原函数图像与反函数图像的交点在哪里

点， 则有
＝ｆ （ ｍ） ＝ｆＩ １ （ ｍ） 。 即 ｍ ＝ｆ（ ） ① ②
（ ｚ ∈（ 一ｌ 。 ＋∞） ） 的 图像 与其反 函数 的图像 的交 点坐
标为— — ．
解由 于 函 数 乏 ２ 一 ‘ ２ 在区 间 （ 一 ｌ ，
＋∞） 为单调增 函数 ， 由定理可得 ：
个半平面旋转重合时， 与磊的方向相反， 于是二面
＾
角为， ｒ — ａ ｒ ｃ Ｃ Ｏ Ｓ ÷； 若取ｎ — ｌ ＝ （ 一 １ ， １ ， 一 ２ ） ， 磊＝ （ １ ， １ ，
Ｊ
所成 的角等 于二面角 的平 面 角， 即０ ＝ｙ （ 如 图） ．
（ ２ ） 在二 面 角 口一ｚ一口 中， 如果 将 一 个半 平 面绕 棱 ｚ 按逆时 针 （ 或顺 时针 ） 方 向 旋转 到与另一个 半平面重 合 时， 若它 们的法 向量方 向相 反， 的角 与 二 面 角 的 平 面 角 互 补， 即 ０＝， ｒ —ｙ （ 如 图） ．
函 数 ， 那 么 它 的 图 像 与 其 反 函 数 【 Ｊ的 图 像 交
点在直 线 ＝， ２ ７ 之外就 不足 为怪 了， 同时。 我 们还 可 以
（ １ ） 若原 函数为单调增 函数， 若设 ａ ＜ｂ ， 则ｆ （ ａ ） ＜， （ ６ ） 。 而ｆ （ ａ ） ＝ｂ 。 ｆ （ ｂ ） ＝ ａ 。 故６ ＜ａ ， 这 与所设 ａ ＜ｂ 矛盾 ； 同理可证 若 ａ ＞ｂ 也不 可能 ； 若ａ ＝ｂ ， 成立 。 故增 函数与其反 函数 的图像 如 果相 交， 则交 点一
定在直 线 ｙ＝， ２ ７ 上．
得 到另 ． ＊ １ － － 个对 应交点（ ÷， 告） ． 至 此。 通 过定量的
研究我们可以得到函数 Ｙ＝ｌ ｏ ｇ （ Ｏ ＜ａ ＜１ ） 的 图像 并
不是教材中所描述 的那样 “ 一 泻而 下” 。 而 是 出现 了一 些特殊的拐点 。 但教材 中对此并没有 相应 的描述 ， 这也
Ⅱ、 若 Ｙ＝ｆ（ ｚ） 为 单 调 减 函 数， 则交 点 可 由
ｆ ， （ ｚ 求 解 交 点 ， 就 可 能 漏 解 ， 此 时 必 须 严 格 按 照
、 Ｙ ｚ
故 减函数与其 反函数 ｚ上 。 也 可能在直线 ｙ ＝ｚ之外 ． 下面证 明： 若交 点在直线 ｙ＝ｚ之外， 则这些交点
因为 Ｑ 点 （ ｎ ， ｂ ） 为原 函数图像上的点 ， 所以 ｆ （ ａ ）
＝ ｂ． ．
ｌ ｏ ｇ 与 其 反 函 数 ＝ ａ ｘ 图 像 的 交 点 为 （ 专。 寺） 时 ， 得
到ｎ ， 此 时对应 的函数 为 ｚ ， 它是 一个 减
又点（ ｎ 。 ６ ） 为反 函数 图像 上的点 。 所 以点（ ６ ， ａ） 在 原 函数 图像上 ， 有ｆ （ ｂ ） ＝ａ ．
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２ ０ ０ ５年 第 ５期
中 学数 学教 学
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原函数 图像 与反函数 图像 的交点在 哪里
