第5章1 有旋流动
第五章漩涡理论基础

第五章不可压缩流体的二维流动引言:在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动,为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式,流体具有移动和转动两种运动形式。
另外,由于流体具有流动性,它还具有与刚体不同的另外一种运动形式,即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋,是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中,如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动,则称为有旋流动,如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动,则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动,仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定,而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形,但由于微团本身不旋转,故它是无旋流动;在图5—1(b)中,虽然流体微团运动轨迹是直线,但微团绕自身轴线旋转,故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子,例如儿童玩的活动转椅,当转轮绕水平轴旋转时,每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动,但是每个儿童始终是头向上,脸朝着一个方向,即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论,先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内,经丛时间后沿一条流线运动到另一位置,微团变形成A,B,C,D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量,但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
流体力学第五章 管中流动-1

Re vd 1.0 0.1 76453 Rec 2300 6 1.308 10
管中流动为湍流。 (2) Rec vc d
vc
Rec
d
1.308 106 2300 0.03 0.1
2012年12月15日 20
5.2 圆管中的层流
本章所讨论的流体 1. 流体是不可压缩的; 2. 运动是定常的;
主要内容: • 速度分布 • 流量计算 • 切应力分布 • 沿程能量损失
2012年12月15日 21
过流截面上流速分布的两种方法
vd
我们知道当
较小,即速度和管子直径较小而粘度较大时出现层流
哈根-伯肃叶(Hagen-Poiseuille)定律, 它与精密实验的测定结果完全一致。
2012年12月15日 26
粘 度 的 测 定 方 法
利用哈根-伯肃叶(Hagen-Poiseuille)定律可以测定粘度,它是测 定粘度的依据。因为,根据公式可以导出:
pd 4
128qvl
pd 4t
4 A 4 Bh 2h 4cm S 2B vd 要使 Re H 2320 v 0.017 m / s dH
2012年12月15日 18
例题三:某段自来水管,d=100mm,v=1.0m/s,
水温10℃, (1)试判断管中水流流态? (2)若要保持层流,最大流速是多少?
(2)速度分布具有轴对称性,速度分布呈抛物线形。 (3)等径管路中,压强变化均匀。 (4)管中的质量力不影响流动性。
2012年12月15日 22
• 1.第一种方法 • 根据圆管中层流的流动特点,对N-S方程式
有旋流动和无旋流动_1~9

vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度: vy
Z方向速度:
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度:
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量:
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量:
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2
第5章 性流体动力学基本方程组

第5章 粘性流体动力学基本方程组5.1 粘性流体动力学基本方程流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的,即质量守恒定律,动量守恒定律和能量守恒定律。
这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组。
但这个方程组是不封闭的,要使其封闭还需加上辅助的物性关系等。
一般情况下,现在还求不出这个方程组的解析解,但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义,因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的。
粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。
因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了。
这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的。
对流体运动的描述有两种方法,即拉格朗日法和欧拉法;对基本定理的数学表述也有两种方法,即积分形式和微分形式。
本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程。
5.1.1 质量守恒定律——连续方程连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。
由于不涉及力的问题,因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同,在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。
考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题。
根据质量守恒定律,单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量ρu 的散度()ρ∇⋅u ,它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量:()0tρρ∂+∇⋅=∂u (5.1.1) 展开后得:()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ (5.1.2) 连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平衡。
对于定常流,此式可变为:()()()0u v w x y zρρρ∂∂∂++=∂∂∂ (5.1.3) ()0ρ∇⋅=u (5.1.4)对于不可压缩流,(5.1.2)式变为:()()()0u v w x y z∂∂∂++=∂∂∂ 即iiu x ∂= 0 (5.1.5) 由张量分析的知识可知,iiu x ∂是应变量张量的主对角线上三元素之和,恒为常数,表示微元体的体积变化率。
2010-第五章旋涡理论 流体力学

∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场,求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论: 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始, 否则dσ→0时有ω→∞。 涡管存在的形式:要么终止于流体边界或固 体边界,要么自行封闭形成涡环。 不可能 的情况
由该定理得到: 涡管(涡线)本身首尾相接,形成一封闭的涡环或涡圈; 涡管(涡线)两端可以终止于所研究流体的边壁上(固体 壁面或自由面)。
例5.1 已知速度分布,求涡线方程。
ω=const
方法(详见p146):
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量,求绕圆心的速度环量。
方法(详见p146): 由速度环量定义,式(5-1-9),直接积分求得。
旋涡运动基本定理
流体力学教案第5章流体漩涡运动基础

第五章 流体旋涡运动基础§5-1 旋涡运动的几个基本概念一、涡量场对有旋流动,0≠ω ,而),,,(t z y x f =ω,所以对有旋流动的流场中同时存在一个旋涡场,或称涡量场或角速度场。
k Ωj Ωi ΩΩz y x++= (1)zy w Ωx ∂∂-∂∂=υ xw z u Ωy ∂∂-∂∂=(2) yu x Ωz ∂∂-∂∂=υ 满足涡量连续性方程:0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x (3) 二、涡线同速度场中引进流线、流管和流量的定义一样。
下面我们定义涡线、涡管、涡束以及旋涡强度(涡通量)。
涡线――涡线是旋涡场中的一条曲线,在某一瞬时,曲线上各点的切线方向与该点流体微团的角速度ω方向重合。
(Ω 方向的判别,根据右手螺旋法则)对非定常流动涡线的形状随时间而变,对定常流动,涡线形状不随时间而变。
与流线一样,涡线本身也不会相交。
取k z j y i x sd d d d ++=为涡线上一微元线段。
类似于流线微分方程,或由0d d d d ==⨯zyx ΩΩΩk j is Ωz y x可得到涡线微分方程为:),,,(d ),,,(d ),,,(d t z y x Ωzt z y x Ωy t z y x Ωx z y x == (4)三、涡管和涡束涡管-在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线,通过封闭曲线上每点的涡线,这些涡线形成一管状表面,称为涡管。
涡束-涡管中充满作旋转运动的流体,称为涡束。
四、涡通量涡通量-通过任一开口曲面的涡量的总和。
通过开口曲面A 涡通量为:A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=n为d A 的外法线单位向量 对于封闭曲面:A n ΩJ Ad ⎰⎰⋅=由于:0=∂∂+∂∂+∂∂zΩy Ωx Ωzy x 所以:0d =⋅=⎰⎰A n ΩJ A五、速度环量定义如下:在流场中任取一通曲线AB 。
AB 曲线上任一点的速度为V,在该点B 附近的曲线上任取一微元线段s d ,V 与sd 的夹角为α。
流体力学第五章:旋涡理论

Bˊ Aˊ BA
L
E
C
即 Γc=ΓL (与积分路径方向一致时)
§5-2 汤姆逊定理
假设:
(1)理想流体;
(2)质量力有势; (3)正压流体(流体密度仅为压力的数)
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
即 d 0
dt
(5-14)
证明:
C上微分长 ds 经dt时间后移到C′,移动速度 v '
θ: 是ds与r的夹角
dH的方向: 垂直于ds和r所在的平面,按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式 旋涡强度为J(环量Γ=2J)的ds段涡丝
对于P点所产生的诱导速度:
流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿 整个涡丝积分:
该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场
流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条 涡丝的诱导速度求得后,沿涡面积分就可 求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。
旋涡场的几个基本概念:
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line):
3 2
涡线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量
与此线相切。
涡线微分方程:
1 ds
取涡线上一段微弧长 ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 xi y j zk
由涡线的定义(涡矢量与涡线相切),得 涡线微分方程式:
c
dt
c
c2
而积分式
d d dt dt
c
vds
c
dv dt
ds
c
v
d dt
ds
由欧拉方程
第一项积分可写成
c
五章理想不可压流体二维流动(精品)

