普通高中课程标准实验教科书(A版)
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普通高中课程标准实验教科书(A版)
选修1-2，2-2
推理与证明
简 介
李龙才
人民教育出版社中学数学室
一、内容结构 二、教学目标 三、编写特点与教学建议 四、需要注意的问题
一、内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是 人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理 一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学 生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情 推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异； 体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方 法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、 数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）； 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用， 养成言之有理、论证有据的习惯。
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似
特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
• 类比推理举例
类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和 1个“斜面” S
• 演绎推理举例
前提和推理形式（规则）正确，结论正确
证明函数 f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1]上 是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是增函数的 定义，即函数y＝f(x)满足在给定区间内任取 自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则有f(x1) ＜f(x2)． 小前提是f(x)=－x2＋2x，x∈(－∞，1]满 足增函数的定义，这是证明本例的关键．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理
“火星上是否有生命”
总结特点：
这种由两类对象具有某些类似特征， 和其中一类对象的某些已知特征，推 出另一类对象也具有这些特征的推理 称为类比推理（简称类比）．简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理．
⑵ 演绎推理的形式正确，大前提错误， 结论也是错误的
3.结合实例讲“证明”
通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明 确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真 正作到“论证有据”： 回忆遇到过的某类证明方法的特点 通过证明典型且简单的数学问题或实际问题， 体验证明方法的特点 总结特点，给出证明方法的定义 证明的流程框图（提炼特点） 证明数学命题（强化、自觉使用）
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
分析法
（1）回忆、描述 在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反 推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个 明显成立的条件为止． （2）举例、体验特点
（3）总结特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
“两头挤”
把分析法和综合法结合起来使用：根据 结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P； 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结 论Q．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论 成立．
3.以已学知识为载体，讲推理和证明方法 4.对证明的技巧性不宜作过高的要求 5.文理差异
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
反证法
反证法的特点：
假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立．
证明数学命题（强化、自觉使用）
应用反证法的情形：
直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很 多类进行讨论（引例）．
数学归纳法
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主 要用于证明与正整数有关的数学命题。 特点：通过有限个步骤的推理，证明n取 无限多个正整数的情形． 归纳出数学归纳法的原理
三、编写特点与教学建议
• •
以已学知识为载体，讲推理和证明方法。 证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前 的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵 不很明确，被动地、不自觉地使用。 任务：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。 通过具体例子（已学的内容）总结各种证明 方法的思考过程和特点、明确它们的内涵， 通过应用进行强化，逐步主动、自觉地使用。
• “多米诺骨牌”全部倒下的原理
使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件： ⑴ 第一块骨牌倒下； ⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下． 两个条件的作用： 条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系
•
利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜 想（经历利用合情推理提出猜想 逻辑推理进行证明）
数学归纳法的原理：
４.合情推理与逻辑推理的联系与区别
通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理 所得结论的正确性需要演绎推理（包括数学证 明）进行证证明。合情推理往往提供证明思路
四、需要注意的问题
1.推理部分的教学重点(发现问题、解决问题)
通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜 测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论 的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学 的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎 推理，而不追求对概念的抽象表述。
1. 结合实例理解推理（引入、应用）
紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例， 以具体的例子为载体，理解合情推理和演绎 推理，避免空泛地讲推理。
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
文科（10课时）
2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 小结 理科（10课时） 2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法 约3课时 约3课时 约2课时 约5课时 约4课时 约1课时
推 理
（5/3课时）
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
2.根据命题的特点，选择证明方法
充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析 命题中条件与结论的特点，选择合适的证明方 法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明， 转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。
3、综合利用各种方法进行证明
在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法 很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进 行证明。例如：
• 一个数学问题（需要探索新的证明方法 ） a
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ 1 an （n ＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项 1 的归纳，我们已经猜想出其通项公式为an n ＝ ．”
n
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限 个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
2.纠正典型错误，进一步理解推理
⑴ 合情推理的结论不一定正确
费马猜想：任何形如 2 （n∈N*）的数都是质数． 反例：
（初步体验证明的必要性）
2n
“平面内，两组对边分别相等的四边形是平
行四边形” ； “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线 互相平行” ．
类 比
“空间中，两组对边分别相等的四边形是平 行四边形”； “空间中，同时垂直于一条直线的两条直线 互相平行”．
⑴ 一个偶数（大于6）总可以表示成两个奇质 数之和； ⑵ 没有发现反例 。
歌德巴赫猜想： 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇 质数之和。 总结特点：
这种由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物也具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，通常称为归纳推理 （简称归纳）．简言之，归纳推理是 由部分到整体、由个别到一般的推 理．
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
证 明 （4/3课时）
直接证明 间接证明
综合法
分析法
பைடு நூலகம்
数学归纳法 （2课时）
反证法
二、教学目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义。
2.能正确地运用合情推理和演绎推理进 行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系 与差别。
4.了解直接证明的两种基本方法——分 析法和综合法的思考过程、特点。 5.了解间接证明的一种基本方法──反 证法的思考过程、特点。 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题。
⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜 想成立的最小的正整数)； ⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋ 1也成立（k≥n0）． 学生普遍存在的问题： 为什么第二步能在假设下进行证明？ 第二步实际上是证明一个命题：“假设 n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k＋1时命 题也成立．” 其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用 是从前往后传递.