江苏省张家港市暨阳高级中学 吕兆勇 （ 邮编 ： ２ １ ５ ６ ０ ０ ）
在南通 四县市 ２ ０ ０ ５ 届 高三 联合 考试数 学试 卷 中
２３ ７
’ 得 故交点 为（ Ｏ 。 Ｏ ） 。 （ １ ， １ ） ．
或
令 Ｎ（ ， ｍ） ， 由① 、 ②可知 Ｍ ∈Ｃｌ ， Ｎ∈Ｃ１ ．
另一方面 ， 由① 可得 ｍ＝ｆＩ １ （ ） ， 由② 可得 ＝
， Ｉ １ （ ｍ） ， 可 知 Ｍ ＥＣ２ ， ＮＥＣ ２ ． 因此 ， Ｍ、 Ｎ 均是 ＣＩ 、 Ｃ ２上的点 ． 可得 ： 交 点成对 出现 。 成对 交点关于直线 Ｙ＝ｚ对称 ．
向， 法向量所成的 角等 于二 面 角的平 面 角 ； 若相 反， 二
２ ） ， 磊＝ （ １ ， １ ， ２ ） 时， 由于
是 第Ⅳ卦限 向量 ， 其方 向为左 向上的， 由向量 的 自由性
面角的平面角与法向量所成的角互补 ．
（ 收 稿 日期 ２ ０ ０ ５ —０ ７ —１ ４ ）
出现 了这样 一道选择题 ：
１ １
例 １ 若点 Ｑ（ １ ， ２ ） 在原函数 Ｙ＝ 上， 又在反 函数 的图像上， 则 ａ＝— — ． 解
的 图像
口 取不同值时， 在Ｐ （ 吉， ÷） 、 Ｑ （ １ ， １ ） 、 Ｒ （ ２ ， ２ ） 、
Ｓ （ ２ ， ３ ） Ｎ个 点中 可以是 函数 Ｙ＝Ｉ Ｏ ｇ ａ ． Ｚ的 图像 与其反 函数 图像 的公共点 的是 （
由上例可知对于函数 Ｙ ＝厂
直 线 Ｙ＝ｚ上 ．
（ Ｃ） Ｑ、 Ｒ
（ Ｄ） Ｐ、 Ｒ
， 它 的图像与其
对于该题 ， 许多学生毫 不犹豫 的选 了 （ ｃ ） 项， 其理
由是 ： 由图像可知 ： 原 函数 图像与反 函数 图像 的交点一 定在直线 Ｙ＝ｚ上 ． 但事 实并非 如此 。 通过 逐项 检验
（ ２ ） 用代数 的方法求 出两 个半 平面 的法 向量 算 出
法向量之 间的夹 角 ．
（ ３ ） Ｎ 定两 个法向量所在 的卦限及指 向， 进而判 断
出两个半平 面旋转 重 合时它 们是 同 向还 是反 向， 若 同
过头来看前 述试题 的第 （ Ⅲ） 问题 ， 易知 当取 ｎ — ｌ ＝（ １ ， 一１ ，
｛
例
进 行 求 解 ．
（ ２ ０ ０ ２ 年、 高考 、 新课程卷 ） 函数 ＝
’
以直线 Ｙ ＝ｚ为对称轴 成对 出现 ． 设 Ｍ（ ｍ， ） （ ｍ≠ ） 是 减 函数 Ｙ ＝ｆ （ ｘ） 的 图像 Ｃ ｌ 与Ｙ ＝ｆ Ｉ １ （ ｚ ） 的图像 Ｃ ２ 交于直 线 Ｙ＝ｚ外 的一
知平面 Ａ ＭＣ的法向量为左向上的； 同理， 平面 Ｂ ＭＣ
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称轴 成对 出现 ．
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在篇头 的例 中， 我 们 通 过 检 验 得 到 当 函 数 Ｙ＝
证 明 设 函数 Ｙ ＝ｆ （ ｘ） 。 点 Ｑ（ ａ 。 ｂ ） 为原 函数与 反函数 图像 的交点 ．
