高等数学过关与提高上册第三章习题答案

增加。 故选（D）。 7．解：选择（C）。
y / = 2(x −1)(x − 3)2 + (x −1)2 ⋅ 2(x − 3)
y // = 2(x − 3)2 + 4(x −1)(x − 3) + 2(x −1)2 + 4(x −1)(x − 3)
= 4(3x2 −12x + 11)
令 y // = 0 ，即 3x 2 − 12x + 11 = 0 ，得 x = 2 ± 3 。 3
x→a
x→a
x−a
为 f（x）的极大值点。 故选（B）。
5
15．解：选择（B）。
因 （f x）在（a,b）内可导，任意ξ∈（a,b），（f x）在 x=ξ处连续，则 lim[ f (x) − f (ξ )] = 0 ， x→ξ
故选（B）。 16．解：选择（B）。
f / (x) = sin x + x cos x − sin x = x cos x ，
2
2
可知当 x ∈ (−∞,− 1 ) 时， y // > 0 ； 2
当 x ∈ (− 1 , 1 ) 时， y // < 0 ； 22
当 x ∈ ( 1 ,+∞) 时， y // > 0 2
故 y 的凸区间为 (− 1 , 1 ) . 22
1
2t(t 2 + 1) − 2t(t 2 −1)
6．解：
dy dx
=
3t 2 3t 2
−3 +3
=
t2 t2
−1 ， +1
d 2y dx 2
=
(t 2 + 1)2 3t 2 + 3
= 2 ⋅ 2t 3(t 2 + 1)3
d 2 y < 0 ，即 t<0 时 y 上凸，而 x = t 3 + 3t + 1，x / = 3t 2 + 3 > 0 ，则 x(t)单调上升，又 x(0)=1， dx 2
x ≤ −1 x > −1，可知 − 1是
f (x) 的极大点，但非驻点，可排除（A）。
故选（B）。 4． 解：选择（B）。
将 f / (x0 ) = 0 代入方程得： x0 f // (x0 ) = 1 − e−x0 ，
x0
≠
0,
f
//
(x0 )
=
1 − e−x0 x0
= e x0 − 1 > 0 x0e x0
4
2
f（x）在（0，1）内有唯一零点。又 f（x）是偶函数，即 f（x）在（-1，0）内也有唯一零点。 所以 f（x）在（-∞，+∞）有且仅有两个零点。
故选（C）。 13．解：选择（D）。
设 f（x）= x， lim f (x) = −∞, lim f / (x) = 1，排除（A）。
x→−∞
x→−∞
f
// (x) = cos x − x sin x ，
f
// (0) = 1 > 0,
f
//
π (
)
=
−
π
< 0，
22
故 f（0）为极小值， f (π ) 是极大值。故选（B）。 2
设 f（x）= x2， lim f (x) = +∞, lim f / (x) = lim 2x = −∞ ，排除（B）。
x→−∞
x→−∞
x→−∞
设 f（x）= x， lim f (x) = +∞, lim f / (x) = 1，排除（C）。
x→+∞
x→+∞
故选（D）。
也可直接证明：由 lim f / (x) = +∞ ，即对任意 M>0，存在 N>0，当 x>N 时，f /（x） x→+∞
由题意， ∃δ > 0 ，当 x ∈U o (x0 ,δ ) 时， f (x0 ) > f (x) ，故可排除（D）。
若取
f
(x)
=
sin
x，
x0
=
π 2
，则可知 −
x0
=
−π 2
是−
f
(x)
=
− sin x 的极大点，故排
除（C）。
极大点可能是不可导点，故不一定是驻点，如
f
(x)
=
⎪⎧ ⎪⎩⎨−
x+2 1 (x −1) 2
x→+∞
x→+∞
x
x→+∞
1
x
t= 1 x
=
lim
ln(e + t) −1
=
t=1 x
=
lim
1
=1
t→0+
t
t→0+ e + t e
故 y(x)有斜渐近线 y = x + 1 。 e
1 t=1
8．解： lim y = lim (2x −1)e x
x
=பைடு நூலகம்
lim(2
−
t
)e
t
=
2
x→∞ x x→∞
x
t→0
故选（A）。 2．解：选择（D）。
