【思维导图】一元函数微分学-
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
微积分(第四版)(大学本科经济应用数学基础特色教材系列)
者介绍
目录
02 内容摘要 04 目录分析 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
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微积分
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法则
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内容摘要
《微积分》（第四版）共分七章，介绍了经济工作所需要的一元微积分、二元微积分及无穷级数、一阶微分 方程等，书首列有预备知识初等数学小结。本书着重讲解基本概念、基本理论及基本方法，培养学生的熟练运算 能力及解决实际问题的能力。
读书笔记
我想尝试一件事，用徽分学解水流连续不断的问题，无论多远它们似乎都是连接的，但中间的外来或己生长 的杂物只能在一定条件下生存。
目录分析
1
§1.1函数的类 别与基本性质
§1.2几何与经 2
济方面函数关 系式
3 §1.3极限的概
念与基本运算 法则
4
§1.4无穷大量 与无穷小量
5
§1.5未定式极 限
感谢观看
习题四
§5.1定积分的概念 与基本运算法则
§5.2变上限定积分
§5.3牛顿-莱不尼兹 公式
§5.4定积分换元积 分法则
§5.5定积分分部积 分法则
§5.6广义积分
§5.7平面图形的面 积
习题五
§6.1二元函数的一 阶偏导数
§6.2二元函数的二 阶偏导数
§6.3二元函数的全 微分
§6.4二元函数的极 值
§3.5函数曲线的凹 向区间与拐点
§3.6经济方面函数 的边际与弹性
10第三章一元函数微分学(中值定理及罗必塔法则)
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A （或） xa() g( x) xa() g( x) xa() g( x)
5o
若函数是Βιβλιοθήκη 0,型可采用代数变形，化成
0 0
或
型；若是 1
,00
,0
型可采用对数或指数变形，化成
0 0
或
型.
例 3 求lim x 1 ． x1 x 1 ln x
f (0) (x3 x2 ) x0 0
∴ f (x) 满足罗尔定理的条件。由定理可得：
f ( ) 3 2 2 0
解得： 1
2 3
,
2 0
∵2 0 不在（-1，0）内，舍去；
∴
2 3
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理： 如果函数 f(x)满足：
在(a, b)内至少存
10 在[a, b]上连续， 20 在(a, b)内可导；
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1
1 ln x
lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
1
x
lim x1 1
ln x 1 ln x
x
lim
x 1
1 x2
x
1 x
1 2
.
例4．求下列极限
定理： f (x) 和 g (x) 满足条件：
lim f (x) 0 (或）
xa
1o lim g(x) 0 (或）； xa
2o 在点 a 的某个邻域内可导，且 g(x) 0 ；
考研数学 知识结构思维导图(数二)
1.分离变量，物以类聚人以群分 2.y'在等式左侧，右侧应写成乘积形式
一阶微分方程的求解
齐次型
y'=f(y/x)
对x求导
1/y'=f(x/y)
对y求导
换元后分离变量，交换x和y的地位
一阶线性型（或可换元为它）
y'+p(x)y=q(x) 伯努利方程
y'+p(x)y=q(x)的特殊形式
伯努利方程可理解为一 阶线性方程的普遍形式
符号函数 抽象函数
复合函数
偏导函数
换元法
一元函数积分换元法 二元函数积分换元法
应用
面积
1.积分变化口诀：后积先定限，限内画直 线，先交先下限，后交写上限；
2.注意对称性得0的应用可以极大地化简计 算
微分方程
可分离变量
y'=f(x).g(y)
分离变量
y'=f(ax+by+c)
换元后再分离变量
一般一层积分不易处理，化成两层积分，在交换 积分次序
分部积分法
换序型
反常积分的计算
研究对象
常规题型取绝对值时取值范围
曲线平移时相关符号不同取值范围所对应的面积
切线综合
函数列综合
题型总结
在平面极坐标系中，如果极径ρ随极角θ的 增加而成比例增加（或减少），这样的动
点所形成的轨迹叫做螺线。
阿基米德螺旋线
数列极限
定义
定义及使用
唯一性 有界性
使用
保号性
为常数
收敛充要条件
归结原则的使用（变量连续化）
直接计算法
定义法（先暂后奏）
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
§3一元函数微积分解读
§3 一元函数微积分3.1 微分一元函数可记为)(x y y = 或 )(x F y =在它的连续区域内，如图附-20所示，自变量若从x 增加到x x ∆+，便称x ∆为自变量x 的增量。
相应地，自变量从)(x y 增加到)(x x y ∆+，称)()(x y x x y y -∆+=∆为函数增量。
y x ∆∆、既可以是正的，也可以是负的。
几个函数的y x ∆∆、间关系如下：B Ax y += []x A B Ax B x x A y ∆=+-+∆+=∆)()( 2Ax y = 222)(2)(x A x Ax Ax x x A y ∆+∆=-∆+=∆x y sin = x x x x x x x y ∆+-∆=-∆+=∆sin cos )1(cos sin sin )sin( x e y = )1(-=-=∆∆∆+x x x x x e e e e y 例中B A ,均是常量。
