高中数学必修二第二章 2.1.1课件

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高中数学必修2第2章212第二课时两点式课件(_1

化，形成用联系的观点看问题的习惯.
1．直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)． (2)方程：_y_y2－_－_yy_11_＝__xx2_－－_x_x1_1 __ 2．直线的截距式方程 (1)条件：A(a,0)，B(0，b)且___a_b_≠__0_______ (2)方程：__xa_＋__by_＝__1______
1．在例1的条件下，求过点B且平行于AC的直线方程．解：设所求的直线为 l，由于 l 与直线 AC 平行，则这两条直线的倾斜角相等，所以 kl＝kAC＝3－0－－22＝－25，故直线 l 的方程为 y－2＝－25(x－3)．
直线的截距式方程求过定点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程．
(本题满分 12 分)求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程．
[解] 当直线过原点时，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0，满足题意，此时，直线的斜率为12，所以直线方程为 y＝12x.2 分当直线不过原点时，由题意可设直线方程为xa＋by＝1，又过点 A，所以4a＋2b＝1①，4 分因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b| ②，
[错因与防范] (1)方程xa＋by＝1 中的 a 与 b 是直线在 x 轴与 y 轴上的截距，而不是距离，所以由三角形面积为 4，应该有12|a||b| ＝4. (2)直线的截距是指直线在坐标轴上对应的坐标，因此可为正、可为负、可为零；而距离是线段的长度，是非负的．截距不是距离，解题中应注意准确把握两者的区别．
2．求过点 A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程．解：(1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时，可设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1.又 l 过点 A(3,4)，所以3a＋－4a＝1，解得 a＝－1.

高中数学 2.1.1 平面课件新人教A版必修2

第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3

高中数学必修二第二章第一节课件

如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章平面解析几何初步
如果代数与几何各自分开发展, 那它的进步将十分缓慢,而且应用范围也很有限.但若两者互相结合而共同发展, 则就会互相加强, 并以快速的步伐向着完美化的方向猛进.
点的集合是一条曲线.
我们知道, 直线和圆是基本的几何图形.那么如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直线是最常见的图形, 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线.
为什么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转
过的最小正角称为这条直线的倾斜角(inclination),并规定:
y B
A
O

N
图2 1 51
与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00 . 由定义可知,直线的倾斜角的取值范围是00 1800 . 当直线的斜率为正时, 直线的倾斜角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .

最新-2021学年高中数学必修二精讲优练课件：第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品

公理
文字语言
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么公理3
它们有且只有一条过
该点的_公__共__直__线__
图形语言
符号语言
P∈α且P∈β⇒
_________ α∩β=l, ______ 且P∈l
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)一个平面能把空间分成几部分? 提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
(2)平面的画法.
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形__,并且其锐角画成_4_5_°__,且横边长等于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用_虚__线__画出来.
(3)平面的表示方法. ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位于什么地方? 提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点既在平面α内又在平面β内.
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰. 因为AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β=l,所以M∈l. 即AB,CD,l共点(相交于一点).
【总结提升】 1.公理1、2、3的意义和作用 (1)公理1. 意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的 “平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”. 作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.

高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修

(2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－－yx11(x1≠x2)来解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17；直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－－14＝－42＝－12；直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在．当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则斜率不存在．

2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2

【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3，又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的位置关系：
【知识点拨】根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|，所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2，当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5，点 C 只能在 AB 的延长线上，从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8，综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1

• 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根据右图，填入相应的符号： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．

2-1-1 两角和与差的余弦公式(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二

3
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.

