连续时间系统傅里叶变换的性质

即：(1)若信号乘以常数a，则其频谱函数也乘以a。
(2)几个信号的频谱函数等于各个信号频谱函数的和。
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 9 :求f ( t )的傅立叶变换。
2 1
f (t )



2
2

t
f (t ) [u(t ) u ( t 2 2 )] [u( t ) u( t )]




x(t )dt x(t )e



jwt
dt w 0 X (0)
例4 16 : 求抽样函数sin c(wc t )下的面积


X ( w )dw X ( w )e jwt dw t 0 2 x(0)
解： sinc(wc t ) w G ( w ) 2 w c c
等效脉宽

Bf
1

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4-18:求下列时域函数的频谱的带宽
x1 ( t )
1 1
X1 ( w) T1 Sa ( wT1 / 2)
2
Sa ( w / 2)
2
1
t
1
X1 (0)B f x1 (0)
2
Bf 1 1
jw
x2 (t ) 1


第4章 连续时间信号的傅立叶变换
实偶函数
f (t ) e
ຫໍສະໝຸດ Baidu t
( t )
2 F ( ) 2 2
( ) 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
实奇函数
e at f (t ) at e (t 0) (t 0)
2 j F ( ) 2 2
t t
证明： X ( w) x(t )e dt
jwt




x(t )e jwt dt
x( t ) x( t )
x( t ) x( t )
x(t )e - jwt dt X( w ) X ( w )


x(t )e - jwt dt X( w ) X ( w )
2 F ( ) 2 2
π 2 ( ) π 2 ( 0) ( 0)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
推论4：分解特性：实函数可分解为一个偶函数和一个奇函
数之和。其偶部的傅立叶变换为X(w)的实部，奇部的傅立
叶变换为X(w)的虚部。
x ( t ) xe ( t ) xo ( t )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
6. 对偶性
若：x(t ) X ( )
则：X (t ) 2 x( )
若x(t )为偶函数，则： X (t ) 2 x( )
1 或： X( t ) x( ) 2
例如：
(t ) 1 1 2 ( w)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
推论2：实时间函数的振幅频谱是频率的偶函数，相位频 谱是频率的奇函数。 证明：
X ( w) X ( w)
X ( w) X ( w)
( w ) ( w )
推论3：实偶函数的频谱函数是频率的实偶函数，实奇函
数的频谱函数是频率的虚奇函数。
F ( ) [ Sa( / 2) 2 Sa( )]
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2、共轭对称性
若x(t)是一个实时间函数，则
X ( w) X ( w)
实信号的频谱具有很重要的特点,正负频率部分的频 谱是相互共轭的.称此性质为共轭对称性。 证明：
X ( w ) x( t )e jwt dt
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
FT [ x (t ) cos 0t ]
FT [ x( t )] X ( )
X ( )
1 j 0t j 0 t x (t )[e e ] 2
频 移 特 性
1 2

0
1 2
X ( 0 )
X ( )
X ( 0 )
0
0

1 [ X ( 0 ) X ( 0 )] 2
F { x(t )} F { xe (t )} F { xo (t )}
X ( w ) Re {X ( w )} Im{X ( w )}
F { xe ( t )} Re{X ( w )} F { xo (t )} Im{ X ( w )}
例4 10 :分解特性的应用举例。
X 2 ( w) Sa ( w / 2)e
1 2
t
Bf 1 1
时移不影响带宽
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
8. 时域微分特性
若：x( t ) X ( ) 证明见P142 dx( t ) 则： jX ( ) dt n d x( t ) n 及： n ( j ) X ( )
dt
Example:
(t ) 1
(t ) jw

( n)
(t ) ( jw )
n
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例 4-19 求符号函数的频谱函数

两边取共轭： X ( w ) x(t )e dt x(t )e j ( w )t dt X ( w )
jwt


推论1：实时间函数的频谱函数的实部是频率的偶函数， 虚部是频率的奇函数。 X ( w ) X ( w) 证明：
Re {X ( w )} Re {X ( w )} Im{X ( w )} Im{X ( w )}
则：


