第1章逻辑代数基础学习指导 - 第一章逻辑代数基础

第一章逻辑代数基础
一、内容提要
逻辑代数是数字电子技术的基础。

本章主要介绍逻辑代数中的数制转换、逻辑运算、基本定理和基本规则、逻辑函数及其表示方法、逻辑函数的变换与化简。

二、重点难点
本章的重点内容包括以下四个方面:
1、数制转换与码制的表达方式：掌握二进制、十进制及其相互转换方法; 掌握8421 BCD码、2421 BCD码、余3码和余3循环码的编码方法；掌握格雷码的编码规律、格雷码与二进制相互转换方法。

2、逻辑代数中的三种基本运算和基本定理：掌握逻辑代数中与、或、非三种基本运算；逻辑代数基本公式；代入规则、反演规则、对偶规则三个规则。

3、逻辑函数的表示方法及相互转换：掌握真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图、波形图等常用的逻辑函数表示方法和几种表示方法之间的相互转换；掌握逻辑函数的两种标准形式。

4、逻辑函数的公式法化简方法和卡诺图化简方法：逻辑函数表达式越简单，所表示的逻辑关系越明显，越有利于用最少的电子器件实现该逻辑关系，电路的可靠性越高。

常用的化简方法有公式法和卡诺图法。

三、习题精解
知识点：数制转换
例1.1 将二进制数111011.101转换成十进制数。

解：10
3
1
1
3
4
5 2
)
625
.
59
(
125
.0
5.0
1
8
16 32
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)
101
.
111011
(
=
+
+
+
+
+
=
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
+
⨯
=-
-
例1.2将十进制数65转换为二进制数。

解：整数部分用“辗转相除”法:
所以
D B (65)=(1000001)
例1.3 将十进制数0.625转换为二进制数。

解：乘 2 法；将十进制数的小数部分乘2,取其整数得D -1, ;再将小数部分乘2,取其整数得D -2 ;再将小数部分乘2…
所以
D B (0.625)=(0.101)
知识点：逻辑代数基本规则应用
例1.4 已知0++⋅=CD B A F ，求F 。

解：用反演规则得：1))((∙++=D C B A F
用反演律得))((D C B A CD B A CD B A F ++=⋅⋅=+⋅= 例1.5 已知
)
)((C A B A F ++=，求F 的对偶式。

解：用对偶规则得：AC B A F
+='
例1.6 求函数)]([G E D C B A F ∙+∙+∙=的反函数。

解：
)]()[()()]([)]([G E D C B A G
E D C B A G E D C B A G E D C B A G E D C B A
F +∙+∙+=∙∙∙∙+=∙+∙∙+=∙+∙++=∙+∙+∙=（反演律）
知识点：逻辑函数的表示方法 例1.7
D C AC F += “与-或” 表达式
D C AC F ∙= “与非-与非”表达式
))((D C C A F ++= “或-与”表达式
)()(D C C A F +++= “或非－或非” 表达式
D C C A F += “与-或-非”表达式
例1.8 将
化成最小项表达形式。

解：
知识点：逻辑函数的公式化简法
例1.9 用最少的与非门实现逻辑函数L. CD B A D C B A ABD D B A D AB L ++++=
)()(C C D B A D B A D D AB L ++++=
D B A D B A =AB ++ )(D D B A AB ++=
B A AB +=
(最简与或式) 最简与或式逻辑图
B A AB +=
B A AB ⋅=
（与非-与非式）
与非-与非式逻辑图
例1.10 将逻辑函数)(D C B ABD B A L ++⋅=变换为最大项表达式。