第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动1.二维流动流函数定义、性质;2.二维流动流函数方程、定解条件、应用;3.复势、复速度求解无界二维流动、应用——定常圆柱绕流;4.奇点镜像法——平壁面和圆柱干扰下二维流动.流函数基本知识理想流体流动求解——叠加原理应用第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动解不可压理想流体的平面和轴对称流动思路:运动学和动力学分解(位流理论)第四章确定不可压理想流体无旋流动时,直接利用连续方程()和无旋()条件求解速度场(拉普拉斯方程:),利用柯西——拉格朗日积分求压力场(将运动学问题和动力学问题分解)。
0=⋅∇V 0=⨯∇V 0=∆ϕ利用平面流动连续方程定义一个流函数,不可压平面无旋流动流函数和势函数均满足拉普拉斯方程(运动学方程),进而可以进行基本解叠加。
ψ不可压平面无旋流动流函数和势函数满足柯西---黎曼条件,因而可以利用复变函数工具。
均匀来流垂直于长柱体绕流,机翼中部流动近似为平面流动第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动5.1 不可压平面流动和轴对称流动的流函数及性质5.1.1 平面流动和轴对称流动的定义平面流动:任一时刻,流场中各点的流动速度都平行于某一固定平面,且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
若流动平行于xy平面,则平面流动速度及任一物理量B表示为:),,(,0),,,(),,,(t y x B B w t v x v v t y x u u ====轴对称流动:任一时刻,流场中各物理量在以某轴线为中心的同一圆周上没有变化。
若取z轴为对称轴,则各物理量满足:,0==∂∂εεV 第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动5.1 不可压平面流动和轴对称流动的流函数及性质5.1.2 平面流动和轴对称流动的流函数流函数定义:对不可压流动,连续方程:,展开为:0=⋅∇V 0)(122311132321=∂∂+∂∂q V h h q V h h h h h 对定常可压缩流动,连续方程:,展开为:0)(=⋅∇V ρ0)(122311132321=∂∂+∂∂q V h h q V h h h h h ρρ定义流函数ψ流函数的概念是1781年Lagrange 首先引进的第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动或者:通常把不可压平面流动的流函数称作拉格朗日流函数不可压平面流动(直角坐标中)的流函数(q 1=x, q 2=y, q 3=z )(h 1=h 2=h 3=1):不可压平面流动(极坐标)的流函数:(q 1=r,q 2=θ,q 3=z )23111322,V h h q V h h q -=∂∂=∂∂ψψ23111322,V h h q V h h q ρψρψ-=∂∂=∂∂v xu y -=∂∂=∂∂ψψ,(h 1=1,h 2=r ,h 3=1):θψθψV rrV r -=∂∂=∂∂,第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动# 柱坐标z, r, ε不可压轴对称流动(柱坐标及球坐标中)的流函数:# 球坐标R,θ,ε23111322,V h h q V h h q -=∂∂=∂∂ψψ(h 1=1,h 2=1,h 3=r):(h 1=1,h 2=R,h 3=Rsinθ):r z rV z rV r-=∂∂=∂∂ψψ,θθψθθψV R RV R R sin ,sin 2-=∂∂=∂∂2 r第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动)()(4)()(42122222=+---++++-∞r d x d x Qr d x d x Q r U ππr=0 满足流线方程,即ψ=0的流线通过x 轴,另解方程)2(,0)()()()(22222222∞==+--++++-U Qb rd x d x b rd x d x b r π求速度场:V复势:复速度:共轭复速度:复速度的模:共轭复速度的表示方法:(2)复速度:以平面无旋流场的速度分量组成的复数U=u+ivψφi z W +=)(V iv u xi x dz dW =-=∂∂+∂∂=ψφiv u dzdW+=V v u dzdW=+=22αi Ve iv u dzdW -=-=dzWd artg u v tg i V dz dW ==-=-1),sin (cos ααα复速度:ivu V +=,x qφ=∂若平面点源在(x 0, y 0)θππψ'=--=-2)(2001q x x y y tg q 20202)()(,In 2y y x x q-+-==σσπφ)(2),(20202y y q v x x qu -=-=πσπσ)(22)(2)(0z z In qz In q i In q z W -='='+=ππθσπm(3)平面偶极子两无限长直线点源相距δl ,线源强度分别为q (位于z=-δl )和-q (位于z=0),当δl →0时,称这一对直线点源为平面偶极子。
有旋流动与无旋流动

