特殊角锐角三角函数值.pdf
28.1锐角三角函数特殊角的锐角三角函数值(教案)2023-2024学年人教版数学九年级下册
3.通过实际例题，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。
本节课将结合教材内容，通过讲解、示范、练习等环节，帮助学生掌握特殊角的锐角三角函数值，并为后续学习三角函数的性质和应用打下坚实基础。
二、核心素养目标
3.增强学生的数学运算与数据分析能力：通过解决实际例题，让学生运用锐角三角函数进行计算和分析，提高数学运算与数据分析能力，为解决复杂问题奠定基础。
本节课将紧密围绕新教材的要求，关注学生核心素养的培养，帮助学生将所学知识内化为自身的数学素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
后的内容###”二、核心素养目标”作为标题标识，再开篇直接输出。
2.逻辑推理：通过特殊角的锐角三角函数值的推导，提高学生的逻辑推理能力。
3.数学运算与数据分析：培养学生运用特殊角的锐角三角函数值进行精确计算和解决实际问题的能力。
三、教学过程
1.导入新课
通过回顾上一节课的内容，引导学生进入锐角三角函数的学习。
2.基本概念与性质
复习锐角三角函数的定义，强调正弦、余弦、正切的概念。
四、教学评价
1.课堂问答：检查学生对特殊角的锐角三角函数值的掌握程度。
2.练习题完成情况：评估学生对知识点的理解和运用能力。
3.课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
五、教学资源
1.教材：人教版数学九年级下册。
2.课件：包含本节课教学内容的PPT。
3.练习题：针对本节课知识点的练习题。
五、教学反思
在上完这节关于特殊角的锐角三角函数值的内容后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对于锐角三角函数的定义有了较好的理解，但记忆特殊角的函数值还存在一定难度。在教学中，我尝试通过一些记忆方法，如编口诀、画图等，帮助学生记忆。从学生的反馈来看，这些方法还是有一定效果的，但还需在后续教学中继续巩固。
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
特殊锐角三角函数
4．当锐角A>45°时，sinA的值（ A．小于 C．小于 B2 ．大于 D．大于
）
B
2
2 2
3 2
5．当锐角A>30°时，cotA的值（ A．小于 C．小于 ）
3 2
C
1 B．大于 2
3 2
D．大于
1 2
3 2
6．计算：
(1) 2sin30°+3cos30°+cot45°
3 3 2 2
3 3 4 2
解：
2 2
3 2 5 (1)cos 30 sin 45 ; 2 2 4
cos 30 3 3 (2) cot 45 1 0. sin60 2 2
例3
求下列各式的值 : cos 450 0 (2) tan 45 sin 450
a
b
C
课堂小结
1．锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切函数，统称为 锐角∠A的三角 函数． 2．30°、45°、60°角的三角函数值． 3．锐角α的三角函数值的取值范围 ． 正弦 余弦 0＜ sinα＜1 0＜ cosα＜1 正切 余切 tanα>0 cotα>0
4．三角函数的增减性： sinα、tanα随着自变量α的增大而增大 cosα、cotα随着自变量α的增大而减小
5．三角函数的几个重要关系式
tanα•cot（90°-α） =1 sin2 α +cos2 （90°-α） =1 sinα= cos（90°-α） cosα= sin（90°-α） tanα= cot（90°-α） cotα = tan（90°-α）
随堂练习
1．当∠A为锐角，且tanA的值大于 时，∠A（ ） D
锐角三角函数特殊值.ppt
tan60°=
A的 对 边 A的 邻 边
3
洞察力与巧记忆ຫໍສະໝຸດ 特殊角的三角函数值表锐角α
300
450
600
三角函数
正弦sinα
1
2
2
3
2
2
余弦cosα
3
2
2
1
2
2
正切tanα
3
1
3
3
例2 求下列各式的值: (1)2sin30-3cos60: (2)cos2 45 tan 60 • sin 60 : (3) 3 cos 30 2 sin 45 tan 45 • cos 60.
( 1 ) t a n α 3 3
( 2) 2s inα1 0 (3 ) 2 co sα 1 1
2
例4.已知 2c os α 3 0 (α为锐角)
求 tanα
洞察力与巧记忆
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角α
300
450
600
正弦sinα
1
2
2
3
2
2
余弦cosα
3
2
2
1
2
2
正切tanα
3
1
3
3
300,450,600角的三角函数值
复习：1.锐角三角函数的定义
正弦
tan
正切 cos
余弦 sin
对边 邻边
对边 斜边
邻边 斜边
2.在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=4, BC=3, 求值.
B
c5
a3
A
b4 C
新知探索:
B
1
C
2
30.0 A
特殊角的锐角三角函数值
2
300
2
450
450
(7)tan450,tan600等于多少?
1
600
3
1
┌
1
┌
根据上面的计算,完成表格: <特殊角的锐角三角函数值表>
特殊角的锐角三角函数值表
锐角 A
锐角三角函数
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
特殊角的锐角三角函数值表
找找规律， 记住它！
锐角 A
锐角三角函数 sin A cos A tan A
• 课本P67练习，1、2题
等腰三角形腰长为10厘米，顶角 是120°，则三角形底 边长 10 3 厘 米 ，面积是 25 3 平方厘米 。
怎样 做？
看谁做得快！
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为３0°, 高为7米, 扶梯的长度是多少? ?