高中数学必修2-3第二章2.1 2.1.1离散型随机变量

第二章随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量问题导航(1)随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？(2)随机变量与函数有什么区别与联系？1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个________试验结果都用一个________确定的数字表示．在这个对应关系下，________数字随着________试验结果的变化而变化．像这种随着________试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母________X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量所有取值可以________一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()答案：(1)×(2)√(3)×2．下列变量中，不是随机变量的是()A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次的环数C．某日上证收盘指数D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾答案：D3．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点答案：D4．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品1．对随机变量的再认识(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．2．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球半径长．[解](1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．1．(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析：选C.对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．(2)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；②掷一枚质地均匀的正方体骰子出现的点数(最上面的数字)；③某个人的属相随年龄的变化关系．解：①任意掷一枚质地均匀的硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②掷一枚质地均匀的骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30 m有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获奖等次X；(3)一天内气温的变化值X.[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．2．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C.①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出．④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．用随机变量描述随机现象写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解](1)ξ可取0，1，2.ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0，1，2.(2)设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5， (11)X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；…X ＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( ) A ．2枚都是4点B ．1枚是1点，另1枚是3点C ．2枚都是2点D ．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点解析：选D.抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1，2， (6)而ξ＝x ＋y ，ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. (2)写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．①在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X ； ②射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．解：①X 可能取值0，1，2，3，4，5，X ＝i 表示面试通过的有i 人，其中i ＝0，1，2，3，4，5. ②ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．(2015·南充高二检测)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．[解析] 从6个球中选出3个球，当ξ＝3时，另两个球从1，2中选取，有一种抽法；当ξ＝4时，另两个球从1，2，3中任取两个球，有C 23＝3种；当ξ＝5时，另两个球从1，2，3，4中任取两个球，有C 24＝6种；当ξ＝6时，另两个球从1，2，3，4，5中任取两个球，有C 25＝10种．所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20种． [答案] 20[错因与防范] 本题易遗漏ξ＝3，4，5的情况；对题目中给出的条件作出正确判断是解决数学问题的关键，如本例中“以ξ表示取出的篮球的最大号码”指的是“随机抽取3个篮球”中的最大号码，而不是ξ＝6.4．袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，求随机变量的取值．解：设所需要的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2， (11)1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色的种数解析：选 D.A.小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为() A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5解析：选B.因红球共有6个，在取到白球前可取6次，第7次取球只能取白球停止，所以X可能取值有1，2，3， (7)3．下列随机变量中是离散型随机变量的是________．①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5千克以上的条数X；②任意取直线y＝x上的整点的个数X；③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X.解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X 可以一一列举，且②中的X是无限的．答案：①②④4．某篮球运动员在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得0分，该队员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该队员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．[A.基础达标]1．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x 2－2x －3＝0根的个数是随机变量．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①②③是正确的，④中方程x 2－2x －3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( )A ．0≤X ≤5，X ∈NB ．－5≤X ≤0，X ∈ZC ．1≤X ≤6，X ∈ND ．－5≤X ≤5，X ∈Z解析：选D.两次掷出点数均可取1～6所有整数， ∴X ∈[－5，5]，X ∈Z .3．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球的概率解析：选B.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A ，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B 正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C 不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D 不正确，故选B.4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放回5个球”的事件为( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X ＝6.5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．6B ．7C ．10D ．25解析：选C.X 的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．6．(2015·济南高二检测)已知Y ＝2X 为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，3，4，…，10，则X 的取值为______________________．解析：由题意可知X ＝12Y .又Y ∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故X ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，2，52，3，72，4，92，5.答案：12，1，32，2，52，3，72，4，92，57．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.答案：－300，－100，100，300 8．某射手射击一次所击中的环数为ξ(取整数)，则“ξ＞7”表示的试验结果是________．解析：射击一次所中环数ξ的所有可能取值为0，1，2，…，10，故“ξ＞7”表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为8环、9环或10环”．答案：射击一次所中环数为8环或9环或10环 9．(2015·南京高二检测)小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X 表示这两张金额之和．写出X 的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．解：X 的可能取值为6，11，15，21，25，30. 其中，X ＝6，表示抽到的是1元和5元； X ＝11，表示抽到的是1元和10元； X ＝15，表示抽到的是5元和10元； X ＝21，表示抽到的是1元和20元； X ＝25，表示抽到的是5元和20元； X ＝30，表示抽到的是10元和20元．10．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．解：(1)(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，∴η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．[B.能力提升]1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标解析：选C.ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．2．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．20 B．24C．4 D．18解析：选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是________．解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．答案：第一枚为6点，第二枚为1点4．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．解析：ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C27种方法，即21种．答案：215．手机上网安全、方便，某地移动公司推出一款上网卡，月租费10元，上网时每分钟0.04元(不足一分钟的按一分钟计算)．小张在一个月内上网的时间(分)为随机变量ξ，求小张在一个月内上网的费用η，则ξ和η是否为离散型随机变量．解：由于上网时间不足1分钟按1分钟计算，因此变量ξ的取值为1，2，3，….∴ξ是一个离散型随机变量．又η＝0.04ξ＋10，ξ∈N*，故η也是离散型随机变量．6．写出下面随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.解：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．。

