普通高中课程标准实验教科书(A版)

1. 结合实例理解推理（引入、应用）
紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例， 以具体的例子为载体，理解合情推理和演绎 推理，避免空泛地讲推理。
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
⑵ 演绎推理的形式正确，大前提错误， 结论也是错误的
3.结合实例讲“证明”
通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明 确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真 正作到“论证有据”： 回忆遇到过的某类证明方法的特点 通过证明典型且简单的数学问题或实际问题， 体验证明方法的特点 总结特点，给出证明方法的定义 证明的流程框图（提炼特点） 证明数学命题（强化、自觉使用）
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
分析法
（1）回忆、描述 在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反 推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个 明显成立的条件为止． （2）举例、体验特点
（3）总结特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求 推证过程中，使每一步结论成立的充分条件， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
⑴（归纳奠基）：命题对n=n0成立(n0为使猜 想成立的最小的正整数)； ⑵（归纳递推）：命题若对n=k成立，则对k＋ 1也成立（k≥n0）． 学生普遍存在的问题： 为什么第二步能在假设下进行证明？ 第二步实际上是证明一个命题：“假设 k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k＋1时命 题也成立．” 其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用 是从前往后传递.
三、编写特点与教学建议
• •
以已学知识为载体，讲推理和证明方法。 证明方法（除数学归纳法外）是学生在以前 的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵 不很明确，被动地、不自觉地使用。 任务：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。 通过具体例子（已学的内容）总结各种证明 方法的思考过程和特点、明确它们的内涵， 通过应用进行强化，逐步主动、自觉地使用。
归纳
（部分到整体、 特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
证 明 （4/3课时）
直接证明 间接证明
综合法
分析法
数学归纳法 （2课时）
反证法
二、教学目标
1.了解合情推理和演绎推理的含义。
2.能正确地运用合情推理和演绎推理进 行简单的推理。
3.了解合情推理与演绎推理之间的联系 与差别。
4.了解直接证明的两种基本方法——分 析法和综合法的思考过程、特点。 5.了解间接证明的一种基本方法──反 证法的思考过程、特点。 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题。
（4）证明数学命题（强化、自觉使用）
反证法
反证法的特点：
假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得 出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立．
证明数学命题（强化、自觉使用）
应用反证法的情形：
直接证法难找到证明思路（例题）、需分成很 多类进行讨论（引例）．
数学归纳法
数学归纳法是一种特殊的证明方法，主 要用于证明与正整数有关的数学命题。 特点：通过有限个步骤的推理，证明n取 无限多个正整数的情形． 归纳出数学归纳法的原理
４.合情推理与逻辑推理的联系与区别
通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理 所得结论的正确性需要演绎推理（包括数学证 明）进行证证明。合情推理往往提供证明思路
四、需要注意的问题
1.推理部分的教学重点(发现问题、解决问题)
通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜 测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论 的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学 的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎 推理，而不追求对概念的抽象表述。
⑴ 一个偶数（大于6）总可以表示成两个奇质 数之和； ⑵ 没有发现反例 。
歌德巴赫猜想： 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇 质数之和。 总结特点：
这种由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物也具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，通常称为归纳推理 （简称归纳）．简言之，归纳推理是 由部分到整体、由个别到一般的推 理．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理
“火星上是否有生命”
总结特点：
这种由两类对象具有某些类似特征， 和其中一类对象的某些已知特征，推 出另一类对象也具有这些特征的推理 称为类比推理（简称类比）．简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理．
文科（10课时）
2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 小结 理科（10课时） 2.1合情推理与演绎推理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法 约3课时 约3课时 约2课时 约5课时 约4课时 约1课时
推 理
（5/3课时）
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
• “多米诺骨牌”全部倒下的原理
使“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件： ⑴ 第一块骨牌倒下； ⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导 致后一块倒下． 两个条件的作用： 条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系
•
利用“多米诺骨牌”原理证明这个数学猜 想（经历利用合情推理提出猜想 逻辑推理进行证明）
数学归纳法的原理：
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和 1个“斜面” S
• 演绎推理举例
前提和推理形式（规则）正确，结论正确
证明函数 f(x)=－x2＋2x 在(－∞，1]上 是增函数．
分析：证明本例所依据的大前提是增函数的 定义，即函数y＝f(x)满足在给定区间内任取 自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则有f(x1) ＜f(x2)． 小前提是f(x)=－x2＋2x，x∈(－∞，1]满 足增函数的定义，这是证明本例的关键．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似
特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
• 类比推理举例
类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
普通高中课程标准实验教科书(A版)
选修1-2，2-2
推理与证明
简 介
李龙才
人民教育出版社中学数学室
一、内容结构 二、教学目标 三、编写特点与教学建议 四、需要注意的问题
一、内容结构
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是 人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理 一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学 生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情 推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异； 体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方 法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、 数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）； 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用， 养成言之有理、论证有据的习惯。
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综合法
（1）回忆、描述
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些学过 的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所 要的结论．
（2）举例——体验特点
（3）总结特点 一般地，利用已知条件和某些已经 学过的定义、公理、定理等，经过一系 列的推理、论证，最后推导出所要证明 的结论成立，这种证明方法叫做综合 法 。
2.纠正典型错误，进一步理解推理
⑴ 合情推理的结论不一定正确
费马猜想：任何形如 2 （n∈N*）的数都是质数． 反例：
（初步体验证明的必要性）
2n
“平面内，两组对边分别相等的四边形是平
行四边形” ； “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线 互相平行” ．
类 比
“空间中，两组对边分别相等的四边形是平 行四边形”； “空间中，同时垂直于一条直线的两条直线 互相平行”．
2.根据命题的特点，选择证明方法
充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析 命题中条件与结论的特点，选择合适的证明方 法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明， 转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。
3、综合利用各种方法进行证明
在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法 很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进 行证明。例如：
• 一个数学问题（需要探索新的证明方法 ） a
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ 1 an （n ＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项 1 的归纳，我们已经猜想出其通项公式为an n ＝ ．”
n
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限 个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
“两头挤”
把分析法和综合法结合起来使用：根据 结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P； 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结 论Q．若由P可以推出Q成立，就可以证明结论 成立．
3.以已学知识为载体，讲推理和证明方法 4.对证明的技巧性不宜作过高的要求 5.文理差异