方向向量与法向量(20200730085117)
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
3.2.1立体几何中的向量方法(平行和垂直)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
W
6
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
3.2.1 立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
r 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a
r 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A• r
P
a
uuur r 直线ｌ的向量式方程 APta
A
AE//FG
X
D
W
几何法呢？
EG
F
B
C Y
14
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB.
Z
解1 立体几何法
P
E
D
A
W
X
G
B
C Y
15
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
3
3
C
2uDuuCr 1uDuuEr 33
几何法呢？
u u u u ru u u ru u u r 所 以 M N 、 D C 、 D E 共 面
法向量和方向向量公式
法向量和方向向量公式法向量和方向向量是在数学和物理学中经常用到的概念。
下面我将分别解释这两个概念，并提供对应的公式。
1. 法向量：法向量是指与给定曲线、曲面或图形上某一点的切线垂直的向量。
它的方向垂直于曲线、曲面或图形的切线方向。
法向量在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
在二维平面中，法向量可以用二维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂)。
对于一条曲线或者一个曲面上的点P，可以通过求取该点的切线的斜率的负倒数来得到法向量。
如果曲线或曲面的方程已知，可以通过求取参数化方程的导数来得到法向量。
在三维空间中，法向量可以用三维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂, n₃)。
对于一个曲面上的点P，可以通过求取该点处曲面方程的偏导数来得到法向量。
具体的求法需要根据曲面方程的形式来确定。
2. 方向向量：方向向量是指描述一个物体或者一个点移动方向的向量。
它表示从一个点到另一个点的位移向量，它的大小和方向描述了物体或者点的运动轨迹。
方向向量可以用起点和终点的坐标差表示，通常记作d = (d₁, d₂)或者d = (d₁, d ₂, d₃)。
如果两个点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么方向向量可以表示为d = (x₂- x₁, y₂- y₁)。
类似地，在三维空间中，方向向量可以表示为d = (x ₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁)。
需要注意的是，方向向量只描述了移动的方向和距离，并没有说明起点和终点的具体位置。
因此，方向向量可以通过缩放来表示不同的位移长度。
希望以上解释和公式能够对你有所帮助。
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量： 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用： 利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v四、平面法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：1、设出平面的法向量为(,,)n x y z =．2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==3、根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4、解方程组，取其中一个解，即得法向量五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．1、线线平行：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1// l 2，只需证明a //b ，即()a kb k R =∈2、线面平行：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则要证明//l α，只需证明⊥a n ，即0⋅=a n .（2）根据线面平行的判定定理：“如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3、面面平行（1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．（2）若能求出平面α、β的法向量u 、v ，则要证明α//β，只需证明u // v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．1、线线垂直：设直线l 1、l 2的方向向量分别是a 、b ，则要证明l 1⊥ l 2，只需证明a ⊥b ，即0a b ⋅=2、线面垂直：（1）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a // u（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3、面面垂直：（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．（2）证明两个平面的法向量互相垂直．六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角1、定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////,//a a b b ，则/a 与/b 所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是02πθ<≤3、向量求法：设直线a 、b 的方向向量为a 、b ，其夹角为ϕ，则有cos |cos |a ba b θϕ⋅==⋅4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．2、范围：直线和平面所成角θ的取值范围是02πθ≤≤3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则有sin |cos |cos sin a u a u θϕθϕ⋅===⋅或 （三）二面角1、二面角的取值范围：[0,]π2、二面角的向量求法（1）若AB 、CD 分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角（如图（a ）所示）．（2）设1n 、2n 是二面角l αβ--的两个角α、β的法向量，则向量1n 与2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b ）所示）．七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法如图（a ）所示，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度．若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，BO BA =cos ∠ABO= cos cos BA BO ABOABO BO ⋅⋅∠∠=。
高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量
3.2 立体几何中的向量方法(全)
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x , y , z );
习惯上取n ( x, y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
求证∥ .
证明: 取l,m的方向向量a, b 取 ,的法向量u, v.
l∥ , m∥ a v, b v
β
v
又a, b不共线, 所以v是的一个法向量 于是 v 同时是、的一个法向量
∥ .
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0
C B
A X
Y
练习
设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4)
垂直
(2)u (1,2,2), v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5), v (3,1,4) 相交
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. 证 ：如图所示, 建立 Z E(3,3,3), 空间直角坐标系. A(6,0,0), P
F(2,2,0), G(0,4,2), 立体几何法呢？
AE =(-3, 3, 3), FG =(-2, 2, 2)
3 AE = FG AE // FG 2 AE//FG. AE与FG不共线，
解得 x＝－２,ｙ＝１
P
E
即PA 2DE DB
于是PA 、 DE、 DB共面
方向向量与法向量ppt课件
(3)在平面 SCD 中，D→C＝12，1，0，S→C＝(1,1，－1)． 设平面 SCD 的法向量是 n＝(x，y，z)， 则 n⊥D→C，n⊥S→C.所以nn··DS→→CC＝＝00，，
得方程组12x＋y＝0， x＋y－z＝0.
∴xz＝＝－－y2，y，
38
五、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1__) ___ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___(-_1_,_-1__,1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
12
x
如何刻画平面的方向？
二、平面的法向量：
对于非零的空间向量n, 如果它所在的直线与平面垂直，
那么向量n叫做 平面的一个法向量.