解：
∏=∙∙∙∙∙∙∙∙=+++∙++++++++++++∙++++++++++++=+++++++++∙
++++++++++++=∴++++=+++++++++++=+++++=+∙⋅=)
15,13,11,10,8,3,2,1,0()
())()()(())()()(()
)()(())()()(()
)(())()()(()
)()()(()
(1513111083210M M M M M M M M M M D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A C C D B A C C D B A D D C B A D C B A D C B A D D C B A D D C B A L C B A C B A C C B A A A D B A A C B C C D B A C C B A D B C B D B A B A D C B ABD B A L
知识点：逻辑函数的卡诺图化简法
例1.11 用卡诺图化简
解：
例1.12 用卡诺图化简 (,,,)(0,1,2,5,6,7,8,9,13,14)L A B C D m =∑
L CD BC ABC ACD BCD
=++++(,,,)(0~3,5~7,8~11,13~15)
L A B C D m =
∑
解：
方法一：圈1：方法二：圈0：
例1.13 用卡诺图化简L(5,6,7,8,9)(10,11,12,13,14,15) m d
=+
L D C B
=++
L BCD
=L D C B
=++
L=A+BC+BD
例1.14 化简函数 0=+++++ABCD D ABC D C AB D C AB CD B A D C B A
约束条件： 解：
AD D C B D C A Y ++=
四、自我测试题（共100分）
（一）．填空题：26分（每空2分，共13空）
1．二进制数101001对应的八进制数为 ，十进制数为 ，十六进制数为 。

D C B A D C B A D C A Y ++++=
2．逻辑代数的描述方法有 、 、 、 、 。

3．逻辑函数D C AB L +=
的反函数为 ，对偶函数为 。

4．逻辑函数CD BC AB F ++=写成最小项之和，其结果为
∑=
)
(
m F ，写
成最大项之积，其结果应为
)
(
∏=M F 。

5．逻辑函数∑=)
7,6,5,3(),,(m C B A F ，化成最简与或式形式为 。

（二）．选择填空：20分（每空2分，共10空）
1．用（ ）位二进制数可以表示任意2位二进制数。

A.7 B.8 C.9 D.10
2. 用（ ）位二进制数可以表示十进制数5000。

A.11 B.12 C.13 D.14
3.已知逻辑函数 与其相等的函数为（ ）。

A ．
B.
C.
D.
4.逻辑函数F ＝)(A D C C B ++的反函数是（ ） A.F =)()(A D C C B +⋅+ B.F =)(DA C C B +⋅+ C.F =)(A D C BC +⋅+ D.F =A D C C B +⋅+
5.某电路的真值表如下表所示，则该电路的逻辑表达式为（ ）。

A.C Y =ABC Y =C AB Y +=C C B Y +=
6.二进制数A.119.125 B.119.3 C.119.375 D.119.75
7．已知=+F ABC CD ，选出下列可以肯定使0F =的情况是（ ）。

A. A=0，BC=1 B. B=1，C=1 C. C=1，D ＝0 D. BC=1，D ＝1 8.两个不同的最小项进行与运算的结果等于（ ）。

A. 0
B. 1
C. 0或者1
D. 这两个最小项或运算的结果 9．若逻辑函数∑∑==
)7,5,3,1(),,(),7,6,5,4,2,0(),,(m C B A F m C B A E ，则这两个函数
相与的结果是（ ）。

A. 0
B. 1
C. 75m m ∙
D.AC 10.逻辑函数∑∑+=)15,14,13,10,9,8()12,11,6,4,3,2,0(),,,(d m D C B A L 的最简与—或式为
（ ）。

A. BC B L +=
B.C B D A L ++=
C.C B D L +=
D.A B CD L ++= （三）．证明题：10分（每题5分，共2题） 1.证明等式
成立
AB AB AB AB +=+
2证明等式成立。

（四）．化简题：30分（每题5分，共6题） 1. 利用公式化简法化简逻辑函数
2. 利用公式化简法化简逻辑函数
3．利用公式化简法化简逻辑函数 AD C B C A B A F +++=
4．利用卡诺图化简法化简逻辑函数∑=)15,14,11,10,8,5,4,2,1,0(),,,(D C B A F
5．利用卡诺图化简法化简逻辑函数BCD BC A D AB C B A D C B A D C B A F +++++=
6．利用卡诺图化简法化简逻辑函数∑∑+=)5,2,0()15,11,7,3,1(),,,(d m D C B A F
（五）．分析题：14分（每题7分，共2题）
1、写出如图1所示电路的真值表及最简逻辑表达式。

