线性系统理论综述

线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。

一．线性系统理论研究内容综述系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。

动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。

表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。

从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。

线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。

他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。

现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。

线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。

在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。

分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。

系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。

线性系统理论的研究对象为线性系统，线性系统为最为简单和最为基本的一类动态系统。

线性系统理论是系统控制理论中最为充分、发展最为成熟和应用最为广泛的一个开支。

线性系统的的一个基本特征是其模型满足线性叠加原理。

对于线性系统的研究也可以进一步分为线性是不变系统和线性时不变系统两类。

对系统进行建模也是控制理论中具有重要的作用。

对系统建模的作用多样性和基本型、途径以及系统的建模的准则=====系统建模的简单性和分析的结果的准确性之间做出适当的折中。

线性控制理论在1960年前后开始了从经典控制理论到现代理论的过渡。

反应这种过渡的重要标志成果是，卡尔曼把在分析力学中广为采用的状态空间描述引入到线性控制中，并在此基础上引入了对研究系统结构和控制具有基本意义的的能控性和能观性的概念。

（一）状态空间的描述状态空间的基本特点是用系统内部描述来取代经典线性控制系统理论中引以为常的传递函数形式的外部输入输出描述，第一个方程称为状态方程，用以描述状态向量与输入向量间的动态关系；第二个方程称为输出方程或测量方程,描述输出向量与状态向量和输入向量之间的线性组合关系。

,,和都是常系数矩阵。

这个模型可用下面的框图表示把系统的的分析和综合置于时间域内。

同时，能控性和能观性的引入，导致了线性系统的分析和综合在指导原则上的一个根本变化，这种内部结构代替外部结构的变化，是现代线性控制理论的根本。

线性系统理论主要包括线性系统的时间域理论和线性系统的复频域理论。

时间域理论主要包括线性系统的状态空间描述和线性运动分析，线性系统的能控性和能观性，系统运动的稳定性，线性反馈系统的时间域综合。

线性系统的状态空间描述是分析和综合的基础。

系统的动态过程的数学实质就是反映各组变量间因果关系的一个数学模型。

可以把数学的模型分为内部描述和外部描述两种基本类型。

系统的外部描述是输入输出描述，外部描述的特点，把系统当“黑箱”处理，用传递函数来表示，而系统的内部描述是把系统当做“白箱”处理，认为系统内部的结构和信息时可以知道的，是一个数学模型，可以两个数学方程来表征。

首先，通过对状态空间的表述，我们至少要表明状态空间和状态的基本概念，以及对状态空间的基本描述的内涵、形式、建立方法、特性和变换，以及其对组合的系统的推广。

接着线性系统理论着重对系统运动规律的定量分析。

分别就连续时间系统和离散时间系统分析。

线性定常连续系统的自由运动在没有控制作用下，线性定常系统由初始条件引起的运动称为线性定常系统的自由运动，可由齐次状态方程描述)()(t Ax t x= 齐次状态方程通常采用幂级数法、凯莱－哈密顿定理和拉普拉斯变换法求解。

幂级数法：设齐次方程的解是t 的向量幂级数+++++=k k t b t b t b b t x 2210)( 式中， ,,,,,10k b b b x 都是n 维向量，且0)0(b x =，求导并考虑状态方程，得)(2)(2210121 +++++=++++=-k k k k t b t b t b b A t kb t b b t x拉普拉斯变换法：取拉氏变换，)0()()(1x A sI s X --=凯莱－哈密顿定理法：矩阵A 满足它自己的特征方程。

即若设n 阶矩阵A 的特征多项式为1110()[]n n n f I A a a a --=-=++++λλλλλ则有 0)(0111=++++=--I a A a A a A A f n n n 线性离散系统的运动分析递推法(迭代法)：适合于线性定常和时变系统；[1]()()x k T Gx kT Hu KT +=+G 、H 是定常矩阵。

给定k=0时的初始状态x(0) ，及任意时刻 u(k)由迭代法得：232(1)(0)(0)(2)(1)(1)(0)(0)(1)(3)(2)(2)(0)(0)(1)(0)x Gx Hu x Gx Hu G x GHu Hu x Gx Hu G x G hu Ghu Ghu =+=+=++=+=+++....10()(0)()k kk j i j x k G x G Hu i ---==+∑(1)解的表达式的状态轨迹线是状态空间中一条离散轨迹线。