-
sinc( wc t )dt

wc
G2 wc ( w )


wc
1

wc
w 0
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
dw 例4 17 : 求 a jw

1 解 ： e u( t ) a jw
at
dw 2 e -at u( t ) t 0 a jw 1 1 又 u(0) [u(0 ) u(0 )] 2 2 dw dt a jw 思考 : 求 a jt
试求下列单边指数信号的频谱函数
第4章 连续时间信号的傅立叶变换 x( t ) 2
x(t ) 2e u(t )
at
a0
2
x( t )
1
xe ( t )
xo ( t )
1 xe ( t ) [ x( t ) x( t )] 2 1 xo ( t ) [ x( t ) x( t )] 2 2 F { xe ( )} 2 2 2 j F { xo ( )} 2 2

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
等效脉宽与等效频宽
X ( w ) x( t )e
jwt
dt
1 x( t ) 2



X ( w )e jwt dw



x( t )dt X (0)

2


X ( w )dw 2 x(0)
等效频宽
x ( 0) X ( 0) X (0) Bw 2 x(0) Bw
1 t 1 e 2 2 1
1 1 2 2 e e t 1 2
1 例4 15 : 试求: x( t ) a 1, t 0的傅立叶变换 a jt
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
x( t ) e
部 分 对 称
at
FT
1 X ( ) a j
若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子
F ( )
(t )
t
F (t )

2 ( )
t

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
对称性的例子
1
x( t )
0
X ( ) T1 Sa( wT1 / 2)
T1
0
T1 2
2 T1

T1
2
t
X ( )

2Gwc ( w)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
例4 13 : 已知x(t)为三角形调幅信号，试 求其频谱
T 1 2
x1 ( t )
T1 2
T 1 2
x( t )
T1 2
x(t ) x1 (t ) cos0t
T1 2 T1 X 1 ( ) Sa ( ) 2 4
P147
T1 2 ( 0 )T1 2 ( 0 )T1 X ( ) [ Sa Sa ] 4 4 4
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
5. 频移性－－调制 若： x( t ) X ( )
则： x(t )e
j0 t
X ( 0 )
由 w w w0 实际上是将频谱向高频搬移，常用的方 法是将x(t)乘以高频余弦或正弦信号 1 jw0 t x( t ) cos( 0 t ) x( t ) (e e jw0 t ) 2 1 x( t ) cos( 0 t ) [ X ( w0 ) X ( w0 )] 2 频谱向高频分量w0附近搬移，这个过程称为调制
( j )
(t t0 ) e
(t t0 ) e
jt 0
jt 0
t 0

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
思考:下列信号的傅立叶变换
x( t )
1
t
2
X ( w) 2e
jw
sinc( w)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
1 则 x(at) X ( ) a a 当a=-1时： x( t ) X ( ) x( t )
t0
a
例4 12 : 已知x(t)为矩形脉冲信号，求x( 2t 2 ) 的频谱函数
x( t )
x(t ) X ( w) AT1 Sinc( wT1 / 2)
t
1 w AT1 x ( 2t ) X ( ) Sinc( wT1 / 4) 2 2 2
AT1 jw x ( 2t 2) e Sinc( wT1 / 4) 2

j t
dt
si nt jt e dt t

积分较难 这里可用对称性来求解.
sinc(t ) G2 ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
7. 函数下的面积
(1)函数x(t)与t轴围成的面积等于X(w)在w=0时的值X(0)
(2)函数X(w) 与w轴围成的面积等于2πx(0)

换 成
t
1 X ( ) FT ? a jt
对 称 性
2
w 换成 t
X ( ) 2x( ) 2e
a
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
sin t 思考：试求函数 的傅立叶变换 t
分析：若直接用
X ( ) x ( t )e

第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.9 连续时间傅立叶变换的性质与应用
1、线性性质
若：x1 (t ) X 1 ( ), x2 (t ) X 2 ( )
a1 为两个任意常数，则： 和 a2
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X 1 ( ) a2 X 2 ( )
1
2 X ( w ) F { xe ( )} F { xo ( )} j
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
3、时移特性
若 则
x( t ) X ( )
x(t t0 ) X ( )e
j t 0
例4 11 : 求移位冲激函数的频谱 函数
(t ) 1
x ( 3t )
4.尺度变换特性 若： x( t ) X ( )
反转特性

3
a3
1 X a ( ) X ( ) 3 3
6


2


6

6
2
2


时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
推论：带有尺度变换的时移特性
1 j x(at t 0 ) X ( )e a a
c Sa(
c t
2
)
c
x( t )
2
c 0
2

2 0
2
c
c
t

c
2

wc sinc( wc t ) G2wc ( w)
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
1 例4 14 : 试求: x( t ) 2 的傅立叶变换 t 1
解：考虑双边指数信号：
e
a t
2a 2 2 a