y
B A C D
B’ C’ 0
�
A’ D’
B’’ C’’
A’’ D’’
x
需要指出,一般并不是先有了速度后求φ,而是恰恰相反,先求出φ,然后再确 定速度分布的 。
§ 2.5 环量与涡
§ 2.5.1 环量与涡的概念 � 研究流动的问题,还有两面个极重要的概念,一个叫环量,一个叫做涡。 � 环量的定义:在流场中任取一条封闭曲线,速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲 线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向,而且与封闭曲线的绕行 方向有关,规定积分时逆时针绕行方向为正,即封闭曲线所包围的区域总在行进方向 的左侧。
旋流。一个流场,如果各处的
ωx x
� ω 都等于零,这种流场称为有很大的意义。无旋流多了一个 ω = 0 的条件。这个
条件就是 :
ω x = 0, ω y = 0, ω z = 0
∂v ∂w = ; ∂z ∂y
�
∂u ∂v = ; ∂y ∂x
∂u ∂v ∂w 略高次项后= + + ∂x ∂y ∂z
� � 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变,体积怎么变,它的质量总是不变的。而 质量等于体积乘密度,所以在密度不变的不可压流里,其速度的散度必为零:
� ω
� ∂u ∂v ∂w divV = + + =0 ∂x ∂y ∂z
∫ (udx + vdy + wdz ) = ∫ dφ = φ
A A
� 例. 设有一个二维流场其速度分布是
B
B
B
− φA
u = 2 ax,
v = −2 ay
,
问这个流动是有旋的还
流体力学第五章

� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中: V = ui + υj + wk , ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合,便成了封闭曲线,则: � � Γ=∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ=2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同,单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点,而不越出流体的边界。或:不经过区域外的点。 对多连通域,则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B,则 Γ AB 为“+” ,而 B′ → A ′ 时,速度方向与环 量规定的正向相反,故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A=Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A =Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之,对存在多个洞的多连域则有:
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即:通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然,环量等于零,总旋涡强度等于零。环量不等于 零,必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下: 1、因为速度环量是线积分,被积分函数是速度本身; 2、而旋涡强度是面积分,被积分函数是速度本身的偏导数; 3、所以,无论是实验,还是理论计算,利用速度环量来研究旋涡要简单一 些,这就是斯托克斯定理的用处。
无旋流动与有旋流动

vz
从而,无旋流动条件也可以写作:
w v y z u w z x v u x y
充要条件
速度向量为有势向量,即:
v ( x, y, z )
u ,v ,w x y z
具有流速势的流动称为有势流动,无旋流动就是有势流动。
从场论的观点: 由于一个数量场 的梯度的旋度为零,即:
( ) 0
每个无旋的速度场
v 均可对应于某个梯度场 。
因此,无旋流场与速度有势场互为充要条件。
重要推论:
1)任意指定方向的速度为
x y z vs s x s y s z s ucos( s, x) vcos( s, y) wcos在该方向的分量。
2)对于无旋流,沿连接A,B的曲线进行速度的线积分,结果与路径
无关,只与两端点的 值之差有关。
B
A
v dl dl d B A
A A
B
B
涡量:
流体微团速度向量的旋度(curl)定义为流体
微团的涡量,以 表示,
无旋流动/有势流动
流体微团的旋转角速度写作矢量的形式为:
1 ω rot 2
一个流场,如果各处的
1 v v 2
ω0
都等于零,这样的流动称为
无旋流动,即在运动学分析中没有观察到微团的旋转现象。
速度的旋度在笛卡尔直角坐标系的运算表达式:
i rot
j y
k z
v
x
vx
vy
= curl v = v
涡量不为零的流动称为有旋流动或有涡流动,如
果一个流场中任一点的涡量均为零则为无旋流动
流体力学第五章(理想不可压缩流体的平面势流)