D
C
D’(0,0,0). (1)AA' (0,0 3),
直 线AA'的 一 个 方 向 向 量 是
A
3
B
d AA' (0,0 3).
(2)d B'C (4,0,3).
(3)d A'C (4,2,3).
(4)d DB' (4,2,3).
D’
A’
2
x
C’ y
4
汇总方向向量和法向量叉乘公式
汇总方向向量和法向量叉乘公式方向向量和法向量是在数学和物理领域中经常用到的概念。
在三维空间中，每个向量都可以表示为一个有序三元组（x，y，z），其中x、y、z分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
在讨论方向向量和法向量的叉乘公式之前，我们先来了解一下方向向量和法向量的概念。
方向向量是指一个向量所对应的方向。
在三维空间中，一个向量的方向可以通过将其分量除以向量的模长来得到。
例如，若一个向量为V=(a,b,c)，则其方向向量可以表示为V'=(a/，V，,b/，V，,c/，V，)，其中，V，表示向量V的模长。
方向向量只表示方向，并不考虑向量的大小。
法向量，也称为垂直向量或法线向量，是与一个给定向量垂直的向量。
在数学中，对于一个平面P，其法向量通常用N表示。
法向量的性质是垂直于该平面。
具体而言，如果P上的两个向量A和B满足A·N=0（点乘结果为0），则可以说明A和N垂直。
因此，法向量也可以通过点积计算得到。
接下来我们来讨论方向向量和法向量的叉乘公式。
方向向量的叉乘（cross product）运算是一个向量运算，用于计算两个向量的叉乘结果。
对于给定的两个三维向量A = (A1, A2, A3)和B = (B1, B2, B3)，它们的叉乘结果C = A × B是一个新的向量。
它的计算公式如下：C=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)其中A2B3 - A3B2表示新向量C在x轴上的分量，A3B1 - A1B3表示新向量C在y轴上的分量，A1B2 - A2B1表示新向量C在z轴上的分量。
这个公式也可以表示为C = det(A,B)，其中det表示行列式的计算。
叉乘公式的一个重要性质是，如果两个向量A和B平行（即它们的夹角为0或π），那么它们的叉乘结果C将为零向量（即C=(0,0,0)）。
这个性质在几何和物理问题中有重要应用，比如判断两个平面是否平行、判断线段是否相交等。
立体几何中的向量方法之方向向量与法向量平行垂直
Z
P E
所以PA 2EG ，即PA// EG
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
A X D
G
C B
Y
解法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
1 1 1，0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) Z DB =(1, 1，0) 2 2
C
y
x
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
用向量方法解决立体问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
2 2 ( DA DC ) DE ( DA DE ) B 3 3
D
2 1 DC DE 3 3
几何法呢？
所以MN、DC、DE共面
但MN 平面CDE
别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
方向向量与法向量
垂直 平行
相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= .
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
立体几何中向量方法——方向向量与法向量与例题讲解
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
aAP0
A
P
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
x
立体几何中的向量方法——方向向
量与法向量和例题讲解
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2)
,试求平面
ABC习 的惯 一上 个取 法n 向(量x,.ny,1 )
2 3
,
1 2
,1
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
a
l
b
m
立体几何中的向量方法——方向向 量与法向量和例题讲解
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
02教学课件_ 2.2.1 第2课时 直线的方向向量与法向量1
反思 感悟
直线的法向量的求法 若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)， 即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可.
跟踪训练2 直线PQ的斜率为－ 3，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为
√A.30°
C.120°
B.60° D.150°
解析 kPQ＝－ 3，∴PQ 的倾斜角为 120°， 又直线PQ的法向量与直线PQ垂直， 故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
故选ABD.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.(多选)下列说法正确的是
√A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1) a＋1 B.若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝
(－ 3，0)，则 AC 与 AB 所在直线的斜率之和为
√ A.－2 3 B.0
C. 3
D.2 3
解析 a＝(－ 3，0)，∴BC 所在直线的斜率为 0.
又△ABC为等边三角形， ∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°， ∴kAB＋kAC＝tan 60°＋tan 120°＝0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 (1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为_－___33__，一个方向 向量为__1_，__－___3_3_ _.
解析
∵θ＝150°，∴k＝tan
150°＝－
3 3.
∴a＝1，－ 33为直线的一个方向向量.
(2)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝_0__.
3.2立体几何中的向量方法1(方向向量与法向量)
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， - ，） 3 3 3
练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系. Z
依题意得D(0, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 B(1, 1，0) E (0, , ) 2 2 1 1 DE (0, , ) DB =(1, 1，0) 2 2
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
3 y x ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 4 ∴ 即 ∴ ( x , y , z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2 z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
小结 ：
在计算和证明立体几何问题时， 如果能够在原图中建立适当的空间直 角坐标系，将图形中有关量用坐标来 表示，利用空间向量的坐标运算来处 理，则往往可以在很大程度上降低对 空间想象的要求；求向量坐标的常用 方法是先设出向量坐标，再待定系数.
的法向量
平面 α的向量式Biblioteka 程laa AP 0