人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36

H E 2
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE，
A
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
相交直线空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法两异面直线所成的角一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ？ O a b′ a′
θ
O
平移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围： 0 o < 90 o
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（ 3 ）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？解 : （1）由异面直线的定义可知，与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.

高中数学课件-2 1 从平面向量到空间向量

第二章 2.1
[点评] 求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点相同处，得到的夹角才是所求．如第(1)问中，将向量A→A1平移至B→B1处，由于B→1C，B→B1的起点不相同，所以得到的∠BB1C 为应求两向量夹角的补角．同学们注意体会！
第二章 2.1
如图， M ， N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD － A′B′C′D′的棱 BB′，B′C′的中点，求：
第二章 2.1
探索拓研创新
第二章 2.1
法向量
对于平行四边形 ABDC，图中的五个向量中各个向量之间的关系如何？在图中画出平行四边形 ABDC 的一个法向量．
[分析] 分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等、相反或平行．作平面的法向量，只要作向量b，使之垂直于平面内两个相交向量即可．
第二章 2.1
向量的有关概念
给出下列五个命题：
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间两向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数
第二章 2.1
[点评] 证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明直线垂直于平面即可．都可转化为已学过的空间几何问题．
第二章 2.1
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)分别给出直线AA1，BD的一个方向向量； (2)分别给出平面ADD1A1，平面BB1D1D的一个法向量．
第二章 2.1

辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修二全册课件2.1.1平面

第五页，编辑于星期日：二十一点分。
思考2:请你用尺子做实验并回答以下问题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？
2、过两点有几个平面？
3、过在同一直线上的三点有几个平面？ 4、过不在一直线上的三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
第六页，编辑于星期日：二十一点分。
公理二：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（文字表示）
第十四页，编辑于星期日：二十一点分。
3、点与平面的关系 B
A
α
① 点A在平面内，记作A∈ α ② 点B在平面外，记作B α
第十五页，编辑于星期日：二十一点分。
点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合语言描述）
（1）点A 在直线L上
A
表示为： A L
第十六页，编辑于星期日：二十一点分。
（2）直线L在平面内 .
图形表示
No·B
α ·A
·C
Image
符号表示为： C AB
存在唯一平面α，使A∈ α
作用：可用于确定平面的条件。
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思考3:把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B？为什么？
B
第八页，编辑于星期日：二十一点分。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且所这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（文字表示）
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q ； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α内，L和m
相交于点P 。
第十一页，编辑于星期日：二十一点分。