自变量增量0→∆x 时，称为自变量微分，改记成dx 。
dx 是无穷小量，但不是零。
在连续区域内，自变量增量取微分dx 时，函数增量0→∆y ，称为函数微分，记成dy ，它也是无穷小量，可正，可负。
dy 与dx 间关系为)()(x y dx x y dy -+= 几个实例如下：B Ax y += Adx dy =2Ax y = dx dx x A dy )2(+=x y s i n= dx x dx x dy sin cos )1(cos sin +-= xe y = )1(-=dxxee dy数学中可以证明，对无穷小量dx ，有Ax Bdx Ax →+ 简书为 Ax Bdx Ax =+ 1cos →dx 简书为 1cos =dx dx dx →sin 简书为 dx dx =sin dx dx →tan 简书为 dx dx =tan e dx dx→+1)1( 简书为 ...718281828.2)1(1==+e dx dx例题6. 试证 dx dx dx ==tan sin 。
高一数学函数思想导图总结
高一数学函数思想导图总结高一数学函数思想导图总结一、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它把一个数集的每个元素都对应到另一个数集的唯一元素。
2. 自变量与因变量：自变量是已知的数值，在函数中起到输入的作用；因变量是待求的数值，在函数中起到输出的作用。
3. 函数的图像：函数的图像是自变量和因变量之间的对应关系在平面上的表示，可通过给定的函数表达式绘制出来。
二、函数的性质1. 定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
2. 奇偶性：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)，可以通过函数的图像来判断其奇偶性。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数图像上的任意两点之间的高低变化趋势，可以通过函数的导数来判断。
4. 周期性：周期函数满足 f(x+T) = f(x)，其中 T 为正数，函数的图像在一定区间内重复出现。
三、基本函数1. 常数函数：f(x) = c，其中 c 为常数，函数图像平行于 x 轴。
2. 一次函数：f(x) = kx + b，其中 k 和 b 均为常数，函数图像是一条直线。
3. 二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数，函数图像是抛物线。
4. 绝对值函数：f(x) = |x|，函数图像在原点处有拐点。
5. 幂函数：f(x) = x^n，其中 n 为整数，函数图像的形状与 n的正负相关。
6. 指数函数：f(x) = a^x，其中 a 为正常数且不等于 1，函数图像在点 (0, 1) 处经过。
四、复合函数1. 复合函数的定义：将两个或多个函数相互结合，得到一个新函数，新函数的自变量是原函数的因变量。
2. 复合函数的运算：复合函数的运算按照从内到外的顺序进行，即先求内函数值再求外函数值。
3. 复合函数的性质：复合函数的定义域由内外函数的定义域决定，复合函数的周期取内外函数周期的最小公倍数。
高中数学知识框架思维导图(整理版)
点斜式：y－y0＝k(x－x0)
注意：截距可正、
可负，也可为 0.
2 −1
注意各种形式的转化和运用范围.
x y
截距式： ＋ ＝1
a b
两直线的交点
距离
一般式：Ax＋By＋C＝0
两点间的距离公式|1 2 | = √(1 − 2 )2 + (1 − 2 )2 ．
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2+1 −1
− (+2)2 )
= (−1) (
1
2−1
+
错位相加法: = ( + )−1 → = ( + ) −
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
与 的关系
1 ，
= 1，
= {
− −1 ， ≥ 2．
构造等差数列
an＋1 p an
= · ＋1 转为③
qn q qn－1
⑤an + 1＝pan＋qn
高等数学课件第4章 一元函数微分学
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
4
3. 原函数结构定理：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数C ， F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和 G( x)都是 f ( x)的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
5
三、不定积分
1. 不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
即： f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
2
二、原函数
1.定义: 如果在区间I 内，可导函数F ( x)的
导函数为 f ( x)，即x I ，都有F ( x) f ( x) 或dF ( x) f ( x)dx，那么函数F ( x)就称为 f ( x)
或 f ( x)dx 在区间I 内原函数.
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C, f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1,
所求曲线方程为 y x2 1.
2020/5/22
微积分--不定积分概念与性质
9
3. 不定积分的性质
性质1 求不定积分和求导数、微分互为逆运算
= 注： f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
四、基本积分表(1):