平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题

一.填空题。

1. AC+DB+CD+BA 等于 ___________ .

2. _____________________________________________________________ 若向量a =( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是_____________________ .

3. 平面上有三个点 A (1, 3), B (2, 2), C (7, x),若/ ABC = 90°，贝U x 的值为 ________ .

4•向量a、b满足|a|=1，b l=V2,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹角为_________ .

f f 彳

5. 已知向量a = (1 , 2), b = (3 , 1),那么向量2a ——b的坐标是___________.

6. 已知A (—1 , 2), B (2 , 4), C (4, —3), D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD |的值等于________ .

7. 将点A (2 , 4)按向量a =(—5, —2)平移后,所得到的对应点A'的坐标

是 ______ .

8. 已知a=(1, —2),b=(1,x),若a丄b,则x 等于__

9. 已知向量a,b的夹角为120,且|a|=2,|b|=5则(2a-b) • a= ________

10. 设a=(2,—3),b=(x,2x),且3a- b=4,则x 等于___

11. 已知AB =(6,1),BC =(x,y),CD =(—2,—3),且BC // D A ,则x+2y 的值为________

12. 已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|z 0,|b|z 0,贝U a与b的夹角为_________

—4 T t

13. 在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最小值

是___________________ .

14. 将圆x2y^2按向量v= (2 , 1)平移后，与直线x • y • ■ =0相切，则入的值为 _.

二.解答题。

1. 设平面三点A (1, 0), B (0 , 1) , C (2 , 5).

(1)试求向量2AB + AC的模；(2)试求向量AB与AC的夹角;

(3)试求与BC垂直的单位向量的坐标.

2.已知向量a=(s in =cosv) (—R) ,b=( , 3,3)

(1) 当二为何值时，向量a、b不能作为平面向量的一组基底

(2) 求|a—b|的取值范围

3.已知向量a、b是两个非零向量，当a+t b(t € R)的模取最小值时,

(1 )求t的值

(2)已知a、b共线同向时，求证b与a+t b垂直

4.设向量OA =(3,1),0B =(-1,2)，向量0C垂直于向量0B，向量BC平行于0A，试求

OD OA =0C日寸,0D的坐标.

5•将函数y= -x2进行平移，使得到的图形与函数y=x2- x —2的图象的两个交点关于原点对称•(如图)求平移向量a及平移后的函数解析式.

1 1 1 ； 3

6.已知平面向量k和t,使

a =(•、3,-1),

b =(—, —— ).若存在不同时为零的实数

2 2

x =a (t2 -3)b, y - -ka tb,且x _ y.

(1 )试求函数关系式k=f( t)

(2)求使f (t)>0的t的取值范围.

参考答案

1. 0

2. (—3，—4)

3.7

4. 90°

丄1

(2, 32)

6. 73

7. (-3, 2).

8. —2

9.12

1

10. 3

11.0

12. 90 °

13. -2

14. -1 或- 5

(1)v AB =(0—1, 1 —0) = (—1, 1) , AC =(2—1, 5 —0) = ( 1, 5).

|2AB + AC |=(-仔 7? = 50 .

(2)v I A B |=磁一1)?+忙=运.|AC|=(12+52 = 4^ , AB AC =( - 1)X 1 + 1 X 5 = 4.

AB

AC 4

2 13

cos 二=|ABI |AC| = 2 .26 = IF

J3 3sin v - 3cos J - 0= tan^

3

JI

JI

=k (k Z)

= k (k Z)

故 6

，即当 6

时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组

基底

(2) |a-b|「(sin —3 (cos —3)

2

= ..13-2( 3sin —3cosR

而一2.3 —3sin^ 3cos^ 岂2 3

• 2 ,3 -1 曰 a - b|^2、3

1

2 2 2 2

14.【解】(1 )由

(a tb)

晒

t 2a bt

I a

I

t = - 2a ? = 是a 与b 的夹角)

当 2Ib 『Ib|

时 a+tb(t € R)的模取最小值

t

一回

(2 )当a 、b 共线同向时，^ y 〉=0，此时 |b|

(3)设所求向量为m =(x ,

y ),则x 2 + y 2= 1.①

又 BC =( 2— 0, 5— 1)

(2, 4), 由 BC 丄 m ，得2 x + 4 y = 0.

5

!y 一空 由①、②，得. 5

即为所求.

2岛

x =—

5

75

八了.

5

)或(一5

13.【解】(1 )要使向量a 、 b 不能作为平面向量的一组基底，则向量

a 、

b 共线