1.1集合区间邻域

区间
定义 介于某两个实数之间的全体实数称为区间, 这两个实数叫做区间的端点.
设 a,b R, 且 a b, 定义 开区间 (a,b) { x | a x b}; 闭区间 [a,b] { x | a x b}; 半开区间 [a,b) { x | a x b},
(a,b] { x | a x b}; 无限区间 [a,) { x | a x},
集合表示方法
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A仅由有限个元素 a1,a2 ,,an 组成,
集合的概念
1. 例举法: 即在 { } 中按任意顺序、不遗漏、不
重复地列出集合的所有元素. 例如
(1) 若 A仅由有限个元素 a1,a2 ,,an 组成,
集合与元素的关系:
aM, aM
由无限个元素组成的集合称为无限集. 由有限个元素组成的集合称为有限集. 集合举例
(1) 2012年在福建地区出生的人.
集合的概念 集合举例
(1) 2012 年在福建地区出生的人.
(2) 方程 x2 3x 2 0 的根. (3) 全体奇数. (4) 抛物线 y x2上的所有点.
(,b) { x | x b}; 特别地 (,) R.
区间演示图
Oa
x b
(a , b) = {x a x b };
Oa
x b
[a , b) = { x a x b } ;
x Oa [ a , ) = { x a x } ;
x O
( , ) = R ;
Oa
x b
[a , b] = {x a x b } ;
(1) A 与 B 的并集(简称并) A U B { x | x A 与 x B};
A
B
(2) A 与 B 的交集(简称交) A I B { x | x A 且 x B};
A
B
(3) A 与 B 的差集(简称差) A B { x | x A 且 x B}; A
B AB
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合S 中进行,
两集合间的直积或笛卡尔 (Descartes) 乘积
设 A, B 是任意两个集合, 任取 x A, y B, 组成 一个有序对 ( x, y), 以这样的有序对的全体组成的 集合称为集合 A与集合B 的直积, 记为
A B {( x, y) | x A且 y B}. 如 R R {( x, y) | x R, y R} 即为 xOy 面上全 体点的集合, R R 常记作 R2 .
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合, 可记为 M { x | x2 3x 2 0}.
(2) 全体奇数的集合, 可记为
M { x | x 2n 1,n Z }.
集合之间的关系
若 xA
x B, 则称 A 是 B 的子集,
记为 A B. 若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等,
可记为
A {a1,a2 ,,an }.
(2) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
可记为
A {1,2}.
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
(1) 由方程 x2 3 x 2 0 的根构成的集合,
集合的概念
2. 描述法: M { x | x 所具有的特征}
( A I B) U C ( A U C ) I (B U C ); (4) 对偶律 ( A U B) A I B. ( A I B) A U B.
集合的基本运算规律
证 (4) x ( A U B)
x AU B
xA 且xB x A且xB (A U B) A I B,
x AI B
注 以上证明中,符号“ ”表示“等价”, 另一个 常用符号是“ ”, 表示“推出”(或“蕴含”). 符号“ ”, 表示“任意的”(或“任何的”). 符号“ ”, 表示“存在”.
规定: 空集为任何集合的子集.
数集的概念 规定: 空集为任何集合的子集. 数集 元素都是数的集合称为数集.
数集分类:
N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 数集间的关系: N Z Q R.
注: 如无特别说明, 本课程中提到的数都是实数.
集合的运算
设 A, B是两个集合, 定义
Oa
x b
(a, b]={ x a x b};
x Ob ( , b ) = { x x b } .
无限区间 特别地
区间
[a,) { x | a x}, (,b) { x | x b};
集合的基本运算规律
设 A, B,C 为任意三个集合, 则有下列法则成立: (1) 交换律 A U B B U A, A I B B I A; (2) 结合律 ( A U B) U C A U (B U C ),
(AI B) I C AI (B I C); (3) 分配律 ( A U B) I C ( A I C ) U (B I C ),
集合的概念
若 A B, 且 B A, 就称集合 A 和 B 相等, 记为 A B. 例如, A {1,2}, M { x | x2 3x 2 0}
A M. 若 A B 且 A B, 则称集合 A 是 B 的真子集,
记为A B. 空集 不包含任何元素的集合, 记为 .
例如, { x | x R, x2 1 0} .
所研究的其他集合A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
集合的运算
(4) 当所研究的问题限定在一个大的集合S 中进行,
所研究的其他集合A 都是 S 的子集. 定义 A 的余集
或补集
A S A.
SA A
例如, 在实数集 R中, 集合 A { x | 0 x 1} 的余
Fra Baidu bibliotek集就是
A {x | x 0或 x 1}.
第一章 函数、极限与连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节
函数
第一章
一、邻域 二、常用的几个不等式 三、函数及其性质 四、初等函数
首先回顾一下中学所学过的有关 集合、数集、函数的概念。
集合的概念 集合 具有某种特定性质的事物的总体. 元素 组成这个集合的事物称为该集合的元素.