它与连续系统状态的解很相似。

解的第一部分只与系统的初始状态有关，它是由起始状态引起的自由运动分量。

第二部分是由输入的各次采样信号引起的强迫分量，其值与控制作用u 的大小、性质及系统的结构有关。

(2)在输入引起的响应中，第k 个时刻的状态只取决于所有此刻前的输入采样值，与第k 个时刻的输入采样值无关。

Z 变换法：仅适合于线性定常系统。

1()()[(0)()]x z zI G zx HU z -=-+ 由于()1zU z z =-将G 、H 、U(z)、x(0)代入x(k)的Z 变换式。

线性系统的运动规律分析的实质，归结为相对于给定输入和初始状态求解系统状态求解系统状态方程，建立因果关系的解析形式解。

（二）能控性和能观性在对系统运动分析后，然后围绕能控性和能观性两个基本结构特性，重点是针对连续时间时不变系统。

能控性判别准则-----三个定理（1）线性定常系统完全能控的充要条件是矩阵21[,,,...]n M B AB A B A B -=是满秩的。

若线性定常系统的系数矩阵A 有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是输入矩阵B 没有任何一行的元素全部为零。

若A 为约旦型，则系统能控的充要条件是 ： （I ）B 中对应于互异的特征值的各行，没有一行的零。

（II ）B 中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。

（三）稳定性外部稳定性和内部稳定性1.外部稳定性（BIBO 稳定性）称一个因果系统为外部稳定，如果对任意一个有界输入u(t),即满足条件10(),[,)u t t t β≤<∞∀∈∞对应的输出y(t)均为有界，即有20,(),[)y t t t β≤<∞∀∈∞2.内部稳定性（渐近稳定性）000(),(),[,)x A t x x t x t t ==∈∞如果由时刻 0t 任意非零初始条件 00()x t x = 引起的状态零输入响应 0[,)t t ∈∞ 对所 ()u x t θ 为有界，并满足渐近属性即成立。

lim ()0u t x t θ→∞=3.李亚普诺夫意义下运动稳定性的概念：李亚普诺夫第一方法：小范围内稳定性分析方法，泰勒展开，线性化。

李亚普诺夫第二方法：广义能量属性的李亚普诺夫函数。

自治系统：()0u t =0000(,),(),[,)x f x t x t x x t ==∈∞平衡状态：0(,)0,[,)e e x f x t t t ==∀∈∞受扰运动：自治系统由初态引起的运动。

（四）线性反馈系统的时间域综合研究控制系统主要有两大类问题：一是:已知控制系统，通过各种手段，如：时域、频域、根轨迹、状态空间等方法和手段 对系统的各种性能进行分析，这就是控制系统的分析问题；二是:对未知的控制系统进行设计使其满足某种性能指标要求，这称为控制系统的综合问题。

无论是经典控制理论还是现代控制理论，反馈都是控制系统设计的主要方式。

经典控制理论用传递函数描述系统，因此只能采用输出反馈；而在现代控制理论中，由于采用系统内部的状态变量来描述系统的特征，所以除了可以采用输出反馈外，还大量使用状态反馈。

在进行控制系统设计时，由于状态反馈能提供更多的校正信息，对于控制系统性能的改善和提高具有很重要的意义。

为了利用系统状态作为反馈量，必须使用传感器来测量状态变量，但由于并不是所有状态变量在物理上均可量测，所以需要用状态观测器来估计系统状态的值。

因此，状态反馈与状态观测器的设计就构成了用状态空间法综合设计控制系统的主要内容。

极点配置问题:如果对控制系统的性能要求用一组给定的极点来描述，控制系统的综合问题就称为极点配置问题；最优控制问题：如果控制系统的性能要求是由某个最优指标描述，这时的控制系统综合就称为最优控制问题。

二．线性系统理论数学模型建立由上述可知，现代线性控制理论与经典理论相比，所采用的方法和算法更适合于在数字计算机上进行，又由于很多实际系统都可用线性系统模型近似的描述，所以它的应用范围十分广泛。

在航空、航天、航海、机械、电器、力学等技术领域中，线性系统理论都有应用实例。

在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术，线性系统理论得到了大力推动发展和应用，来解决例如把火箭或飞行器用最少燃料或最短时间准确发射到预定轨道一类的控制问题。

上面所说的火箭最少燃料或最短时间问题可以归结为最速下降问题，这个问题不仅是一个典型的线性系统理论问题，同时也是一个最优控制（现代控制理论另外一个很重要的分支）问题。

1969年，美国阿波罗11号载人登月，就是最速下降问题实际应用的一个成功范例，下面我将对最速下降问题进行简单介绍。