2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件新人教B版必修1

类型二十字相乘法分解因式【典例】把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2 (2)6x2-7x-5 (3)5x2+6xy-8y2
2.方程x(x-1)=x的根是 ( )
A.x=2
B.x=-2
C.x1=-2，x2=0
D.x1=2，x2=0
【解析】选D.因为x(x-1)=x，所以x2-x=x，
所以x2-2x=0，所以x(x-2)=0，所以x1=2，x2=0.
3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是 ( ) A.(x-2)(x+2)=x2-4 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(-3+m)·(3+m)=m2-9 D.16x2-9=24x
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算(2a+5)(2a-5)=2a2-25. ( ) (2)因式分解过程为：x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4). ( ) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x+2)(x-3)=6，所以x+2=3或x-3=2. ( )
提示：(1)×.(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25=4a2-25. (2)×.x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4y). (3)×.若(x+2)(x-3)=0，可化为x+2=0或x-3=0.
2.选B.方法一：(x+3y)2-(3x+y)2 =x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2) =x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2 =8y2-8x2.
方法二： (x+3y)2-(3x+y)2 =[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)] =(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y) =(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)×2(-x+y) =8y2-8x2.

高中人教版必修2数学课件第二章2.1.2精选ppt课件

() A．2 对
B．3 对
C．6 对
D．12 对
解析：选 C.如图所示，在长方体 AC1 中，与对角线 AC1 成异面直线位置关系的是：A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成 6 对异面直线．
3．如图，点 G、H、M、N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形是________．
(1)判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分，除了平面几何中常用的判断方法以外，公理 4 也是判断两直线平行的重要依据． (2)证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等角定理时，应注意说明这两个角同为锐角、直角或钝角．
(2)异面直线所成的角两条异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们所成的角的大小也就随之确定了．
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
答案：D
2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
章点、直线、面之间的位置关系
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章点、直线、平面之间的位置关系
1.会判断空间两直线的位置关系． 2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角． 3．能用公理 4 解决一些简单的相关问题．
1．空间直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：把不同在_任__何__一__个__平面内的两条直线叫做异面直线． ②画法：(通常用平面衬托)
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
3．若正方体 ABCD-A1B1C1D1 中∠BAE＝25°.

人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》

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2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合，所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚

高中数学新人教A版必修2 第2章 2-1空间点、直线、平面的位置关系

A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
ab
a和b确定一平面.
作用:用于确定一个平面.
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
公理3：若两个不重合平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中基本图形：点、线、面
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的.
（但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A
B
A
3.记法:
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打，否则打 .
CA
C (G)
A
G
E
H
DB
HE F
D
B(F)
空间两条不重合直线的位图关系有且只有三种：
若从有没有公共点的角度来看,可分为两类 :
(1) 有且仅有一个公共点相交直线
(
2)
没有公共点
平行直线异面直线
若从有没有共面的角度来看,也可分为两类:
(1)
在同一个平面内
相交直线平行直线
( 2)不同在任何一个平面内异面直线
A1
B1
(2) 直线MB1与CC1异面直线关系
主要特征：既不平行，也不相交
异面直线的定义：
D A

人教A版高中数学必修2课件2.1.1 平面课件(数学人教A版必修2)课件

2.线与线、线与面的位置关系直线a与b相交于点A:
A

b

a
表示为：
ab A
直线l在平面内：

l
表示为： (不在呢?)： l
l

课堂探究
直线l在平面外： (I) (II)
A
l
lL

表示为： l //
表示为： l α = A
课堂探究
平面与平面相交于直线l：
l

表示为：
课堂探究
1.平面的概念
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的．桌面黑板面平静的水面平面的形象
课堂探究
2、平面的画法：
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
课堂探究
(1)水平放置的平面
(2)垂直放置的平面
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
课堂探究
(3)两个相交平面的画法：
①先画两平面基本线
②画两平面的交线 ③分别作三条线的平行线 ④把被遮部分的线段画成虚线或不画，其他为实线
α β
被遮挡的线用虚线表示
课堂探究
3.平面的表示方法
(1)平面是无限延展的（常用平面的一部分表示平面） (2)常用平行四边形表示，如图所示
典型例题
例4 下列命题正确的是（ D ） A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
课堂小结
1.平面的概念；
2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言。

高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1

B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．