由极大值的定义知： ∃δ > 0 ，当 x ∈U o (a,δ ) 时， f (x) < f (a), g(x) < g(a) ，故当
f(x)>0,g(x)>0 时，有 F(x)=f(x)g(x)<f(a)g(a)=F(a)，即 x=a 为 F(x)的极大值；当 f(a)<0,g(a)<0 时，F(x)=f(x)g(x)>f(a)g(a)=F(a)，即此时 x=a 为 F（x）的极小值。所以可以排除（A）（B） （C）。故选（D）。 3． 解：选择（B）。
2． 解：当 x=0，y=1 时，t=0，又 dy = et (cos t − sin t) ，则 dy = 1 ，故法线斜率 dx et (sin 2t + 2 cos 2t) dx t=0 2
为 k=-2，从而法线方程为 y −1 = −2x ，即 2x + y −1 = 0 。 3． 解： 先对方程两边关于 x 求导，得 y + xy / + 2 = 4 y3 ⋅ y /
x
=
lim
ln(e + t) = +∞ ，故 y(x)无水平渐近线。
x→+∞
x→+∞
x t→0+ t
lim y(x) = lim ln(e + 1 ) = ln e = 1 ，
x→+∞ x
x→+∞
x
lim [ y(x) − x] =
lim [x ln(e + 1 ) − x] =
lim
ln(e + 1 ) −1 x
当 f（x）∈（0，+∞）时，f（x）=x1/4+ x1/2 – cosx，显然 f（1）=2 – cos1>0，那么可知
f（x）在（0，1）内有零点，又当 x>1 时，f（x）>0，即 f（x）在（1，+∞）内无零点。对
于
x∈（0，1），
f
/ (x)
=
1
−3
x4
+
1
−1
x2
+ sin
x
>
0 ，即
f（x）在（0，1）上单调增加，故
1
1
1
lim ( y − 2x) = lim[(2x −1)e x − 2x] = lim[2x(e x −1) − e x ]
x→∞
x→∞
x→∞
t=1 x
=
lim[
2(e t
−1)
−
et
]
=
2
−1
=
1
t →0
t
故 y(x)的斜渐近线为 y = 2x + 1。
二、选择题 1．解：选择（A）。
x = 3 即 t 2 + 2t = 3 ，得 t = −3 或 t = 1，由题意知 t = −3 时，y 无意义，故 t = −3舍去，
设 f (x) = x5 + 2ax3 + 3bx + 4c ，则 f / (x) = 5x 4 + 6ax 2 + 3b 。
因 Δ = (6a)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 3b = 36a 2 − 60b = 12(3a 2 − 5b) < 0 ，故 f / (x) > 0 ，即 f（x）
4
单调增加，又 lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, 即 f（x）有唯一实根。
即 t<0 时，x(t)<x(0)=1，即 x 的范围为 x<1。
t=1
7．解：
lim
y(x) =
lim
x ln(e + 1 )
x
=
lim
ln(e + t)
=
lim
1
= 0 ，故 y(x)无垂直渐
x→0+
x→0+
x t→+∞ t
t→+∞ e + t
近线。
t=1
lim
y(x) =
lim
x ln(e + 1 )
故 x0 是 f（x）的极小点， f (x0 )是f (x) 的极小值。
故选（B）。 5． 解：选择（C）。
因 f （ a ） 为 极 大 值 ， 故 ∃δ > 0 ， 当 x ∈U (a,δ ) 时 ， f (x) < f (a) ， 从 而
(x − a)( f (x) − f (a)) 的符号不定，可排除（A），（B）。
高等数学过关与提高上册第三章习题答案
一、填空题 1． 解： 当 t=2 时，x=5，y=8。
切线斜率 dy = (t 3 )/ = 3t 2 = 3 t ， dy = 3 dx (1 + t 2 ) / 2t 2 dx t=2
切线方程为 y − 8 = 3(x − 5) ，即 3x − y − 7 = 0 。
y /// = 6x − 12 = 6(x − 2) ，y /// (2 ± 3 ) = ±2 3 ≠ 0 ，故只有 x = 2 ± 3 所对应曲线