流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组,初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性对于定常流:则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为:边界条件静止固壁上自由面上:P = Pa 无穷远处:速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数,则可求出若已知速度矢量V,则可由积分求出势函数上式中为任意常数,因此的值相对于不同的Mo点可以差一个,为某一常数,但并不影响流动的实质,因为当求流动的特征量ui, P时,常数的差别便消失不见了,所谓的结果完全一样φ涉及到单值和多值问题在单连通区域 与积分路线无关,而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 , 是封闭曲线L绕某一点的圈数, 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)内容 ¾ 基本方程组,初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质¾ ¾平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加¾ ¾平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行,即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即适用范围 无限长柱体,它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多,在长方向的速度分量很小,其它物理量的变化也很小。
如:低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等,无限长的柱 体平板的绕流等研究平面无旋运动,在平面运动中,涡旋矢量Ω的三个分量为只有 而无旋,可推出存在着速度势函数 使得:速度势函数的性质我们已经讨论过了流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ,满足流动的可能判据 —— 连续性 方程,则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时,不可压缩流体的连续性方程为:若有一函数Ψ(x,y,t)并令 则连续性方程为称为流函数知道了流函数 •若与流速ux ,uy 之间的关系之后 求出流速场已知,可由• 若 ux ,uy 已知,可用积分速度势与流函数 平面流动垂直与z轴的每个平面流动 都相同,称平面流动速度势函数 速度势函数存在的条件∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y此条件称 柯西—黎曼条件由高数知识可知,柯西—黎曼条件是使udx + vdy + wdz全微分的充要条件,即成为某一个函数ϕ(x ,y ,z ,t )d ϕ = udx + vdy + wdz而当 t 为参变量, ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z比较两式有∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z把ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数无论流体是否可压缩,是否定常流只要满足无旋条件 ,总有 势函数存在。
《高等流体力学》第5章-涡量

D(dl ) dl dl dt Dt
因为
u du d ( 2 ) 0
L L
u2
所以
L L
L
粘性是涡旋产生、发展和消失的根本原因,且固体 壁面成为涡量策源地: • 粘性产生涡旋 • 粘性使涡旋扩散 • 粘性对涡旋产生耗散作用,使之减弱或消失
物理意义: 环量的随体导数等于质量力、压强梯度力及粘性力沿封 闭曲线所做功之和。 质量力有势、正压: d p dl ( ) dl (v 2u ) dl L L L 物理意义:当正压流体、 dt 质量力有势时,质量力 (v 2u ) dl 与压力对环量量变化没
2:粘性作用引起的涡量 扩散
u z 0, x y 0 则 ( )u ( x y z )u x y z z (u x i u y j u z k ) z z (u x i u y j ) 0 z
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涡量输运方程 简化为
D ( )u 2 Dt D 2 扩散方程 Dt
涡旋扩散举例
•反应了粘性对涡量的扩散作用,并且是将固 体边界的粘性影响向流体内部传送的主要原因。 •由于粘性,涡漩总是从涡漩强度大的地方向 强度弱的地方输送,直至涡旋强度处处相等。 (朝涡量递减的方向扩散) •粘性是涡旋产生和消失的根本原因()
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第5章 流体涡旋运动
5.1 涡旋运动的基本概念和运动性质 5.2 粘性对涡旋形成与变化的作用(质量力有势、正压)
流体力学 第五章 涡旋动力学基础

2.开尔文定理
理想(无粘)正压流体在有势的质量力作用下, 速度环流不随时间变化,其证明如下:
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论:对于理想的正压流体,在有势的质 量力作用下,沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知,在流场中已 有的旋涡将永远不会消失,即理想流体中,旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日(Lagrange)定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论,又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下:在质量力有势的条 件下,理想、正压流体的流动中,若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋,则在该时刻以前 及以后的时间内,该部分流体内也不会有涡旋 。反之,若某一时刻该部分流体内有涡旋,则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压,但质量力为有势力,则:
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容:
1
p=常数的面称为等压面,α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ,显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体,等 压面和等容面将相交,作一系列彼此相差一个 单位的等压面,同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面,这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子,通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式, 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
船舶流体力学第5章(打印)