（ 收 稿 日期
２ ０ ０ ５ —０ ５—２ ８ ）
像有交 点。 那么 交点 可能 不都 在 直线 Ｙ ：ｚ上， 若 在
直线 Ｙ＝ｚ外还有交 点， 则这些交 点以直线 Ｙ＝ｚ为对
成的角 为 ｙ ．
的法向量 为 第 １卦限 向量， 方 向为 右 向 上 的， 当两
（ １ ） 在 二面角 ａ—ｚ 一』 ９ 中， 如 果将 一个 半平 面绕
棱ｚ 按逆时 针（ 或顺 时针） 方 向旋转 到与另一个半平 面 重合时 ， 若它 们的法向量方 向相 同， 则旋转前的法 向量
是学生选错此题 的一个原 因所在 ．
由上面 的定理我们还可 以得到求 原函数图像与其 反 函数 图像 的交点的一般做法 ： Ｉ、 若 Ｙ＝ ｆ（ ， ２ ７ ） 为单 调 增 函数， 则 交点 可 由
（ ２ ） 若原 函数为单调 减函数。 当 ａ＝ｂ 。 则有 ｆ （ ａ） ＝， （ ６ ） 。 即点 （ ａ 。 ｂ ） 在直线 ｙ
可知 （ Ｄ ） 项为 正确 答案 ．
这样就 给学生引 出了两个 问题 ：
（ １ ） 原 函数 图像 与反 函数 图像的 交点 为什 么不都
在对称轴 Ｙ＝ｚ上 ？ （ ２ ） 从教材所给 的相 关 图像上认 识好 象 只可能 在
对称轴 Ｙ ＝ｚ 。 而 结果怎 么不 正确？ 对 于问题 （ １ ） ， 我 们曾有这样的一个例子 ：
反函数 图像一 定存在 着一 个交 点 （ １ ， ２ ） ， 但（ １ ， ２ ） 不在 由此。 我 们可以知 道有 的函 数 图像与 其 反函 数 图 像的交点 不在直 线 Ｙ＝ｚ上， 那 么有没 有一 类原 函数 图像与反函数图像的交点一 定在直线 Ｙ＝ｚ上呢 ？ 定理 一般地 ， 若原 函数 为单调增 函数 ， 且其 图像 与它的反 函数 图像有 交点， 则此交点一定在直 线 Ｙ＝ｚ 上； 若 原函数为单调减函数 ， 且其 图像与 它的反 函数 图
下 面运 用上面的结论 回
２ ） 时， 此时 为第Ⅵ卦限向量， 方向为右向下的， 而磊
仍然为右 向上方 向， 当两 个 半平 面 旋转 重 合 时， 与
一 ’
磊的方向相同， 故二面角为 ａ ｒ ｃ Ｃ Ｏ Ｓ （ 一 ） ．
通过 上述讨 论。 用 平面 法 向量 确 定二 面 角平 面角 的大小， 可分 为以下几个步骤 ： （ １ ） 建立 空间直角坐标系， 找出相应点 的坐 标 ；
（ Ａ） Ｐ、 Ｑ、 Ｒ
因为 Ｑ（ １ ， ２ ） 在反 函数 的 图像上 ， 所以（ ２ ， １ ）
在原函数的 图像 上， 而（ １ ， ２ ） 也 在原 函数 的 图像 上， 故
）
（ Ｂ ） Ｑ、 Ｓ
｛ ＼ √ 、 ／ ２ ， ， 即 ｛ ２ ４， ， 所 以 口 ： 一 ３ ， ６ ： ７ ． 口＋ ｂ＝２ Ｌ ａ＋ｂ
＝ｚ 上 ：
ｆ ， （ ｚ 得 到 ；
、 Ｙ ｚ
当 ａ＞ｂ 。 则有 ｆ （ ａ） ＜， （ ６ ） ， 即点 （ ａ ， ｂ ） 在直 线 ｙ ＝ｚ的下方 ； 当ａ ＜ｂ 。 则有 ｆ （ ａ ） ＞， （ ６ ） ， 即点 （ ａ ， ｂ ） 在直 线 ｙ ＝ｚ的上方 ，