【北师大版】七年级数学下册《分类讨论思想在等腰三角形中的应用》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析

专训3分类讨论思想在等腰三角形中的应

用

名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．

当顶角或底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()

A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．如果等腰三角形的两个内角的度数之比为14，那么这个三角形三个内角各是多少度？

当底和腰不确定时，分类讨论

3．【中考·荆门】已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()

A．8或10B．8C．10D．6或12 4．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

5．若x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

当高的位置不确定时，分类讨论

6．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．

由腰的垂直平分线引起的分类讨论

7．在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．

由腰上的中线引起的分类讨论

8．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分，求腰长．

点的位置不确定引起的分类讨论

(第9题)

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()

A．7个B．6个C．5个D．4个

答案

1．D

2．解：分两种情况讨论：

(1)当底角和顶角的度数之比为14时，

设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意，得x＋x＋4x＝180°，

解得x＝30°，则4x＝4×30°＝120°.

所以三角形三个内角分别为120°，30°，30°.

(2)当顶角和底角的度数之比为14时，

设顶角的度数为x，则底角的度数为4x.根据题意，得

x＋4x＋4x＝180°，解得x＝20°.则4x＝4×20°＝80°.

所以三角形三个内角分别为20°，80°，80°.

综上所述，三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°或20°，80°，80°.

3．C 4.23或25 5.20

6．解：设AB＝AC，BD⊥AC于D点；

(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①所示，因为∠DBC＝25°，

所以∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.

所以∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.

(第6题)

(2)当高与另一腰的夹角为25°时，

如图②所示，当高在△ABC的内部时，

因为∠ABD＝25°，所以∠A＝90°－∠ABD＝65°，

所以∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；

如图③所示，当高在△ABC的外部时，

因为∠ABD＝25°，

所以∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.

所以∠BAC＝180°－65°＝115°.

所以∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.

故这个三角形的各个内角的度数分别为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.

点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内部和在三角形外部．

7．解：此题分两种情况讨论：

(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°.

因为AB＝AC，所以∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.

(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，

所以∠BAC＝130°.

因为AB＝AC，所以∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.

故∠B的度数为65°或25°.

(第7题)

8．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．

解：因为BD为AC边上的中线，所以AD＝CD.

(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm.

因为BC＝5 cm，所以AB＝5＋3＝8(cm)．

(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，

BC－AB＝3 cm.

因为BC＝5 cm，所以AB＝5－3＝2(cm)．

但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，

而2＋2＜5，不合题意，舍去．故腰长为8 cm.

9．B