第五章旋涡理论本章主要研究:旋涡运动,不涉及力,属于运动学范畴。
由于旋涡场的特性不同于一般流场,在这里我们专门对其进行分析研究。
旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际,比如机翼、螺旋桨理论等。
旋涡的产生:与压力差、质量力和粘性力等因素有关。
根据边界层理论,流体流过固体壁面时,除壁面附近粘性影响严重的一薄层外,其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。
图片:§5.1 旋涡运动的基本概念流体微团:由大量流体质点所组成的,具有线性尺度效应的微小流体团。
刚体的运动是由于平移和绕某瞬时轴的转动两部分组成。
流体微团的运动一般除了平移和绕某瞬时轴的转动之外,还有线变形运动和角变形运动。
一.速度分解定理:设t时刻流场中任一流体微团中某点A(x,y,z)的速度为V x、V y、V z,则与点A相邻的点M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度为:dz zv dy y v dx x v v v xx x x mx∂∂+∂∂+∂∂+= dz z v dy y v dx x v v v y y y y my ∂∂+∂∂+∂∂+= dz zvdy y v dx x v v v z z z z mz ∂∂+∂∂+∂∂+= dy y v x v dz x v z v dz x v z v dy x v y v dx x v v v x y z x z x y x x x mx⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∴21212121引入符号: x v x x ∂∂=ε y v y y ∂∂=ε zv z z ∂∂=ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z v y v y z x 21γ ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x v z v z x y 21γ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y v x v x y z 21γ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z v y v y zx 21ω ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x v z v z x y 21ω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y v x v x y z 21ω dy dz dz dy dx v v z y y z x x mx ωωγγε-++++=∴同理:dz dx dx dz dy v v x z z x y y my ωωγγε-++++=dx dy dy dx dz v v y x x y z z mz ωωγγε-++++=上式称为海姆霍茨(Helmholtz )速度分解定理。
流体力学-有旋流动和有势流动