30°
7米
1、课本P69 习题28.1 第3题
2
300
0
tan 60 3
0
2、角A是多少度？
1 sin A 0 2 30
3 cos A 2 0 30 2 cos A 0 2 45
2 sin A 0 45 2
3 sin A 0 2 60
tan A 1 0 45
3 tan A 0 3 30
1 cos A 0 2 60
tan A 3 0 60
2
450
450
1
600
3
┌
┌
1 锐角 A
锐角三角函数
1
30°
45°
60°
sin A cos A tan A
解：在右图中，
特殊三角函数值
sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°<α<90°间变化时，
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378
九年级数学锐角三角函数《特殊角的三角函数值》课件
归纳
知1－导
30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角 三角函数
锐角A
sin A
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2 1 2
3
例1 求下列各式的值：
知1－讲
（1）cos260°+sin260°；
（2） cos 45 tan 45. sin 45
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第3课时
特殊角的三角函数值
复习回答问题
在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 3 ，BC=10， 53
则AB=___1_2_；__，AC=___7_；___，sinB=____5___，
5
5
△ABC的周长是___3_0__。
知识点 1 特殊角的三角函数值
；
知3－讲
解：∵sin A＝ 1 ，sin2 A＋cos2 A＝1，
∴
1 3
∴cos2
23 ＋cos2
A＝1－
A＝1, 18
,
99
∴cos A＝ 8 2 2 (负值舍去)； 93 1
∴ tan A sin A 3 1 2 . cos A 2 2 2 2 4
3
（来自《点拨》）
知3－练
（来自《典中点》）
；
知识点 3 锐角三角函数间的关系
知3－讲
（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它 转化为实数的运算，再根据实数的运算法 则计算；
（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余 弦值或正切值，然后对应特殊锐角的三角 函数值求角的度数；
特殊角的三角函数值
sin30°=
A的对边 斜边
1 2
cos30°=
A 的 邻 边 斜边
3 2
tan30°= A的对边 3 A的邻边 3
B
1 600
C
2
°A
3
sin60°= A斜的边对边
3 2
cos60°=
A 的邻边 斜边
1 2
tan60°=
A 的对边 A 的邻边
3
sin45°=A的对边 2
B
斜边
2
2
1
cos45°= A的邻边 2
3、 sin60°·cos60° 4、tan45°- sin30° 5、sin60°·tan30°-cos45° 6、tans45°- sin30°-cos60°
7、 cos 45 tan2 30
(1).2
sin
60°
3
tan
30°
1 3
0
(1)2009
(2). (
3
2)0
1 3
1
4
cos
30°
|
12 |
例2、(1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB= 6 ， BC= 3 。求∠A的度数。
B
A
6
3
A
C
(1)
O B
(2)
(2)如图,已知圆锥的高AO等于圆锥的底面 半径OB的 3 倍,求α.
练习2：求锐角 的度数:
2sin 2 0
3 tan 1 0 2 sin( 15 ) 3
例3.求适合下列各式的锐角α
( 1 ) 3 t a n α 3
( 2 )2 c o s α 1 2
1
(3) 3tan2 4 tan 3 0
锐角三角函数---特殊角的三角函数值
1 cos 45 （ 2） tan45 sin 45
2 2 解：原式 1 2 2
0
例2 求下列各式的值: (1)2sin30-3cos60: (2)cos 45 tan 60 sin 60 :
2
(3) 3 cos 30 2 sin 45 tan 45 cos 60.
sin A cos B;cos A sin B sin A 1 tan A ;tan A cos A tan B
sin2 A cos2 A 1
所以，对于任何一个锐角α ，有 0＜sin α ＜1， 0＜cos α ＜1， tan α ＞0，
B
A
C
300、450、600角
的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:
求∠A的度数．
A
6
3
C
BC 3 2 解 sin A , AB 6 2
A 45 .
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆 锥的底面半径OB的 3 倍，求 a ．
O
B
AO 3OB 解 tan 3, OB OB
60 .
当A，B为锐角 时，若A≠B，则 sinA≠sinB, cosA≠cosB, tanA≠tanB.
B
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
Байду номын сангаас
BC 7 , AC 21 ，
求∠A、∠B的度数．
7
C
A
21
2、求适合下列各式的锐角α
(1)3tan
(2) 2sin 1 0
2cos 1 (3) 1 2
3
3、已知 2cos 3 （ 0 为锐角）， 求tan的值。
人教版九年级下册数学第3课时 特殊角的锐角三角函数值课件
你是如何操作的呢？
以求sin18°为例.
sin键 输入角度值18° 得到sin18°结果
以求tan30°36'为例.
tan键 输入角度值30°36'或将其化为30.6°
解 : sin A BC 3 2 , AB 6 2
A 45 .
例2 （2）如图，AO是圆锥的高，OB是底 面半径，AO= 3OB，求α的度数.
解 : tan AO 3OB 3,
OB OB
60.
练习
1.求下列各式的值： （1）1-2sin30°cos30°；2 3
2
（2）3tan30° - tan45°+2sin60°；2 3 1
cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°= 1 .
sin150°=sin(180°-150°)=sin30°=
1. 2
2
（2）若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A， B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和 ∠B的大小.
因此，这块木板的面积约为1280.30 cm2.
拓广探索 9. 用计算器求下列锐角三角函数值，并填入 表中：
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的 变化趋势？cosA呢？tanA呢？你能证明你的结 论吗?
解：sinA不断增大，cosA不断减小，tanA不断 增大.
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正弦、 余弦之间有什么关系？（提示：利用锐角三角 函数的定义及勾股定理.）