高考数学立体几何专题：证明
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例题二：已知：在四棱锥 P ABCD 中， E 为 AB 上一点， CEA BAD 900 。 证明：直线 AD // 平面 PCE 。
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证明：如下图所示： 根据同旁内角互补，两条直线平行得到：
CEA BAD 900 CEA BAD 1800 AD // CE 。
模块一：证明平行
知识点一：直线与平面平行的判定定理 （1）内容：若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则平面外的这条直线与该平面平行。 （2）方法：第一步：在平面上找一条直线；第二步：证明两条直线平行。 （3）描述：如下图所示：
直线 a // 直线 b ，直线 b 平面
直线 a // 平面 。
跟踪训练一：已知：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： O 为 AB 边上一点。 证明：直线 B1C1 // 平面 OBC 。
跟踪训练二：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中： E 为 BB1 的中点。 证明：直线 AD // 平面 A1 D1E 。
题型二：棱柱的所有侧棱都平行。
例题：已知：在三棱柱 ABC A1B1C1 中， O 为 A1C1 的中点。 证明：直线 AA1 // 平面 OBB1 。
例题一：已知：在四棱锥 P ABCD 中， E 为 AB 上一点， DEA EDC 。 证明：直线 CD // 平面 PAB 。
证明：如下图所示：
根据内错角相等，两条直线平行得到：
DEA EDC AB // CD 。
根据直线与平面平行的判定定理得到：
AB // CD ， AB 平面 PAB 直线 CD // 平面 PAB 。
举例：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： AA1 // BB1 // CC1 且 AA1 BB1 CC1 。
（3）直棱柱：所有侧棱垂直于两个底面；斜棱柱：所有侧棱不垂直于两个底面。
举例：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中： AA1 底面 ABC ， AA1 底面 A1B1C1 ； BB1 底面 ABC ， BB1 底面 A1B1C1 ； CC1 底面 ABC ， CC1 底面 A1B1C1 。
（4）直棱柱：所有侧面都为矩形；斜棱柱：所有侧面都是平行四边形。
举例：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中：侧面 A1 ABB1 为矩形； 侧面 A1 ACC1 为矩形； 侧面 B1BCC1 为矩形。
举例：在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中：侧面 A1 ABB1 为平行四边形； 侧面 A1 ACC1 为平行四边形； 侧面 B1BCC1 为平行四边形。
证明：根据棱柱的所有侧棱都平行得到： AA1 // BB1 。 根据直线与平面平行的判定定理得到： AA1 // BB1 ， BB1 平面 OBB1 直线 AA1 // 平面 OBB1 。
跟踪训练一：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中Fra Baidu bibliotek E 为 AC 的中点。 证明：直线 BB1 // 平面 DD1E 。
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题型一：棱柱的两个底面对应边平行。
例题：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 AA1 的中点。 证明：直线 BD // 平面 B1D1E 。
证明：根据棱柱两个底面对应边平行得到： BD // B1D1 。 根据直线与平面平行的判定定理得到： BD // B1D1 ， B1D1 平面 B1D1E 直线 BD // 平面 B1D1E 。
PA AD ， EF AD PA // EF 。
根据直线与平面平行的判定定理得到：
PA // EF ， EF 平面 BEF 直线 PA // 平面 BEF 。
跟踪训练一：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中： E 为 C1D1 上一点， C1EB1 A1D1C1 。 求证：直线 B1E // 平面 A1 ADD1 。
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跟踪训练二：已知：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： O 为 A1C 边上一点。 证明：直线 AA1 // 平面 OBB1 。
第二类方法：两条直线平行的判定定理。 知识点三：两条直线平行的判定定理。 （1）同位角相等，两条直线平行； （2）内错角相等，两条直线平行； （3）同旁内角互补，两条直线平行。
跟踪训练二：已知：在四棱锥 P ABCD 中， O 为 AB 上一点， AOC OCD 900 。 证明：直线 CD // 平面 PAB 。
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跟踪训练三：已知：在三棱锥 P ABC 中， PAB 900 ， D ， E 分别为 PA ， PB 上两点， DE PA 。
第一类方法：棱柱。 知识点二：棱柱的特征。 （1）棱柱的两个底面中对应的边平行且相等。
举例：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： AB // A1B1 且 AB A1B1 ； AC // A1C1 且 AC A1C1 ； BC // B1C1 且 BC B1C1 。
（2）棱柱的所有侧棱平行且相等。
（2）两条有中点的线段没有公共端点，则两个中点的连线不是中位线。 得到中位线平行于底边，是否可以证明直线与平面平行？
解答：（1）中位线和底边中，其中一个是“证明：直线 // 平面”中的“直线”，另外一个在“证明： 直线 // 平面”中的“平面”上，满足此条件可以直接“证明：直线 // 平面”。
证明：直线 DE // 平面 ABC 。
第三类方法：三角形中位线平行于底边。 知识点四：三角形中位线平行于底边。 如下图所示：
D 为 AB 的中点 E 为 AC 的中点
DE 为 ABC 的中位线
DE // BC 。
已知两条线段的中点，两个中点的连线是否可以成为中位线？ 解答：（1）两条有中点的线段有公共端点，则两个中点的连线是中位线；
根据直线与平面平行的判定定理得到：