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涡管 在流场中,取一条
不与涡线重合的封闭曲 线 L,在同一时刻过 L上 每一点作涡线,由这些 涡线围成的管状曲面称 为涡管。
涡管 涡线 Ω
与涡线一样,涡 管是瞬时概念
6
涡通量 通过流场中某曲面 A 的涡量通量 Ω n d A
称为涡通量。
A
n
涡管强度 通过涡管任一截面 A 的涡 通量又可称为涡管强度
这个分类是 很重要的
无旋流动
有旋流动
判别的唯一标准是看流速场的旋度是否为零
3
• 涡量、涡线、涡管和涡通量
涡量 对于有旋流动,将流速场的旋度 称为涡量,它是流体微团旋转角速 度矢量的两倍。涡量场是矢量场。
Ω u 2ω
涡线 涡线是涡量场的矢量线,是某瞬时对应的流场中的曲线,
该瞬时位于涡线上各点对应的涡量都沿着涡线的切向。与流线 一样,涡线是与欧拉观点相对应的概念。
A
dA
Ω
I Ωn d A ( u) n d A 2ωn d A
A
A
A
留下一个问题:为 什么可取任一截面
计算涡管强度
AΩ
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• 速度环量、斯托克斯定理
速度环量 定义流速矢量 u 沿有向曲线 L 的线积分为速度环量
Γ udl
L
斯托克斯定理 n
Ωn d A u d l
A
L
dA
Ω
封闭曲线 L 是 A 的周界,
4
涡线微分方程 根据定义,涡线的微分方程为
Ω d l 0 其中 dl d xi d yj d zk
i jk dx dy dz 0 x y z
dx dy dz x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
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◆ 已知速度场,先求偏导,得涡量;再进行面积分,求涡通量 和涡管强度, 未免有些重复,且不方便。
更方便的办法:直接对流速进行曲线积分,求得速度环量, 由此确定涡通量和涡管强度。
通过曲面面积A的涡通量 I = Ω n dA = Ω •ndA = Ω •dA
A A A
∫
∫
r v
∫
r
r
r r r r Ω n = Ω • n = Ωcos(Ω , n) r = Ω 在曲面 A 法线方向的分量
AB 1
BC DA
2
− x1 )
∫ u • dL = ∫ Ω • ndA
L A
r
r
r r
L y x
∫ ucosαdL = ∫ ucosαdL = 0 ∫ ucosαdL = −u (x
CD 2 2
其中 A为张于L上的任何曲面,其法线方向与环量的积分方向符合右 手螺旋法则。 单连通区域——该区域之中任一封闭周线均可连续地收缩成一点而 不越过区域的边界。(反之称为多连通区域)
U∞
例: 有势质量力作用下的理想、正压 流体,无穷远处的均匀来流,在远处原 是无旋,则绕物体的流动亦是无旋的。 势流理论
但是: 壁面附近横向速度梯度和切应力存在,有旋且粘滞性作用不可 忽略,但该有旋区域常局限于壁面附近一个薄层内(边界层); 物体背后可能产生分离流动形成尾涡区,此处不能按有势流动 处理。 边界层和尾涡区之外流动可以近似认为是有势流动。
A1 A2
A1
r r r r ∫ n • Ω d A = − ∫ n ′ • Ωd A = − I 1
A1
⇒
-I1 + I2 = 0 证毕
17
18
若截面面积 A=dA (涡管元) 则
5.1.4 涡旋随时间的变化
开尔文环量定理(汤姆孙定理): 在有势质量力作用下的理想、正压流体,沿任一封闭流体线 的速度环量不随时间变化。 流体线——在运动过程中始终由原来的流体质点组成的线。 流体线在运动过程中保持其连续性和拓扑性质,即不会断裂或 与其他流体线相交 1 r ∇p = ∇Π 证明:有势质量力 f = ∇W ,正压流体 ρ r r du 1 = f − ∇p = ∇ ( W − Π ) 理想流体 dt ρ
I = Γ = u 0 2πr0 = 2πωr02
u kx = − u ky
13 14
例3:孤立涡管 分析: 将涡管看成孔洞,只讨论封闭曲线C、 L之间无旋流区域,则A为双联通区域
C L
例4 封闭周线C包围N个孤立涡管,涡管强度分别为I1,……, IN,,计算C上的速度环量ΓC 。
A
ΓC − ΓL = ∫ Ω n dA = 0
A
v Ω=0
解1:C所包围的区域A中包含了各个 涡管截面在内,单连通。 路径L1、…、LN等环绕各个涡管截面 其速度环量
▲平面流动
涡线微分方程
Ω x = Ωy = 0
dy dx dz = = Ω x (x , y , z , t ) Ω y (x , y , z , t ) Ω z (x , y , z , t )
已知涡量场,可以求解涡线,方法与求解流线的方法类似。
3
4
2.涡管:涡线构成的管状曲面 3.涡管强度I =通过涡管截面A的涡通量 4.涡通量
z
r n
A dA
= u1 ( x 2 − x1 ) + 0 + u2 (x1 − x 2 ) + 0 = −(u2 − u1 )(x 2 − x1 ) < 0
或:
r r Γ = ∫ u • dL = ∫ ucosαdL
L L
AB:u=u1,cosα=1, BC、DA:cosα=0,
∫ ucosαdL = u (x
第5章 有旋流动和有势流动
5.1 有 旋 流 动
有旋流动
已知:流体微团的转动角速度