3
3
上的点是拐点。 故选（C）。
8． 解：选择（B）。
lim y = ∞ ， lim y = π e
， lim y = − π e
，
lim
y = −π
1
x→+∞
x→+∞
e
x→+∞ x e x
因 lim (ln x − 1 + k ) = − 1 < 0 ，故 lim f (x) = −∞ 。
x x→+∞ e x
e
x→+∞
从而 f（x）在（0，e）及（e，+∞）各有一个实根。
故选（B）。
12．解：选择（C）。
设 f（x）=|x|1/4+ |x|1/2 – cosx，且可知 f（x）是偶函数，f（0）=-1。
当 x ∈ (−∞,0) 时， f (x) = − f (−x) ，则
f / (x) = [− f (−x)]/ = −[ f (−x)]/ = −[ f / (−x)](−1) = f / (−x) > 0
f // (x) = [ f / (−x)]/ = − f // (−x) < 0 。
故选（C）。 10．解：选择（B）。
对 x ∈U (a,δ ) ，有 f (a) −
f (x) > 0 ，而 lim t→a
f (t) − f (x) (t − x)2
=
f
(a) − f (x) (a − x)2
>
0
.
3
故选（C）。 6． 解：选择（D）。
当 x1 > x2 时，− x1 < −x2 ， f (−x1 ) < f (−x2 ),− f (−x1 ) > − f (−x2 ) ，故 − f (−x) 单调
e4 ，
lim
y=π
1
e4
，
x→0
x→1+
2
x→1−
2
x→−2+
2
x→−2−
2
lim y = π 。故垂直渐近线为 x=0，水平渐近线为 y = π 。
x→∞
4
4
故选（B）。
9．解：选择（C）。
因 f (x) = − f (−x),即f (−x) = − f (x) ，则 f（x）为奇函数。
当 x ∈ (0,+∞) 时， f / (x) > 0, f // (x) > 0 。
x→+∞
x→−∞
故选（B）。
11．解：选择（B）。
f / (x) = 1 − 1 = 0 时，x=e，可知 f（x）在（0，e）单调增加，在（e，+∞）单调减 xe
少。f（e）=1-1+k>0， lim f (x) = lim (ln x − x + k) = −∞,
x →0+
x→0+
e
lim f (x) = lim (ln x − x + k) = lim x(ln x − 1 + k ),
∫ ∫ >M，而 f（x）=
x f / (t)dt + f (N ) >
x
Mdt + f (N ) = M (x − N ) + f (N ) ，当 x>N+1 时，
N
N
f（x）>M+ f（N）>M，故 lim f (x) = +∞ 。 x→+∞
14．解：选择（B）。
由题意，lim f / (x) = f / (a) = 0 ，且由 lim f / (x) − f / (a) = f // (a) = −1 < 0 ，故 x= a
x 当 x=1，y=1 时，1 + y / (1) + 2 = 4 y / (1) ，即 y / (1) = 1 。
故法线斜率 k=-1，则 y −1 = −(x −1) ，即 x + y − 2 = 0 。
4．解：先求驻点： y / = 1 − 2sin x = 0 ⇒ x = π ∈[0, π ] 62
从而 t = 1，此时 y=ln2。
2
1
曲线过(3,ln2)的切线斜率 k = dy = 1 + t dx t=1 2t + 2
=
1 8
，则对应的法线斜率为
k1
=
−8 ，
t =1
即法线方程为
y − ln 2 = −8(x − 3)
其与 X 轴交点的横坐标即为所求： x = 3 + 1 ln 2 . 8
再求端点及驻点处的函数值：
y (0)
=
2,
π y(
)
=
π
+
2
3=π +
3,
π y(
)
=
π
662 6
22
从而
y
在[0, π
] 上的最大值为
π y(
)
=
π
+
3。
2
66
5． 解： y / = e−x2 (−2x) ，令 y // = e−x2 (4x 2 − 2) = 0 ，得 x 2 = 1 , x = ± 1 ，