• • • • •
综合法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过 的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所 要的结论．
（2）举例——体验特点
（3）总结特点 一般地，利用已知条件和某些已经 学过的定义、公理、定理等，经过一系 列的推理、论证，最后推导出所要证明 的结论成立，这种证明方法叫做综合 法 。
选修1-2，2-2
推理与证明
简 介
李龙才
人民教育出版社中学数学室
一、内容结构 二、教学目标 三、编写特点与教学建议 四、需要注意的问题
一、内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是 人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理 一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学 生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情 推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异； 体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方 法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、 数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）； 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用， 养成言之有理、论证有据的习惯。
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似
特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
• 类比推理举例
类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和 1个“斜面” S
• 演绎推理举例
前提和推理形式（规则）正确，结论正确
证明函数 f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1]上 是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是增函数的 定义，即函数y＝f(x)满足在给定区间内任取 自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则有f(x1) ＜f(x2)． 小前提是f(x)=－x2＋2x，x∈(－∞，1]满 足增函数的定义，这是证明本例的关键．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理
“火星上是否有生命”
总结特点：
这种由两类对象具有某些类似特征， 和其中一类对象的某些已知特征，推 出另一类对象也具有这些特征的推理 称为类比推理（简称类比）．简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理．
⑵ 演绎推理的形式正确，大前提错误， 结论也是错误的
3.结合实例讲“证明”
通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明 确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真 正作到“论证有据”： 回忆遇到过的某类证明方法的特点 通过证明典型且简单的数学问题或实际问题， 体验证明方法的特点 总结特点，给出证明方法的定义 证明的流程框图（提炼特点） 证明数学命题（强化、自觉使用）
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
分析法
（1）回忆、描述 在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反 推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个 明显成立的条件为止． （2）举例、体验特点
（3）总结特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
“两头挤”
把分析法和综合法结合起来使用：根据 结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P； 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结 论Q．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论 成立．
3.以已学知识为载体，讲推理和证明方法 4.对证明的技巧性不宜作过高的要求 5.文理差异
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
反证法
反证法的特点：
假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立．
证明数学命题（强化、自觉使用）
应用反证法的情形：
直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很 多类进行讨论（引例）．
数学归纳法
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主 要用于证明与正整数有关的数学命题。 特点：通过有限个步骤的推理，证明n取 无限多个正整数的情形． 归纳出数学归纳法的原理
三、编写特点与教学建议
• •
以已学知识为载体，讲推理和证明方法。 证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前 的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵 不很明确，被动地、不自觉地使用。 任务：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。 通过具体例子（已学的内容）总结各种证明 方法的思考过程和特点、明确它们的内涵， 通过应用进行强化，逐步主动、自觉地使用。
• “多米诺骨牌”全部倒下的原理
使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件： ⑴ 第一块骨牌倒下； ⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下． 两个条件的作用： 条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系
•
利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜 想（经历利用合情推理提出猜想 逻辑推理进行证明）
数学归纳法的原理：
４.合情推理与逻辑推理的联系与区别
通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理 所得结论的正确性需要演绎推理（包括数学证 明）进行证证明。合情推理往往提供证明思路
四、需要注意的问题
1.推理部分的教学重点(发现问题、解决问题)
通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜 测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论 的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学 的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎 推理，而不追求对概念的抽象表述。
1. 结合实例理解推理（引入、应用）
紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例， 以具体的例子为载体，理解合情推理和演绎 推理，避免空泛地讲推理。
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
文科（10课时）
2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 小结 理科（10课时） 2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法 约3课时 约3课时 约2课时 约5课时 约4课时 约1课时
推 理
（5/3课时）
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
2.根据命题的特点，选择证明方法
充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析 命题中条件与结论的特点，选择合适的证明方 法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明， 转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。
3、综合利用各种方法进行证明
在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法 很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进 行证明。例如：
• 一个数学问题（需要探索新的证明方法 ） a
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ 1 an （n ＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项 1 的归纳，我们已经猜想出其通项公式为an n ＝ ．”
n
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限 个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
2.纠正典型错误，进一步理解推理
⑴ 合情推理的结论不一定正确
费马猜想：任何形如 2 （n∈N*）的数都是质数． 反例：
（初步体验证明的必要性）
2n
“平面内，两组对边分别相等的四边形是平
行四边形” ； “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线 互相平行” ．
类 比
“空间中，两组对边分别相等的四边形是平 行四边形”； “空间中，同时垂直于一条直线的两条直线 互相平行”．
⑴ 一个偶数（大于6）总可以表示成两个奇质 数之和； ⑵ 没有发现反例 。
歌德巴赫猜想： 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇 质数之和。 总结特点：
这种由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物也具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，通常称为归纳推理 （简称归纳）．简言之，归纳推理是 由部分到整体、由个别到一般的推 理．
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
证 明 （4/3课时）
直接证明 间接证明
综合法
分析法
பைடு நூலகம்
数学归纳法 （2课时）
反证法
二、教学目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义。
2.能正确地运用合情推理和演绎推理进 行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系 与差别。
4.了解直接证明的两种基本方法——分 析法和综合法的思考过程、特点。 5.了解间接证明的一种基本方法──反 证法的思考过程、特点。 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题。
⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜 想成立的最小的正整数)； ⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋ 1也成立（k≥n0）． 学生普遍存在的问题： 为什么第二步能在假设下进行证明？ 第二步实际上是证明一个命题：“假设 n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k＋1时命 题也成立．” 其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用 是从前往后传递.
• • • • •
综合法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过 的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所 要的结论．
（2）举例——体验特点
（3）总结特点 一般地，利用已知条件和某些已经 学过的定义、公理、定理等，经过一系 列的推理、论证，最后推导出所要证明 的结论成立，这种证明方法叫做综合 法 。