r ω≠0
实际流动大多是有涡的,如: 物体绕流背后的漩涡区 壁面附近的剪切流动层 大气中的涡流(龙卷风、台风等)
…………
r 1 r 1 r ω = rotu = ∇ × u 2 2
定义:流动的涡量
r i r r r r ∂ Ω = 2ω = rotu = ∇ × u = ∂x ux
2
r j ∂ ∂y uy
r k ∂ ∂z uz1来自5.1.1 涡线、涡管、涡通量
涡量的分量
Ωx =
∂u z ∂u y − ∂y ∂z ∂u y
,
Ωy =
∂u x ∂u z − ∂z ∂x
r r 1.涡线:某瞬时,处处与 Ω 相切的曲线。 Ω1
,
(恒定流动的涡线形状不随时间改变)
r Ω2
r Ω3
∂u Ωz = − x ∂y ∂x
v r
Γ=I为曲线涡的涡管强度
r du r
ΓdL
r Γ sinα dL du = 4π r 2
整个曲线涡在M点的诱导速度
r du
r r r Γ dL × r u= ∫ 4π L r 3
M *
v r
α
r Γ dL
23
24
r edu
r r Γ sinαdL ⋅ edu u= 2 ∫ 4π L r r 为 du 方向的单位长度矢量
3.多连通区域中的斯托克斯定理 设区域中有一孔洞,周线 C 环绕 孔洞——所包围的 A 为多连通区 域。
Ωx = 0
Ωy = 0
∂u Ωz = − x = 2c ∂x ∂y
∂uy
为常数
以线段BE将区域A切割开, 作新周线C ′ =C+ L+BE+EB, 所包围的区域A为单连通区域。
I = ∫ Ωn dA = ∫ Ω z dA = 2cπa 2 = Γ
r Γ u= 2πR
Γ
R
u
5.2.3 一组直线涡(涡系)的诱导速度
(1)涡系产生的诱导速度场等于各个涡产生的诱导速度场之和; (2)每个涡的运动速度=其他涡在其涡心产生的诱导速度之和。 (矢量和) 位于点(xk,yk)强度为Γk的直线涡 在点M(x,y)的诱导速度为
—无限长直线涡的诱导速度
如:半径为r0的无限长圆柱体,以角速度ω转动,相当于一个涡管 则
21
22
5.2.1 曲线涡的诱导流速、毕奥-萨伐尔公式
曲线涡上任一点O处微元 dL 在点M处产生诱导速度为
r
5.2 旋涡的诱导流速
在一个有旋区域周围的流体中会形成一定的流动——诱导流速。 (注意:在有旋区域之外的诱导流速场是无旋的) 本节介绍孤立涡管元(曲线涡)在无界流体中的诱导流速。
r r r Γ dL × r du = ——毕奥-萨伐尔公式 4π r 3 r r 其方向垂直于 dL、 r 所在平面。
AB
+∫
x1 x2
BC
+∫
CD
+∫
DA
y1
Γ = ∫ ux dx + uy dy + uz dz
L
◆ 积分时注意dx、dy等沿 曲线路径的变化。 (柱坐标系)
Γ = ∫ ux | y = y1 dx + ∫ u y | x = x 2 dy + ∫ u x | y = y 2 dx + ∫ u y | x = x1 dy
沿封闭流体线 L 的速度环量Γ的变化率(加速度环量)
dI = Ω1dA1 = Ω 2dA2
或 ω1dA1 = ω2 dA2
推论1° 同一时刻,同一涡管元,截面积越小的地方涡量越大。 推论2°涡管截面不可能收缩为0(否则涡量为无穷大),因此涡 管的两端不可能在流体内部消失
涡管或者是环形,或者两端延伸 到流体的边界上或无穷远处。 例:龙卷风,江河中的漩涡和泡、漩。
r n
I1
ΓC = ΓL1 + L + ΓL N = I 1 + L + I N
r
r n′
A2
I2
r
r
r n
r
A1
侧面Ω n = 0
结论: 沿围绕若干孤立涡管的任意路径的速度环量 = 这些涡管的涡管强度之和。
∫ Ω ⋅ ndA = ∫∫∫ ∇ ⋅ ΩdV
A V
r r
r r r r = 0 = ∫ n • Ω d A + ∫ n • Ω dA
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r dΓ d r r du r = ∫ u • dL = ∫ • dL = ∫ d ( W − Π ) = 0 L L L dt dt dt ,证毕。
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推论: 1°涡旋不生不灭定理(拉格朗日定理) :在有势质量力作用下的 理想、正压流体的运动,若某时刻某部分流体内无旋,则该部分 流体在以前、以后时间内也无旋;反之,若某时刻某部分流体内 有旋,则该部分流体在以前、以后时间内均有旋。 2°涡管及涡管强度保持定理(亥姆霍兹定理) :在有势质量力作 用下的理想、正压流体的运动,某时刻组成涡管的质点将永远组 成涡管,其涡管强度在运动过程中保持不变。 破坏涡旋保持性的三个因素:粘滞性、斜压性和非保守质量力。
r n
A
r Ω
dA
5
6
5.1.2 速度环量 斯托克斯定理 1. 速度环量
沿封闭曲线L的速度环量
例 1 求图示剪切流动中沿矩形封闭路径 L 的速度环量。
y u2 y2 u D
各段 uy= 0, dz=0
C
r r Γ = ∫ u • dL = ∫ ucosαdL
L L
切向速度分量
r u
dy=0
L y1 A x1 B x2 x
A
涡管之外为无旋流动
∴
ΓC = ΓL = I
ΓL1 = I1 , LL , ΓLN = I N r r ΓC = ∫ u • dL = ∫ Ω n dA = ∫ Ω n dA + L + ∫ Ω n dA