨯++++⋯+=++++==
2.
解：1
(2)2f x +=
=12+
1
2=+
1
1
|()|22f x =+-
又1
1
()[(1)1]22f x f x =-+= 所以1
1
(2)[()]()22f x f x f x +=+-= ()()()()()()1234560f f f f f f +++++=
所以f(x)是以2为周期的周期函数
所以
1 (2005)(210031)(1)
2 f f f
=⨯-=-=。