AD // CE ， CE 平面 PCE 直线 AD // 平面 PCE 。 例题三：已知：在四棱锥 P ABCD 中，PA AD ，E ，F 分别为 AD ，PD 上的点，EF AD 。 证明：直线 PA // 平面 BEF 。
证明：如下图所示： 根据同一平面内垂直同一条直线的两条直线平行得到：
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证明：如下图所示： 根据同旁内角互补，两条直线平行得到：
CEA BAD 900 CEA BAD 1800 AD // CE 。
模块一：证明平行
知识点一：直线与平面平行的判定定理 （1）内容：若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则平面外的这条直线与该平面平行。 （2）方法：第一步：在平面上找一条直线；第二步：证明两条直线平行。 （3）描述：如下图所示：
直线 a // 直线 b ，直线 b 平面
直线 a // 平面 。
跟踪训练一：已知：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： O 为 AB 边上一点。 证明：直线 B1C1 // 平面 OBC 。
跟踪训练二：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中： E 为 BB1 的中点。 证明：直线 AD // 平面 A1 D1E 。
题型二：棱柱的所有侧棱都平行。
例题：已知：在三棱柱 ABC A1B1C1 中， O 为 A1C1 的中点。 证明：直线 AA1 // 平面 OBB1 。
例题一：已知：在四棱锥 P ABCD 中， E 为 AB 上一点， DEA EDC 。 证明：直线 CD // 平面 PAB 。
证明：如下图所示：
根据内错角相等，两条直线平行得到：
DEA EDC AB // CD 。
根据直线与平面平行的判定定理得到：
AB // CD ， AB 平面 PAB 直线 CD // 平面 PAB 。
举例：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： AA1 // BB1 // CC1 且 AA1 BB1 CC1 。
（3）直棱柱：所有侧棱垂直于两个底面；斜棱柱：所有侧棱不垂直于两个底面。
举例：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中： AA1 底面 ABC ， AA1 底面 A1B1C1 ； BB1 底面 ABC ， BB1 底面 A1B1C1 ； CC1 底面 ABC ， CC1 底面 A1B1C1 。
（4）直棱柱：所有侧面都为矩形；斜棱柱：所有侧面都是平行四边形。
举例：在直三棱柱 ABC A1B1C1 中：侧面 A1 ABB1 为矩形； 侧面 A1 ACC1 为矩形； 侧面 B1BCC1 为矩形。
举例：在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中：侧面 A1 ABB1 为平行四边形； 侧面 A1 ACC1 为平行四边形； 侧面 B1BCC1 为平行四边形。
证明：根据棱柱的所有侧棱都平行得到： AA1 // BB1 。 根据直线与平面平行的判定定理得到： AA1 // BB1 ， BB1 平面 OBB1 直线 AA1 // 平面 OBB1 。
跟踪训练一：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中Fra Baidu bibliotek E 为 AC 的中点。 证明：直线 BB1 // 平面 DD1E 。
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题型一：棱柱的两个底面对应边平行。
例题：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， E 为 AA1 的中点。 证明：直线 BD // 平面 B1D1E 。
证明：根据棱柱两个底面对应边平行得到： BD // B1D1 。 根据直线与平面平行的判定定理得到： BD // B1D1 ， B1D1 平面 B1D1E 直线 BD // 平面 B1D1E 。
PA AD ， EF AD PA // EF 。
根据直线与平面平行的判定定理得到：
PA // EF ， EF 平面 BEF 直线 PA // 平面 BEF 。
跟踪训练一：已知：在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中： E 为 C1D1 上一点， C1EB1 A1D1C1 。 求证：直线 B1E // 平面 A1 ADD1 。
第 2 页 共 81 页
跟踪训练二：已知：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： O 为 A1C 边上一点。 证明：直线 AA1 // 平面 OBB1 。
第二类方法：两条直线平行的判定定理。 知识点三：两条直线平行的判定定理。 （1）同位角相等，两条直线平行； （2）内错角相等，两条直线平行； （3）同旁内角互补，两条直线平行。
跟踪训练二：已知：在四棱锥 P ABCD 中， O 为 AB 上一点， AOC OCD 900 。 证明：直线 CD // 平面 PAB 。
第 4 页 共 81 页
跟踪训练三：已知：在三棱锥 P ABC 中， PAB 900 ， D ， E 分别为 PA ， PB 上两点， DE PA 。
第一类方法：棱柱。 知识点二：棱柱的特征。 （1）棱柱的两个底面中对应的边平行且相等。
举例：在三棱柱 ABC A1B1C1 中： AB // A1B1 且 AB A1B1 ； AC // A1C1 且 AC A1C1 ； BC // B1C1 且 BC B1C1 。
（2）棱柱的所有侧棱平行且相等。
（2）两条有中点的线段没有公共端点，则两个中点的连线不是中位线。 得到中位线平行于底边，是否可以证明直线与平面平行？
解答：（1）中位线和底边中，其中一个是“证明：直线 // 平面”中的“直线”，另外一个在“证明： 直线 // 平面”中的“平面”上，满足此条件可以直接“证明：直线 // 平面”。
证明：直线 DE // 平面 ABC 。
第三类方法：三角形中位线平行于底边。 知识点四：三角形中位线平行于底边。 如下图所示：
D 为 AB 的中点 E 为 AC 的中点
DE 为 ABC 的中位线
DE // BC 。
已知两条线段的中点，两个中点的连线是否可以成为中位线？ 解答：（1）两条有中点的线段有公共端点，则两个中点的连线是中位线；
根据直线与平面平行的判定定理得到：
AD // CE ， CE 平面 PCE 直线 AD // 平面 PCE 。 例题三：已知：在四棱锥 P ABCD 中，PA AD ，E ，F 分别为 AD ，PD 上的点，EF AD 。 证明：直线 PA // 平面 BEF 。
证明：如下图所示： 根据同一平面内垂直同一条直线的两条直线平行得到：