图 1
2．已知某逻辑函数的卡诺图如图2，①请写出该逻辑函数的最简与或非式；②写出该逻辑函数的约束条件最简与-或式。

A B C D 0001001
1110011110111φφ
φ
φφφ11
图2
自我测试题答案
（一）．填空题：26分（每空2分，共13空） 1．51，41，29。

2．真值表，逻辑函数表达式，逻辑图，波形图，卡诺图。

()AB A B C ABC ⊕⊕=8
F AD AD AB A C BD ACE BE DE
=+++++++7F AB BC AB B C
=+++
3．))(()
)(('D C B A L D C B A L ++=++=。

4． ∑=)15,14,13,12,11,7,6,3(m F ， )10,9,8,5,4,2,1,0(∏=M F 。

5．BC+AC+AB 。

（二）．选择填空：20分（每空2分，共10空）
1．A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A 9.D 10.B （三）．证明题：10分（每题5分，共2题） 1. 证明：
2 证明：
（四）．化简题：30分（每题5分，共6题） 1. 解：
2.解：
3．解：
AD
C B A A
D C B C B A AD C B C B A AD C B C A B A F ++=++=+++=+++=)(
()()
AB AB AB AB A B A B AA AB AB BB AB AB +==++=+++=+() 0AB A B C ABA ABB ABC AB AB ABC ABC ABC ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=⊕=()()
7 F AB BC AB BC AB BC AB C C A A BC AB BC ABC ABC ABC ABC AB BC AC =+++=+++++=+++++=++8 F AD AD AB A C BD ACE BE DE A AB A C BD ACE BE DE A C BD BE DE A C BD BE =+++++++=++++++=++++=+++
4．解：
F+
A
+
=
D
B
AC
C
5．解：
F+
B
A
+
=
B
+
+
B
A
C
D
D
D
BC
A
C
6．解：
D A CD B A F ++=
（五）．求解题：14分（每题7分，共2题）
1、
该电路为三变量判一致电路，当三个变量都相同时输出为1，否则输出为0。

2、①D B A D C A D A P ++=
②0=++ACD D B A D
C B
课后习题答案
1.1（1）27；（2）118；（3）225；（4）105 1.2（1）（1001001）2=（49）16;(2) (110011)2=(33)16;(3) (1100100)2=(64)16; (4) (1010111)2=(57)16 (5) (1101)2=(D)16 1.3最大数：（F8）16；最小数：（118）10 1.4与运算、或运算、非运算 1.5证明(略)
1.6 (1)AC B A +;(2)1;(3)C A B A +;(4)1;(5)CD A + 1.7(1)C B C A +;(2)D C AB ;(3)CD A C B +;(4) 1.8
1.11 (a) B A B A Z +=;(b) C B A Z += 1.13 (a)C B C B A Y +=
(b)D BC A CD B A D C B Y ++= 1.14 BC AC L += 1.15AB Y =
1.16 (a) 01=Y ;(b)CD AC AB Y ++=2;(c)D C B D C A Y +=3 1.17∑=++=)5,4,1(541m m m m Y
1.18C B BC B A AB Y +++=2
1.19(1))15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3(∑=m Y (2))7,6,5,4,3(∑=m Y
(3))15,14,13,12,11,7,6,3(∑=m Y
(4)
KRS
J RS K J S JKR S KR J S R K J RS K J S R K J S R K J S R K J Y ++++++++=
1.20(1)∏=
)7,1,0(M Y
(2) ∏=)6,5,3,2,0(M Y
1.21C Y =
1.22 C B D C A D B F ++=
1.23D C A BC D B F ++= 1.24(1)01=F
(2) D A F +=2 1.25D A Y +=
1.26D C B D C A C A AC Z +++= 1.27B A Z +=
1.28(a) BC A C A B A Y ++=
(b) ABCD D C B A D B Y ++= 1.29D C B D C Y += 1.30证明(略)。